第四章 研究結果與討論
第一節 前導研究
本節將針對學生三年級所學的角度單元內容進行前導研究，研究對象是非正 式研究中的本班另兩位數學學習成就低落的學生（S1與S2）為施測研究對象，
施予前測、訪談、整理迷思概念、修改MathPS簡報教學內容、簡報教學以及後 測，以了解MathPS簡報教學的成效及學生對MathPS簡報教學的觀感，作為後續 實際施行正式補救教學的研究參考。茲將實施內容分敘如下：
一、前導研究前、後測題目的擬定：
前導研究前、後測題目(附錄九、十)採用 102 學年度南一書局出版的課本及 習作的題目編製而成，由於教材內容是依據教育部公告的數學領域國小三、四年 級角度教學目標編製而成，題目內容主要在測試學生是否習得角度的基本概念，
因此具有建構效度。
二、實施歷程：
利用星期五下午的時間進行兩位低成就學生三年級角度單元的補救教學前 導研究，分三週進行六節課的補救教學。內容包含前測、前測結果分析與學生訪 談、製作修改簡報、教學、後測、後測結果評析、文字稿記錄。
三、教材內容：
教材簡報內容包含「認識角」、「比較角的大小」、「認識直角」，部分自製，
四、前導研究前測試卷難度及鑑別度分析
前導研究的前測試題，請本校三年級的三個班級共 87 人預試，收集計算試 題的難度及鑑別度，以檢定試題是否適合做為低成就學生預試之用。鑑別度是取 高低分組各 25％，分別統計每一題的高低分組答對率再分別相減而得(即 D=PH-PL，D 值愈大，鑑別度愈大)，而難度則取高低分組各 27％，分別統計每 一題的高低分組答對率再相加後除以 2 而得，即 P＝
( )
2
PH
+PL
，P 值愈大，難 度愈低，詳如表 4-1。
表 4-1
前導研究前測試卷的難度和鑑別度
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 難度值 0.91 0.67 0.80 0.52 0.67 0.72 0.57 0.89 0.67 0.65 鑑別度 0.14 0.62 0.29 0.43 0.43 0.29 0.29 0.10 0.38 0.67 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 難度 0.61 0.91 0.72 0.48 0.63 0.48 0.33 0.63 0.67 0.80 鑑別度 0.76 0.10 0.48 0.86 0.62 0.71 0.33 0.43 0.67 0.29 題號 21 22 23
難度 0.80 0.67 0.33 鑑別度 0.14 0.67 0.48
從上表 4-1 可知，23 題中難度值在 0.4 以下的僅兩題，難度值在 0.4 至 0.8 的有 18 題，難度在 0.8 以上的有 3 題，因此整份試題的難易程度屬於中間偏易，
適合作為低成就學生的檢測之用。
五、實施結果：
本前導研究目的在試驗 MathPS 系統應用在國小角度單元補救教學實施情形 及成效，以做為正式研究的改進參考。第一點探討學生角度的迷思概念與錯誤歸 因，第二點記錄探究實施歷程，第三點探討前導研究的實施情形。
第一點：學生的迷思概念及錯誤歸因探究
（一）S1 的迷思概念：
表 4-2
S1 前導研究前測答題情形 什麼是角
試題主題 角意義 比較角大小文字題
題號 1 2 3 8 9 10 11 13 14 4 5 6 7 答題情形 ○ × ○ ○ ○ ○ × ○ ○ × ○ ○ ○ 試題主題 直角判斷 看圖比較角大小 看圖數角
題號 12 15 21 16 17 18 19 20 22 23 答題情形 ○ ○ × × × ○ ○ ○ ○ ×
2.根據上表顯示 S1 共 7 題答錯，分別是第 2、4、11、16、17、21 及 23 題。分 析其答錯情形如下所示（詳細答題情形及訪談紀錄如附錄十五所示）：
（1）認為角的邊長越長，角張開就越大，因此角就越大
S1 對於角度的大小與其邊長的關係並不清楚，因此作答時用邊長的長短認 定角張開的大小，據此來判斷角度的大小，背後也象徵著用直觀法則的方式做判 斷，此結果可以從以下 S1 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S1：20141017
訪 S1：20141017
(第 2 題)
T：你為什麼認為角的邊長愈短，張開的角就愈小？
S1：因為看起來就是比較小。
T：你認為這樣嗎？
S1：嗯。
(第 11 題)
T：唸一遍題目，為什麼會這樣認為？
S1：邊長變短，角張開就比較小，所以角就比較小 (第 16 題)
T：你為什麼覺得乙比較大？
S1：因為張開的角度比較大。
（2）不知比較兩個角的大小，需要頂點對齊和一個邊也要對齊
S1 對於兩個角度如何比較大小並不清楚，此結果可以從以下 S1 的答題情形 及訪談紀錄中得到印證。
文 S1：20141017
訪 S1：20141017
T：你為什麼認為頂點對齊就可以比較角的大小？
S1：我認為頂點對齊後，就可以知道長和寬。
T：什麼是長和寬？
S1：邊長。
T：誰的邊長？
S1：角。
T：這樣就能比大小嗎？
S1：對。
（3）受到標示角度弧線的影響，認為弧線越大，角就越大
S1 對於兩個角度如何比較大小，顯然受到標示角度的弧線大小所影響，
此結果可以從以下 S1 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S1：20141017
訪 S1：20141017
T：你為什麼覺得乙比較大？
S1：沉默(思考中)。
T：為什麼？
S1：因為它畫的弧線比較大比較長。
S1 對於直角的量感欠缺，無法利用直角的大小去正確判斷銳角，此結果 可以從以下 S1 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S1：20141017
訪 S1：20141017
T：為什麼你認為這個角大於直角。
S1：因為看起來比較大。
（5）不知角的基本定義，無法根據角的定義去數出正確的角個數
S1 對於無法以角是由一個頂點及兩條邊構成的定義，去應用在角的數數 問題上，此結果可以從以下 S1 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S1：20141017
訪 S1：20141017
T：這裡為什麼有四個角？
S1：我忘記了。
T：你再想一想，你怎麼數出來的？
S1：(用手比 1,2,3,4，每個角重複數兩次)。
由 S1 的答錯情形可以知道，S1 對於角度的大小判斷受到角度邊長長短的影 響及標示角度的弧線長短所影響；另外對於角度的大小量感欠缺完整的概念；對 於角度如何比較大小仍存有迷思；而對於角度的定義仍無法應用在角的數數問題 上。
3.整理 S1 的迷思之處及錯誤歸因（如表 4-3）
表 4-4
S2 前導研究前測答題情形 什麼是角
試題主題 角意義 比較角大小文字題
題號 1 2 3 8 9 10 11 13 14 4 5 6 7 答題情形 ○ ○ × ○ ○ × ○ ○ × ○ × × ○ 試題主題 直角判斷 看圖比較角大小 看圖數角
題號 12 15 21 16 17 18 19 20 22 23 答題情形 ○ ○ × × × ○ ○ ○ × ×
2. 根據上表顯示 S2 共 10 題答錯，分別是第 3、5、6、10、14、16、17、21、22 及 23 題。分析其答錯情形如下所示（詳細答題情形及訪談紀錄如附錄十六所 示）：
（1）認為角的邊長越長，角張開就越大，因此角就越大
S2 判斷角度的大小有時用猜的，有時用邊長的長短認定角張開的大小，據 此來判斷角度的大小，背後也象徵著用直觀法則的方式做判斷，此結果可以從以 下 S2 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S2：20141017
訪 S2：20141017
(第 3 題)
T：你為什麼打×，你怎麼想的？
S2：(低頭不語)
(第 10 題)
T：這一題你看得懂嗎？
S2：(點頭)
T：你為什麼選這個答案？
S2：(不語)。
T：你認為邊長越長，角就越大是不是？
S2：嗯。
(第 16 題)
T：你為什麼認為乙比較大？
S2：(不語)。
T：你是看到什麼？
S2：因為這個看起來比較大。
（2）看不懂題目的意思
S2 語文能力薄弱，看不懂題目的意思，此結果可以從以下 S2 的答題情形及 訪談紀錄中得到印證。
文 S2：20141017
訪 S2：20141017
(第 5 題)
T：你為什麼會寫○？
S2：(低頭不語) T：題目看不懂？
S2：是。
T：哪裡看不懂？
S2：疊合看不懂。
T：所以答案是用猜的嗎？
S2：(點頭)。
(第 6 題)
T：題目看得懂嗎？
S2：(搖頭)
T：整句看不懂是不是？
S2：點頭。
（3）不知道角的定義
S2 不懂角是由一個頂點及兩條直線邊構成的，此結果可以從以下 S2 的答題 情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S2：20141017
訪 S2：20141017
T：要填什麼，知道嗎？
S2：不知道，所以寫角跟邊
（4）受到標示角度弧線的影響，認為弧線越大，角就越大
S2 對於兩個角度如何比較大小，顯然受到標示角度的弧線大小所影響，此 結果可以從以下 S2 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S2：20141017
訪 S2：20141017
T：你為什麼覺得乙比較大？
S2：沉默(思考中)。
T：猜的嗎？
S2：不是。
T：那是看什麼？
S2：(手指比圖上的弧線)。
T：這條弧線比較大比較長，所以你就認為角比較大？
S2：嗯。
（5）欠缺直角的量感，因此無法看出銳角
S2 對於直角的量感欠缺，無法利用直角的大小去正確判斷銳角，此結果可 以從以下 S2 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S2：20141017
訪 S2：20141017
(第 21 題)
T：第 3 個為什麼畫三角形？
S2：用看的。
(第 22 題)
T：甲和丙哪個比較小？你怎麼想的？
S2：用猜的。
T：怎麼猜，怎麼不選丙？
S2：隨便選一個。
（6）不知角的基本定義，無法根據角的定義去數出正確的角個數
S2 對於無法以角是由一個頂點及兩條邊構成的定義，去應用在角的數數問 題上，此結果可以從以下 S2 的答題情形及訪談紀錄中得到印證。
文 S2：20141017
訪 S2：20141017
T：數數看哪兩個角？
S2：(不語)。
T：用手比給老師看？
由 S2 的答錯情形可以知道，S2 對於角度的大小判斷受到角度邊長長短的影
（5） 對於角的定義模糊，無法依據角是由兩條邊及一個頂點構成的定義去 應用在角度的數數問題上。
（6） 誤認角張開越大，角就越大。
（7） 欠缺角的量感，因此無法判斷待測角與直角的大小。
（三）研究者的省思小結
綜觀以上兩位學生對於「角度是什麼」的迷思概念與錯誤歸因整理如下：
1. 學生認為角的邊長越長，角就越大；邊長變短，角就變小。
2. 角的比較大小，學生認為對齊頂點就可以比了，忽略必須一個邊也要對齊 才能比，顯示其對角的比較大小觀念有待澄清。
3. 學生判斷角的大小，受到弧線標示長短的影響，認為弧線越長，角就越大。
4. 學生對於直角的量感欠缺，因此無法據以正確判斷待測角與直角的大小比 較關係。
5. 語文閱讀理解能力薄弱，導致長句型的文字題看不懂，因此無法作答。
6. 學生對於角是由一個頂點，兩條直線邊所構成的概念，無法類推到組合角 之數量的數數。
根據以上兩位學生呈現的迷思概念，將做為製作簡報澄清觀念的依據。簡報 能以動態呈現圖像表徵，來幫助學生理解角度的意義及如何比較大小，藉以產生 心像，並幫助學生找出並理解文字題的關鍵語句，來協助學生了解題意以解決問 題。
第二點：實施前導補救教學的歷程
（一）活動內容陳述
為達到以 MathPS 簡報融入中年級角度補救教學來提升學生的角度正確理解 概念，研究者設計補救教學活動一「角度是什麼」。依據角度的意義及組成，如 何比較角的大小以及直角的定義依序呈現簡報內容，輔以動畫的呈現來加深學生 學習的印象，幫助學生將正確訊息轉換為長期記憶。課後學習單可以讓學生馬上 練習，研究者也可以藉此了解學生學習情形，檢視學生學習的成效，並作為修改
解角的定義、知曉直角的概念以及能比較不同角度大小的教學目標。
迷思概念 動畫簡報 教學重點
SS：1，2，3，4，5，6。
T：右邊的圖總共有幾個角？
SS：6 個。
經由動畫的呈現，先固定一條邊，再依次找另一個邊來搭配成一個角的方式，
經由動畫的呈現，先固定一條邊，再依次找另一個邊來搭配成一個角的方式，