第二章 文獻探討
第三節 學生的迷思概念及相關研究
一、迷思概念
教育學者 Ausubel（1968）曾說：「假如要我將所有的教育心理學縮減為一條法則，
我將會這麼說：影響學習最重要的單一因素就是學習者已知道的是什麼。確定其所知，
然後據此教之。」（林清山，1990）
依據以上所述，陳鉪逸 (1996) 認為，迷思概念是思考與判斷錯誤造成的，也是 造成學習障礙的最大原因。因此迷思概念指的是學生在特定的學科中，對某件事或現 象，所持有的一些有別於目前科學家所公認的想法 (謝青龍，1995)。所以，作為一個 教師的角色，應該試著找出學生的迷思概念及錯誤造成原因，並導正學生錯誤的想法 藉此有效引導教學活動的進行。以下是學生在學習面積時所產生的迷思概念：
（一）缺乏保留概念
(1) 王選發 (2002)、譚寧君 (1998a)指出學童對於切割變形但沒有保留切割痕跡的 圖形，缺乏面積保留概念。(2)王選發 (2002) 的研究指出學童受視覺影響，無法了解 等量減等量面積不變的保留性概念。在面積保留上的迷思概念有以下這一些：(3) 陳 鉪逸 (1997) 指出，學生的面積保留概念受到圖形轉向的影響。 (4) Hutton (1978) 指 出兒童在處理保留概念時的困難。如向48 位11 歲學生展示二個切割成三份的全等圖 形，如 將左邊的三角形移至右邊，使形成 ，此時有9 名學生表示兩 者面積不一樣。
（二）語彙溝通的迷思
陳鉪逸 (1997) 指出學生對於「有面積的圖形」的概念並不清楚，會有部分學生 認為：規則圖形、有面的、有單位的、平平的才有面積、或是認為有長度就有面積、
有直角的圖形才有面積以及有空間的就有面積，這與封閉區域的圖形概念有很大的差 別；也有學生認為曲線所圍成的封閉區域是沒有面積的，或沒有底和高的圖形無法求 出面積，因此這些圖形就是沒有面積的圖形，由此處可以看出部分學生對於「求不出 面積」與「沒有面積」這兩個概念是無法分辨的。
（三）一維單位及二維單位間變換的錯誤
面積單位是二維的平方單位，但有學生會以一維的長度單位來表示面積單位。
Gibson (1984) 指出學生以邊長單位做為面積單位。此外，洪義德 (2002) 指出，學生 在面積單位上的錯誤類型有：(1)單位寫錯。(2) 漏寫單位。(3) 單位間的轉換錯誤。這 是因為學生在處理單位轉換時，長度與面積關係的轉換概念不清楚，如對1公尺等於100 公分和1平方公尺等於10000平方公分常混淆不清，由一向度到二向度的變化概念仍然 混亂的緣故 (陳鉪逸，1997)。王選發 (2002) 研究結果亦顯示，在單位化聚問題上，
不少學童會誤認面積單位關係為長度單位關係。
（四）單位量與測量總量間的關聯模糊
混淆，解題時多依賴機械性的公式計算。王選發 (2002) 研究發現，學童誤認面積相 等周長就會相等，此發現與國內外許多研究相同 (高敬文，1989；陳建誠，1998；Baturo,
& Nason, 1996；Reinke, 1997)。譚寧君 (1995) 研究則發現學童存在周長相同面積就一 定一樣，或是周長越長面積就會越大的迷思概念。
(七)面積公式的不瞭解與過度依賴
譚寧君 (1998a) 指出五、六年級學生常有公式上的錯用，又若題目提供非需要的 資訊時，更造成判斷上的困難。戴政吉 (2001) 研究中，發現學童易執著於面積公式 中一定要兩數相乘的思考邏輯，只要題目中出現與面積相關的概念，他們的算式中必 定出現兩數相乘，不管算法是否合理。陳鉪逸 (1997) 研究中指出，高年級學童依賴 公式解決問題的情形十分普遍，許多學生對使用公式所需的條件認識不清，除運用不 適當的公式來解題之外；也有背錯公式，或是為了配合公式，不惜勉強配合而誤算答 案者。學童採用這些錯誤策略的原因極可能是學生不明白公式的來源、公式推導過程 與使用公式的背景。由這些研究發現都可以看出，學童不能真正了解面積概念及面積 公式的內涵，而只是記憶公式，所以會造成公式的錯用。所以，教學者進行面積公式 教學時，應加強學生對公式意義的解說，並在佈題時應避免常出只需利用公式便可求 解的「基礎型問題」，而是使學生在數學課程內習慣於面對「非常見的問題」，藉以 培養學生養成積極思考的能力與習慣 (黃敏晃1997) 。
(八)學童量感的不足，以致估測與實測能力也差
王選發 (2002) 發現：(1) 以估測黑板為例，答對率為47.6%，可見大多數學童對 生活中較大物體面積的估測經驗欠缺，且對各種單位大小缺乏量感。(2) 學童對於面 積較小的規則圖形，很大比例學童有高估面積的現象，其結果與戴政吉 (2001) 的研 究結果是相同的。 (3) 不規則圖形的估測表現，有52.7%答對率，有34.2%學童高估面 積；陳建誠 (1998) 研究亦發現，學生在不規則圖形的估測能力較差。相同的問題高 敬文 (1989) 以填充題做測驗，發現12歲組的通過率，台灣僅為32.7%；此外莊維展
差。總結以上研究結果，學童估測能力的表現並不好，且普遍有高估面積的現象。譚 寧君 (1998a) 研究指出，估測活動在一般數學教室中較少進行，所以即使提供相當簡 單的長方形 (長邊2公分，寬邊1.5公分 )，甚至不限制可以使用工具情況下，通過率仍 只有六成。學童在面積估策上所形成的迷思概念可能使學童在解決問題時採取不恰當 策略，這當中包括直觀處理，如圖形被畫分為八格，便認為有8 平方公分，或是周長 概念與面積概念混淆。
第四節 試題關聯結構分析法理論
一、 試題關聯結構分析法理論
IRS是適合處理小樣本的方法，當樣本數不多時，例如處理大約一個班級大小的人 數，進行步驟如下所敘述（許天維，1995）
（一）尋找分析對象
（二）設計試題
（三）資料建檔
（四）試題分析與統計分析
（五）描述結果
（六）發表結論與建議：根據描述驗證，提出相關的訊息並賦予具體的建議 在試題關聯結構法中，有一個重要的核心價值是試題的上位和試題的下位關係，
簡言之，就是試題之間的關聯性。舉例來說，假如試題 A 是上位概念，試題 B 是下位 概念，它們之間有上、下位關聯，那麼如果試題 A 能答對，那麼試題 B 就能答對，也 就是上位概念會，下位概念就一定能答對。
來舉一個實例來說明試題關聯結構分析法理論，若存在A、B這兩組的學生，每組 各有10位學生，兩組的學生同時參加共6題的相同測驗，每個試題都各代表某一個想要 測驗的數學概念。答對某一個試題即代表通過該概念，得l分，答錯即代表未通過，得 0分。此兩組學生施測後的情形如下表2-4-A與表2-4-B。
表 2-4-A A 組學生試題通過情形
表2-5-A A組學生試題通過情形簡表
其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得如下表2-6-A與表
題6的學生亦通過試題5，此時畫出試題5到試題6的箭頭，記做5à6；通過試題5的學生 有3號、9號和2號，他們同時也通過了試題4所以記為4à5；通過試題4的學生有3號、9 號、2號、5號和4號，他們亦通過了試題3，所以記為3à4；通過試題3的學生有3號、9 號、2號、5號、7號、6號和4號，他們亦通過試題1，所以記為1à3；另一方面，通過 試題5的學生有3號、9號和2號，他們同時也通過了試題2，所以記為2à5；其餘依此類 推。
依上面分析，我們定義答對率如下：
試題答對率＝ ─────────
並以縱座標為通過率，將分析結果用箭頭標示畫出，成為完整的試題關聯結構圖，
如下圖2-3-A與圖2-3-B。
試題答對率 A組結構圖 試題答對率 B組結構圖
0.1 7 0.1 7
0.2 6 0.2 6
0.3 5 0.3 5
0.4 0.4
0.5 4 0.5 4
0.6 0.6
0.7 2 3 0.7 2 3 0.8 1 0.8 1 圖 2-3-A A 組試題關聯結構圖 圖 2-3-B B 組試題關聯結構圖
受試答對人數 所有受試人數
觀察上面兩個試題關聯結構圖表，發現兩個結構圖不盡相同，儘管A、B兩組各試
順序性係數為r*ij表示試題i指向試題j的順序性程度，也就是說試題i為下 位概念(lower concept)，試題j為上位概念(upper concept)的程度。順序性係數 是一個數值，若順序性係數大於閥值，表示試題i與試題j順序性存在；反之則 否。根據Takeya(1991)的研究，閥值(threshold)為0.5，亦即
r*ij>0.5，則有試題i指向試題j之順序關係，記作iàj r*ij<0.5，則試題i與試題j沒有順序關係。
(二)繪製試題關聯結構圖 結構圖繪製流程如下：
1、根據試題間之順序性係數，整理出所有試題間是否有順關係。以表2-5中A 組學童作答情形為例，計算出試題的順序係數，如表2-7。
表2-7 試題順序係數 試題i
試題j
1 2 3 4 5 6 7
1 － +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 2 +0.583 － +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 3 +0.583 +1.000 － +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 4 +0.250 +0.429 +0.429 － +1.000 +1.000 +1.000 5 +0.107 +0.184 +0.184 +0.429 － +1.000 +1.000 6 +0.062 +0.107 +0.107 +0.250 +0.583 － +1.000 7 +0.068 +0.048 +0.048 +0.111 +0.259 +0.444 －
2、在求完所有的試題順序性係數後，以l和0表示此種順序指向的存在與否，順
序係數大於0.5的係數改寫為1，而小於0.5的係數改寫為0，將試題順序係數表修 改成簡便的0-1表，如表2-8。
表2-8 試題順序0-1表 試題i
試題j
1 2 3 4 5 6 7
1 － 1 1 1 1 1 1
2 1 － 1 1 1 1 1
3 1 1 － 1 1 1 1
4 0 0 0 － 1 1 1
5 0 0 0 0 － 1 1
6 0 0 0 0 1 － 1
7 0 0 0 0 0 0 －
3、結構圖的縱軸代表通過率，在平面上標示試題位置，並以「 」表示兩 者之間的關係，通過率高的在下面，通過率低的在上面，根據試題順序係 數0-1表，繪出圖2-4(1)。
4、兩試題間若能以直接或問接相連接時，則應除去直接連結的箭號，以簡化 試題關聯結構圖。如試題i為試題j的下位概念，順序關係為iàj；試題j為 試題k的下位概念，順序關係為jàk；試題i為試題k的下位概念，順序關係 為iàk，而iàk為遞移指向，應將其消除，如圖2-4(2)所示。
5、最後，將等價的概念合併，即可得試題關聯結構圖，如圖2-4(3)所 示。
三、試題關聯結構分析法的功能及適用對象
表2-9 試題關聯結構的適用對象
對 象 項 目 計 量 資 料 解 釋 測驗 測驗項目 測驗的對錯 測驗架構之分析 教材 學習課程 測驗或行為觀察等之成就
程度
教材與架構之分析
問卷 問卷項目 問卷調查之結果 態度、品質之分析
由表2-9中可以得到一個事實，試題關聯結構分析不僅適用於試題測驗上，在其他 類型的問卷上也有很好的應用。黃盈君(2001)的研究指出，利用試題關聯結構分析法，
獲得三角形圖形的概念結構，也發現不同性別學生概念結構並無差異。楊秀倩(2002) 的研究發現根據試題關聯結構分析呈現的訊息，瞭解國小五、六年級資優生於梯形面 積的概念結構是有差異性的。秦達祐(2007)的研究中發現態度量表是可以與試題關聯
獲得三角形圖形的概念結構，也發現不同性別學生概念結構並無差異。楊秀倩(2002) 的研究發現根據試題關聯結構分析呈現的訊息，瞭解國小五、六年級資優生於梯形面 積的概念結構是有差異性的。秦達祐(2007)的研究中發現態度量表是可以與試題關聯