幾何原本第六卷第 27 題167主要在說： D 為 BC 的中點， FD / /CE ，
S
在BF上為動 點，最終證明ECDF> HCGS
。
166 原圖參見洪萬生等，《當數學遇見文化》(台北：三民出版社，2009 年)，頁 168。
167「梅勿庵先生曆算全書」、「梅式叢書輯要」兩刊本皆誤作卷三 27 題 ，劉鈍，〈《幾何補編》提要〉，收 入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南教育出版社，1993)，頁 519-520。
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圖 3.4 5 歐幾里得證明的圖 圖 3.46 重現「解幾何六卷第二十七題」題原圖
《幾何通解》「解幾何二卷第五題」內文：
甲乙丙勾股形。以乙丙勾折半於巳。作巳戊線與股平行。平分甲丙弦於戊。又作 戊庚線與勾平行。平分甲乙股於庚。成己庚長方。此即半勾乘半股。為勾股積之 半也 凡勾股形內依正角作長方。惟此為大。若於形內。別作長方皆小。皆不及勾股半 積 也 。
今任作卯丁形。則小於巳庚。何以知以。曰。試作丑戊線與丙巳半勾平形而等。
又引辰壬至寅。引壬卯至午。即顯壬丑形。與壬巳形等。又乙辰原與巳寅等。則 以巳寅加壬丑。而成丑午壬辰巳之磬折形。即亦與卯丁形等矣。夫磬折形在丑巳 方形內。而缺午辰之一角。即相同磬折之卯丁形。以較巳庚半積方形。亦缺戊未 之一角也。葢丑巳等巳庚。而所缺之午辰小方。亦等戊未也。準此言之。即凡作 長方於丙戊界內者。皆小於巳庚半積形也。
又論曰若壬角在弦線上。去戊角更遠。則所缺之午辰小方亦更大。而其形皆相似。
而體勢等。辛角亦然。
筆者對證明過程以圖表示並說明之：
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梅文鼎從直角三角形甲乙丙出發，將勾、股、弦的中點連線成己庚長方，此時庚丙 長方其實就是當
ECBK
為矩形的時候(圖 3.46)，梅文鼎將問題集中在勾股形上，辰為戊丙上的動點，由辰點決定 卯丁，
欲證明： 巳庚> 卯丁
因為， 乙辰＝ 巳寅(黃色)， 壬丑 ＝ 壬巳 (綠色)，
卯丁 丑午壬辰巳= (謦折形)(黃加綠)，所以
< + =
卯丁 丑午壬辰巳 戊壬 巳庚(粉紅面積<藍色面積)。
梅文鼎在「又論曰」指出，如果壬離戊愈遠，則灰色面積愈大，其中灰色部 分皆會相似。表示梅文鼎在解題過程中參雜西學傳入的「相似」概念，也不失一般 性討論辛點的移動情形造成面積的改變，其實就跟壬一樣，從這裡也可以知道其對 數學的研究正處於為從程序性到概念性的過渡時期168，所以此類的研究可說是中學 與西學兼併。
傳統幾何對勾股形(直角三角形)裡面容方容矩形的論述有不少精彩的結論，例如
「勾中容橫股中容直」的結論，梅文鼎受到幾何原本的啟發，進一步討論對勾股內容矩 形面積的極值問題，本題中梅文鼎即討論勾股形內容最大矩形。得出結論：勾股行內容 矩形的最大面積是勾股形面積的一半，且為以三邊中點與直角頂點連接而成的矩形。相 較於今日中學，類似題目的解法多半為列出二次函數以求極值。與梅文鼎利用圖形切割 移補的方式解題，確實一目了然，避免較複雜的代數計算。
168 參見洪萬生，〈 傳統中算家論證的個案研究〉，收入《科學教育學刊》第十五卷第四期(2007 年)，頁 357-385。
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3.2.2 解黃金分割問題
全線： AC 、小分：AB
大分： BC 而 AB=BC= 5 1 BC AC 2
理分中末線，又稱中末比、中末分割、中外比，這些名稱源於徐光啟，就是 20 世 紀所稱的黃金分割，也稱黃金律、黃金比。只把一條線分成大小兩分，使得小分與大分 之比等於大分與全線段(全線)的比例，而其比例 5
2
1，即通常所說的 0.618，原為古希 臘畢達哥拉斯學(The Pythagoreans)派提出。公元 1609 年，徐光啟(1562-1633)和利瑪竇 (1552-1610)合譯《幾何原本》前六卷，將著名的「黃金分割」法傳入我國，梅文鼎對這 一問題發生濃厚的興趣，他花了十多年的時間，在幾何通解(1691)和幾何補編(1692)中，一樣用我國傳統的勾股術和比例理論，深入細緻的研究黃金分割的做法和用途。
梅文鼎對於理分中末線的感到很是新鮮，於是花長時間鑽研，其相關研究在幾何通 解、幾何補編內都有研究，他首先在幾何通解討論理分中末線的做法，然而進一步在幾 何補編中提出用法，這樣的工作在歷史上來說是第一次，可以想見梅文鼎在幾何學上的 貢獻。
梅文鼎用勾股術解決幾何原本中的四個命題，首先我們先看其內容：
二卷第十一題
分已知線段，使他和一條小線段所構成的矩形等於另一小段上的正方形。
六卷第三十題
分已知線段成中外比。
四卷第十題
求作一等腰三角形，使它的底角的每一個都是頂角的兩倍。
四卷第十一題
求作以知圓的內接等邊且等角的五邊形。
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綜合這些命題，裡面要求做出相似矩形來得黃金比例、將一條線段分成兩段為黃金 比例、作一等腰三角形、作圓內正五邊形。
下面筆者即整理梅文鼎針對原本幾何中卷二第十一題，卷六第三十題，四卷第十、
第十一題著名的黃金分割問題，思考求解過程中，自己得出了的五種理分中末線的做法，
按文本順序介紹如下。
梅文鼎與理分中末線相關研究部分五種解法如下：