壽險公司長壽風險與財務風險避險之最適產品組合 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學風險管理與保險研究所碩士學位論文指導教授：王儷玲博士. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 壽險公司長壽風險與財務風險 ‧. n. al. er. io. sit. y. Nat. 避險之最適產品組合 Ch. engchi. i n U. v. 研究生：劉志勇撰中華民國九十九年七月.

(2) 摘要壽險公司積極開發新商品以因應大量退休人口的需求，讓退休屋主得以所居住之房屋為抵押物，向金融機構貸款以獲得退休後之資金來源的反向房屋抵押貸款商品也應運而生。但這類的退休商品，除了讓壽險公司因人類平均壽命延長的現象而曝露在長壽風險的威脅下之外，其中所牽涉到之多樣的財務風險，也讓壽險公司在經營上面臨另外一個挑戰，但是反向房屋抵押貸款商品因其商品特性，似乎也可以提供壽險公司不同的風險分散的效果，有助於提升整體商品組合的避險效果。. 治政本研究所提出之多因子免疫模型，可供壽險公司依照其所銷售之商品及所欲大立規避之風險，選擇一個最適的商品銷售數量，讓整個商品組合獲得最佳之避險效 ‧ 國. 學. 果。本研究透過多因子免疫模型進行數值分析，發現商品中加入反向房屋抵押貸. ‧. 款商品時，其避險效果明顯的優於未包含反向房屋抵押貸款之商品組合，顯見壽險公司發行反向房屋抵押貸款商品將有助於達到風險分散的效果，獲得更佳的避. n. al. er. io. sit. y. Nat. 險成效。. v. 關鍵字：長壽風險、財務風險、反向房屋抵押貸款、多因子免疫模型。. Ch. engchi. I. i n U.

(3) Abstract Life insurance company try to meet the demand of the elder who has been retired by designing new products. The mortgage instruments to enable elderly homeowners to borrow by using the equity in their home as collateral, called“reverse mortgage”. With the launch this kind of product, life insurance company exposures in the threat of longevity and involves in others financial risks. However, the features of reverse mortgage may create the different effects of diversification for life insurance company to catch the better effects of hedging.. 政治大 We propose the Multi-Factors Immunization Approach to calculate the optimal 立. product portfolio which attain the best hedging effects for life insurer by adjusting the. ‧ 國. 學. number of units sold and recognizing the risks they want to hedge. We discover that. ‧. the product portfolios which include reverse mortgage have the better hedging effects. sit. y. Nat. than these don’t include by numerical analysis. It is obviously that life insurance. io. n. al. er. company can acquire the effect of diversification and better hedging effects.. i n U. v. Key words: Longevity risk, Financial risk, Reverse mortgage, Multi-factors. Ch. immunization approach.. engchi. II.

(4) 目錄第一章緒論 ............................................. 1 第一節研究背景與動機 ............................................. 1 第二節研究目的與方法 ............................................. 3. 第二章文獻回顧 ......................................... 4 第一節產業自我保險方法 ........................................... 4 第二節反向房屋抵押貸款 ........................................... 6. 第三章研究模型 ........................................ 14. 政治大第一節多因子免疫模型 ............................................ 14 立第二節反向房屋貸款評價公式 ...................................... 19. ‧ 國. 學. 第三節死亡率模型 ................................................ 23. ‧. 第四節利率模型 .................................................. 25 第五節房屋價格模型 .............................................. 27. y. Nat. er. io. sit. 第四章數值結果分析 .................................... 29 第一節死亡率估計 ................................................ 29. al. n. v i n Ch 第二節商品設計 .................................................. 31 engchi U 第三節商品組合數值分析 .......................................... 35. 第五章結論與建議 ...................................... 40 參考文獻 ............................................... 42. III.

(5) 圖次圖 1、30 年期的固定利率抵押貸款權益與債務之變化. 7. 圖 2、住宅權益轉換抵押貸款權益與債務之變化. 7. 圖 3、HECM 歷年貸款數量. 10. 圖 4、𝐴1 (𝑡)及𝐴2 (𝑡)路徑圖. 30. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. IV. i n U. v.

(6) 表次表 1：商品組合設計. 32. 表 2：產品價值與偏微分值. 33. 表 3：商品組合. 34. 表 4：商品組合比例. 36. 表 5：不同利率條件下商品組合價值的波動. 37. 治政大表 6：不同可貸成數下商品組合單位數與價值變動標準差立. 39. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. V. i n U. v.

(7) 第一章緒論. 第一節研究背景與動機在過去數十年間，人口平均壽命延長的現象已在整個社會裡發生，在 Benjamin and Soliman (1993)和 McDonald et al. (1998) 的研究中發現，人類平均壽命延長之現象已經在全球各地發生，而死亡率降低的現象對壽險公司的經營也帶來的很大風險。在過去的文獻中，已有許多學者提出壽險公司如何減輕遭受長. 政治大. 壽風險威脅的方法，而這些方法大致上可以分成三類：資本市場移轉方法(Capital. 立. Market Solution)、產業自我保險方法(Industry Self-insurance Solution)以及死亡率. ‧ 國. 學. 預測效果的改善(Mortality Projection Improvement)(Tsai, Wang et al. 2010)。. ‧. 資本市場轉移方法是藉由發行新型金融商品，將壽險公司可能遭受的長壽風. sit. y. Nat. 險移轉到資本市場做風險分散的方法，就目前文獻中所提出的可能執行方向包含. io. er. 死亡率證券化(Mortality Securitization)(如：Dowd 2003； Lin and Cox 2005； Blake. al. et al. 2006a, 2006b； Cox et al. 2006)、生存債券(Survivor Bond)(如：Blake and. n. v i n Ch Burrows 2001; Denuit et al. 2007)和生存交換契約(Survivor e n g c h i U Swaps)(如：Dowd et al. 2006)。這些研究建議保險公司可以將它們所承受的風險轉移到資本市場上作分散，對於保險公司將其資產與負債進行證券化的內容細節可參考 Cowley and Cummins (2005)。產業自我保險方法包含了 Cox and Lin (2007)提出的自然避險策略(Natural Hedging Strategy)、Wang et al. (2010)提出的存續期間配適策略 (Duration Matching Strategy)和 Tsai et al. (2010) 提出的條件涉險值方法 (Conditional Value at Risk Approach)。產業自我保險的優點在於他們可能存在較低的交易成本以及保險公司不需要一個流動市場來做交易，這些方法讓保險公司可以自行規避掉長壽風險的影響，我們在文獻探討的章節裡會再做更深入的說明。 1.

(8) 第三個方法為死亡率預測效果的改善，學者們透過許多精算統計的方法，試圖提供壽險公司一個較精確且較符合現實條件假設下的死亡率預測方法，Blake et al. (2006b)將這些研究再區分成兩大類：連續時間架構(Continuous-Time Frameworks)(如：Milevsky and Promislow 2001; Dahl 2004; Biffis 2005; Schrager 2006)、間斷型時間架構(discrete-time frameworks)(如：Brouhns et al. 2002; Renshaw and Haberman 2003; Cairns et al. 2006)，模型參數的不確定性和模型特性(即所謂的參數風險(Parameter Risk)和模型風險(Model Risk))對死亡率過程的影響，近來也被許多學者提出來探討(如：Melnikov and Romaniuk, 2006, Koissi et al., 2006 and Wang et al. 2010)。. 立. 政治大. 而為了因應人口老化的現象，壽險公司也設計發行相關的老年商品，以滿足. ‧ 國. 學. 老年人口退休後之所需，但隨著新商品的銷售，例如反向房屋抵押貸款(Reverse Mortgage)(或稱為反向年金(Reverse Annuity))和權益連結年金(Equity-link. ‧. Annuity)，壽險公司的經營也涉入越來越多的負債風險和財務風險，這也提高了. Nat. sit. y. 壽險公司在風險管理上的複雜性和困難度。然而，由於各個財務風險間並不一定. n. al. er. io. 是存在正相關(例如利率與房價(Hinkelmann and Swidler 2008))，發行新商品可能. i n U. v. 也會提供給保險公司不同的風險分散的效果。此外，反向房屋抵押貸款須於借款. Ch. engchi. 人死亡或是搬離原住所時才得以對抵押房屋進行拍賣，取得相關費用，發行反向房屋抵押貸款商品對保險公司而言可能會帶來不同的避險效果。本研究提出一個壽險公司自我保險的方法─多因子免疫模型，讓壽險公司可以透過商品組合 (Product Portfolio)來規避未來長壽風險和其他財務風險因子的影響，同時也透過相關數據的分析，檢視發行反向房屋抵押貸款商品對壽險公司所提供的益處。. 2.

(9) 第二節研究目的與方法在本研究中，我們提出一個一般化的免疫方法，使保險公司可以透過商品組合的方式來規避長壽風險和財務風險。運用類似於存續期間配適(Duration Match) 的方法，消除因為財務風險因子變動所產生的風險。本研究同時考慮死亡率曲線和利率曲線的變動，來檢測不同的商品組合對長壽風險和利率風險的避險效果。我們假設保險公司銷售的商品包含壽險、年金和反向房屋抵押貸款商品，採用二因子隨機死亡率模型(Cairns et al., 2006, the CBD model)來建構未來的死亡率曲. 政治大所提出的隨機利率模型(CIR Model)來模擬即期利率曲線。本研究將探討包含有立線和並計算相對應之商品價值，同時我們也利用 Cox, Ingersoll, and Ross (1985). 反向房屋抵押貸款商品的組合，其對於死亡率和利率的避險效果是否會優於包含. ‧ 國. 學. 傳統年金保險的商品組合，並分析反向房屋抵押貸款商品價值波動的特性，作為. ‧. 未來壽險公司在發行反向房屋抵押貸款商品時，制定相關風險管控策略的基礎。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 3. i n U. v.

(10) 第二章文獻回顧. 在此章節，本研究將就過去文獻為因應壽險公司在經營上可能遭遇的長壽風險和財務風險所提出的自我保險避險策略來做探討，同時也在本章中介紹美國反向房屋抵押貸款商品─住宅權益轉換抵押貸款(HECM)，分析反向房屋抵押貸款所具備的購買誘因和此商品存在的風險，再就現有文獻中，對管理反向房屋抵押貸款風險的方法做一探討。. 第一節產業自我保險方法. 立. 政治大. Cox and Lin (2007)研究發現，死亡率變動對壽險商品和年金商品的負債價值. ‧ 國. 學. 的影響方向是相反的，當壽險公司同時銷售有壽險和年金兩種商品時，其現金流. ‧. 量受死亡率影響的波動會縮小，這樣的現象不論在死亡率改善或是死亡率惡化的情況下都可以觀察的到，且當壽險公司壽險和年金保險的保費收入相對平均時，. y. Nat. io. sit. 保險公司可以採用較低的保費來吸引顧客，也就是說，自然避險效果越佳的保險. n. al. er. 公司在市場競爭上越具有價格優勢。作者提出一個死亡率交換契約(Mortality. Ch. i n U. v. Swap)架構並計算其價值，指出死亡率交換契約使保險公司在進行自然避險時，. engchi. 可以有較低的成本和更具彈性的操作方式。但在此篇文獻中，作者假設利率為固定利率，只針對死亡率風險來進行自然避險效果的分析，對利率風險或其他財務風險並未加以探討。 Wang et al. (2010) 提出一個利用死亡率存續期間配適方法(Mortality Duration Matching Approach)計算出一個包含壽險和年金的最適商品組合比例來規避長壽風險。除此之外，作者也針對近年來在處理長壽風險問題的相關文獻中，一直被提出來討論的模型風險(Model Risk)和參數風險(Parameter Risk) (如： Cairns 2000, Melnikov and Romaniuk 2006 and Koissi et al. 2006) 進行相關的分析 4.

(11) 研究，他們利用兩個死亡率模型─單因子 Lee-Carter 模型 (Lee and Carter 1992) 以及雙因子 CBD 模型 (Cairns, Blake et al. 2006)所得之結果來進行比較，發現 CBD 模型所預測出來的死亡率，其改善程度會比 Lee-Carter 模型預測出來的結果來的更顯著，而且不論男性或女性都存在著這個現象，這是因為 CBD 模型的世代效果在年紀較大的族群裡會捕捉到較佳的動態死亡率，其結果會比在年紀較輕的族群裡明顯，而這也符合了 Cairns et al. (2006)所提出對預測值正確性的判斷準則。但是就短期的年金商品來說，規避長壽風險的效果在 Lee-Carter 模型中會比在 CBD 模型中來的顯著。因此作者認為保險公司若要依照此最適商品組合比. 政治大然後依據他們所預定的目標以及時間長度來選擇最適合的預測模型。但在此文獻立. 例來進行長壽風險的避險策略時，首先應該先去了解各種死亡率模型的模型特性，. 中，作者假設利率為一固定值，並未將利率風險納入研究的討論範圍內，而且雖. ‧ 國. 學. 然作者有針對模型風險來進行相關研究，但是對於參數風險(Parameter Risk)並未. ‧. 做進一步的探討。. Nat. sit. y. Tsai et al. (2010)利用最小化條件涉險值(Conditional Value at Risk. n. al. er. io. Minimization, CVaR, Dowd and Blake 2006)來解決 Wang et al. (2010)所存在的問. i n U. v. 題，包含參數風險、產品型態的限制和附加保費等，他們利用 Milevsky et al. (2006). Ch. engchi. 所提出的保費訂價原則(Premium-Pricing Principle)，來計算保險公司發行保險商品所需要求的附加費用，並在進行最適化求解的時候加入附加費用條件。研究中發現，附加費用率的考量在進行最適化求解時是很重要的考慮因素，因為他對於商品最適組合的改變有著明顯的影響效果。作者認為利用最小化邊際涉險值 (CVaR Minimization)方法可以找出一個最適的商品組合，並且可以有效的減少壽險公司在面臨未來不確定的死亡率曲線變動時所帶來的死亡率風險。但是因為他們假設利率為一固定值，所以僅就規避長壽風險的避險效果來做討論。. 5.

(12) 第二節反向房屋抵押貸款一、反向房屋抵押貸款商品介紹所謂反向房屋抵押貸款是指說相對於一般房屋貸款是由借款人以房屋為抵押物，向金融機構借貸一筆金額，借款人須定時償付利息，而於償還完所有本金和利息之後，取得抵押房屋的所有權利；反向房屋抵押貸款是指借款人(通常為年齡到達一定歲數之老年人)將房屋抵押給銀行或是保險公司等金融機構，金融機構依據借款人的年齡、預計壽命、房屋價值等因素進行評估後，將其房屋價值. 政治大. 以一定比例分攤到借款人的預計壽命年限中，按月份或年度或是一次給付的方式. 立. 支付現金給借款人，貸款人僅能在借款人死亡、搬離所抵押之房屋或是與第三人. ‧ 國. 學. 成立買賣契約將房屋售出等條件之一成立的情況下，將房屋拍賣換取價金，以滿足貸款人之債權，借款人不須定期繳付利息，而是於最後契約終止前在一次結算. ‧. 償還。反向房屋抵押貸款與一般房屋抵押貸款之房屋權益與貸款債務現金流量的. Nat. sit. y. 變化可由圖 1 和圖 2 觀察得知，圖 1 以 30 年期的一般房屋固定利率抵押貸款為. n. al. er. io. 例，其負債額度(Debt)隨時間增加而遞減，房屋權益(Equity)則逐漸增加；圖 2 以. i n U. v. 美國住宅權益轉換抵押貸款(Home Equity Conversion Mortgage, HECM)為例，其. Ch. engchi. 負債隨時間持續增加，而房屋權益則逐漸減少。. 6.

(13) 圖 1、30 年期的固定利率抵押貸款權益與債務之變化. 立. 政治大. ‧ 國. 學. Nat. n. al. er. io. sit. y. ‧. 圖 2、住宅權益轉換抵押貸款權益與債務之變化. Ch. engchi. 資料來源：Szymanoski et al. (2007).. 7. i n U. v.

(14) 反向房屋抵押貸款商品對於已屆退休年齡的老年屋主來說，具有以下幾個優點(Szymanoski 1994)： 1、貸款期間無須償還利息與本金就反向房屋抵押貸款的商品特性來說，借款人於契約終止前完全不需要償付利息和本金給貸款人，借款人只需在永久搬離其抵押房屋、死亡或是與第三方進行買賣交易時，一次支付所累積之貸款餘額或就其拍賣房屋所得之價金作為償付金額，就已屆退休年齡、沒有固定收入的老年族群而言，反向房屋抵押貸款商品. 政治大無疑是提供了一個絕佳的資金融通方式。立. 可以將流動性較差的房屋價值轉換成現金，而且也不需要搬離原來居住的房屋，. ‧ 國. 學. 2、無追索權(Non-Recourse)之性質. ‧. 反向房屋抵押貸款之貸款人所累積之債權僅限於抵押房屋資產之部分，若契. sit. y. Nat. 約終止時，貸款餘額已超越抵押房屋當時市場之拍賣價值，借款人或其繼承人僅. io. er. 需就所得之房屋拍賣金額為償付之最高金額，對於貸款餘額與房屋拍賣金額之差價，貸款人不得要求借款人或其繼承人以其他資產或現金支付償還。此種無追索. al. n. v i n Ch 權的契約設計可以避免老年屋主於房屋拍賣時，還必須清償不足之金額；或是避 engchi U 免債留子孫的情況發生。 3、放款形式彈性反向房屋抵押貸款之放款方式具有相當大的彈性，借款人可依其生活情形與資金需求等條件來決定放款方式。一般而言，放款形式包含一次給付(Lump Sum Payments)、固定期間給付(Term Payments)、終身給付(Tenure Payments)、帳戶型 (Line of Credit)等方式。就美國的反向房屋抵押貸款的市場而言，美國聯邦住宅及都市發展部 8.

(15) (Department of Housing and Urban Development, HUD)於 1987 年推出由其轄下聯邦住宅管理局(Federal Housing Administration, FHA)提供貸款保險的反向房屋抵押貸款商品(即住宅權益轉換抵押貸款(HECM))，自此之後，反向房屋抵押貸款商品在美國地區開始有了較蓬勃的發展。在美國，最為退休屋主所接受的三種主要商品為：住宅權益轉換抵押貸款(HECM)、由Fannie Mac發行的所有權人反向房屋抵押貸款(Home Keeper Reverse Mortgage)以及由Financial Freedom發行的現金帳戶反向房屋抵押貸款(Cash Account Advantage Plan) 1。其中，由於住宅權益轉換抵押貸款(HECM)由聯邦住宅管理局(FHA)提供貸款保險，被視為是最安. 政治大款人協會(National Reverse Mortgage Lenders Association, NRMLA)的資料，現在立. 全、而且也是市面上最為消費大眾所接受的商品，根據美國反向房屋抵押貸款貸. 市場上新發的反向房屋抵押貸款幾乎都為住宅權益轉換抵押貸款(HECM)，圖 3. ‧ 國. 學. 為住宅權益轉換抵押貸款(HECM)開辦以來，歷年所核准通過的貸款數量。也因. ‧. 為目前在美國市場上，反向房屋抵押貸款商品幾乎都以住宅權益轉換抵押貸款. sit. y. Nat. (HECM)為主，本研究在下文的分析過程中，也將以住宅權益轉換抵押貸款. io. n. al. er. (HECM)的商品內容做為例子。. 1. Ch. engchi. 現金帳戶反向房屋抵押貸款計畫目前已不再發行。 9. i n U. v.

(16) 圖 3、HECM 歷年貸款數量件數 120,000. 112,154 107,558. 114,692. 100,000 76,351. 80,000. 55,306*. 60,000 43,131 37,829. 40,000. 20,000 157. 18,097 13,049 7,896 7,982 6,640 7,781 3,365 4,165 3,596 5,208 389 1,019 1,964. -. 立. 政治大. 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010. 年度. ‧ 國. 學. *： 2010 年之貸款數量是截至 2010 年 5 月。各年度是以聯邦政府會計年度所表示，自前一年 10/1 至該年的 9/30 為止。. ‧. 資料來源：美國反向房屋抵押貸款貸款人協會(NRMLA). sit. y. Nat. n. al. er. io. 二、反向房屋抵押貸款貸款人之風險. Ch. i n U. v. 由反向房屋抵押貸款的商品特性可以發現，依照商品設計，貸款人只得於契. engchi. 約終止時，收回其貸款金額，當其貸款餘額高於終止時房屋拍賣價格，這中間的差額的部分貸款人必須自行吸收，這對貸款人來說可能存在著以下的風險：1、由於死亡率改善或是減少，使得貸款的年期延長；2、利率上升使得貸款餘額累積速度增加；3、未來房屋價值的減損。(Phillips and Gwin 1992; Szymanoski 1994; Chen, Cox et al. 2010)。. 長壽風險假如借款人存活歲數比預期來的高，預先支付的本金和利息也會隨時間延長而增加，使得在契約終止時貸款餘額高於拍賣房屋所得之金額的機率提高。契約 10.

(17) 終止率會受到死亡率和搬遷率(Mobility Rate)的影響，兩者對於反向房屋抵押貸款商品的影響一樣，借款人可能因為他們個人健康、婚姻狀況、配偶死亡、或是單純的想搬家等問題而離開他們原本居住且設定抵押的房屋。然而在本研究中，因為我們對於住宅權益轉換抵押貸款(HECM)借款人搬遷的資料不足以讓我們去預估可能發生的搬遷率，從另一方面來說，雖然房地產市場和利率會影響借款人決定是否提早搬離或是償付已累積的貸款餘額，但是反向房屋抵押貸款商品真正吸引人的是它可以提供老年且沒有固定收入又不想要搬家的退休屋主一筆貸款金額，並讓他們可以繼續居住的原來的房屋裡，因此，反向房屋抵押貸款商品的. 政治大改善，長壽風險已經成為反向房屋抵押貸款商品中，最關鍵的風險因素(Wang, 立. 契約有效期間主要就是由死亡率來決定。而由於死亡率自 1970 年代有了明顯的. Valdez et al. 2008)。. ‧. ‧ 國. 學. 利率風險. sit. y. Nat. 目前美國市場反向房屋抵押貸款商品的貸款利息主要以變動利率的方式來. io. er. 做計算，貸款人會定期檢視，並依照當時的市場利率來調整貸款利率，而反向房屋抵押貸款商品採用變動利率計很重要的原因是因為美國反向房屋抵押貸款的. al. n. v i n C hNational MortgageUAssociation, Fannie Mae)，不主要購買人聯邦房貸協會(Federal engchi. 購買採用固定利率計息的反向房屋抵押貸款(Szymanoski, Enriquez et al.. 2007 )，因此未來利率的波動也為反向房屋抵押貸款貸款人帶來未來收益的不確定性。當借款人申辦貸款時，一次貸得或是每月提領之金額已是申貸時以當時之貸款利率為標準，計算出的一個固定數值，其額度並不因未來利率變動而有所增減，所以當利率上升時，貸款人的機會成本也相對增加，考驗著貸款人在資產負債管理的能力。. 11.

(18) 房屋價格風險貸款人在核辦反向房屋抵押貸款時，會考慮未來房價增值率(Appreciation Rate)，推估一個合理的預期房屋價格，進而決定最終可貸成數，因此，未來房價波動的不確定性也是反向房屋抵押貸款貸款人所需面臨的另外一個風險。如果未來房地產市場表現不如預期，在契約終止時，貸款餘額可能會出現高於實際房屋價格的情況，在無追索權的前提下，貸款人將遭受損失。當貸款人放款範圍涵蓋多個區域時，可以利用集合各區域的房屋貸款，將單一區域的房屋價格風險部分分散掉(Mitchell and Piggott 2004)，此外，房屋價格指數並不服從定態時間序. 政治大. 列過程(Stationary Time-Series Process)，住宅房屋價格的波動將可能隨著時間延. 立. 長而增加，這意味著若要預測越更長期的房屋價格，其預測的準確性將會有著較. ‧ 國. 學. 大的誤差。由於房屋價格指數為非定態的原因，簡單的風險調整方法(如加成法) 將不適用(Szymanoski 1994)。. ‧ sit. y. Nat. 三、反向房屋抵押貸款之避險方法. n. al. er. io. 要規避反向房屋抵押貸款商品為貸款人所帶來的風險，傳統的做法就是購買. i n U. v. 保險。住宅權益轉換抵押貸款(HECM)就是一個購買貸款保險來規避商品潛在風. Ch. engchi. 險的例子。HECM的貸款人為一般民營金融機構，而由FHA擔任貸款保險保險人的角色，貸款人可將承做反向房屋抵押貸款的擔保品風險 2移轉給FHA承擔。當貸款餘額超過最高理賠金額 3(Maximum Claim Amount)的 98%時，貸款人即可將貸款移轉給FHA，由FHA負擔未來繼續放款的義務(Assignment Option)。此筆保險費由借款人負擔，計入貸款餘額中於契約終止時一併計算扣除。由於貸款人在貸款餘額累積達到最高理賠金額之一定比例後，即將貸款移轉給FHA，亦即將. 2. 擔保品風險(Collateral Risk)是指於契約到期時，貸款餘額高於抵押資產市值的風險。由於 HECM 具有無追索權的特色，導致貸款人可能面臨貸款金額無法完全回收的風險。 3 最高理賠金額為房屋的估計價值與各區域所規定之貸款金額上限(203(b) limit)中，兩者取其較低者。參閱 HECM Handbook: 1-4A.。 12.

(19) HECM中因存有無追索權(Non-recourse)特性而可能遭受償付金額不足的風險移轉給FHA承擔，採用保險的方式來規避風險，貸款保險的保費是否充足就影響到保險人(在此指FHA)的營運情況。Chen et al. (2010) 利用Conditional Esscher Transform來對無追索權條款進行定價，並將所得之數額與現行HECM收取的保險費用做比較，利用Lee-Carter 模型來捕捉死亡率非對稱性波動(asymmetric mortality jump)的影響，取代原來HECM所採用的靜態生命表(static mortality tables)；以ARIMA-GARCH 過程對未來房價進行預測，取代HECM中以幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion, GBM)預測未來房價的方法。作者發現，在改. 治政大足以涵蓋反向房屋抵押貸款商品，因含有無追索權特性所產生的風險。立. 變以上的參數預測方法使預測值更接近實際情況後，現行HECM所收取之保費仍. ‧ 國. 學. Wang et al. (2008) 認為要管理反向房屋抵押貸款所可能遭遇的長壽風險，證券化(Securitization)會是一個可行的解決方案。死亡率證券化(Mortality. ‧. Securitization)允許保險人將所承擔之風險藉由資本市場做移轉，以達到更有效率. Nat. sit. y. 的風險分散效果，被視為是一種具有彈性的風險移轉方法。在此研究中，作者利. n. al. er. io. 用兩種類型的生存債券(Survivor Bond)為例，模擬總報酬的預期損失，作者利用. i n U. v. Renshew et al. (1996)提出以廣義線性模型(Generalized linear model, GLM) 的方. Ch. engchi. 法來預測未來死亡率，其方法類似 Lee-Carter 模型。此外，作者以單因子隨機利率模型─Vasicek 模型，和幾何布朗運動(GBM)來預測未來利率以及房價的走勢，他們提出發展生存債券(Survivor Bonds) 和生存交換契約(Survivor Swaps)來規避反向房屋抵押貸款潛在風險的優點，同時也提出相關數據證明，對於反向房屋抵押貸款所存在的長壽風險，死亡率證券化會是一個良好的風險管理方法。. 13.

(20) 第三章研究模型. 本章將提出可以同時規避長壽風險和財務風險的多因子免疫模型 (Multi-Factors Immunization Approach)，以協助壽險公司對其商品組合進行最適的配置，接著介紹反向房屋抵押貸款以及商品價值的計算，以及在下一章節進行數值分析所採用的死亡率、利率和房價的預測模型。. 第一節多因子免疫模型. 治政壽險公司依目前已有之資訊，對未來死亡率、市場利率、投資報酬率等因子大立來計算保費，但當未來市場條件改變且不符合先前計算保費之假設時，壽險公司 ‧ 國. 學. 所銷售之保險商品價值將會因此受影響。然而，由於各保險商品間因為給付方式、. ‧. 被保人年齡、性別和保障期間的不同，對於上述的風險因子變動而造成產品價值波動的程度和方向也不同，多因子免疫模型即是利用這個觀念，讓壽險公司藉由. y. Nat. io. sit. 分析所銷售的保險商品受到死亡率和其他財務風險因子變動而產生的波動幅度. n. al. er. 和方向，利用以下我們所提出的方法，找出一個最適的商品組合方式，讓整個商. Ch. 品組合的價值波動達到最小。. engchi. i n U. v. 令 q、r、S 為目前的死亡率曲線、利率曲線和其他財務風險因子，則在現有條件下包含避險資產的商品組合價值為𝑉0(q, r, S)，假設 qs、rs、Ss 為死亡率曲線、. 利率曲線和其他財務風險因子的 typical shocks，這些 typical shocks 可以從歷史. 資料求得。例如，一般情況下都會假設利率是平行移動的(Willner 1996)，然而，其他形式的波動也都是有可能發生的(Willner 1996; Golub and Tilman 1997)。在本研究的模型假設中，這些 typical shocks 是模型參數，且 q、r、S、𝑞𝑠 、𝑟𝑠 、𝑆𝑠 均為向量，現在假設 Δq×𝑞𝑠 、Δr×𝑟𝑠 和 ΔS×𝑆𝑠 為死亡率曲線、利率曲線和其他財務. 風險因子的同步變動量(simultaneous shocks)，Δq、Δr 和 ΔS 為死亡率曲線、利率 14.

(21) 曲線和其他財務風險因子的波動幅度。 P 代表含有避險資產的商品組合。因此在這些波動產生之後，P 的價值變成 V(q+Δq×𝑞𝑠 r+Δr×𝑟𝑠 , S+ΔS×𝑆𝑠 )，∆𝑉為整個商品組合在這些波動產生之後所造成的價值變動，利用泰勒展開式(Taylor’s Expansion)我們可以得到： ∆𝑉 = 𝑉(𝑞 + ∆𝑞 × 𝑞𝑠 , 𝑟 + ∆𝑟 × 𝑟𝑠 , 𝑆 + ∆𝑆 × 𝑆𝑠 ) − 𝑉0 (𝑞, 𝑟, 𝑆). 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 1 𝜕 2𝑉 𝜕2 𝜕 2𝑉 2 2 (∆𝑞) (∆𝑟) (∆𝑆)2 � ≈� ∆𝑞 + ∆𝑟 + ∆𝑆� + � + + 𝜕∆𝑞 𝜕∆𝑟 𝜕∆𝑆 2 𝜕∆𝑞 2 𝜕∆𝑆 2 𝜕∆𝑟 2. 政治大. 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 +� ∆q ∆𝑟 + ∆r∆𝑆 + ∆q ∆𝑆 � 𝜕∆q𝜕∆𝑟 𝜕∆r𝜕∆𝑆 𝜕∆q𝜕∆𝑆. 立. (1). ‧ 國. 學. 假設 P 包含 n 種商品和避險資產，Vk 代表 P 裡面第 k 個商品或避險資產的價值， wk 代表所銷售的數量(假如為商品)或是所購買的單位數(假如為避險資產)，則：. sit. n. al. er. io. 𝑛. 𝜕𝑉 𝜕𝑉𝑘 = � 𝜔𝑘 , 𝜕∆𝑟 𝜕∆𝑟. y. Nat. 𝑘=1. ‧. 𝑛. 𝜕𝑉 𝜕𝑉𝑘 = � 𝜔𝑘 , 𝜕∆𝑞 𝜕∆𝑞. 𝑘=1. Ch. engchi. 𝑛. 𝜕𝑉 𝜕𝑉𝑘 = � 𝜔𝑘 , 𝜕∆𝑆 𝜕∆𝑆 𝑘=1 𝑛. 𝜕 2 𝑉𝑘 𝜕 2𝑉 = � 𝜔𝑘 ， 𝜕∆𝑞 2 𝜕∆𝑟 2 𝑘=1 𝑛. 𝜕 2𝑉 𝜕 2 𝑉𝑘 = � 𝜔𝑘 ， 𝜕∆𝑟 2 𝜕∆𝑟 2 𝑘=1. 15. i n U. v.

(22) 𝑛. 𝜕 2𝑉 𝜕 2 𝑉𝑘 = � 𝜔 , 𝑘 𝜕∆𝑆 2 𝜕∆𝑆 2 𝑘=1. 𝑛. 𝜕 2𝑉 𝜕 2 𝑉𝑘 = � 𝜔𝑘 ， 𝜕∆q𝜕∆𝑟 𝜕∆q𝜕∆𝑟 𝑘=1 𝑛. 𝜕 2𝑉 𝜕 2 𝑉𝑘 = � 𝜔𝑘 ， 𝜕∆r𝜕∆𝑆 𝜕∆r𝜕∆𝑆 𝑘=1 𝑛. 𝜕 2𝑉 𝜕 2 𝑉𝑘 = � 𝜔𝑘 𝜕∆q𝜕∆𝑆 𝜕∆q𝜕∆𝑆 𝑘=1. 立. 政治大. (2). 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 , , 𝜕∆𝑞 𝜕∆𝑟 𝜕∆𝑆. ‧. ‧ 國. 學. 在選擇適當的 wk 之後，可以讓式(3)均等於 0(通常需要滿足 n ≥ 3 的條件)，. (3). sit. y. Nat. 也可以得到讓式(4)等於 0 的情況((通常需要滿足 n ≥ 9 的條件). v ni. n. al. er. io. 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕 2 𝜕2 𝜕2 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 , , , , , , , , 𝜕∆𝑞 𝜕∆𝑟 𝜕∆𝑆 𝜕∆𝑞 2 𝜕∆𝑟 2 𝜕∆𝑆 2 𝜕∆q𝜕∆𝑟 𝜕∆r𝜕∆𝑆 𝜕∆q𝜕∆𝑆. Ch. (4). i U e h n c g 假如式(3)的條件成立，我們可以讓整個商品組合價值在死亡率曲線、利率. 曲線和其他財務風險因子變動較小的情況下達到免疫，在這個情況下，商品組合. P 的避險效果就會和達到存續期間配適(Zero Duration)或是 Delta 中立(Delta Neutral)的投資組合的避險效果相似。假如式(4)的條件成立，我們可以讓整個商品組合價值在死亡率曲線、利率曲線和其他財務風險因子變動較大的情況下達到免疫，在這個情況下，商品組合 P 的避險效果就會和達到存續期間配適(Zero Duration)且滿足突性(Zero Convexity)的投資組合或是達到 Delta 中立和 Gamma 中立(Delta Neutral and 16.

(23) Gamma Neutral)的投資組合的效果相似。利用本研究所提出之多因子免疫模型，壽險公司可以對其現有銷售的保險商品進行分析，此模型不會受到商品種類過多而無法求解的限制，但為求簡化，以及本研究想要了解壽險公司在加入反向房屋抵押貸款於商品組合(P)後，商品組合的避險效果是否有所提升，因此，本研究在此僅考慮滿足式(3)一階條件的情況，來分析傳統年金商品和反向房屋抵押貸款在死亡率曲線、利率曲線和其他財務風險因子有所波動時，不同的商品組合間，其價值波動的程度是否不同。. 政治大內各商品或避險資產的單位數 w ，使商品組合 P 的價值𝑉 (q, r, S)和受到死亡率立. 多因子免疫模型的作用是希望壽險公司能透過這個模型，藉由決定商品組合 0. k. ‧ 國. 學. 曲線、利率曲線和其他財務風險因子的影響後的新價值 V(q+Δq×qs, r+Δr×rs,. S+ΔS×Ss)，兩者之間的差距波動最小，表示此商品組合具有較佳的避險效果。而. sit. y. Nat. 式表示：. ‧. 為求各商品組合間的比較基礎一致，商品組合價值的波動比例可以式(5)的數學. n. al. er. io. 𝑉 𝑖 (𝑞 + 𝛥𝑞 × 𝑞𝑠 , 𝑟 + 𝛥𝑟 × 𝑟𝑠 , 𝑆 + 𝛥𝑆 × 𝑆𝑠 ) − 𝑉0 (𝑞, 𝑟, 𝑆) ∆𝐶𝑉 = 𝑉0 (𝑞, 𝑟, 𝑆) 𝑖. Ch. engchi. i n U. v. (5). 其中𝑉 𝑖 為不同條件下所求出之新的商品組合價值，𝑉0為原始商品組合價值，∆𝐶𝑉 𝑖. 為商品價值波動的比例。在代入不同條件後我們可以獲得∆𝐶𝑉的分配，再求∆𝐶𝑉 之標準差，所得之數值較小即表示此商品組合具有較佳的避險效果。在商品組合中，若兩種保險商品價值受同一風險因子(如死亡率)變動而有不同方向的影響，則可透過選取適當的單位數 wk 來減少整個商品組合價值的波動，但就壽險和年金保險而言，兩種保險商品對於利率風險所造成的影響方向相同，亦即當市場利率上升，壽險和年金保險的負債價值下降；當市場利率下降時，壽險和年金保險的負債價值則上升。因此若要在商品組合中規避利率變動所帶來價值波動的影響，我們必須在商品組合當中加入適當的避險資產(Hedging Assets)， 17.

(24) 這個避險資產的價值受利率影響的方向須與壽險和年金保險相反，也就是說當市場利率上升時，此避險資產的價值應下降，而當市場利率下降時，其價值上升。市場上與利率相關的資產有很多，但為求計算上的方便，本研究選擇以債券(Bond) 做為商品組合規避利率風險的避險資產。而反向房屋抵押貸款商品價值會與抵押房屋的價值有關，必須在商品組合中納入其商品(或資產)價值會受房價影響的保險商品(或避險資產)，始能抵銷反向房屋抵押貸款商品受房價變動而產生的價值波動，但由於目前市場上並無法找到一種計價方式簡單且價值與房價波動攸關的商品，因此本研究在此不將其他財務風險因子(如房價)納入考慮，僅就長壽風險. 政治大. 和利率風險來探討，因此用來衡量商品組合避險效果的式(5)將改寫成：. 立. ‧. ‧ 國. 學. 𝑉 𝑖 (𝑞 + 𝛥𝑞 × 𝑞𝑠 , 𝑟 + 𝛥𝑟 × 𝑟𝑠 , 𝑆 + 𝛥𝑆) − 𝑉0 (𝑞, 𝑟, 𝑆) ∆𝐶𝑉 = 。 𝑉0 (𝑞, 𝑟, 𝑆). io. sit. y. Nat. n. al. er. 𝑖. Ch. engchi. 18. i n U. v. (6).

(25) 第二節反向房屋貸款評價公式誠如前文所提，借款人以所有之房屋為抵押物，向反向房屋抵押貸款貸款人申辦貸款時，貸款人會依借款人之年齡、預計壽命、房屋價值等因素進行評估後，可以求出相對應的本金限制因子(Principal Limit Factor)作為借款人申貸的可貸成數，並在扣除貸款人所需收受之手續費等相關費用後，以一次給付或是按月提供給借款人資金，為求簡化分析，本研究假設貸款人放款方式均採一次給付(Lump Sum Payment)的方式。而在此假設條件下，貸款人支付一筆貸款金額予借款人，. 政治大抵押貸款的商品價值將與未來房價以及契約期間所累積之貸款餘額有關，當未來立. 並取得於契約終止時得對抵押房屋進行拍賣以償付貸款餘額的權利，因此反向房. 房價和利率及死亡率(在此假設死亡率即為契約終止率)變動時，包含反向房屋抵. ‧ 國. 學. 押貸款商品的商品組合價值也將隨之有所波動，反向房屋抵押貸款商品之價值增. ‧. 加，意味著貸款人未來資產的增加，反之亦然。因此我們可以定義反向房屋抵押. al. er. io. −𝑟𝑡 𝑡 𝑉𝑟𝑚 (𝑞, 𝑟, 𝐻) = ∑𝜔 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡 , 𝐻𝑡 )] 𝑡=1 𝑞𝑡−1,𝑥 𝑒. sit. y. Nat. 貸款商品的價值𝑉𝑟𝑚 為：. (7). n. v i n C h 89 歲)，𝑞𝑥,𝑡−1U為 x 歲的人自 t-1 年到 t 年的其中𝜔為最大生存年齡(本研究假設為 engchi. 死亡率，rt 為第 t 期的利率，BALt 為第 t 期時所累積貸款餘額，𝐻𝑡 為第 t 期的房. 屋價格，貸款人於 t 期契約終止時所能獲得的償付金額為貸款餘額和房屋拍賣價格的最小值。借款人所貸之金額在契約有效期間仍需加計貸款利息，但借款人不需定期支付，而是加計於貸款餘額中，直至契約終止時一併結算償還。由於目前多數反向房屋抵押貸款均採變動利率，因此本研究也假設貸款利息為變動利率，且以加成的方式來計算，假設第 t 期的貸款利率為第 t 期的利率 𝑟𝑡 加上一個固定. 的風險溢酬(𝑟𝑝 )。則第 0 期的貸款餘額為： BAL0 = ρ × H0. (8) 19.

(26) ρ為可貸成數，式(8)表示第 0 期的貸款餘額為期初房價乘上可貸成數所得之金額。而第 t 期的貸款餘額可表示為： BALt = BALt−1 + It. (9). It 為第 t 期的貸款利息，為第 t-1 期的貸款餘額(BALt−1 )乘上貸款利率(𝑟𝑡 + 𝑟𝑝 )後. 的金額。. 在假設房屋價格服從幾何布朗運動的條件下， 𝐻𝑡 ~𝐺𝐵𝑀(𝜇, 𝜎 2 )，. 立. ‧ 國. al. y. n. 此時 𝑍~𝑁(0,1)，則. sit. io. + 𝜎 √𝑡 𝑍 ,. er. 𝜎2 �𝑡 2. + 𝜎𝑍𝑡. Nat. = 𝐻0 𝑒. �𝜇+. 𝜎2 �𝑡 2. ‧. 𝐻𝑡 = 𝐻0 𝑒. �𝜇−. 學. 𝑑𝐻𝑡 = 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑍𝑡 𝐻𝑡. 政治大. 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡 , 𝐻𝑡 )]. Ch. engchi. i n U. v. = 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡 , 𝐻𝑡 )𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻𝑡 )] + 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡 , 𝐻𝑡 )𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡 )]. = �� 𝐸[𝐻𝑡 𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻𝑡 )] + 𝐵𝐴𝐿 �� 𝑡 𝐸[𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡 )] 𝐴. 𝐵. 𝐵 = 𝐵𝐴𝐿𝑡 𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡 )，則 𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡 ) 20. (10).

(27) = 𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻0 𝑒 𝑚+𝑠𝑍 ) , = 𝑃(𝑙𝑜𝑔 (. 𝐵𝐴𝐿𝑡 ) < 𝑚 + 𝑠𝑍) 𝐻0. 𝑚 = �𝜇 −. 𝜎2 � 𝑡 ，𝑆 = 𝜎√𝑡 2. 𝐵𝐴𝐿𝑡 = 𝑃(𝑠𝑍 > 𝑙𝑜 𝑔 � �−𝑚) 𝐻0 𝐵𝐴𝐿 𝑙𝑜 𝑔 � 𝐻 𝑡 � − 𝑚 0 = 𝑃(𝑍 > ) 𝑠 ). 立. 𝜎 √𝑡. ；. y. Nat. 𝑡. ‧. 𝐻0 𝜎2 𝑙𝑜 𝑔 �𝐵𝐴𝐿 � + �𝜇 − 2 � 𝑡. sit. = 𝛷(𝑑1 ), 𝑑1 =. 政治大. 學. 𝑠. 𝑡. ‧ 國. = 𝑃(𝑍 <. 𝐻0 𝑙𝑜 𝑔 �𝐵𝐴𝐿 �+𝑚. n. al. er. io. 𝐵𝐴𝐿𝑡 𝑃(𝐵𝐴𝐿𝑡 < 𝐻𝑡 ) = 𝐵𝐴𝐿𝑡 𝛷(𝑑1 )。. Ch. 𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻𝑡 ⟺ 𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻0 𝑒 𝑚+𝑠𝑍 ⟺ 𝑍 ≤ 𝑙𝑜 𝑔 �. 𝐵𝐴𝐿𝑡 𝐻0. engchi. �−𝑚. ⟺ 𝑍 ≤ −𝑑1. 𝐸[𝐻𝑡 𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻𝑡 )] =�. −𝑑1. −∞. 𝐻0𝑒 𝑚+𝑠𝑍 ∅(𝑍) 𝑑𝑍 𝑠2. −𝑑. 1. = 𝐻0 𝑒 𝑚+ 2 ∫−∞1 𝑒 √2𝜋. −(𝑍−𝑠)2 2. 𝑑𝑍,. 21. i n U. v.

(28) 𝑠𝑒𝑡 𝑦 = 𝑍 − 𝑠,. 𝑑𝑦 = 𝑑𝑍. 𝜎2. ⟹ 𝐸[𝐻𝑡 𝐼(𝐵𝐴𝐿𝑡 ≥ 𝐻𝑡 )] = 𝐻0 𝑒 𝜇+ 2 � = 𝐻0 𝑒. 𝑑2 = 𝑑1 + 𝑠 =. 𝑡. 𝜎 √𝑡. 立. 𝛷(−𝑑2 ) + 𝐵𝐴𝐿𝑡 𝛷(𝑑1 ). 政治大 (11). ‧. 𝐻0 𝜎2 𝑙𝑜𝑔 �𝐵𝐴𝐿 � + �𝜇 − 2 � 𝑡. y. sit. io. 𝜎 √𝑡. 𝐻0 𝜎2 𝑙𝑜𝑔 �𝐵𝐴𝐿 � + �𝜇 + 2 � 𝑡. n. a𝑡l. er. 𝑡. Nat. 𝑑1 =. 𝛷(−𝑑2 ). ‧ 國. 此時. √2𝜋. 2. 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦. 學. = 𝐻0 𝑒. 𝜎2 2. 𝜎2 2. −∞. 1. 𝐻0 𝜎2 𝑙𝑜𝑔 �𝐵𝐴𝐿 � + �𝜇 + 2 � 𝑡. ∴ 𝐸[𝑚𝑖𝑛(𝐵𝐴𝐿𝑡 , 𝐻𝑡 )] 𝜇+. 𝜇+. −(𝑑1 +𝑠). 𝑑2 = 𝑑1 + 𝜎√𝑡 =. Ch. 𝜎 √𝑡. 。. engchi. i n U. v. 將式(11)帶入式(7)後，即可求算在第 t 期反向房屋抵押貸款的商品價值。. 22.

(29) 第三節死亡率模型過去文獻曾提出一些死亡率模型，試圖讓對未來死亡率的預測更加準確，本研究基於以下兩點理由，選擇以 Cairns et al. (2006)提出的二因子隨機死亡率模型 (CBD Model)作為我們預測未來死亡率的模型： 1、CBD 模型不只考慮了世代效果(Cohort Effect)，同時也將二次年齡效果 (quadratic age effect)納入模型裡考慮，CBD 模型中的兩個因子A1 (t)和A2 (t)分別. 代表所有年齡的人口其死亡率的改善以及不同年齡層間具有的死亡率改善效果，. 政治大. 這兩個因子反映了「趨勢效果」(Trend Effect)和「年齡效果」(Age Effect)，因此，. 立. 當我們考慮這些因子的參數隨時間而有所變動時，CBD 模型所預測的死亡率是. ‧ 國. 學. 具有經濟上(Economically)(或是生物演化上(Biologically))的意義的。. al. er. io. 以下我們針對 CBD 模型來進行介紹：. sit. y. Nat. 方便。. ‧. 2、CBD 模型是屬於間斷型時間模型(discrete time model)，在實際運用上會較為. n. v i n Ch 令𝑞𝑡,𝑥 為 x 的人在 t 到 t+1 年間的實際死亡率，假設死亡率曲線的 logit 值與年齡 engchi U. 和時間的關係為：. qt , x. e A1 ( t +1)+ A2 ( t +1)⋅( x +t ) = 1− p = . 1 + e A1 ( t +1)+ A2 ( t +1)⋅( x +t ). (10). 𝐴1 (𝑡 + 1)和𝐴2 (𝑡 + 1)這兩個隨機因子會服從一個隨機過程，其 drift parameter 為𝜇， diffusion parameter 為 C，. A(t + 1) = A(t ) + µ + CZ (t + 1),. (11). 23.

(30) 其中， A(t + 1) = [A1 (t + 1), A2 (t + 1)] 和 µ = [µ1 , µ 2 ] 均為2 × 1的固定參數值向量。 T. T. C 是一個2 × 2矩陣，為共變異數矩陣(V)的上三角 Cholesky 平方根矩陣， V = CC T 。. Z(t)是一個二維的標準常態隨機變數，為了涵蓋𝜇和 C 的不確定性，Cairns et al. (2006)從無訊息先驗分配(non-informative prior distribution)的觀點，運用 normal-inverse-Wishart 分配來取得參數的不確定性：. 政治大. 𝑉 −1 |𝐷 ~ 𝑊𝑖𝑠ℎ𝑎𝑟𝑡(𝑛 − 1 , 𝑛−1 𝑉� −1 ),. ‧ 國. 立. 學. 𝜇|𝑉, 𝐷 ~ 𝑀𝑉𝑁(𝜇� , 𝑛−1 𝑉),. (12). sit. y. Nat. 1. 𝜇̂ = 𝑛 ∑𝑛𝑡=1 𝐷(𝑡),. ‧. 在此𝐷(𝑡) = 𝐴(𝑡) − 𝐴(𝑡 − 1),. n. al. er. io. 1 且𝑉� = 𝑛 ∑𝑛𝑡=1(𝐷(𝑡) − 𝜇̂ )(𝐷(𝑡) − 𝜇̂ )𝑇 。. Ch. engchi. i n U. v. (13). 因此，我們可以從式(12)和式(13)得到參數𝜇和𝐶，再將參數帶入式(11)可以得到 A(t)，然後我們就可以依照式(13)求得死亡率𝑞𝑡,𝑥 。. 24.

(31) 第四節利率模型 Wang et al. (2008)利用 Vasicek 利率模型來模擬未來可能的利率曲線，但是 Vasicek 利率模型有一個嚴重的缺陷，就是在模擬過程中，他將可能產生負的利率值，這個現象在現實的環境裡十分不合理。因此本研究為避免產生這樣的問題，將以 Cox et al.(1985)所提出的 CIR 模型作為模擬未來利率曲線的利率模型。 CIR 模型和 Vasicek 模型不同之處在於 CIR 模型的利率變動量(dr)的標準差會隨著利率的變動而改變，然而 Vasicek 模型的利率變動量(dr)標準差卻不會。. 政治大. 若利率路徑服從 CIR 模型的話，則利率路徑可以表示為：. ‧ 國. 學. drt = a(b − rt )dt + σ rt dz. 立. ‧. 其中 a 、 b 和 σ 為常數，. io. sit. y. Nat. a 表回復平均的速度. n. al. er. b 表長期平均利率水準. σ 表利率標準差. (14). Ch. engchi. i n U. v. z 表一平均數為 0、標準差為 σ rt 的 Winner Process。根據式(14)就可以表示所有可能的利率路徑，再利用 CIR 模型導出的零息債券公式予以轉換，就可以得到即期利率曲線(Spot Rate Curve)。零息債券公式如下： 𝑃𝑡 = 𝛼(𝑡 , 𝑇)𝑒 −𝛽(𝑡 ,𝑇)𝑟. 𝑃𝑡 為面額一元的零息債券現金的價值，且 25.

(32)   2γe ( a +γ )(T −t ) / 2 α (t , T ) =   γ ( T −t ) − 1) + 2γ   (λ + a )(e. 2 ab / σ 2. 2(e γ (T −t ) − 1) β (t , T ) = (γ + a )(e γ (T −t ) − 1) + 2λ γ = � a 2 + 2σ2 。 Vasicek 模型和 CIR 模型的模型風險存在於α和β這兩個係數間的差異，而非兩者公式上的不同。在 CIR 模型中的β是和長期平均利率水準 b 獨立的，. 政治大 CIR 模型中，長期平均利率水準(b)是和變異數(σ)相依的。立. 然而，在 Vasicek 模型下，長期平均利率水準 b 是和變異數(σ)獨立的；而在. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 26. i n U. v.

(33) 第五節房屋價格模型本研究利用幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)模擬抵押房屋價格，幾何布朗運動主要特性在於假設未來的資產價格變化與過去價格的變動量獨立，亦即未來資產的價格是無法利用歷史資料來加以預測，預測未來價格的最佳指標為當今的資產價格；此外，模型中假設資產價格不為負值，並服從對數常態分配。假設抵押房屋資產價格的變動過程滿足下列的隨機方程式； dH / H = µdt + σdz. 立. dz = ε dt. ‧. ‧ 國. 學. 其中，. 政治大. dH：房屋價格的瞬間變化量；. sit. y. Nat. n. al. er. io. µ :單位時間(dt)內的期望房價報酬率；. σ :單位時間(dt)內的房價報酬率之標準差； C. hengchi. i n U. v. z:為服從標準布朗運動(standard Brownian motion)的隨機變數，dz 為其瞬間的變化量， ε ~N(0,1)。. Szymanoski (1994)在其定價模型中，對於抵押房價報酬率的期望值(μ)和標準差(σ)的設定，是採用美國的房價報酬率假設，其假設期望值為 0.04，標準差為 0.1，但是為求所得之數值能更接近現實環境，本研究採用由美國聯邦住屋企業監管局(Office of Federal Housing Enterprise Oversight，OFHEO)所發布的房屋價格指數(House Price Index，HPI)來計算美國全國平均房價報酬率和標準差。HPI 27.

(34) 是一個以獨戶住宅重覆交易價值加權平均計算的指數，每一季由美國聯邦住屋企業監管局計算公布。本研究採用自 1975 第一季到 2009 年第四季的資料，求出這段期間裡全美房價報酬率的平均值和標準差，但由於樣本資料是季資料，但在本研究中計算期間都假設為 1 年，因此需再將求得之季報酬率的平均值和標準差年化，所得之房價年化報酬率平均值為 0.0552，標準差為 0.0386，本研究進行之相關數據分析，即以此數值作為參數估計值。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 28. i n U. v.

(35) 第四章數值結果分析. 第一節死亡率估計本節中將展示我們估計CBD模型參數的結果。本研究使用Cairns et al. (2007) 以及JPMorgan Life-Metrics(2006)所使用的樣本資料：以美國 1968-1979 年 60-84 歲男性和 1980-2003 年 60-89 歲男性為樣本 4。則求得之CBD參數估計值為： −0.016289 � , 0.0004769. 政治大. 𝜇̂ = �. ‧ 國. 立0.00000334�. 0.00000031. 學. 0.00011695 𝑉� = 𝐶̂ 𝐶̂ 𝑇 = � 0.00000334. 我們將估得的參數值代入式(11)，可以求得 A(t + 1) = [A1 (t + 1), A2 (t + 1)] ，圖 4 T. ‧. y. Nat. 為𝐴1 (𝑡)和𝐴2 (𝑡)的路徑圖。再以式(10)求出𝑞𝑡,𝑥 並將它轉成 x 歲的人在 t 年的生. sit. io. 存函數𝑆𝑡 。由圖 4 也可以發現在樣本期間時間效果項𝐴1 (𝑡)皆為負值，表示死亡. n. al. er. 率是有改善的趨勢，代表死亡率是逐年降低的。𝐴2 (𝑡)為正值也是符合 CBD 模型的檢測標準。. 4. Ch. engchi. i n U. v. 樣本資料以及 CBD 模擬工具可於 JPMorgan Life-Metrics 的網頁取得。 http://www.jpmorgan.com/pages/jpmorgan/investbank/solutions/lifemetrics 最新瀏覽時間 2010 年 5 月 20 日。 29.

(36) 圖 4、𝐴1 (𝑡)及𝐴2 (𝑡)路徑圖. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 30. i n U. v.

(37) 第二節商品設計為了檢視本文所提出的避險策略在不同商品組合下的效果，假設保險公司只銷售壽險、年金和反向房屋抵押貸款三種商品，壽險和年金均是採躉繳的方式收取保費，反向房屋抵押貸款亦採一次性給付(Lump-Sum Payment)，整個商品組合的價值(V)會受到市場死亡率(q)和利率(r)的波動而有所變動，依據本研究提出之避險策略，壽險公司可以利用其商品組合的改變來規避未來死亡率改善後帶來的長壽風險和以及利率變動所帶來的財務風險。而為了因應市場所需以及未來退. 政治大品進行分析，檢視在各種情境下，壽險公司若以反向房屋抵押貸款商品來取代年立. 休市場的發展，本研究亦針對近年來在歐美國家相當盛行的反向房屋抵押貸款商. 金商品，因其商品特性，是否能夠讓壽險公司在長壽風險與財務風險的管控上更. ‧ 國. 學. 具效率，減少整個商品組合價值的波動。. ‧. 表 1 為本研究所假設壽險公司所發行的商品內容，裡面包含了以 40 歲男性. Nat. sit. y. 為被保人的終身壽險和 20 年期的定期壽險，其保險金額為US$100 萬；以 60 歲. n. al. er. io. 男性為被保人的終身即期年金，保險金額為每年US$1 萬元。這兩樣商品的價值. i n U. v. 對壽險公司而言，是屬於負債的價值，因此本研究將壽險和年金保險的商品價值. Ch. engchi. 以負值表示；以 62 歲 5男性為對象的反向房屋抵押貸款商品，其期初房價假設為 US$100 萬元，可貸成數為 50%，因此在期初借款人可獲得的給付為US$50 萬元。對壽險公司而言，發行反向房屋抵押貸款商品時，壽險公司擔任貸款人的角色，在契約成立時依各種條件決定可貸金額，而在給付後取得相關權利，於契約終止時壽險公司可收回累積之貸款餘額或當時房屋拍賣價格之最小值，作為借款人之償付金額，等同於壽險公司持有一筆債權資產或房屋資產，因此反向房屋抵押貸款商品之價值為正值。在此以美國 30 年期公債殖利率為保單預定利率， LifeMetric(2003)生命表為計算基準，求得目前各項商品的市場公平價值。 5. HECM 計畫中規定，申請貸款之借款人需年滿 62 歲。 31.

(38) 表 1：商品組合設計. 終身壽險. 定期壽險. 終身年金. RM. 終身. 20 年. 終身. 終身. 40. 60. 62. US$100 萬. US$1 萬(每年). US$50 萬 6. 保障期間性別. 男性. 年齡保險給付/ 年金給付(年) 預定利率 7. 4.22%. 生命表. -22.47. -6.75. -16.25. 58.39. ‧. ‧ 國. 公平價值. 無. 學. 遞延期間. 立. 治政 LifeMetric,2003 大. sit. y. Nat. 由於本研究想要達到同時規避長壽風險和利率變動所帶來的財務風險，因此. io. al. er. 於商品組合中加入債券這項避險資產(Hedging Asset)，來達到規避財務風險的效. n. 果。本研究假設此債券為一 30 年期、票面價值 100 萬、票面利率 3%，年底付息的債券。. Ch. engchi. i n U. v. 表 2 為本研究所假設的各種條件下所求得各項商品的公平價值，以及該項商品對死亡率和利率的一階偏微分值。壽險公司若發行反向房屋抵押貸款，一次給付給被保險人的金額為期初房價乘上可貸成數，在借款人死亡後所能收回的金額為貸款餘額(BAL)和到期日房屋價格的最小值，因此在壽險公司給付完反向房屋抵押貸款之金額與借款人後，壽險公司持有反向房屋抵押貸款商品如同持有一個房屋資產，且其價值會受到死亡率和市場利率等財務風險所影響，未來死亡率改. 6 7. 假設期初房屋價格為 US$100 萬，可貸成數為 50%。 2010 年 5 月 28 日美國 30 年期公債殖利率。 32.

(39) 善即代表壽險公司收回貸款金額的時間將拉長，在時間價值和未來房價波動的影響下，使得反向房屋抵押貸款商品的價值減少，因此死亡率的波動與反向房屋抵押貸款商品價值波動的關係為正向的；市場利率會影響壽險公司的貸款餘額，亦有相關研究指出市場利率與房價彼此間有相關性存在，在表 2 中我們透過數值分析可以看到，反向房屋抵押貸款商品的價值與市場利率間呈現負向關係，表示未來若市場利率下降，反向房屋抵押貸款商品價值將會上升，使得壽險公司的資產價值增加，這與一般保險商品有明顯的不同，從表 2 的數值結果我們可以發現一般保險商品價值波動與利率波動的關係為負向關係，但是由於保險商品的價值在. 政治大此增加，因此可以發現利率波動對反向房屋抵押貸款和一般保險商品的影響不立. 壽險公司是以負債的形式呈現，亦即未來市場利率若下降，保險公司的負債也因. 同。. ‧ 國. 學. 表 2：產品價值與偏微分值. ‧. 𝜕𝑉 𝜕∆𝑞 𝜕𝑉 𝜕∆𝑟. y 終身年金. -6.75. -16.25. -2.04. -1.32. 0.41. 1.90. 0. 6.46. 0.77. 2.02. -0.08. -14.83. al. n. 值 8(𝑉). 定期壽險. io. 公平價. -22.47. RM. 資產面債券. er. 終身壽險. sit. Nat. 負債面. Ch. engchi. i n U. v 58.37. 78.17. 本研究為簡化分析，且欲探討壽險公司發行反向房屋抵押貸款，對其產品組合所帶來的避險效果，以下就以表 3 所列之商品組合，利用 CBD 死亡率模型以及 CIR 利率模型所得之數據來進行情境分析，利用本研究所提出之避險模型來檢視不同的商品組合，其商品組合價值在各式情境下的波動，由此亦可得知台灣壽險 8. 計算壽險及年金公平價值之公式，請參閱 Bower et al. (1997). 33.

(40) 公司未來若發行反向房屋抵押貸款商品後，此類商品所能為壽險公司帶來的避險效益。表 3：商品組合. Product 1. Product 2. Product 3. Product 4. 避險資產. Case 1. 終身壽險. 定期壽險. 終身年金. RM. 債券. Case 2. 終身壽險. 終身年金. RM. 債券. 終身年金. RM. 債券. Case 3. 定期壽險. Case 4. 終身壽險. Case 5. 終身壽險. ‧ 國. 終身年金. RM. 定期壽險. RM. ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. Case 7. 定期壽險. 債券. 學. Case 6. 立. 終身年金政治大. Ch. engchi. 34. i n U. v. 債券債券債券.

(41) 第三節商品組合數值分析根據本研究所提出之避險模型，若能同時滿足兩個一階條件，則此商品組合的價值將不會受到死亡率(q)和利率(r)的影響，而達到自然避險的效果，因此我們利用表 2 所求得的偏微分值，將避險模型中的一階條件作為限制式，在給定特定的目標函數下，我們可以求得在商品組合內各項商品以及避險資產所需的單位數，在此我們假設目標函數為能使商品組合價值最大化，以數學式來表示為： 𝑚𝑎𝑥𝜔 𝑓(𝜔) = ∑𝑛𝑘=1 𝜔𝑘 × 𝑉𝑘 ,. 立. subject to. 政治大. 𝜕𝑉. ‧ 國. 學. 𝜕𝑉. = ∑𝑛𝑘=1 𝜔𝑘 𝜕∆𝑞𝑘 = 0 , 𝜕∆𝑞. y. sit. n. al. (17). (18). er. io. ∑nk=1 ωk = 1. (16). ‧. 𝜕𝑉. = ∑𝑛𝑘=1 𝜔𝑘 𝜕∆𝑟𝑘 = 0 ,. Nat. 𝜕𝑉. 𝜕∆𝑟. (15). Ch. i n U. v. 由於在商品組合設計中，目前市場上無法就壽險公司所發行的保險商品來進行交. engchi. 易，自然無法對保單進行放空的動作，因此限制其保險商品單位數必須大於或等於 0，但並不對單位數設定上限，即謂此商品組合中可以持有超過一單位商品；而對於避險資產的部分，由於避險資產(債券)為一般資本市場中可以進行交易的商品，因此在本研究中並不對避險資產的持有單位數作限制，意即壽險公司可以依照避險模型計算出來的單位數，對避險資產進行買入或是放空的動作。表 4 為在假設條件下，利用 CBD 模型模擬出 10,000 條死亡率曲線後，所求得之各個商品組合的單位數(𝜔𝑘 )，以及相對應單位數所求得的商品組合價值(𝑉0 )，. 下文同樣也將使用此數據來進行情境分析。表 4 中的𝑆𝑡𝑑. (∆𝐶𝑉)為在假設的預定 35.

(42) 利率(4.22%)下所求得的商品價值波動比例的標準差，亦即只有考慮到長壽風險下的商品價值波動。由表 4 也可以觀察到，以 Case 4 和 Case 5 來看，兩個商品組合的差異在於 Case 4 的終身年金商品在 Case 5 下變成反向房屋抵押貸款商品，但兩者的對於長壽風險的避險效果卻有明顯的差距存在，Case 4 的情況下商品價值波動的標準差為 3.258%，Case 5 的話則為 0.716%，顯示在其他假設條件不變的情況下，包含反向房屋抵押貸款商品的組合，其對於長壽風險的避險效果優於包含終身年金的組合，同樣的現象也可以在 Case 6 和 Case 7 的比較中觀察得到；而已 Case. 政治大. 4 和 Case 6 來看，兩個商品組合的差異在於 Case 4 的終身壽險商品在 Case 6. 立. 下變成 20 年期的定期壽險，可以很明顯的觀察到兩個 Case 對於長壽風險的避. ‧ 國. 學. 險效果有著明顯的差距，包含保障年期較短的定期壽險商品的 Case 6，其商品組合價值波動比例的標準差為 0.577%，優於包含保障年期較長的終身壽險商品. ‧. Case 4。而從式(10)的公式我們也可以發現，CBD 模型所模擬出來的死亡率曲線，. Nat. sit. y. 當其預測年度較長，死亡率的變異就越大，使得包含了長年期終身壽險 Case 4. n. al. er. io. 的價值波動標準差會明顯高於 Case 6。由此推論，在滿足一階條件(式 3)但未滿. i n U. v. 足二階條件(式 4)的情況下，本研究所採用的避險模型在死亡率有大幅變動的時. Ch. engchi. 候，其避險效果將無法達到預期的效果。表 4：商品組合比例. 𝜔1. Case 1. 0.0800. Case 2. 0.2938. Case 3. 9. 𝜔2. 0.3415. 0.4370. 𝜔3. 0.2207. 𝜔4. 0.2765. 𝜔5. 0.0812. 𝑉0. 14.7944. 𝑆𝑡𝑑. (∆𝐶𝑉)9. 0.2870. 0.2537. 0.1656. 16.4845. 0.942. 0.2576. 0.2489. 0.0565. 11.8094. 0.437. 此處的數值為原數值乘上 100，下文中皆以此形式表式。 36. 0.462.

(43) Case 4. 0.1417. Case 5. 0.3992. 0.7012 0.4294. Case 6. 0.2128. Case 7. 0.5727. 0.6831 0.3996. 0.1571. -2.2929. 3.258. 0.1714. 29.4942. 0.716. 0.1041. -4.3978. 0.577. 0.0277. 21.6243. 0.314. 表 5 是利用 CIR 模型在給定不同參數的情況下所作的情境分析，其數值表示為在不同的 CIR 模型參數下，商品價值受死亡率曲線變動所造成的商品組合價值波動的標準差。以下探討在不同的 CIR 模型參數下，四種不同商品組合的. 政治大. 避險效果會受到何種影響。. 立. ‧ 國. 學. 由數據看來，不同的商品組合在不同的利率情境下，其結果仍存在著明顯的差異，Case 5 的避險效果還是明顯的優於 Case 4，表示包含反向房屋抵押貸款. ‧. 商品在內的商品組合，在表五所列的利率情境中對長壽風險的避險效果較佳，與. sit. y. Nat. 前文所觀察到的情況相同。而在 R15 的利率情境下，Case 4 到 Case 7 的商品價. io. al. er. 值波動最大，也提醒壽險公司未來在面臨類似的利率走勢時，應該要再進行其他. v. n. 的避險策略，以防止所持有之商品組合價值波動過高，而導致損失。. Ch. engchi. 表 5：不同利率條件下商品組合價值的波動. (r , a, b, σ). i n U. Case 4. Case 5. Case 6. Case 7. (3%,0.2,5%,0.08). 3.004. 0.661. 0.581. 0.316. R2. (1%, -, -, -). 3.293. 0.723. 0.631. 0.344. R3. (5%, -, -, -). 2.734. 0.601. 0.534. 0.291. R4. (7%, -, -, -). 3.258. 0.716. 0.576. 0.313. R5. (-, -, 3%, -). 5.423. 1.190. 0.690. 0.375. R6. (-, -, 7%, -). 1.767. 0.387. 0.493. 0.269. R1. 37.

(44) R7. (-, 0.25, -, -). 2.864. 0.630. 0.570. 0.310. R8. (-, 0.35, -, -). 2.732. 0.599. 0.556. 0.303. R9. (-, -, -, 0.04). 3.542. 0.779. 0.605. 0.329. R10. (-, -, -, 0.15). 2.813. 0.617. 0.572. 0.311. R11. (1%, 0.25, -, -). 3.090. 0.679. 0.611. 0.333. R12. (-, 0.25, -, 0.15). 3.255. 0.715. 0.589. 0.321. R13. (5%, -, 3%, -). 4.939. 1.085. 0.633. 0.344. R14. (-, -, 1%, -). 10.219. 2.244. 0.826. 0.448. 立. 政治大. 壽險公司發行反向房屋抵押貸款商品時，會依照借款人所居住的地區、年齡、. ‧ 國. 學. 市場利率、對未來死亡率預測值等條件來計算出可貸與借款人的成數，即為上文所提之「可貸成數」，或稱「本金限制因子」(Principal Limit Factor)。本研究並未. ‧. 去計算在此假設條件下，壽險公司發行反向房屋抵押貸款商品可貸與借款人的可. Nat. sit. y. 貸成數，而是以直接給定的方式來進行後續的數據分析，本段擬利用給定反向房. n. al. er. io. 屋抵押貸款商品不同的可貸成數，來分析在不同的可貸成數限制下，死亡率的波動對商品組合價值的影響。. Ch. engchi. i n U. v. 表 6 為在不同可貸成數下商品組合的單位數與價值變動標準差，從數值結果我們發現當壽險公司提高反向房屋抵押貸款的可貸成數，在本研究所探討的商品價值上將會有所增加，受到長壽風險和財務風險的影響也就更明顯，因此需要較多數量的壽險商品作組合，已達到自然避險的效果，表 6 也呈現這樣的趨勢，當可貸成數提高，商品組合中的反向房屋抵押貸款商品的單位數將會隨之下降，而壽險商品在商品組合中的單位數將會提高，且大致上來說，商品組合的避險效果受到可貸成數的影響不大，大多維持在一定的範圍內，但值得注意到的是，當可貸成數提高到 70%時，商品組合的避險效果有明顯下降的趨勢，這表示壽險公司 38.

(45) 將來若是要發行反向房屋抵押貸款商品時，在利用相關數據計算可貸與借款人的可貸成數時要特別小心，若計算標準過於嚴苛導致計算出來的可貸成數過低，借款人所能獲得的給付金額過低，將大幅降低消費者購買反向房屋抵押貸款的誘因；若是計算標準過於寬鬆導致計算出來的可貸成數過高，壽險公司除了要給付較高的貸款金額給借款人，增加發行商品的成本，提高未來變現後的房屋價值不足以支付發行成本的機率，亦即壽險公司遭遇虧損的機率將會提高，同時較高可貸成數也會使得整各商品組合價值的波動提高，導致有較差的避險效果現象發生，也將提高壽險公司進行風險管理的困難度。. 政治大. 表 6：不同可貸成數下商品組合單位數與價值變動標準差. 可貸成數. 𝜔1. 0.3. 0.3098. 0.5553. 0.1349. ‧. 0.712. 0.4. 0.3598. 0.4837. 0.1565. 0.712. 0.5. 0.3992. 0.4294. Case 7. al. Ch. 0.4763. y. 𝜔5. sit. v ni. 0.4354. 0.1714. 𝑆𝑡𝑑. (∆𝐶𝑉). 0.716. 0.3906. 0.1740. 0.739. U e n g c h i0.3684. 0.1552. 0.805. n. 0.7. io. 0.6. 𝜔4. er. Nat. Case 5. 𝜔2. 學. ‧ 國. 立. 0.3. 0.4515. 0.5250. 0.0236. 0.313. 0.4. 0.5197. 0.4532. 0.0270. 0.312. 0.5. 0.5727. 0.3996. 0.0277. 0.314. 0.6. 0.6207. 0.3613. 0.0180. 0.327. 0.7. 0.6743. 0.3383. -0.0127. 0.365. 39.

(46) 第五章結論與建議. 本研究提出多因子避險模型，讓壽險公司可以調整其所持有的商品組合的單位數，配合避險資產的購買或放空，來規避長壽風險和財務風險所帶來的威脅，達到自然避險的效果，且由於本研究所提出之避險模型可包含數種商品在內，亦可解決 Wang et al. (2010)限制商品種類的問題。同時為因應人口老化的趨勢，壽險公司近來積極開發各式訴求滿足老年人口退休需求的壽險商品，其中反向房屋抵押貸款具有契約有效期間無須償還貸款之本金和利息、無追索權. 政治大貸款商品提供他們一個可以將流動性較差的房屋價值轉換為現金，減少“House 立. (Non-Recourse)和放款形式具彈性等特性外，最吸引退休人口的是反向房屋抵押. ‧ 國. 學. rich and cash poor”的現象，讓老年人得以有足夠的現金支付其日常所需之開銷，且不需搬離其原住所。. ‧. 本研究根據數值分析結果可以獲得以下結論：. sit. y. Nat. n. al. er. io. 1、在假設其他條件不變，僅討論死亡率波動的情況下(如表 4)，可以發現包含. v. 反向房屋抵押貸款商品的商品組合，其商品價值的波動會比不含反向房屋抵. Ch. engchi. i n U. 押貸款商品的商品組合來的小，顯示含有反向房屋抵押貸款商品的商品組合對於未來可能發生的長壽風險具有較佳的避險效果。 2、從表 4 的 Case2 和 Case3 的結果中發現，商品組合內包含的保險商品的保障期間越短，商品組合價值受到死亡率和利率波動的影響就會越小。 3、在同時考慮死亡率風險和利率風險的情況下(如表 5)，所獲得之結果與表 4 一致，含有反向房屋抵押貸款商品之商品組合具有較佳的避險效果，且保險商品的保障年限越短，避險效果越佳。 4、給定不同的可貸成數(如表 6)，對商品組合價值的波動影響不大，但對貸款人而言，過高或過低的可貸成數均會帶來其他不良的影響，因此壽險公司在 40.

(47) 擔任反向房屋抵押貸款商品的借款人角色時，仍須審慎評估借款人與標的房屋的各項條件，給予適當的貸款資金。雖然發行反向房屋抵押貸款可能讓壽險公司遭受其他財務風險因子的影響，但就近來越來越受關注的長壽風險(Longevity Risk)來說，包含反向房屋抵押貸款商品的商品組合，其對長壽風險的避險效果會比傳統的年金壽險來的好，此現象在本研究所假設的各種利率情境中都可以觀察的到。因此台灣壽險公司在未來可嘗試銷售反向房屋抵押貸款這類商品，可以增加壽險公司的經營範圍，也可以藉此抵銷人口老化所帶來的長壽風險威脅。. 政治大本研究仍可再從下述幾個方向做進一步的研究：1、本研究只滿足多因子避立. 險模型的一階條件，因此當死亡率或利率的變動幅度較大時，所能達到的避險效. ‧ 國. 學. 果就會變差，若能滿足模型的二階條件，其所能適用的範圍將更廣泛；2、雖然. ‧. 目前市場上已有將反向房屋抵押貸款債權證券化的商品，但因其計價模型較為複. sit. y. Nat. 雜，且與房屋價格的連動性並不一定明顯，因此在本研究中僅就利率風險這項財. io. er. 務風險因子來做討論，後續研究可再針對反向房屋抵押貸款商品所存在房屋價格風險來做探討，若能找到相對應的商品或是避險資產，則對於壽險公司將來發行. al. n. v i n Ch 反向房屋抵押貸款商品將會有很大的助益；3、一般計算壽險和年金保險保費時， engchi U. 兩者採用的死亡率是不一樣的，年金保險是使用年金生命表與壽險的生命表不同，因此有可能會產生基差風險(Basis Risk)，但本研究因受限於樣本資料，僅能對壽險和年金保險使用相同的生命表來計算其負債價值，各家壽險公司將來可以公司內部的死亡率經驗，依照本研究所提出之多因子避險模型進行相關的避險工作;4、本研究在進行商品組合分析時，並未考量資產與負債的平衡，因此會有商品組合價值為負值的不合理情況發生，未來研究可先就資產負債平衡的觀點著手，讓數值結果得以更符合現實情況。. 41.

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