第二章 系統識別方法
2.8 三次樣條內插法
2.8.2 CSI 可行性探討
先假設一個10 層樓之剪力構架，其系統參數如表 2-1，給定白噪音外力進行 Newmark-β 得各樓層時間歷時反應，取 1、4、7、10 層樓時間歷時反應並內插出 2、3、5、6、8、9 層樓時間歷時反應，取 Newmark-β 得到之 5 層樓時間歷時反 應與內插出5 層樓之時間歷時反應，兩者反應如圖 2-3，再將此兩者時間歷時進 行FFT 分析，如圖 2-4 與圖 2-5。從圖 2-3 至圖 2-5 可看出內插法與 Newmark-β 得到之時間歷時其頻率相同。
(
"1 ")
"
" "
1 1
6 2 2
6
i i
i
i
i i
i i i i i i
i
i
i i
s s
a h
b s
s s h s h s
c h
d s
+
+ +
ì
-ï =
ïï
ï =
íï + +
ï =
-ïï =
î
( ) ( ) ( )
, , , , ,i i i i i i
u h t u h t u h t!! !
( )
,i i
u h t!! u!!i+1
(
h ti+1,)
圖2-3. Newmark-β 法之時間歷時與其內插之時間歷時比較(藍色為 Newmark-β 之理論時間歷時，紅色虛線為內插之時間歷時)
圖2-4. Newmark-β 法之時間歷時之 FFT 頻率域圖
圖2-5. 內插法之時間歷時之 FFT 頻率域圖
2.8.2.1 參考感測器
進而確定 CSI 之可行性，研究先需探討需取得一棟結構物至少幾個真實值 得到較為精準的系統參數。由上述可知，當真實值越多其內插出之虛擬值會越近
似真實值；本文採用上述提之SSI 及穩態圖進行判斷。
假設一棟5 層樓的剪力構架，外力假設為白噪音，將其系統參數及白噪音輸 入至 Newmark-β 法，得到 5 層樓模型每一層之加速度反應時間歷時，先只取 4 層樓，分別為1、2、4、5 層樓之時間歷時，假設其時間歷時為真實時間歷時，
並使用CSI 內插出其他樓層時間歷時反應，將此 5 層樓時間歷時放入 SSI 分析可 得到其穩態圖，將此穩態圖之模態頻率擷取出來與理論解進行比較。
接下來再只取三層(1、3、5 層樓)加速度時間歷時、二層(1、5 層樓)加速度 時間歷時以此反覆計算，得到各平均誤差。再來改變模型6 層模型、7 層模型、…、
10 層模型、15 層、20 層、30 層模型，所取得之樓層時間歷時分別為 2 層、3 層、…、15 層、20 層分析，其平均誤差表如表 2-6。
表2-6. 參考感測器與樓層數模態頻率平均誤差關係表
Error(%) 5 6 7 8 9 10 15 20 30 3 0.17 0.19 0.29 0.34 0.33 0.59 5.57
4 1.24 6.49
5 1.16 1.85 10.58
6 1.42 6.93
7 2.572
8 2.11
從表2-6 中可看出 10 層樓以下只需取 3 層時間歷時並內插出其虛擬時間歷時，
進行SSI 分析並得穩態圖後，得到其模態頻率平均誤差皆小於 1%。由於中高層 樓其高模態頻率本不易識別，無論是傅立葉快速轉換，還是任何系統識別法，在 中高模態識別都難以察覺，其識別出之頻率與理論模態頻率誤差甚大，將其加入 平均後，會大幅增加平均誤差百分比，且高模態頻率用途不大且準確性低，故本 文將10 層樓以上之建築物構架只取 7 成模態頻率，換言之 15 層取 10 個模態頻
率、20 層取 14 個模態頻率及 30 層取 21 個模態頻率，再次進行分析即可得表 2-6。
從表2-6 中，原本誤差極大之 15 層、20 層及 30 層剪力構架，因只取 7 成態頻率 進行比較，可以看出其平均誤差已經大幅降低至1%左右，歸納出樓層數除以 5+1 為最少取樣樓層時間歷時，如圖2-6。在真實現地量測時，此取樣樓層需設置感 測器，稱參考感測器。
圖2-6. 樓層數與參考感測器關係圖 2.8.2.2 內插與外插
上小節提至最少配置之參考感測器數量，由於參考感測器不可隨意配置，本 小節探討參考感測器配置時內插與外插的差異。本節進行一個簡單的現地實驗，
實驗場地為國立臺灣大學土木研究大樓，本大樓全部有9 層樓。由於此大樓 2 樓 設置隔震層，因此將速度規設置於3、5、7、9 層共四層樓，同時進行微振量測，
其取樣頻率為200Hz。當量測完成後，先假定七樓並未設置感測器，由 3、5、9 樓內插得到7 樓時間歷時，這裡稱 7 樓虛擬時間歷時，並與真實量測到之 7 樓時 間歷時進行比較，如圖2-7。圖中藍色實體線為真實感測器所量測之時間歷時，
而紅色虛線為內插出來之7 樓時間歷時。
圖2-7. 以台大土木研究大樓 3 樓、5 樓與 9 樓對 7 樓進行 CSI 內插並與 7 樓真 實量測之時間歷時比較圖(藍色實線為真實 7 樓量測時間歷時，紅色虛線為 7 樓
內插時間歷時)
同樣將上述量測之四層樓時間歷時取3、5、7 層樓，使用 CSI 法進行外插得 9 樓虛擬時間歷時，並將量測之 9 樓時間歷時互相比較並繪製於圖 2-8，可以看 出圖2-7 的紅色虛線較圖 2-8 紅色虛線貼近藍色實線，為了確定內插法較外插法 精準，再次進行相關係數比較，相關係數公式如下：
(2.52)
(2.53)
其中，xi, yi為資料點， , 為資料點平均，將真實與虛擬時間歷時帶入，七
( )( )
1
1 1
n
xy i i
i
S x x y y
n =
= -
--
å
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
xy i
n n
x y
i i
i i
x x y y S
S S x x y y
t =
= =
-
-= =
-
-å
å å
x y
樓內插虛擬之時間歷時與真實時間歷時相關係數為0.943，而外插 9 樓虛擬時間 歷時與真實9 樓時間歷時之相關係數為 0.921，從這可以看出內插法較外插法來 的精準。
圖2-8. 以台大土木研究大樓 3 樓、5 樓與 7 樓對 9 樓進行 CSI 外插並與 9 樓真 實量測之時間歷時比較圖(藍色實線為真實 9 樓量測時間歷時，紅色虛線為 9 樓
外插時間歷時)
為了確保經 CSI 處理後之虛擬時間歷時可以使用，將 7 樓真實時間歷時與 虛擬 7 樓時間歷時分別進行 FFT 分析，其頻率域圖分別為圖 2-9 與圖 2-10。從 圖 2-9 與圖 2-10 上可看出兩者頻率一樣。故本文將未知樓層反應皆用 CSI 得到 其時間歷時，以便得到趨近於完整的系統，能更加準確地取得系統參數。
圖2-9. 真實量測 7 樓速度時間歷時圖與 FFT 圖(上：時間歷時圖，下：頻率域 圖)
圖2-10. 內插 7 樓速度時間歷時圖與 FFT 圖(上：時間歷時圖，下：頻率域 圖)