說明「和較名義」之後，下個大標題為「弦實兼勾實股實圖」，內容即為梅文鼎 利用兩幅「弦實兼勾實股實圖」來說明勾股定理。
梅文鼎對勾股定理第一種證明過程：
圖 3.1 重現「 弦實兼勾實股實圖」原圖
甲乙丙勾股形，甲乙為勾、甲丙為 股、丙乙為弦。甲寅方為勾實，丙巳 方為股實，丙庚方為弦實。丙庚弦 實內，兼有甲寅勾實、丙巳股實。
144 詳細證明過程參見 37 頁。
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證明如下：
試自弦方之乙角作乙子線與甲丙股平行而等。又自丙角作丙丁線，與甲乙勾平行而 與甲丙股等。又自辛角作辛癸線與甲丙股平行。自庚作庚戊線與甲乙勾平行。而皆 與甲丙股等。則丙子、辛丁、癸庚、戊乙四線。必皆與甲乙勾等。而成乙子丙、丙 丁辛、辛癸庚、庚戊乙四勾股形于弦實內，皆與原設之甲乙丙形等。於是移丙丁辛 形於乙壬庚位，移辛癸庚形於甲乙丙位。則丙庚大方變成甲丙丁癸庚壬磬折形。末 從癸巳截之，成大小二方形。則丙巳大方即股實，癸壬小方即勾實，是一弦實分為 勾股二實也。若先以丙已股實，癸壬勾實，聯為磬形，而移乙壬庚勾股形於丙丁辛 之位，移甲乙丙勾股形於癸辛庚之位，即復成丙已弦實矣。
筆者將梅文鼎證明的過程用圖解的方式呈現如下：
圖 3.2
圖 3.3 梅文鼎第一種勾股定理證明分解圖
首先證明弦實為股實、勾實相加……(1)，也就是黃色正方形面積等於粉紅加上綠色 正方形(圖 3.2 左二)。已知弦實出發，做癸辛=乙子//甲丙(紅線)，戊庚=丙丁//甲乙(綠 線)，則癸辛=乙子=戊庚=丙丁=股， 且△乙子丙=△丙丁辛=△辛癸庚=△庚戊乙都與 原來△甲乙丙相同，(圖 3.3)接著移△辛癸庚到△甲乙丙(紅)、△丙丁辛到△乙壬庚(藍)，
從巳癸切開恰好形成兩個正方形，一為勾實，一為股實；(注意 巳癸庚壬即與綠色 部分同。)接著梅文鼎倒著論述，已知勾實與股實，做與(1)中逆向的移動動作，移△乙
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壬庚到△丙丁辛(藍線)，△甲乙丙到△辛癸庚 (紅線)，則組成弦實，故股實、勾實相加 為弦實……(2)，於是，綜合(1)、(2)完整得到勾股定理的證明。
資料顯示梅文鼎生前未曾讀到完整的《九章算術》及劉徽注，但是，上述第一種證 明過程與趙爽以及劉徽的方法相似。然而，後來李銳、李潢，以及華衡芳等人刻意恢復 劉徽的原證而設計出各式各樣的「青出朱入圖」，應該說是受到了梅文鼎的啟發。
現在讓我們來看看青出朱出入圖，三國時代魏國的數學家劉劉徽在證明勾股定理時，
也是用以形證數的方法，只是具體的出入移補的過程略有不同．劉徽的證明原也有一幅 圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各 從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪．開方除之，即弦也．」後人根據這段文字補 了一張圖。大意是：三角形為直角三角形，即 ABC，以勾為邊的正方形為朱方，以股 為邊的正方形為青方，以盈補虛的過程將朱方與青方合為弦方。下圖中，注意進行兩個 動作，即將右上角粉紅色勾股形與右下角藍色勾股形移動則可得證。
圖 3.4 後人復原劉徽之青出朱入圖
(1) 梅文鼎對勾股定理第二種證明過程：
甲乙丙勾股形，乙丙弦，其冪即實也。戊乙丙 丁，甲丙股，其冪甲壬辛丙。甲乙勾，其冪乙 庚癸甲。論曰：從甲角作已甲五（應作：丑）
與乙丙弦成十字。分弦冪為大小兩長方，一為 子丙大長方，準股冪；一為戊丑小長方，準勾冪。
試移甲丑丙勾股形，補已子丁虛形，又移已壬
甲勾股形補丁丙辛虛形，則子丙大長方即移為甲 圖 3. 5 「弦實兼勾實股實」圖145
145 梅文鼎，《勾股舉隅》中「弦實兼勾實股實」圖
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辛股冪。次移甲丑乙勾股形補已子戊虛形，再移已戊卯勾股形補戊癸寅虛形。末移 戊卯甲癸形補癸寅乙庚虛形，則戊丑小長方即移為庚甲勾冪矣。
筆者將梅文鼎證明的步驟列點並圖解如下：
圖 3.6 梅文鼎第二種勾股定理證明分解圖
A. 以直角三角形甲乙丙的斜邊乙丙為邊長作出 乙丙丁戊，其面積為弦方(乙丙2)，
過甲點作乙丙
子丑，把正方形分割成兩個長方形。一個是丁子丑丙，其面積等於 股方(甲丙2)，另一個是 子戊乙丑，其面積等于勾方(甲乙2)。(圖 3.6 左一)B. 把直角三角形甲丑丙、甲丑乙割下，分別移到巳子丁，巳子戊處，並過甲點作
甲壬 巳丁。(圖 3.6 左二、右二)
C. 過戊點作戊卯
巳戊，把直角三角形巳壬甲、巳戊卯割下，分別移到丁辛丙、戊癸 寅處。(圖 3.6 右二)D. 把梯形戊卯甲癸割下，移到癸寅乙庚處。這樣就得到 甲丙辛壬，其面積為甲丙2。 甲癸庚乙，其面積為甲乙2。所以勾方+股方=弦方。(圖 3.6 右一)
從以上的文字和圖形不難看出，巳戊 戊癸 甲乙
，
2巳戊 戊癸 壬甲 甲丙 甲乙。若仔細去推敲，梅文鼎的第二種證明只證明了股長 是勾長的兩倍的直角三角形。 但是其實梅文鼎的做法不失一般性的可以證明
2甲丙 甲乙的情形，下面我們將分成甲丙<2甲乙、甲丙>2甲乙兩種情形討論：146
146 參見朱哲，〈 梅文鼎對勾股定理的證明及其與歐幾里得方法的比較〉，收入《中學數學雜誌》第 6 期(200
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(A) 當甲丙<2甲乙時，同上一樣進行步驟(1)(2)(3)。
步驟(4)把直角三角形巳戊卯割下，移到戊 OP 處。
步驟(5)把梯形戊卯甲癸割下(特別注意，甲癸紅線是分割時重要的輔助線)，(圖 3.6) 移到OP乙庚處，同樣把大正方形 乙丙丁戊轉化為兩個小正方形 甲丙辛壬、
甲癸庚乙。
圖 3.8
(B) 當甲丙>2甲乙時，同上一樣進行步驟(1)(2)(3)。
步驟(4)把直角三角形巳戊卯割下，移到戊 OP 處。
步驟(5)針對甲癸綠線把梯形戊卯 SR 割下，移到OP寅癸處。(其中卯SQ甲)(圖 3.8 中)，把梯形 RS甲癸 割下，移到癸寅乙庚處。
年)，頁 58-61。
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同樣也把大正方形 乙丙丁戊轉化為兩個小正方形 甲丙辛壬、 甲癸庚乙。
這樣，我們給出了梅文鼎第二種勾股定理的完整證明。依照梅文鼎對於勾股形的其 他相關題目證明極其精準仔細，筆者認為梅文鼎在第二種證明中，沒有討論勾股形的一 般性，很有可能是因為他沒有考慮到甲丙
2甲乙的情形，以至於在證明上來說不夠嚴 謹。歷史上勾股定理的證明方法多達四百餘種，下面我們選取西方最有代表性也是保存 最早的歐幾里得證法作一介紹，並與梅文鼎方法進行比較。歐幾里得對畢氏定理的證明 在幾何原本中，歐幾里得利用了三角形的全等及面積關係等知識進行演繹推理，證明畢 氏定理。筆者說明其證明並圖解之：
圖 3.9 歐幾里得勾股定理證明分解圖
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