第三章 研究模型
第一節 多因子免疫模型
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第三章 研究模型
本章將提出可以同時規避長壽風險和財務風險的多因子免疫模型
(Multi-Factors Immunization Approach)，以協助壽險公司對其商品組合進行最適 的配置，接著介紹反向房屋抵押貸款以及商品價值的計算，以及在下一章節進行 數值分析所採用的死亡率、利率和房價的預測模型。
第一節 多因子免疫模型
壽險公司依目前已有之資訊，對未來死亡率、市場利率、投資報酬率等因子 來計算保費，但當未來市場條件改變且不符合先前計算保費之假設時，壽險公司 所銷售之保險商品價值將會因此受影響。然而，由於各保險商品間因為給付方式、
被保人年齡、性別和保障期間的不同，對於上述的風險因子變動而造成產品價值 波動的程度和方向也不同，多因子免疫模型即是利用這個觀念，讓壽險公司藉由 分析所銷售的保險商品受到死亡率和其他財務風險因子變動而產生的波動幅度 和方向，利用以下我們所提出的方法，找出一個最適的商品組合方式，讓整個商 品組合的價值波動達到最小。
令 q、r、S 為目前的死亡率曲線、利率曲線和其他財務風險因子，則在現有 條件下包含避險資產的商品組合價值為𝑉0(q, r, S)，假設 qs、rs、
S
s為死亡率曲線、利率曲線和其他財務風險因子的 typical shocks，這些 typical shocks 可以從歷史 資料求得。例如，一般情況下都會假設利率是平行移動的(Willner 1996)，然而，
其他形式的波動也都是有可能發生的(Willner 1996; Golub and Tilman 1997)。在本 研究的模型假設中，這些 typical shocks 是模型參數，且 q、r、S、𝑞𝑠、𝑟𝑠、𝑆𝑠均 為向量，現在假設
Δq×𝑞
𝑠、Δr×𝑟
𝑠和ΔS×𝑆
𝑠為死亡率曲線、利率曲線和其他財務 風險因子的同步變動量(simultaneous shocks)，Δq、Δr 和 ΔS 為死亡率曲線、利率
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的價值變動，利用泰勒展開式(Taylor’s Expansion)我們可以得到：∆𝑉 = 𝑉(𝑞 + ∆𝑞 × 𝑞𝑠, 𝑟 + ∆𝑟 × 𝑟𝑠, 𝑆 + ∆𝑆 × 𝑆𝑠) − 𝑉0(𝑞, 𝑟, 𝑆)
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P 的避險效果就會和達到存續期間配適(Zero Duration)或是 Delta 中立(Delta Neutral)的投資組合的避險效果相似。假如式(4)的條件成立，我們可以讓整個商品組合價值在死亡率曲線、利率 曲線和其他財務風險因子變動較大的情況下達到免疫，在這個情況下，商品組合
P 的避險效果就會和達到存續期間配適(Zero Duration)且滿足突性(Zero
Convexity)的投資組合或是達到 Delta 中立和 Gamma 中立(Delta Neutral and
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Gamma Neutral)的投資組合的效果相似。
利用本研究所提出之多因子免疫模型，壽險公司可以對其現有銷售的保險商 品進行分析，此模型不會受到商品種類過多而無法求解的限制，但為求簡化，以 及本研究想要了解壽險公司在加入反向房屋抵押貸款於商品組合(P)後，商品組 合的避險效果是否有所提升，因此，本研究在此僅考慮滿足式(3)一階條件的情 況，來分析傳統年金商品和反向房屋抵押貸款在死亡率曲線、利率曲線和其他財 務風險因子有所波動時，不同的商品組合間，其價值波動的程度是否不同。
多因子免疫模型的作用是希望壽險公司能透過這個模型，藉由決定商品組合 內各商品或避險資產的單位數 wk，使商品組合 P 的價值𝑉0(q, r, S)和受到死亡率 曲線、利率曲線和其他財務風險因子的影響後的新價值 V(
q+Δq×q
s, r+Δr×r
s, S+ΔS×S
s)，兩者之間的差距波動最小，表示此商品組合具有較佳的避險效果。而 為求各商品組合間的比較基礎一致，商品組合價值的波動比例可以式(5)的數學 式表示：∆𝐶𝑉𝑖 = 𝑉𝑖(𝑞 + 𝛥𝑞 × 𝑞𝑠, 𝑟 + 𝛥𝑟 × 𝑟𝑠, 𝑆 + 𝛥𝑆 × 𝑆𝑠) − 𝑉0(𝑞, 𝑟, 𝑆)
𝑉0(𝑞, 𝑟, 𝑆) (5)
其中𝑉𝑖為不同條件下所求出之新的商品組合價值，𝑉0為原始商品組合價值，∆𝐶𝑉𝑖 為商品價值波動的比例。在代入不同條件後我們可以獲得∆𝐶𝑉的分配，再求∆𝐶𝑉 之標準差，所得之數值較小即表示此商品組合具有較佳的避險效果。
在商品組合中，若兩種保險商品價值受同一風險因子(如死亡率)變動而有不 同方向的影響，則可透過選取適當的單位數 wk來減少整個商品組合價值的波動，
但就壽險和年金保險而言，兩種保險商品對於利率風險所造成的影響方向相同，
亦即當市場利率上升，壽險和年金保險的負債價值下降；當市場利率下降時，壽 險和年金保險的負債價值則上升。因此若要在商品組合中規避利率變動所帶來價 值波動的影響，我們必須在商品組合當中加入適當的避險資產(Hedging Assets)，
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這個避險資產的價值受利率影響的方向須與壽險和年金保險相反，也就是說當市 場利率上升時，此避險資產的價值應下降，而當市場利率下降時，其價值上升。
市場上與利率相關的資產有很多，但為求計算上的方便，本研究選擇以債券(Bond) 做為商品組合規避利率風險的避險資產。而反向房屋抵押貸款商品價值會與抵押 房屋的價值有關，必須在商品組合中納入其商品(或資產)價值會受房價影響的保 險商品(或避險資產)，始能抵銷反向房屋抵押貸款商品受房價變動而產生的價值 波動，但由於目前市場上並無法找到一種計價方式簡單且價值與房價波動攸關的 商品，因此本研究在此不將其他財務風險因子(如房價)納入考慮，僅就長壽風險 和利率風險來探討，因此用來衡量商品組合避險效果的式(5)將改寫成：
∆𝐶𝑉𝑖 =𝑉𝑖(𝑞 + 𝛥𝑞 × 𝑞𝑠, 𝑟 + 𝛥𝑟 × 𝑟𝑠, 𝑆 + 𝛥𝑆) − 𝑉0(𝑞, 𝑟, 𝑆)
𝑉0(𝑞, 𝑟, 𝑆) 。 (6)
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