第四章 數值結果分析
第三節 商品組合數值分析
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第三節 商品組合數值分析
根據本研究所提出之避險模型，若能同時滿足兩個一階條件，則此商品組合 的價值將不會受到死亡率(q)和利率(r)的影響，而達到自然避險的效果，因此我 們利用表 2 所求得的偏微分值，將避險模型中的一階條件作為限制式，在給定特 定的目標函數下，我們可以求得在商品組合內各項商品以及避險資產所需的單位 數，在此我們假設目標函數為能使商品組合價值最大化，以數學式來表示為：
𝑚𝑎𝑥𝜔 𝑓(𝜔) = ∑𝑛𝑘=1𝜔𝑘× 𝑉𝑘 , (15)
subject to
𝜕𝑉
𝜕∆𝑞 = ∑𝑛 𝜔𝑘 𝑘=1 𝜕𝑉𝑘
𝜕∆𝑞 = 0 , (16)
𝜕𝑉
𝜕∆𝑟 = ∑𝑛 𝜔𝑘 𝑘=1 𝜕𝑉𝑘
𝜕∆𝑟 = 0 , (17)
∑nk=1ωk = 1 (18)
由於在商品組合設計中，目前市場上無法就壽險公司所發行的保險商品來進行交 易，自然無法對保單進行放空的動作，因此限制其保險商品單位數必須大於或等 於 0，但並不對單位數設定上限，即謂此商品組合中可以持有超過一單位商品；
而對於避險資產的部分，由於避險資產(債券)為一般資本市場中可以進行交易的 商品，因此在本研究中並不對避險資產的持有單位數作限制，意即壽險公司可以 依照避險模型計算出來的單位數，對避險資產進行買入或是放空的動作。
表 4 為在假設條件下，利用 CBD 模型模擬出 10,000 條死亡率曲線後，所求 得之各個商品組合的單位數(𝜔𝑘)，以及相對應單位數所求得的商品組合價值(𝑉0)，
下文同樣也將使用此數據來進行情境分析。表 4 中的𝑆𝑡𝑑. (∆𝐶𝑉)為在假設的預定
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利率(4.22%)下所求得的商品價值波動比例的標準差，亦即只有考慮到長壽風險 下的商品價值波動。
由表 4 也可以觀察到，以 Case 4 和 Case 5 來看，兩個商品組合的差異在於 Case 4 的終身年金商品在 Case 5 下變成反向房屋抵押貸款商品，但兩者的對於 長壽風險的避險效果卻有明顯的差距存在，Case 4 的情況下商品價值波動的標 準差為 3.258%，Case 5 的話則為 0.716%，顯示在其他假設條件不變的情況下，
包含反向房屋抵押貸款商品的組合，其對於長壽風險的避險效果優於包含終身年 金的組合，同樣的現象也可以在 Case 6 和 Case 7 的比較中觀察得到；而已 Case 4 和 Case 6 來看，兩個商品組合的差異在於 Case 4 的終身壽險商品在 Case 6 下變成 20 年期的定期壽險，可以很明顯的觀察到兩個 Case 對於長壽風險的避 險效果有著明顯的差距，包含保障年期較短的定期壽險商品的 Case 6，其商品 組合價值波動比例的標準差為 0.577%，優於包含保障年期較長的終身壽險商品 Case 4。而從式(10)的公式我們也可以發現，CBD 模型所模擬出來的死亡率曲線，
當其預測年度較長，死亡率的變異就越大，使得包含了長年期終身壽險 Case 4 的價值波動標準差會明顯高於 Case 6。由此推論，在滿足一階條件(式 3)但未滿 足二階條件(式 4)的情況下，本研究所採用的避險模型在死亡率有大幅變動的時 候，其避險效果將無法達到預期的效果。
表 4：商品組合比例
𝜔1 𝜔2 𝜔3 𝜔4 𝜔5 𝑉0 𝑆𝑡𝑑. (∆𝐶𝑉)9 Case 1 0.0800 0.3415 0.2207 0.2765 0.0812 14.7944 0.462 Case 2 0.2938 0.2870 0.2537 0.1656 16.4845 0.942 Case 3 0.4370 0.2576 0.2489 0.0565 11.8094 0.437
9 此處的數值為原數值乘上 100，下文中皆以此形式表式。
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Case 4 0.1417 0.7012 0.1571 -2.2929 3.258 Case 5 0.3992 0.4294 0.1714 29.4942 0.716 Case 6 0.2128 0.6831 0.1041 -4.3978 0.577 Case 7 0.5727 0.3996 0.0277 21.6243 0.314
表 5 是利用 CIR 模型在給定不同參數的情況下所作的情境分析，其數值表 示為在不同的 CIR 模型參數下，商品價值受死亡率曲線變動所造成的商品組合 價值波動的標準差。以下探討在不同的 CIR 模型參數下，四種不同商品組合的 避險效果會受到何種影響。
由數據看來，不同的商品組合在不同的利率情境下，其結果仍存在著明顯的 差異，Case 5 的避險效果還是明顯的優於 Case 4，表示包含反向房屋抵押貸款 商品在內的商品組合，在表五所列的利率情境中對長壽風險的避險效果較佳，與 前文所觀察到的情況相同。而在 R15 的利率情境下，Case 4 到 Case 7 的商品價 值波動最大，也提醒壽險公司未來在面臨類似的利率走勢時，應該要再進行其他 的避險策略，以防止所持有之商品組合價值波動過高，而導致損失。
表 5：不同利率條件下商品組合價值的波動
(r , a, b, σ) Case 4 Case 5 Case 6 Case 7 R1 (3%,0.2,5%,0.08) 3.004 0.661 0.581 0.316 R2 (1%, -, -, -) 3.293 0.723 0.631 0.344 R3 (5%, -, -, -) 2.734 0.601 0.534 0.291 R4 (7%, -, -, -) 3.258 0.716 0.576 0.313 R5 (-, -, 3%, -) 5.423 1.190 0.690 0.375 R6 (-, -, 7%, -) 1.767 0.387 0.493 0.269
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R7 (-, 0.25, -, -) 2.864 0.630 0.570 0.310 R8 (-, 0.35, -, -) 2.732 0.599 0.556 0.303 R9 (-, -, -, 0.04) 3.542 0.779 0.605 0.329 R10 (-, -, -, 0.15) 2.813 0.617 0.572 0.311 R11 (1%, 0.25, -, -) 3.090 0.679 0.611 0.333 R12 (-, 0.25, -, 0.15) 3.255 0.715 0.589 0.321 R13 (5%, -, 3%, -) 4.939 1.085 0.633 0.344 R14 (-, -, 1%, -) 10.219 2.244 0.826 0.448
壽險公司發行反向房屋抵押貸款商品時，會依照借款人所居住的地區、年齡、
市場利率、對未來死亡率預測值等條件來計算出可貸與借款人的成數，即為上文 所提之「可貸成數」，或稱「本金限制因子」(Principal Limit Factor)。本研究並未 去計算在此假設條件下，壽險公司發行反向房屋抵押貸款商品可貸與借款人的可 貸成數，而是以直接給定的方式來進行後續的數據分析，本段擬利用給定反向房 屋抵押貸款商品不同的可貸成數，來分析在不同的可貸成數限制下，死亡率的波 動對商品組合價值的影響。
表 6 為在不同可貸成數下商品組合的單位數與價值變動標準差，從數值結果 我們發現當壽險公司提高反向房屋抵押貸款的可貸成數，在本研究所探討的商品 價值上將會有所增加，受到長壽風險和財務風險的影響也就更明顯，因此需要較 多數量的壽險商品作組合，已達到自然避險的效果，表 6 也呈現這樣的趨勢，當 可貸成數提高，商品組合中的反向房屋抵押貸款商品的單位數將會隨之下降，而 壽險商品在商品組合中的單位數將會提高，且大致上來說，商品組合的避險效果 受到可貸成數的影響不大，大多維持在一定的範圍內，但值得注意到的是，當可 貸成數提高到 70%時，商品組合的避險效果有明顯下降的趨勢，這表示壽險公司
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將來若是要發行反向房屋抵押貸款商品時，在利用相關數據計算可貸與借款人的 可貸成數時要特別小心，若計算標準過於嚴苛導致計算出來的可貸成數過低，借 款人所能獲得的給付金額過低，將大幅降低消費者購買反向房屋抵押貸款的誘因；
若是計算標準過於寬鬆導致計算出來的可貸成數過高，壽險公司除了要給付較高 的貸款金額給借款人，增加發行商品的成本，提高未來變現後的房屋價值不足以 支付發行成本的機率，亦即壽險公司遭遇虧損的機率將會提高，同時較高可貸成 數也會使得整各商品組合價值的波動提高，導致有較差的避險效果現象發生，也 將提高壽險公司進行風險管理的困難度。
表 6：不同可貸成數下商品組合單位數與價值變動標準差
可貸成數 𝜔1 𝜔2 𝜔4 𝜔5 𝑆𝑡𝑑. (∆𝐶𝑉)
Case 5
0.3 0.3098 0.5553 0.1349 0.712 0.4 0.3598 0.4837 0.1565 0.712 0.5 0.3992 0.4294 0.1714 0.716 0.6 0.4354 0.3906 0.1740 0.739 0.7 0.4763 0.3684 0.1552 0.805
Case 7
0.3 0.4515 0.5250 0.0236 0.313 0.4 0.5197 0.4532 0.0270 0.312 0.5 0.5727 0.3996 0.0277 0.314 0.6 0.6207 0.3613 0.0180 0.327 0.7 0.6743 0.3383 -0.0127 0.365
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