第四章 研究結果與分析
第三節 試題關聯結構圖之分析與討論
圖 4-1 資優班
圖 4-2 普通班
三角形面積初步概念子概念之試題關聯結構圖
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1○
8○
11○
4○
22○
15○
13○
1○
8○
11○
22○
13○
15○
4（一）由結構圖 4-1 與圖 4-2 中可觀察得知
資優班學生由結構圖 4-1 得知，試題 1、試題 4、試題 8、試題 11、試題 13、試題 15、試題 22 兩兩之間為等價關連，在圖上有關聯性的結構產生。顯示在學童的答題反 應上，三角形面積初步概念中的「應用問題解題」、「組成和基本性質」、「單位的轉換 和化聚」「點數合成」、「面積公式」、「底高對應」「圖形辨認」七個概念之間有關聯。
由答對率來看，試題的答對率高，皆在 0.9 以上。
普通班學生由結構圖 4-2 得知，試題 8、試題 13、試題 15、對於試題 11 之間有順 序性指向，在圖上有關聯性的結構產生。顯示試題 8 三角形的點數合成、試題 13 面積 公式計算、試題 15 底高對應關係是下位概念，而試題 11 單位的轉換和化聚是上位概 念。顯示需具備點數合成、面積公式計算、底高對應關係的概念後，才能瞭解單位的 轉換和化聚概念。另外，試題 1、4 與其他試題間沒有關聯結構存在，代表對學童而言，
這個概念的學習是獨立的。
（二）由數學教育及試題內容來看
試題 1 需具備各種圖形的辨識能力，並要瞭解圖形組成性質的判別，雖是直觀判 斷，但須具備各圖形組成性質的認識，屬綜合性的應用。試題 4 是三角形的基本組成 性質，題目較易。試題 8 是數格子，屬於面積概念的基本性質。試題 11 是單位化聚的 基本題型。試題 13 是面積應用的基本問題。
試題 15 是三角形的面積公式、試題 22 則是圖形的基本認識。試題 11 答對率較低，
單位的轉換和化聚需具備以上的概念才能選出答案，學童在單位換算的熟練度不足，
無法轉換平方公尺和 1 平方公分之間的關係，故題目較難。
在數學教育方面，資優班學生在三角形面積初步概念中的七個概念之間並無教學 上先後順序的考量，因為他們都呈現了高的答對率，在結構圖上呈現了兩兩的等價關 係，所以在數學教學上可以同時並進。
普通班學生在三角形面積初步概念中的七個概念之間需有教學上先後順序的考 量，所以在數學教學上需從下位概念，再到上位概念。
二、三角形面積的保留概念
此概念包含試題 3、試題 23，共二題，試題之概念分析及結構圖如表 4-7 及圖 4-3、
圖 4-4 所示：
表 4-7 試題 3、23 之概念分析
題號 答對率 認知範圍
資優 普通
3 1.00 0.84 （1）三角形面積的保留概念
（2）三角形的恆等概念
23 1.00 0.80 （1）三角形面積的保留概念
（2）三角形的保留概念
圖 4-3 資優班
○
3○
23圖 4-4 普通班
三角形面積保留概念子概念之試題關聯結構圖
（一）由結構圖 4-3 與圖 4-4 中可觀察得知
資優班學生由結構圖 4-3 得知，試題 3、試題 23 之間為等價關連，有順序性指向，
在圖上有關聯性的結構產生。顯示在學童的答題反應上，三角形面積保留概念中的「保 留概念」、「恆等概念」二個概念之間有關聯。由答對率來看，試題的答對率高，皆在 0.9 以上。
普通班學生由結構圖 4-4 得知，試題 3「等量減等量」面積恆等、試題 23「面積 切割拼湊面積不變」之間無順序性指向，在圖上無關聯性的結構產生。因為試題 3、
23 沒有關聯結構存在，代表對學童而言，這二個概念的學習是獨立的。由答對率來看，
試題 3 的答對率較高，試題 23 答對率較低。。
（二）由數學教育及試題內容來看
試題 3「等量減等量」需具有保留概念及等量公理的概念，才能知道減去的面積 只要相等，不論減去的是哪一些，剩下的面積還是相等。
在數學教育方面，資優班呈現的是等價關連，教學上可同時進行；在普通班方面
○
3○
23試題 3「等量減等量」面積恆等答對率較高。試題 23「面積切割拼湊面積不變」題目 較難。推測若可以由小朋友實際操作，就不會讓同學因直觀判斷造成錯誤。因為教學 現場的一些因素，很可能學童很少親自動手做這樣的學習，若可以由老師親自帶著學 生做過，會有更好的學習效果，也可以提高答對率。
三、三角形面積的估測概念
此概念包含試題 6、試題 25，共二題，試題之概念分析及結構圖如表 4-8 及圖 4-5、
圖 4-6 所示：
表 4-8 試題 6、25 之概念分析
題號 答對率 認知範圍
資優 普通
6 0.92 0.40 （1）三角形面積的估測概念
（2）三角形的底高對應
25 0.80 0.32 （1）三角形的面積估測概念
（2）三角形面積的直接估計
圖 4-5 資優班
○
6○
25圖 4-6 普通班
三角形面積保留概念子概念之試題關聯結構圖
（一）由結構圖 4-5 與圖 4-6 中可觀察得知
資優班學生由結構圖 4-5 得知，試題 6、試題 25 之間無順序性指向， 在圖上沒 有關聯性的結構產生。顯示在學童的答題反應上，三角形面積估測概念中的「底高對 應概念」、「面積估測概念」二個概念之間無關聯。由答對率來看，試題 6 的答對率較 高，試題 25 答對率較低。
普通班學生由結構圖 4-6 得知，試題 6、25 之間無順序性指向，在圖上無關聯性 的結構產生。因為試題 6、25 沒有關聯結構存在，代表對學童而言，這二個概念的學 習是獨立的。由答對率來看，試題 6 的答對率較高，試題 25 答對率較低。
（二）由數學教育及試題內容來看
試題 6 是三角形的等積異形的範疇，且必須融入估計的概念，有一定的難度，學 生因為對量感的培養不足，所以在估計時尚無法正確的估算，需多培養數學的量感來 提高正確估計的能力。試題 25 三角形面積的直接估計，本題是所有題目答對率最低的
○
25○
6題目，推測面積估測概念難度較高，需有完整的三角形面積概念，包含圖形覆蓋、計 算公式、估測，尤其是一平方公分的大小應要有大約多大的量感，教師進行完整的數 學概念引導才能正確作答，兩題的答對率都偏低。
四、三角形面積的測量概念
此概念包含試題 2、試題 5，試題 10、試題 12、試題 14、試題 17、試題 20、試 題 24 共 8 題，試題之概念分析及結構圖如表 4-9 及圖 4-7、圖 4-8 所示：
表 4-9 試題 2、5、10、12、14、17、20、24 之概念分析
題號 答對率 認知範圍
資優 普通
2 1.00 0.76 （1）三角形面積的測量概念
（2）高的迷思概念
5 1.00 0.76 （1）三角形面積的測量概念
（2）三角形的底高對應
10 0.88 0.76 （1）三角形面積的測量概念
（2）三角形的面積估測
12 1.00 0.84 （1）三角形面積的測量概念
（2）三角形的單位轉換與化聚
14 0.88 0.68 （1）三角形面積的測量概念
（2）三角形的基本性質
17 0.96 0.64 （1）三角形面積的測量概念
（2）三角形的點數合成
20 0.92 0.60 （1）三角形面積的測量概念
（2）三角形的面積公式應用
24 0.88 0.68 （1）三角形面積的測量概念
（2）三角形的覆蓋圖形
圖 4-7 資優班
圖 4-8 普通班
三角形面積測量概念子概念之試題關聯結構圖
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24○
10○
14
○
20
○
12○
2○
5
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20
○
24○
14○
10○
2○
5
○
12
○
17○
17（一）由結構圖 4-7 與圖 4-8 中可觀察得知
資優班學生由結構圖 4-7 得知，試題 10 和試題 2、試題 5、試題 12 之間有順序性；
試題 14 和試題 2、試題 5、試題 12 之間有順序性；試題 24 和試題 2、試題 5、試題 12 之間有順序性，而且試題 10、14、24 是試題 2、試題 5、試題 12 的上位概念。而 試題 17 和試題 2、試題 5、試題 12 之間有順序性；試題 20 和試題 2、試題 5、試題 12 之間有順序性，而且試題 17、20 是試題 2、試題 5、試題 12 試題的上位概念。由 答對率來看，試題 2、試題 5、試題 12 的答對率最高；試題 14、試題 20 其次；試題 24、試題 10 答對率最低。
普通班學生由結構圖 4-8 得知，試題 24 和試題 5、10、12 之間有順序性，試題 24 是試題 5、10、12 的上位概念。試題 12 和試題 17 之間也呈現順序性。而試題 17 是試題 12 的上位概念。試題 2、試題 14 和試題 20 之間在圖上無關聯性的結構產生，
代表對學童而言，這三個概念的學習是獨立的。由答對率來看，試題 12 答對率最高，
試題 2、試題 5、試題 10 的答對率其次；再來是試題 14、然後是試題 17；試題 20 的 答對率最低。
（二）由數學教育及試題內容來看
本概念是三角形的面積測量概念，試題 2 是為了評量學生對高的正確概念，學生 對高要垂直底邊仍有迷思，認為只要有連接即是高，需重複強調。試題 5 需有底高對 應的觀念，並要具備相同面積可以有不同形狀的概念，才能正確作答。
試題 10 需要有正確的面積公式概念，對生活中的事物有數字的量感、具有估測的 能力，並且要會單位的換算，只要一個部分不熟悉，即無法作答，屬於綜合性的檢測。
試題 12 需要單位換算，但仍有將長度單位、面積單位誤植的現象，平方公分和平方公 尺是 10000 倍，公分和公尺是 100 倍，這樣的錯誤仍偶有發生，本題答對率高題目較 易。
試題 14 屬於高的基本性質，需明白過頂點並垂直底邊是高這樣的定義及概念才能 正確作答。試題 17 屬於等積異形，含有面積的保留概念，要有切割後不會改變面積大
小的概念可以正確答題。
試題 20 是複合圖形的概念，不同的底有相同的高可以利用乘法對加法的分配律作 答，但學童常會遺漏其中一部份面積，導致答題錯誤。試題 24 需有圖形覆蓋的能力，
數字的量感也很重要，由於題目只給邊長，和小朋友習慣的底、高才算出面積不同，
所以答題狀況不理想。
五、三角形面積的解題應用
此概念包含試題 7、試題 9，試題 16、試題 18、試題 19、試題 21 共 6 題，試題 之概念分析及結構圖如表 4-10 及圖 4-9、圖 4-10 所示：
表 4-10 試題 7、9、16、18、19、21 之概念分析
題號 答對率 認知範圍
資優 普通
7 1.00 0.84 （1）三角形面積的解題應用
（2）三角形面積公式應用
9 0.96 0.80 （1）三角形面積的解題應用
（2）看圖解題的公式應用
16 1.00 0.64 （1）三角形面積的解題應用
（2）三角形的底高對應
18 0.96 0,48 （1）三角形面積的解題應用
（2）三角形的應用問題解題
19 0.96 0.36 （1）三角形面積的解題應用
（2）三角形的保留概念
21 1.00 0.80 （1）三角形面積的解題應用
（2）三角形的面積公式概念
圖 4-9 資優班
圖 4-10 普通班
三角形面積解題應用概念子概念之試題關聯結構圖
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7○
21○
18○
9○
19○
16○
7○
16○
21○
18○
9○
19（一）由結構圖 4-9 與圖 4-10 中可觀察得知
資優班學生由結構圖 4-9 得知，試題 7、試題 16、試題 21 對試題 9 有順序性指向，
在圖上有關聯性的結構產生。試題 7、試題 16、試題 21 對試題 18 有順序性指向，在
在圖上有關聯性的結構產生。試題 7、試題 16、試題 21 對試題 18 有順序性指向，在