第二節 待答問題
依據以上研究目的，此研究主要在探討以下問題
一、使用概念關聯結構分析法，得到的資優班和普通班學生在三角形面積概念之子概 念與系列概念上的結構圖是如何？
二、透過得到的結果，來分析資優班及普通班學生在三角形面積概念之子概念與系列 概念上的結構差異是什麼？
三、如何編製一份具信度、效度，且能檢視國小五年級三角形面積概念的優良試題。
第三節 名詞定義
為了使讀者能清楚知道此研究會用到的詞語，本節將研究所用到的有關名詞界定 並說明如下：
一、 國小五年級資優班和普通班
此研究中的國小五年級指的是九十九學年度之台中市某國小資優班和南投縣普通 班各一班的學生。
二、 概念關聯結構分析：
本研究中，所謂概念關聯結構分析係指日本學者竹谷誠於1980年發表「試題關聯 結構分析法」(Item relational structure analysis)，提出以測驗試題的結果，按題目彼此 間反應所得的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性。經由竹谷 誠教授長期實際應用於教育研究後，結果證明了試題關聯結構分析法有助教師進行教 學設計，瞭解兒童的認知學習構造及概念形成過程，對形成性評量的結果進行補救教
學並提供教科書編者對課程教材之瞭解(許天維，1995)。
第四節 研究的範圍與限制
此研究主要在瞭解接受九年一貫正式綱要的五年級資優班和普通班學童，在三角 形面積概念的學習情況。此研究的範圍與限制如下列
一、 此研究基於時間、人力等等因素，無法取得大樣本的範圍和人數，受試樣本僅 限於研究中所測試的兩班學生（一班資優班和一班普通班），故無法推論到其他 五年級的學生，只能做為研究者和教師三角形面積教學時的參考。
二、本研究範圍僅限於診斷學童之三角形面積概念結構圖，研究結果亦不宜推論至其 他單元或主題。
第二章 文獻探討
本章旨在探討本研究之相關文獻，以作為本研究之理論基礎，並藉以建立本研究 之研究架構。由於本研究是要探討資優班學童以及普通班兒童在三角形面積概念的認 知狀況及其層次結構。第一節就學童的面積概念發展進行探討；第二節是國小數學課 程標準之面積課程及教材分析；第三節是國內外相關的研究和學童面積的迷思概念；
第四節就試題關聯結構分析法，分析試題概念的關聯性。
第一節 學童的面積概念發展
一、資賦優異的定義
由於本研究與資優生的三角形面積概念有關連，所以先介紹資優現有的定義與現 況。
「資優」是一個繁複的概念，眾多學者所下的定義各有些許差異。按字義來講，
美國的聯邦教育署長曾經爲資賦優異兒童下了一個多樣化定義，且這個定義，被置於 美國的教育立法（ 91-230公法）中（何華國，2004）：資優學童是由合格的專業人士 所鑑定出來，其能力相當卓越，有高度的成就表現。這些孩子需要超乎一般學校所提 供的特別教育方案或服務，以實現其自我並對社會有所貢獻。有優越表現的兒童，包 括下列任何一種或多種領域具有成就或潛能的兒童：1.一般智能（general intellectual ability）2.特殊學術性向（specific academic aptitude）3.創造性或生產性思考（creative or productive thinking）4.領導能力（leadership ability）5.視覺及表演藝術（visual and performing arts）6.心理動作能力（psychomotor ability）
我國於2006年9月修定發布之「身心障礙及資賦優異學生鑑定標準」中則將資優定 義為：（一）一般智能優異：能在記憶、理解、分析、綜合、推理、評鑑等方面較同 年齡具有卓越潛能或傑出表現。（二）學術性向優異：能在語文、數學社會學科等學 術領域，較同年齡具有卓越潛能或傑出表現。（三）藝術才能優異：能在視覺或表演
藝術方面具有卓越潛能或傑出表現。（四）創造能力優異：能運用心智能力產生創新
（一）面積保留
要進行測量時，將一物件搬到另一處，和另一物件比較，但此物件在搬移或改變 形狀時，依然保留原來的量，兒童對這樣的理解稱為具備保留概念（劉秋木，1996）。
另一位蔡春美（1982)則指出面積的保留概念指的是學童能夠認知物件原有的面積不因 方向轉動、位置移動、形狀改變或切割活動而改變。亦即對某一封閉平面圖形，不論 形狀、位置如何變動，其面積保持相同的認知能力，此部分概念的發展是持續不斷的 成長歷程，而非一次就能學好的。面積保留概念又可包含二個不同的子概念層次，分 別敘述如下：
1.基本面積保留
此概念代表封閉區域內的大小，不因位置的改變而不同。如 與 雖然放置 的方向不同，但面積相同。此外，若圖形本身為合成圖形，例如七巧板或其他組合式 積木，可以重組成不同的形狀，但若兒童具備面積的保留概念，則會明瞭這些組合的 面積都是一樣的。
圖2-1 面積的基本保留概念
Piaget等人於(1999)曾設計了這樣的『牛吃草』實驗，如圖2-1所表示，Piaget以此 實驗觀察兒童何時會放棄「等量減等量，結果相同」的概念。拿了一樣大小的綠色紙 板當做草地，再放上木頭模型代表小木屋。實驗是在兩塊一樣的草地上，放置完全相 同的小木屋，但其中一塊是整齊排列，另一個則是隨意放置。經詢問小朋友，若牛要 吃草，哪一邊的牛可以吃的比較多。結果發現七歲半，甚至在六歲的兒童就有這樣的 基本面積的保留概念。譚寧君（1998）的研究指出四年級兒童基本的面積保留概念的 通過率是76.3％，王選發（2002）研究指出六年級兒童基本面積保留概念的通過率是 93.6％。上述的研究可知，基本面積的保留概念是可以隨年齡的增加而提高通過率。
而這樣的研究也陸續得到很多的印證。
2.互補面積保留
互補面積保留概念指的是，在面積相同的兩個面上，分別減去形狀不同但面積相 同的兩個小平面，剩下的面積依然相等。在兒童已具備基本面積保留概念後，互補關 係才有可能被建立 (譚寧君，1995)。如甲圖與乙圖 ，兩者面積是一樣的，互補面積 保留概念所表示的，即是在面積相等的兩個面上，減去如下所示形狀不同但面積相同
甲圖 乙圖 圖2-2 面積的互補保留概念
的兩塊小平面之後，剩下的面積仍會相同。
(二)面積測量
面積測量的基本概念即在探索封閉範圍內的覆蓋情形，可以分成三個不同層次 (譚寧君，1995)，分述如下：
1.基本面積
（1）直接的點數能力，即表示可以點數出在給定的平方單位格內的面積。
（2）合成活動點數能力，此能力必須要具備在已有的面積保留概念基礎上。如
中，兒童透過點數及合成活動，將四個半格合起來為2個平方單位，算 出面積。年紀不同，保留概念精熟能力不一樣，在合成概念上的表現也不相同。
（3）透過分解、合成活動再進行點數的能力。如 必須先從分解活動找出 灰色面積是由四個三角形所組成，是9個平方單位的一半，故合起來為4.5平方單位，
此為較高層次的點數活動。
（4）經由逆向思考的互補關係進行點數的能力，如 ，若只有透過分解、
合成活動不易點數出面積，但若從互補關係中，即用全部12平方單位扣除『空白』部 分的面積，可以求得面積為6個平方單位。
個平方單位。
2. 單位面積
此概念指的是面積的測量可以利用不同單位的覆蓋或拼湊而成，雖然單位量不 同，但所指的是面積大小是相同。如一個長5公分寬4公分的長方形，可透過不同單位 量來描述面積的大小，舉例來說用邊長1公分的正方形 加以覆蓋，則長方形需要 20個 才能蓋滿，即表示長方形的面積是20個平方單位；若改用40個 蓋滿，則示 長方形的面積是40個平方單位，此時雖為同一長方形，但由於單位量不同，故其單位 數亦有不同 (一為20個 ，一為40個 ) (譚寧君，1998b)。
3. 直線測量概念
直線測量法 (straight line measuring) 已包括單位在數學上的相乘關係，這是 屬於較抽象的推理層次。一般所謂的面積公式如正方形面積由邊長乘以邊長，菱形面 積是對角線相乘除以二求得等均屬於此。直線測量面積概念不只包含公式，而是包含 了以下這四個部分，分別為面積公式、面積做圖、單位量的轉換、面積的包含關係 (譚 寧君，1995)。不同於基本面積概念透過點數測量面積，亦不同於單位面積概念透過覆 蓋、拼湊、比較與切割等活動以進行測量面積，此兩概念 (基本面積概念與單位面積 概念) 只是在單位數的累加與單位量的比較。
（1）公式
在兒童了解邊長為1公分的正方形面積為1平方公分後，透過覆蓋經驗，經驗一個 長4公分寬2公分的長方形，經由1平方公分正方形的覆蓋，需要二排正方形才可完全覆 蓋，一排需要4個，得到4 × 2 = 8，共需8個正方形，可知面積為8平方公分，而了解
長方形的面積公式為長乘以寬。在平行四邊形方面，為求其面積，可透過切割、拼湊
活動合成一個長方形，如 → ，了解其面積公式亦為底乘以
高。其他如三角形、菱形、箏形的面積亦都可透過切割活動發現一般規律的通則，即 所謂的面積公式。面積公式教學過程中，面積公式是經由嚴密的過程求得，並非只靠 勉強記憶，如此才能有助於學童掌握公式之間的關係，公式的教學才有意義。
（2）做圖
利用釘板或是方格紙，請學生圍出或畫出所要求的形狀，兒童透過點數的經驗檢 查所圍成的圖形面積是否符合條件，用實作的方式驗證學生的面積概念是否正確。
（3）單位量
面積概念的重點之一是在單位量的明白，不同於單位面積概念中單位量的轉換是
面積概念的重點之一是在單位量的明白，不同於單位面積概念中單位量的轉換是