頻率分解法

在20 層樓模型中，平均誤差與最大誤差都與理論值相差甚大， 比對 FFT 可 以發現第三模態上 FFT 並無該頻率出現，而 SSI 判斷則有零星幾個極點出現，

如圖4-10，導致 k-means 在判斷時，誤判了頻率，也間接的影響最後配置成果。

為了修正此問題，本研究結合了頻率分解法(Frequency Decomposition Domain 簡 稱FDD)。

FDD 能改善過往之模態識別的缺點，並識別出模態頻率與模態形狀，有利 於頻譜能量分析，並解決非線性結構系統的識別問題。用此方法作為SSI 的輔助，

比對SSI 之穩態圖中，每一個穩定極點結果是否與 FDD 頻譜圖相符，確定分析 之正確性，並移除一些穩態圖中，無法判斷之諧和模態，減少K-means 演算法的 誤判，提高最佳配置位置之精準度。

4.4.2.1 FDD 理論及公式探討

Rune & Palle (2001) 提出經由檢測到之結構輸出反應得到結構模態係數，從 此假設輸入與輸出訊號分別為x(t)與 y(t)，但輸入訊號難以得知，因此假設 x(t)為 未知數，一個n 自由度系統之隨機過程，其外力輸入和輸出以頻率域表示為：

(4.13) 其中 為外力輸入訊號之能量譜密度(Power Spectral Density 簡稱 PSD)，

是一個 的矩陣，r 為所假設之輸入訊號通道數。 為結構測得之輸出訊

號能量譜密度，其為 之矩陣，m 為輸出訊號通道數。H 為結構頻率反應函

數(Frequency Response Function 簡稱 FRF)。

FRF 用各模態成組成表示：

( ) ( ) ( ) ( )

yy w = w xx w w

G H G H^T

( )

xx w

G

r r´ Gyy

( )

w

m m´

(4.14)

其中n 為模態個數， 為模態阻尼比， 與 依序為無阻尼與含有阻尼的第k

個極點之角頻率， 為各模態之極點，Rk為 殘差矩陣(Residue Matrix)：

(4.15) 其中 為第 k 個模態形狀向量， 為第 k 個模態參與向量(Mode Participation

Vector)。當所有輸出點位皆做為參考時，其 與 維度相同，可以將 G 可被改 寫成:

(4.16)

其上標H 為共軛轉置符號。當輸入固定為零平均之白噪音時，其 PSD 為定值，

且PSD 經短時傅立業轉換(Short Time Fourier Transform 簡稱 STFT)處理後，外 力輸入訊號之Gxx可表示為正實數，將其以Heaviside Partial-Fraction 展開定理分 解後，可得輸出PSD 之殘差形式：

(4.17)

其中Ak為第k 個極點 輸出訊號的PSD 之殘差矩陣，將其展開為:

(4.18)

令 ，可將上是改寫成

( )

1 n

k k

k i k i k

w = w l w l

= +

-

-å

^{R R}

H

(

^{1 2}

)

^1/2

k k k i dk k k i k k

l

= -

x w

+

w

= -

x w

+

w

-

x

xk w_k w_dk

lk Γ_k

T k =fk k

R Γ

fk Γ_k

fk Γ_k

( )

1 1

T H

n n

k xx k xx s s

yy

k s i k i k i s i s

w = = w l w l w l w l

æ öæ ö

=

åå

çè- -^{R G} +- -^{R G} ÷çøè- -^R +- -^R ÷ø G

( )

1

H T

n

k k k k

yy

s i k i k i k i k

w ⁼

å

₌ w l^A- ⁺- -w l^{A +}- -w l^{A +}- -w l^A G

lk

1

2 2

n s s T

k xx k

s k s k s

T H T

k xx k k k xx k k

k

k k k k

l l l l

f f

x w x w

=

æ ö

= çè- - +- - ÷ø

Þ @ =

å

^{R R}

A G R

R G R Γ G Γ

A

H / 2

k k xx k k k

d = Γ G Γ x w

T k @dk k kf f A

(4.18)

將前式簡化成：

(4.20)

再輸入外力為白噪音情況下，可得頻譜矩陣之模態分解結果 (羅俊雄等, 2018)。

4.4.2.2 修正結果

經由FDD 法搭配修正，如圖 4-11，大幅修正參考模態頻率後，再次進行基 因演算法以及最佳化配置，由於在中高模態頻率方面，FDD 法也不易察覺，因此 本研究修正成前 1/2 個模態頻率，將參考模態頻率與 FDD 互相比較，其差異小 於5%，其模態頻率值以參考模態頻率為主，反之以 FDD 為主，其餘找到之模態 頻率為參考模態頻率，進行分析。再次重新針對20 層樓之剪力構架重新進行分 析，經過修正頻率後，穩態圖如圖4-12，模態頻率表如表 4-9。

( )

1

T T H H

n

k k k k k k k k k k k k

yy

s k k k k

d d d d

i i i i

f f f f f f f f

w = w l w l w l w l

Þ = + + +

- - - -

-å

G

( )

1

T T

n

k k k k k k

yy

s k k

d d

i i

f f f f

w

å

₌ w l- ⁺- -w l

G !

表4-9. 20 層樓已修正最佳配置模態頻率誤差表

(Hz) 1^st 2^nd 3^rd 4^th 5^th 6^th 7^th 8^th 9^th 10^th Modal frequency (Hz) 0.773 2.147 3.653 5.037 6.429 7.815 9.048 10.390 11.472 12.660 Reference frequency (Hz) 0.773 2.156 3.646 5.036 6.388 7.783 9.015 10.224 11.537 12.699 OSP [1,13] (Hz) 0.773 2.142 3.640 5.031 6.432 7.812 8.981 10.359 11.437 12.596 Error(%) 0.03 0.26 0.34 0.11 0.05 0.04 0.74 0.3 0.31 0.50

(Hz) 11^th 12^th 13^th 14^th 15^th 16^th 17^th 18^th 19^th 20^th Avg.(1^st -14^th ) Modal frequency (Hz) 13.671 14.556 15.516 16.146 16.718 17.233 17.826 19.195 20.246 20.895

Reference frequency (Hz) 13.554 14.176 15.245 15.858 16.134 16.909 17.490 18.608 19.075 20.999 OSP [1,13] (Hz) 13.590 14.408 15.447 16.123 16.235 16.934 16.717 18.178 19.656 21.748

Error(%) 0.59 1.02 0.45 0.15 2.89 1.74 6.22 5.30 2.91 4.08 0.35

圖4-10. 20 層穩態圖與 FDD 圖

圖4-11. 20 層樓修正後最佳配置之穩態圖

從表中可知，原本的最佳配置樓層為14 層與 18 層，修正後之最佳配置樓層 為1 層與 13 層，平均誤差從原本的 17.05％降至 0.35％，最大誤差於第 12 個模 態頻率，有1.02％的誤差存在。

當參考模態頻率不正確時，會影響到整體最佳配置位置，也會影響整體的得

到之結構模態頻率，因此在低模態方面會搭配 FFT 進行辨識，需先求得準確之 參考模態頻率，才可得較精準之最佳配置頻率，由於此法能修正錯誤，因此也用 於其他樓層模擬上。

將FDD 重新檢核 5 及 10 層樓，其參考模態頻率並無差異，得其結果相同，

後續分析接會與FDD 結合分析。

在文檔中 建築物微振量測之最佳感測器配置 (頁 79-84)