第四章 研究結果與討論
第二節 正式研究之學習角度的迷思概念及錯誤歸因
本節針對正式研究，探討本研究的目的之一「學生學習角度時所呈現的迷思 概念為何？」學習角度教材的迷思概念，是學生就研究者編製的角度前測試題的 答題情形和晤談加以記錄分析而得。本節將就三位研究對象的答題情形所呈現的 迷思概念做一探討並探究其答題錯誤原因，以完成研究目的之一的「低成就學生 在學習數學角度單元過程中所顯現的迷思概念為何？」之探討。
一、 S3 的前測迷思概念與答題錯誤歸因
(一)依據 S3 在前測的答題情形彙整於表 4-13：
表 4-13
S3 前測答題情形
試題主題 角意義 比較角大小 量角器量角
題號 1 2 3 12 21 4 5 6 11 13 14 10 答題情形 × ○ × ○ ○ × × × × × × ○ 試題主題 量角器報讀 直角判斷 畫出角 角度的計算
題號 7 8 9 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 答題情形 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ ○ (二) 根據上表顯示 S3 共 9 題答錯，分別是第 1、3、4、5、6、11、13、14、19 題。分析答錯情形如下所示（詳細答題情形及訪談記錄如附錄二十一所示）： 1.欠缺角度大小與角度邊長長短無關的概念
S3 對於角度的大小與其邊長的關係並不清楚，因此作答時用猜的，此結果 可以從以下 S3 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S3：20141121（S3 答錯題目及答題時想法）
訪 S3：20141121
T：為什麼選 4？
S3：用猜的。
S3：嗯。
2.誤認邊長越短，角就越小；邊長越長，角就越大
S3 認為邊長越短，角度就越大，欠缺角度大小與邊長長短無關的概念，此 結果可以從以下 S3 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S3：20141121（S3 答錯題目及答題時想法）
訪 S3：20141121
T：為什麼選 2？
S3：因為邊長變短，角就會變小。
T：那麼邊長變長呢？角度會怎樣？
S3：變比較大。
3. 欠缺對頂角相等的概念來自平角減去同一個相鄰角的概念
S3 沒有對頂角相等的概念，還是以邊長長短來判斷角度的大小，此結果可 以從以下 S3 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S3：20141121（S3 答錯題目及答題時想法）
訪 S3：20141121
T：為什麼你認為角 2 比較大？
S3：因為它的邊比較長。
4.學生可能受標示角度之弧線大小的不同所干擾，而導致不會判斷角的大小 S3 對於標示角度的弧線大小不一樣大時，可能產生混淆，因此無法作答，
此結果可以從以下 S3 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S3：20141121（S3 答錯題目及答題時想法）
訪 S3：20141121
T：為什麼沒寫答案？
S3：看不出來。
T：不會看是不是？
S3：嗯。
5.同第 1 點，欠缺角度大小與角度邊長長短無關的概念
S3 對於角度的大小與其邊長的關係並不清楚，因此無法作答，此結果可以 從以下 S3 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S3：20141121（S3 答錯題目及答題時想法）
訪 S3：20141121
T：告訴老師為什麼這題沒寫？
S3：不會看。
T：你之前不是說邊長比較長，角就比較大嗎？
S3：對喔，那應該角 2 比較大。
6.語文能力薄弱，看不懂題目中的詞語意義
S3 對於文字題中的詞語意思不懂，因此無法作答，此結果可以從以下 S3 的 答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S3：20141121（S3 答錯題目及答題時想法）
訪 S3：20141121
第 11 題：
T：為什麼這一題會選 3？
S3：看不懂題目，隨便猜的。
T：那裡看不懂？
S3：全部都看不懂。
T：不曉得題目在問什麼？
S3：嗯。
第 13 題：
T：為什麼這一題也沒寫？
S3：題目看不懂。
T：那句話看不懂？
S3：描圖紙不懂，不知道描圖紙是什麼。
T：以前不是有教過，透明的紙拿來描出角度？
S3：忘記了。
第 14 題：
T：這一題怎麼空白沒寫？
S3：不知道分割，再組合的意思。
T：所以你是不是看不懂題目意思才不會判斷哪個角比較大。
7.對角度頂點是兩條邊相交處之概念欠缺
S3 不懂點 1 當頂點以及線段 12 當邊的意思，所以隨便找個點就畫出 45 度 來。基本上對角度頂點是兩條邊相交處之概念欠缺，此結果可以從以下 S3 的答 題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S3：20141121（S3 答錯題目及答題時想法）
訪 S3：20141121
T：這題為什麼錯，知不知道？
S3：不知道。
T：會不會用量角器畫出角度？
S3：會。
T：角的頂點在哪裡？
S3：（手比 2 上面的那個點。）
T：題目告訴你頂點在哪裡？
S3：（手比 2 那一點）
T：你唸一下題目？
S3：（輕聲唸題目中，線段 12 唸成線段一十二）
T：什麼是線段一十二？
S3：不知道。
(三) 從與 S3 的訪談摘述其話語及想法如下：
"不知道角度大小跟邊長的關係，因此用猜的；有時又說邊長變短，角就會變小，邊比較長角 比較大；看不懂題目的意思，隨便猜；不知道描圖紙是什麼；不知道角度分割再組合的意思；不 知道角的頂點位置及線段的意義"
S3 的回答本身就有矛盾，研究者據此判斷 S3 對於角度大小與邊長或開口的 關係根本沒有正確的概念，答題時極可能都是用猜的。S3 的回答有時會受到研 究者提問的影響而變更答案（例如本來不知道邊長與角度的關係，經研究者說之 前不是認為邊長越長角就越大嗎？S3 就會改口說邊長越長角就越大），這顯示
(四)由表 4-13 及學生答題歷程的文件和學生訪談分析，S3 答題的可能迷思及錯
題號及題目 迷思與錯誤原因 13.
角 2 是角 1 用描圖紙描下來再轉個角度 形成的，哪一個角比較大？（①角 1 比較大 ②角 2 比較大③一樣大 ④無 法判斷）
學生忘記什麼是描圖紙，因此看不懂題 目。
14.下圖圖 1 分割成圖 2 的 2 個角，再 組合成圖 3 的角，請比較圖 1 角和圖 3 角的大小？①圖 1 角比較大 ②圖 3 角 比較大③一樣大④無法判斷
不知道分割、再組合的意思，因此看不 懂題目而無法作答。
19.以下圖的點 1 當頂點，線段 12 當 邊，劃出一個 45 度的角。
不懂點 1 當頂點以及線段 12 當邊的意 思，所以隨便找個點就畫出 45 度來。
基本上對角度頂點是兩條邊相交處之 概念欠缺。
小結：
根據以上 S3 的作答、S3 寫答題時的想法資料以及訪談，可以驗證 S3 對於 角度的學習有三方面的迷失。
1. 欠缺正確完整的角度意義概念，判斷角度大小時受到邊長及弧線的影響，因 此無法根據圖形判斷兩個角度之間的大小，這符合張英傑（2003）的論點：
「三、四年級學童對於角的描述有困難。」也符合黃金泉（2003）的研究論 點：「四年級學童會受到直觀法則所影響，認為角的邊長愈長、標示角張開 程度的弧長愈長，角就愈大。」S3 在畫角度時也因為對角度頂點的概念不清 楚，以致無法依照題目要求的頂點位置，正確畫出指定的角度大小。
此無法理解對頂角相等的原理。
3. S3 對於文字題的敘述理解能力顯然不足，以致造成讀不懂題目的意思而無法 作答。
因此補救教學簡報的重點將是把角度的概念、意義透過簡報圖像來表達、讓 學生在圖像的幫助之下建立恆久正確的角度概念，對於文字題中的關鍵語句也希 望藉由圖像動畫的展示（如分割再組合的概念以及描圖紙的功用及使用方式）來 幫助學生釐清問題，加深學生的印象以便能夠正確的解題。
二、 S4 的前測迷思概念與答題錯誤歸因
(一)依據 S4 在前測的答題情形彙整於表 4-15：
表 4-15
S4 前測答題情形
試題主題 角意義 比較角大小 量角器量角
題號 1 2 3 12 21 4 5 6 11 13 14 10 答題情形 ○ ○ ○ ○ ○ × × × ○ ○ × ○ 試題主題 量角器報讀 直角判斷 畫出角 角度的計算
題號 7 8 9 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 答題情形 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × ○ ○ ○
(二) 根據上表顯示 S4 共 6 題答錯，分別是第 4、5、6、14、20、22 題。茲分析 其答錯情形如下所示（詳細答題情形及訪談記錄如附錄二十二所示）：
1.欠缺對頂角相等的概念，以邊的長短來判斷角的大小
S4 對於對頂角相等的概念欠缺，以直觀法則來判斷角度的大小，此結果可 以從以下 S4 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S4：20141121（S4 答錯題目及答題時想法）
T：為什麼選 2？
S4：因為看起來比較大。
T：怎麼看？看哪裡？
S4：（手比 2）
T：你覺得 2 比較大？
S4：對，角度比較大。
2.判斷角度大小受到標示角度的弧線大小所干擾
S4 對於角度大小的判斷，明顯受到弧線大小的影響，認為弧線越長，角度 就越大，此結果可以從以下 S4 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印 證。
文 S4：20141121（S4 答錯題目及答題時想法）
訪 S4：20141121
T：為什麼角 2 比較大？
S4：因為角 2 的上面看起來比較大。
T：邊嗎？
S4：對。
3.對於角的意義概念不清楚，同時判斷角度大小時受到邊長的影響
S4 對於角度大小的判斷，顯示對角度大小如何判斷仍不清楚，此結果可以 從以下 S4 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S4：20141121（S4 答錯題目及答題時想法）
訪 S4：20141121
4.語文能力薄弱，看不懂題目意思
S4 對於文字題中的詞語意思不懂，因此無法作答，此結果可以從以下 S4 的 答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S4：20141121（S4 答錯題目及答題時想法）
訪 S4：20141121
T：為什麼沒寫答？
S4：因為看不懂題目。
T：哪裡難不懂？
S4：分割成圖 2 的兩個角，再組合成圖 3 的角，剛開始以為是全等圖形，後來發現不是就不 會寫。
5.對角度頂點是兩條邊相交處之概念欠缺
S4 不懂點 1 當頂點以及線段 12 當邊的意思，所以隨便找個點當頂點就畫 出 120 度來。基本上對角度頂點是兩條邊相交處之概念欠缺，此結果可以從以 下 S4 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印證。
文 S4：20141121（S4 答錯題目及答題時想法）
訪 S4：20141121
T：你會畫角度嗎？
S4：會阿。
6.對於時鐘刻度所代表的度數不懂
S4 不懂時鐘上的刻度所代表的度數，因此無法正確計算出時鐘上指針旋轉 的度數，此結果可以從以下 S4 的答題情形、答題時的想法及訪談紀錄中得到印 證。
文 S4：20141121（S4 答錯題目及答題時想法）
訪 S4：20141121
T：30 度是怎麼算出來的？
S4：就想 12 開始算，12 到 3 就是 30 度，10,20,30。
T：所以你就寫 30 度。
S4：對阿。
(三) 從與 S4 的訪談摘述其話語及想法如下：
"用看的決定角的大小；不知道角度分割再組合的意思；看不懂題目的意思；用量角器任意畫 出指定的角；使用自己的概念解時鐘的時針與分針夾角"
S4 的回答顯示其用直觀的感覺去判斷角的大小，這與黃金泉（2003）的研
S4 的回答顯示其用直觀的感覺去判斷角的大小，這與黃金泉（2003）的研