針對此一大題，我們把整題拆成第五題跟第六題兩部分討論，
(1)首先我們看到《幾何原本》第二卷第五題內容如下：
如果把一條線段既分成相等的線段(c)，再分成不相等的線段(c-a、c+a)。則由二個 不相等線段構成的矩形與兩個分點(丙、丁)之間一段(a)上的正方形的和等於原來線 段一半上的正方形。
筆者依幾何原本對題目的描述給予簡單的示 意圖：
針對原題目欲證明的結果可列式為：
c
a
c
a
a2
c2再來是《幾何通解》「解幾何二卷第五題」內文以及筆者翻譯成今日算式如下：
圖 3.36 「解幾何二卷第五題」證明過程
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筆者依幾何原本對題目的描述給予簡單的示意圖：
針對原題目欲證明的結果可列式為：
c
a
c
a
a2
c2《幾何通解》「解幾何二卷第六題」原文：
第六題以子丁倍句為原線，以丁丙句為平分線，以句弦較乙丁即子甲 為引增線，以丁 甲句弦和為全線，其理亦同。
梅文鼎就以此段話帶過第六題，由示意圖中不難看出，右邊即為梅文鼎取線段長度 的相對關係：
令子丁
2a，丁丙
a，子甲 乙丁
c a，丁甲
c a，一樣可以得到
c
a
c
a
a2
c2。特別注意，如果我們搭配顏色來看，就是
2 2
粉紅 綠 藍 紅 。
(3)然後，筆者以圖來看幾何原本裡面對第五、第六兩題的證明方法：
A. 第五題：
歐幾里得在我們看到的示意圖線段上面做一個平行四邊形也是正方形(上圖左
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一右半部)，主要運用到《幾何原本》第一卷第四十三題的形質164，所以兩黃色部分 面積相同，又因為長度c相同所以灰色部分面積也相同，於是，前頁圖中與圖右一 兩圖著色部分面積相同，得到
c
a
c
a
c2
a2。B. 第六題：
歐幾里得在我們看到的示意圖線段上面做一個平行四邊形也是正方形(上圖左 一左半部)，一樣運用《幾何原本》第一卷第四十三題的形質，所以 A 、 B 部分面 積相同(上圖左一)，又因為長度
a
相同所以 B 、C
面積也相同，於是，上圖中與圖 右一兩圖著色部分面積相同，得到
c a
c
a
c2
a2。2.「
解幾何二卷第七題」首先我們看到《幾何原本》第二卷第七題內容如下：
如果任意分一個線段為兩段(a、b)，則原線段(a+b)上的正方形與所分成的小段(a) 之一上的正方形的和，等於原線段(a+b)與該小線段(a)構成的矩形的二倍與另一小 線段(b)上正方形的和。
針對原題目欲證明的結果：
a
b
2
a2
2 a
b
2
a2筆者給予簡單的示意圖：
164 參見第 2 題有附圖說明。
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《幾何通解》「解幾何二卷第七題」原文：
甲丁股幂即甲乙元線上 方 。子戊勾幂。即甲乙方向內所作巳辛方。
乃 任 分 線 甲 丙 上 方 也 。併之成癸寅弦幂。即所謂兩直角方 形 併 也 。 弦幂內有戊甲股。即甲乙原線。戊癸勾。即任分之甲丙線。相乘長方形二。即巳甲長方及丁辛長方。亦
即甲乙 偕 甲丙矩 形 二也。及勾股較乙丙上
方一。即壬丙小方。亦即所謂 分 餘 線 上 方 也 。
何以明之。曰試於戊癸線引長至丑。另丑癸如巳丁較。即乙丙。遂作子丑小長方。與丁庚等 。以 益亥癸。成亥丑長方。與丁辛等。亦與 巳 甲 等 。次於癸寅內。作甲酉、寅辰、午未、癸卯四線。皆 與甲乙股等。自然有甲卯。寅酉。午辰。癸未。四線。皆與戊癸勾等。又自有未 卯卯酉等勾股較。與乙丙較等。即顯弦幂
內有勾股形四。較幂一也
試於弦幂內。移午辰寅勾股補癸戊甲之位。
成戊卯長方。與巳甲等又移癸未午勾股補甲戌寅 之位成戌酉長方。與亥丑等 。而較幂位酉小方元 與壬丙等。又子丑小長方元與丁庚等。
合而觀之。豈非丁甲股幂。及子戊股幂併。
即與巳甲亥丑兩長方。及壬丙小方等積 乎。
圖 3.38 重現「解幾何二卷第七題」題原圖
筆者對證明過程以圖表示並說明之：
圖 3.39
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圖 3.40「解幾何二卷第七題」證明分解圖
圖 3.41「解幾何二卷第七題」證明分解圖
將股冪分割，移動綠色面積，則勾冪跟股冪變成兩相同長方形以及一正方形(圖 3.40)；
又將弦冪中，紅框、藍框勾股形分別移動，變成兩個相同長方形和一個正方形(圖 3.41)；
又已知勾冪股冪的和為弦冪，所以綜合以上，股冪跟勾冪的和等於弦冪又等於兩長方形 和一正方形，令勾為
a
、股為a b
，換成式子即為
a
b
2
a2
2 a
b
2
a2。然而，歐幾里得證明此命題時，其主要運用到《幾何原本》第一卷第四十三題：
在任何平行四邊形中，對角線兩邊的平行四邊形的補形彼 此相等(右圖)。很明顯可以知道因為長方形也為平行四邊形，注 意，圖形中黃色部分面積皆相同。 下圖中左一面積加上藍色小 正方形分解成兩相同長方形跟綠色正方形，則
a
b
2
a2
2 a
b
2
a2對第七題很快得到結果。165
165 參見洪萬生等，《當數學遇見文化》(台北：三民出版社，2009 年)，頁 164。
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