(cm)
z
(cm)
圖 4.25：自由液面之瞬時旋度變化率。(a)旋度受到流場之平流作用而產生之瞬時變化
率，(b) 旋度受到黏滯消散作用而產生之瞬時變化率。此為波長λ =5cm，初始波形陡
度ak =0.25之前進波於時間t =2.0T0時之分布狀態，T 為線性理論之週期。 0
4.4 能量消散
4.4.1 寄生表面張力波引起之能量變化
由上節的討論中，我們已了解在寄生表面張力波形成同時，自由液面 旋度受到流場平流項以及正向壓力梯度作用大量傳送進入流場內，並形成 強烈的渦旋結構。而本節中將持續地探討此旋度結構於大幅增加自由液面 邊界層厚度時，其對於流場能量造成的影響。圖 4.26 顯示於 4.1 節之模擬 過程中，重力波總能量Ew隨時間的演化（實線）。其重力波總能量包括動 能、勢能與表面張力所作的功。另外，於4.2 節忽略表面張力作用的對照模 擬，其重力波總能量演化亦表示於圖 4.26（虛線）。圖中顯示考慮表面張 力並產生寄生表面張力波流場之能量消散遠大於忽略表面張力之流場。根 據能量消散式：
t w
w t E e
E ( )= (0) −β ， (4.9)
其能量消散率β在寄生表面張力波發展完成時（t =1.5T0 ~2.0T0）達到最大值 為β ≈1.02s-1。而於忽略表面張力之對照模擬，其β ≈0.063s-1與線性理論近似 值β =4νk2相近。此結果顯示寄生表面張力波的形成將大幅提升流場之能量 黏滯消散，其能量消散率約增加為理論值的16 倍。此能量消散率β ≈1.02s-1 表示在物理上波浪之總能量將在0.98秒後完全被消散殆盡，其能量消散速度 非常迅速。此結果證實伴隨寄生表面張力波生成所形成之強烈渦旋結構將 大量耗損流場能量。
4.4.2 平均液面斜率與能量消散的關係
隨著寄生表面張力波生成而引起之能量黏滯消散於 Zhang(2002) 之實 驗量測結果亦得到證實。Zhang(2002) 推論當表面張力波形成時，流場能量 為液面波形斜率的函數，但也提及因於實際流場中量測液面波形斜率之困 難度，所以無法得到有效的波形數據以將表面張力波引起之能量損失參數 化。然而對於數值模擬而言，我們可以得到隨時間與空間變動之液面波形
斜率的完整資料。因此，我們建立平均液面斜率與能量消散的瞬時關係。
圖 4.27 顯示兩組模擬數據，包括波長λ=5cm，初始波形陡度ak =0.25（標 示為方形點），以及波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.28（標示為圓形點）
之模擬結果。由圖中顯示模擬過程中，瞬時平均液面斜率與能量消散率顯 示其兩者間成比值約為14.0之線性關係。
0 1 2 3 4 5 6
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t/T E
w(t )/ E
w(0)
圖 4.26：波長λ =5cm，初始波形陡度ak =0.25之重力波總能量(E )隨時間之演w 化，其T 為線性理論週期。圖中實線為考慮表面張力作用並在液面生成寄生表面張 力波之流場能量變化，虛線為忽略表面張力作用而液面上無生成寄生波之流場能 量 變 化 。 圖 中 實 線 之 能 量 消 散 率 最 大 值β ≈1.02s-1， 而 虛 線 之 能 量 消 散 率
s-1
0642 .
≈0
β ，由此可知寄生表面張力波的產生將提高能量黏滯消散率約16倍。