第三章 研究模型
第二節 反向房屋貸款評價公式
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第二節 反向房屋貸款評價公式
誠如前文所提，借款人以所有之房屋為抵押物，向反向房屋抵押貸款貸款人 申辦貸款時，貸款人會依借款人之年齡、預計壽命、房屋價值等因素進行評估後，
可以求出相對應的本金限制因子(Principal Limit Factor)作為借款人申貸的可貸成 數，並在扣除貸款人所需收受之手續費等相關費用後，以一次給付或是按月提供 給借款人資金，為求簡化分析，本研究假設貸款人放款方式均採一次給付(Lump Sum Payment)的方式。而在此假設條件下，貸款人支付一筆貸款金額予借款人，
並取得於契約終止時得對抵押房屋進行拍賣以償付貸款餘額的權利，因此反向房 抵押貸款的商品價值將與未來房價以及契約期間所累積之貸款餘額有關，當未來 房價和利率及死亡率(在此假設死亡率即為契約終止率)變動時，包含反向房屋抵 押貸款商品的商品組合價值也將隨之有所波動，反向房屋抵押貸款商品之價值增 加，意味著貸款人未來資產的增加，反之亦然。因此我們可以定義反向房屋抵押 貸款商品的價值𝑉𝑟𝑚為：
𝑉𝑟𝑚(𝑞, 𝑟, 𝐻) = ∑𝜔 𝑞𝑡−1,𝑥
𝑡=1 𝑒−𝑟𝑡𝑡𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡, 𝐻𝑡)] (7) 其中𝜔為最大生存年齡(本研究假設為 89 歲)，𝑞𝑥,𝑡−1為 x 歲的人自 t-1 年到 t 年的 死亡率，rt為第t 期的利率，BALt為第t 期時所累積貸款餘額，𝐻𝑡為第t 期的房 屋價格，貸款人於 t 期契約終止時所能獲得的償付金額為貸款餘額和房屋拍賣價 格的最小值。借款人所貸之金額在契約有效期間仍需加計貸款利息，但借款人不 需定期支付，而是加計於貸款餘額中，直至契約終止時一併結算償還。由於目前 多數反向房屋抵押貸款均採變動利率，因此本研究也假設貸款利息為變動利率，
且以加成的方式來計算，假設第 t 期的貸款利率為第 t 期的利率 𝑟𝑡加上一個固定 的風險溢酬(𝑟𝑝)。則第 0 期的貸款餘額為：
BAL0 = ρ × H0 (8)
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ρ為可貸成數，式(8)表示第 0 期的貸款餘額為期初房價乘上可貸成數所得之金 額。而第 t 期的貸款餘額可表示為：
BALt= BALt−1+ It (9)
It為第 t 期的貸款利息，為第 t-1 期的貸款餘額(BALt−1)乘上貸款利率(𝑟𝑡+ 𝑟𝑝)後 的金額。
在假設房屋價格服從幾何布朗運動的條件下，
𝐻𝑡~𝐺𝐵𝑀(𝜇, 𝜎2)，
𝑑𝐻𝑡
𝐻𝑡 = 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑍𝑡
𝐻𝑡 = 𝐻0𝑒�𝜇−𝜎
2
2 �𝑡 + 𝜎𝑍𝑡
= 𝐻0𝑒�𝜇+𝜎
2
2 �𝑡 + 𝜎√𝑡 𝑍 ,
此時 𝑍~𝑁(0,1)，則
𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡, 𝐻𝑡)]
= 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡, 𝐻𝑡)𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡≥ 𝐻𝑡)] + 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡, 𝐻𝑡)𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡)]
= 𝐸[𝐻�������������𝑡𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻𝑡)]
𝐴
+ 𝐵𝐴𝐿���������������𝑡𝐸[𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡< 𝐻𝑡)]
𝐵
(10)
𝐵 = 𝐵𝐴𝐿𝑡𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡)，則
𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡)
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= 𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻0𝑒𝑚+𝑠𝑍) , 𝑚 = �𝜇 −𝜎2
2 � 𝑡 ，𝑆 = 𝜎√𝑡
= 𝑃(𝑙𝑜𝑔 (𝐵𝐴𝐿𝑡
𝐻0 ) < 𝑚 + 𝑠𝑍)
= 𝑃(𝑠𝑍 > 𝑙𝑜 𝑔 �𝐵𝐴𝐿𝑡
𝐻0 � − 𝑚 )
= 𝑃(𝑍 >𝑙𝑜 𝑔 �𝐵𝐴𝐿𝐻0𝑡� − 𝑚 𝑠 )
= 𝑃(𝑍 <𝑙𝑜 𝑔 � 𝐻𝐵𝐴𝐿0𝑡� + 𝑚 𝑠 )
= 𝛷(𝑑1),
𝑑1 = 𝑙𝑜 𝑔 � 𝐻𝐵𝐴𝐿0𝑡� + �𝜇 − 𝜎2 � 𝑡2
𝜎√𝑡 ；
𝐵𝐴𝐿𝑡𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡) = 𝐵𝐴𝐿𝑡𝛷(𝑑1)。
𝐵𝐴𝐿𝑡≥ 𝐻𝑡 ⟺ 𝐵𝐴𝐿𝑡≥ 𝐻0𝑒𝑚+𝑠𝑍
⟺ 𝑍 ≤ 𝑙𝑜 𝑔 �
𝐵𝐴𝐿𝐻 𝑡0 � − 𝑚
⟺ 𝑍 ≤ −𝑑
1𝐸[𝐻𝑡𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡≥ 𝐻𝑡)]
= �−𝑑1𝐻0𝑒𝑚+𝑠𝑍∅(𝑍)
−∞ 𝑑𝑍
= 𝐻0𝑒𝑚+𝑠22 ∫−∞−𝑑1√2𝜋1 𝑒−(𝑍−𝑠)22 𝑑𝑍,
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𝑠𝑒𝑡 𝑦 = 𝑍 − 𝑠, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑍
⟹ 𝐸[𝐻𝑡𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻𝑡)] = 𝐻0𝑒𝜇+𝜎22� 1
√2𝜋
−(𝑑1+𝑠)
−∞ 𝑒−𝑦2𝑑𝑦
= 𝐻0𝑒𝜇+𝜎22𝛷(−𝑑2)
𝑑2 = 𝑑1+ 𝑠 =𝑙𝑜𝑔 � 𝐻𝐵𝐴𝐿0𝑡� + �𝜇 + 𝜎2 � 𝑡2 𝜎√𝑡
∴ 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡, 𝐻𝑡)]
= 𝐻0𝑒𝜇+𝜎22𝛷(−𝑑2) + 𝐵𝐴𝐿𝑡𝛷(𝑑1) (11)
此時
𝑑1 = 𝑙𝑜𝑔 � 𝐻𝐵𝐴𝐿0𝑡� + �𝜇 − 𝜎2 � 𝑡2 𝜎√𝑡
𝑑2 = 𝑑1+ 𝜎√𝑡 =𝑙𝑜𝑔 � 𝐻𝐵𝐴𝐿0𝑡� + �𝜇 + 𝜎2 � 𝑡2
𝜎√𝑡 。
將式(11)帶入式(7)後，即可求算在第 t 期反向房屋抵押貸款的商品價值。
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1、CBD 模型不只考慮了世代效果(Cohort Effect)，同時也將二次年齡效果 (quadratic age effect)納入模型裡考慮，CBD 模型中的兩個因子A1(t)和A2(t)分別 代表所有年齡的人口其死亡率的改善以及不同年齡層間具有的死亡率改善效果，
這兩個因子反映了「趨勢效果」(Trend Effect)和「年齡效果」(Age Effect)，因此，
當我們考慮這些因子的參數隨時間而有所變動時，CBD 模型所預測的死亡率是 具有經濟上(Economically)(或是生物演化上(Biologically))的意義的。
2、CBD 模型是屬於間斷型時間模型(discrete time model)，在實際運用上會較為 方便。
diffusion parameter 為 C，