半正多面體的體積

梅文鼎指出計算燈體體積的方法有兩種，

(1)方法一：

半正多面體體積的求法和正多面體一樣，將方燈從面至中心分割成 8 個全等正三角 以及 6 個正 4 角椎，以此類推，圓燈可分割成 20 個正三角錐以及 12 個正五角錐。

除此之外，梅文鼎用另外的方式求方燈的體積，就是藉由正多面體的體積來求切割 後成的方燈的體積，方法二將分別討論以正 6 面體或正 8 面體來切割。

(2)方法二：

首先，若以正 6 面體切割成方燈，則將正 6 面體切掉 8 個角，將正 6 面體切成全等 的 8 個小立方體(上圖左紫色小立方)，每個角(上圖右黃色部分為角)的體積皆為小立方 體的1

　6，所以 8 個角的總體積也為正 6 面體的1

　6，很快得出，燈體的體積為剩下的5 　6正 6 面體體積。

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再來，若以正 8 面體切割成方燈，則將正 8 面體切掉 6 個角(上圖黃色小正 4 角錐)，

將正 8 面體切成全等的 2 個正 4 角錐，每個角與此正 4 角錐(上圖中紫色四角錐)相似，

邊長比為 1：2，梅文鼎說「同類之體積以其邊上立方積為比例」，故大小正 4 角錐體積 比為 8：1，正 8 面體與小正 4 角錐體積比為 16：1，以此推出 6 個角體積總和為正 8 面體的 6 3

16



　 　，所以方燈的體積為剩下的5

8　正 8 面體體積。

梅文鼎因此整理出速算法，( R 為邊長，

V

2 ⁶

R ，V_方：V₆=5：6 (2)當方燈內接於正 8 面體時，^R方= 1

2 ^R8，^V方：V8=5：8 (3)當R8=^R方，V8= 1

2 ^V方

4.2.5 多面體間及球的互容

幾何補編在卷四中，主要討論五種正多面體、兩種半正多面體之間，以及多面體與 球之間的互容關係。劉鈍在幾何補編提要中認為卷四中諸體比例即為幾何補編中最精彩 的部分，

梅文鼎對正多面體徑的定義是：

「立方及燈體之徑，為自面至面，四等面、十二等面、二十等面之徑皆自邊至邊「以 邊折半處做垂線，至對邊折半處，形如工字，四等面則上下邊遙相午錯如十字。八等面 之徑為自尖至尖，然皆以其徑之兩端正切於立方面之中心一點，立方六面，其相切亦必

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六點」。總歸一句，多面體的徑其實就是外接立方體(正 6 面體)的邊長。只是依照外接 的情況不同，會產生不同的徑的計算或描述方法。根據梅文鼎的以面至面、自邊至邊、

自尖自尖描述徑，筆者將立方體內接各種多邊形的情形，分成三種方式整理成以下表 格：

表 4. 正 6 面體內容多面體的相切方式¹⁹¹

能容體¹⁹² 所容體 相接方式 頂角、邊、面之關係 正多面體 正 4 面體 (圖 A) 以邊切面 頂角與立方體之頂角相切

正 12 面體 (圖 C) 用 30 邊中的 6 邊和立方體相切 正 20 面體 (圖 D) 同上

正 8 面體 (圖 B) 以點切面 只有 6 個頂點與立方體之 6 面的中心 相切

半半正多面體 圓燈 (圖 E) 同上

方燈 (圖 F) 以面切面 全部 12 個頂點都切在立方體 12 個邊 的中點，方燈的六個正方形面都與立 方體的六邊相切。

圖 4.4 正 6 面體內切其他多面體透視圖

191 特別注意，幾何補編中，梅文鼎通常只文字敘述沒有提供圖形相容的樣子，可參見附錄，至於圓燈的相 切地方剛好也是它和正 12 面體相切的地方，以此推之，圓燈與正 6 面體相切處恰在正 6 面體每面著中心 點。

192 其中，在內文中，能容體凡指外容立體圖形、所容體凡指內容立體圖形。

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