加權配置法 (Weighting Sensors Placement, WSP )

模態頻率中，影響一棟結構物最大的模態頻率，往往是前面幾個模態頻率，

影響最大，因此本研究在這小節討論對前面幾個模態進行加權分析配置，為了討 論模態加權比重，這邊以有效模態質量(Effective Modal Mass)來分析，首先先計 算模態參與係數(Modal Participation Factor) ：

(4.21)

其中 Mi為第 i 個模態質量， i為第 i 個模態形狀(Modal Shape)，s 為空間變數 (Spatial Variation)。得到模態參與係數後，計算有效模態質量：

(4.22) 依耐震設計規範裡提到，有效模態質量總和需超過 90%：

(4.23)

重新檢視本章節所提之5 個模型，其有效模態質量如表 4-13，根據表 4-13，

當樓層越高時，其第一模態比重會越來越低，而第二、第三模態則會越來越高，

以本文所描述之五個模型，前三模態累加起來均超過 90％，且第一模態比重仍

最重，因此本文假設第一模態頻率權重為 1，第二模態頻率為 0.1，第三模態頻 率為0.03，其餘的模態頻率皆為 0.001 進行分析，其最佳化配置穩態圖如圖 4-16 至圖4-20，模態頻率表為表 4-14 至 4-18。

Γ_i 1, 2, ,

T i i

i

si m

=f = …

Γ M f

2

i i

M Γ

2

2 1

i i 90

m i i i=

å

M Γ

M Γ %

表4-13. 有效模態質量表

mode 5F 10F 15F 20F 30F

1st 0.88 0.85 0.82 0.80 0.77 2nd 0.09 0.09 0.09 0.11 0.12 3rd 0.02 0.03 0.04 0.03 0.05

圖4-15. 5 層樓加權配置法之穩態圖

圖4-16. 10 層樓加權配置法之穩態圖

圖4-17. 15 層樓加權配置法之穩態圖

圖4-18. 20 層樓加權配置法之穩態圖

圖4-19. 20 層樓加權配置法之穩態圖

表4-14. 5 層樓加權配置模態頻率誤差表

1^st 2^nd 3^rd 4^th 5^th Avg.(1^st -5^th ) Modal frequency (Hz) 3.005 8.771 13.827 17.762 20.259

Reference frequency (Hz) 3.006 8.724 13.781 17.539 20.224 OSP[1,4] (Hz) 3.012 8.75 13.698 17.684 19.895

OSP Error(%) 0.23 0.24 0.94 0.44 1.80 0.73 WSP[1,2] (Hz) 3.003 8.756 13.734 17.529 20.743

WSP Error(%) 0.07 0.18 0.67 1.31 2.39 0.92

表4-15. 10 層樓加權配置模態頻率誤差表

1^st 2^nd 3^rd 4^th 5^th 6^th 7^th 8^th 9^th 10^th Average

Modal frequency (Hz) 1.578 4.698 7.714 10.557 13.165 15.478 17.445 19.023 20.176 20.878 － Reference frequency (Hz) 1.580 4.695 7.708 10.510 13.094 15.369 17.319 19.008 20.267 21.142 － OSP [2 5] (Hz) 1.579 4.694 7.703 10.514 13.045 15.327 17.33 18.655 19.866 20.522 － OSP Error (%) 0.06 0.09 0.14 0.41 0.91 0.98 0.66 1.93 1.54 1.71 0.84 WSP[1,7] (Hz) 1.580 4.696 7.706 10.499 13.053 15.367 17.285 18.830 21.890 23.416 － WSP Error (%) 0.13 0.04 0.10 0.55 0.85 0.72 0.92 1.01 8.49 12.16 2.50

表4-16. 15 層樓加權配置模態頻率誤差表(前 10 個模態)

1^st 2^nd 3^rd 4^th 5^th 6^th 7^th 8^th 9^th 10^th Avg.(1^st -10^th ) Modal frequency (Hz) 1.052 2.938 4.923 6.854 8.58 10.444 11.925 13.523 14.775 15.986 － Reference frequency (Hz) 1.054 2.933 4.92 6.826 8.55 10.355 11.914 13.491 14.863 15.783 － OSP[10,15] (Hz) 1.051 2.939 4.906 6.838 8.529 10.428 11.851 13.426 14.578 15.846 － OSP Error(%) 0.10 0.03 0.35 0.23 0.59 0.15 0.62 0.72 1.33 0.88 0.50 WSP[12,14] (Hz) 1.053 2.933 4.933 6.831 8.572 10.456 11.841 13.437 14.632 16.183 －

WSP Error(%) 0.09 0.16 0.20 0.34 0.09 0.26 0.71 1.64 3.97 4.23 1.17

表4-17. 20 層樓加權配置模態頻率誤差表(前 14 個模態)

(Hz) 1^st 2^nd 3^rd 4^th 5^th 6^th 7^th

Modal frequency (Hz) 0.773 2.147 3.653 5.037 6.429 7.815 9.048 Reference frequency (Hz) 0.773 2.156 3.646 5.036 6.388 7.783 9.015 OSP [1,13] (Hz) 0.773 2.142 3.64 5.031 6.432 7.812 8.981 OSP Error(%) 0.03 0.26 0.34 0.11 0.05 0.04 0.74 WSP[11,13] (Hz) 0.773 2.153 3.643 5.048 6.418 7.072 9.006

WSP Error(%) 0 0.30 0.28 0.21 0.18 9.51 0.46

(Hz) 8^th 9^th 10^th 11^th 12^th 13^th 14^th Avg.(1^st -14^th ) Modal frequency (Hz) 10.39 11.472 12.66 13.671 14.556 15.516 16.146

Reference frequency (Hz) 10.224 11.537 12.699 13.554 14.176 15.245 15.858 OSP [1,13] (Hz) 10.359 11.437 12.596 13.59 14.408 15.447 16.123

OSP Error(%) 0.3 0.31 0.50 0.59 1.02 0.45 0.15 0.35 WSP[11,13] (Hz) 10.353 11.483 12.646 13.4777 14.4115 15.4078 15.9761

WSP Error(%) 0.36 0.10 0.11 1.41 0.99 0.70 1.05 1.12

表4-18. 30 層樓加權配置模態頻率誤差表(前 21 個模態)

(Hz) 1^st 2^nd 3^rd 4^th 5^th 6^th 7^th

Modal frequency (Hz) 0.488 1.315 2.174 3.061 3.926 4.807 5.55 Reference frequency (Hz) 0.492 1.321 2.172 3.078 3.926 4.841 5.582

OSP [19,27] (Hz) 0.493 1.321 2.172 3.072 3.92 4.798 5.569 OSP Error(%) 0.98 0.41 0.09 0.33 0.17 0.18 0.33 WSP[21,26] (Hz) 0.492 1.321 2.172 3.058 3.888 4.798 5.538

WSP Error(%) 0.82 0.41 0.09 0.11 0.97 0.19 0.23

(Hz) 8^th 9^th 10^th 11^th 12^th 13^th 14^th

Modal frequency (Hz) 6.442 7.236 8.005 8.746 9.45 10.241 10.823 Reference frequency (Hz) 6.409 7.22 7.925 8.842 9.409 10.073 11.029 OSP [19,27] (Hz) 6.406 7.225 7.886 8.79 9.457 10.135 10.832 OSP Error(%) 0.57 0.15 1.5 0.51 0.07 1.04 0.08 WSP[21,26] (Hz) 6.452 7.206 7.989 8.720 9.427 10.226 10.731

WSP Error(%) 0.16 0.41 0.20 0.30 0.24 0.14 0.85

(Hz) 15^th 16^th 17^th 18^th 19^th 20^th 21^th Avg.(1^st-21^th) Modal frequency (Hz) 11.492 12 12.674 13.091 13.576 13.901 14.099

Reference frequency (Hz) 12.037 12.266 12.68 13.296 13.98 14.334 15.293 OSP [19,27] (Hz) 11.408 11.715 12.589 13.21 13.883 14.371 15.738

OSP Error(%) 0.74 2.43 0.68 0.90 2.21 3.27 10.41 1.29 WSP[21,26] (Hz) 11.415 11.939 12.854 13.729 14.646 15.128 15.740

WSP Error(%) 0.67 0.51 1.42 4.87 7.88 8.83 11.64 1.95

從5 層樓模型可看出，前三個模態加權後經最佳化配置分析得到最佳配置位 置為第1 層與第 2 層樓，而平均誤差為 0.92％，較原本的 0.73％高；10 層模型 最佳配置為第1 層與第 7 層，平均誤差為 2.50％；15 層為第 12 層與第 14 層，

前 10 個模態頻率平均誤差為 1.12％；20 層模型為第 11 層與第 13 層樓，前 14 個模態頻率平均誤差為 1.13％；最後 30 層樓最佳配置樓層為第 21 層樓與第 26 層樓，其前21 個模態頻率平均誤差為 1.95％。

從此五層樓可以得知最佳配置後的模態頻率與理論模態頻率平均誤差皆較 原本最佳配置法來得大。由於假設理論模態頻率為未知，因此加權法是針對參考 模態頻率其誤差進行加權。從這5 張表可以看出，前 3 個加權較大的模態都蠻接 近參考模態頻率且較原本配置法來的精準，整體來看卻沒有原本的最佳配置來得 準確。由於現地量測並無法得到真實模態頻率，因此參考模態頻率做為精準值比 較。

從上面驗證，可以明確知道，加權法能大幅增加前面模態頻率的準確性，若 要看整體頻率準確性的話，原本的配置方法較為精準，因此本文認為兩種方法都 有其優點也有其缺點，可以視情況以及需求選擇使用最佳配置法或加權配置法兩 種方法，已求得其最佳頻率解。

4.5.3 ^{模態振型配置法} (Modal Shape Sensor Placement,