運用數學簡報系統實施兩次角度補救教學之歷程

研究者針對上述的迷思概念運用數學的簡報系統進行第一次補救教學活動，

分別是「角是什麼」、「量一量」、「算一算」。每個補救教學活動都是以 MathPS 來呈現教材內容，兼具圖像、動畫、互動按鈕式的功能，透過動畫的呈現及提問 及解說來澄清學生的迷思概念（利用量角器呈現角度大小與邊長的關係，運用量 角器呈現角度邊長轉動的圖像，動畫呈現兩個角度疊合的圖像，使用描圖紙的動 畫展示，角度的切割與再組合的動畫呈現），最後於活動結束後施以課後學習單 的填寫來驗收學習成效，並針對學生答題的錯誤歸因來修正 MathPS 簡報內容，

作為第二次補救教學的教材依據，以達到教學目標。茲就角度教學的補救教學活 動歷程分述如下：

一、「活動一：角是什麼」補救教學歷程探究 (一)活動內容說明

為了達到以 MathPS 融入中年級角度補救教學來提升學生的角度正確理解概 念，研究者設計補救教學活動一「角度是什麼」。依據角度的意義及組成，如何

生學習的印象，幫助學生將正確訊息轉換為長期記憶。課後學習單可以讓學生馬 上練習，老師也可以藉此了解學生學習情形，也能檢視學生學習的成效，並作為 修改或設計補救教學簡報內容來澄清學生迷思概念的依據，另一方面希望達到讓 學生了解角的定義、角的多重概念以及能依據此概念去比較不同角度的大小。

（二）活動一補救教學過程

研究者針對分析整理的迷思概念與錯誤歸因，設計補救教學簡報逐項予以解 釋說明，透過動畫的展現讓學生能觀看動畫的流程了解角度的定義，角度與邊長 及弧線的關係，角度比較大小的方法，角度疊合及分割再組合的概念以及描圖紙 的用法，茲將教學過程說明如下：

1.學生認為角的邊長越長，角就越大；邊長變短，角就變小。因此設計角度與邊 長長短關係的簡報，讓學生經由動畫展示邊長變長過程，理解角度大小與其邊長 長短並無關係的概念。

角度固定 角度固定延長角的邊長 角度固定，繼續延長角的邊長

圖4-8角度大小與邊長關係簡報

T：看看角的邊長變長了，角有沒有變大？

SS：有。

T：角的邊長變長，角為什麼變大？

SS：因為看起來比較大。

T：哪裡看起來比較大？

S3：開口。

T：你是指哪裡的開口變大？

S3：（用手，指角的兩邊末端端點間的距離）。

訪 TC1：20141128，訪 TC2：20141128

T：學生直覺認為角的邊長變長，角會變大，是因為角的開口看起來比較大。學生指的角開口是 指其邊長兩端點間的距離，因此邊長變長就誤認角的開口變大。這種迷思概念可能造成的原因可 能是學生對於角度大小的度數概念不了解。

TC1：也有可能是學生還沒有邊長等比例放大的概念，建議設計一個開口變大或變小的簡報來說 明開口變大及變小是因為角的邊長有轉動所導致。

TC2：或許可以將量角器的圖形帶入簡報中，讓學生知道邊長變長，角度大小還是一樣的概念。

今天發現學生對於角度開口的大小，原來是看角的兩邊末端端點間之距離來衡量。因為角的 邊長長度變長，相對的比例關係，角的兩邊末端端點間之距離也會跟著變大，因而導致學生誤認 角的開口變大了，所以會誤認角也變大了。為了澄清學生錯誤的觀念，採用諮詢教師的建議，分 別設計角度開口變大與變小的動畫以及角度邊長變長的動畫，並且將量角器也放入動畫中，讓學 生從量角器顯示的角度大小，來建立角度大小與角度邊長長短無關的概念，並且也讓學生知道角 度開口大小的意義是指角的一邊或兩邊有轉動的情形，角的一邊往外轉動代表角度的開口變大，

因此角度就會變大。而角的一邊往內轉動就會造成角的開口變小，因此角度就會變小，這可以經 由量角器上顯示的角度刻度得知，相信這樣有助於建立學生正確的概念。

將量角器引入角度邊長變長之圖像 圖像顯示邊長變長，角度並未改變

圖4-9角度邊長變長與角度大小之關係簡報

T：這個角是幾度？

SS：30 度。

T：老師把角的邊長變長，你們看這個角是幾度？

S3：還是 30 度。

S4：圖看起來比較清楚耶。

S5：我知道了，邊長變長角度還是 30 度，並沒有變大。

T：你說對了，我們把量角器放進來看就知道即使角的邊長變長，量角器量出來還是 30 度。角 度大小並沒有因為邊長變長而變大。

將量角器引入角度邊長變短之圖像 圖像顯示邊長變短，角度並未改變

圖4-10角度邊長變短與角度大小之關係簡報

T：老師把角的邊長變短，你們看這個角是幾度？

SS：還是 30 度。

T：所以角的邊長變短，角度大小有沒有改變？角度有沒有變小？

S5：沒有，還是一樣 30 度。

接下來研究者用動畫展現角度開口變大及變小的圖像，將角的一邊固定，另 一邊往外或往內轉動，加上量角器的輔助應用，讓學生藉由觀看邊的轉動了解角

動畫顯示原角度 30 度 角的一個邊往外側轉動至 50 度位置

圖4-11角度開口變大與角度大小之關係簡報

T：這個角上面的邊往左轉動，代表角的開口變大，你們看原來的角是幾度？

SS：30 度。

T：那麼角的一個邊長往左（外側）轉動使開口變大後的角度是幾度？

SS：變 50 度。

T：這個表示角的開口變大，角度就會變大。而角的開口變大是指角的一邊往外轉動造成的。

S4：角的開口變大原來是這樣！

T：沒錯，是角的一個邊往外轉動讓角度變大，其他同學知道了嗎？

SS：知道了。

動畫顯示原角度 60 度 角的一個邊往內側轉動至 50 度位置

圖4-12角度開口變小與角度大小之關係簡報

T：這個角上面的邊往角的裡面（內側）轉動，代表角的開口變小，你們看原來的角是幾度？

SS：60 度。

T：那邊轉動後，開口變小後的角度變幾度？

SS：變 50 度。

T：這個表示角的開口變小，角度就會變小。而角的開口變小是指角的一邊往內轉動造成的。

S4：我知道了，跟上面開口變大剛好相反。

S5：對耶！

T：那 S3 知道了嗎？

S3：(點頭)嗯。

諮詢教師觀察研究者上課情形提供了以下的建議，而研究者將予以採用，對 於往後的簡報設計能夠設計更符合學生能理解的圖像來幫助學生學習。

TC1：關於簡報顯示角度邊長轉動時的情形，建議將原角度的邊予以淡化處理保留下來，方便學 生比較前後角度的大小。

TC2：加入量角器可以讓學生清楚的看出邊長變長或變短對角度大小的關係，也可以讓學生知道 邊長轉動代表角度的開合情形，及其相關角度的大小關係，而原角度邊的淡化保留能讓學生有比 較的依據，會比較適當。弧線的呈現建議能有一定的彎曲程度，避免近乎直線來呈現。

2.學生判斷角的大小，受到弧線標示長短的影響，認為弧線越長，角就越大。研 究者認為學生的概念是受到弧線變長就認為開口變大，因此會誤認角度就變大。

因此研究者仿造上面角度與邊長關係的動畫，將角度以不同弧線來標示，並且將 量角器帶入圖中呈現，讓學生藉由圖像表徵理解弧線其實可以有非常多的標示位 置，但是這些標示位置所代表的弧線長短並不會影響角度的大小。

標示角度的弧線較短 標示角度的弧線變長 標示角度的弧線更長

圖4-13角度標示弧線長短與角度大小之關係簡報

T：這三個圖老師標示三種顏色的弧線來表示角度的大小，你們看三條不同長度的弧線都表示角 度多少度？

SS：30 度。

T：那就表示不管你們用哪一條弧線，量角器量出來都是 30 度？

S4：對，圖看起來比較清楚。

S5：弧線長短好像跟角度沒有關係。

T：你說對了，同一個角度不管標示該角度大小的弧線是長的或短的，角度大小都一樣，表示角 度的大小跟你標示的弧線長短沒有關係。S3 知道了嗎？

S3：恩。

3.學生看不懂題目意思，如學生不懂疊合及頂點對齊以及甲角的兩個邊都落在乙 角的裡面的意義；不知道什麼是描圖紙及其作用；不知道分割、再組合的意思。

研究者將一一用動畫簡報加上不同顏色來區分不同的角，來呈現學生上述未能理 解的概念，希望能幫助學生建構正確的觀念。

研究者先用動畫標示兩個角的頂點位置及重疊的一個邊，接著移動右邊紅色

動畫顯示比較大的紅色角涵蓋的區域，以及比較小的綠色角涵蓋的區域，讓學生 從動畫中明白什麼叫兩個角的疊合，並且從圖中知道哪一個角的開口比較大，就 可以知道哪一個角比較大。研究者教學時故意用「黏在一起」來表示重疊的概念，

這樣的用語比較貼近學生的生活經驗，學生比較容易理解。詳細的簡報動畫如下 圖所示：

說明角疊合的要領 頂點及一個邊重疊 圖像動畫顯示兩個角 的大小

清楚顯示兩個角的包 含關係(大小關係)

圖4-14兩個角度疊合的動畫簡報

T：所謂兩個角疊合是指兩個角的頂點對準黏在一起，兩個角的一個邊也對準黏在一起。

S4：老師，是圖上綠色的邊和粉紅色的邊嗎？

T：對，你們看動畫，粉紅色角的頂點往左移到綠色角的頂點上，它的下面的邊也移到綠色角的 一個邊上，這樣稱為角的疊合，了解了嗎？

SS：了解。

T：你們看角的另一個邊，哪一個角的邊被包在裡面？

S5：綠色的。

T：所以你們說哪一個角比較小？

SS：綠色的。

T：兩個角的疊合可以用來比較這兩個角的大小，方法就像剛剛動畫顯示的方式，知道了嗎？

T：兩個角的疊合可以用來比較這兩個角的大小，方法就像剛剛動畫顯示的方式，知道了嗎？