國小五年級資優班及普通班學童三角形 面積概念結構分析之研究
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(2) 謝誌 時光非逝，在完成論文的當下，心中充滿的不是完成論文的成就，亦不 是畢業在即的喜悅，而是無窮無盡的感謝。 兩年，雖並不是一段很長的時間，若沒有指導教授許天維老師的殷切指 導，我必然無法在迷霧之中找到方向，將論文於時限之內順利完成。 感謝辛俊德博士以及胡豐榮處長，在繁忙的研究以及行政工作中撥空擔 任口試委員，有了您們的建議與指正，我的研究內容才能更加完整。希望我 的努力沒有辜負您們的期待。 也特別感謝研究所同學這段日子以來，在研究及課業上的互相扶持，若 不是這樣的相互提攜，必定無法順利闖過一關一關的難關，心中也是充滿了 無盡的謝意。 最後，在這兩年的研究生涯，也正好是我目前為止最辛苦的時期， 研 究所兩年的萬般滋味，如人飲水，冷暖自知。最後，僅將本文獻給我最辛苦 的老婆、最敬愛的父母，因為有您們的栽培、照顧，才能有現在的我，以及 有今天的成就。 莊明政 謹誌 中華民國一百年六月. I.
(3) 國小五年級資優班及普通班學童三角形面積概念 結構分析之研究. 摘要 本研究之目的在於由研究者編製三角形面積概念測驗試題，並利用試題 關聯結構分析法（IRS）對施測結果加以進行分析形成三角形面積概念結構 圖，以研究國小五年級資優班和五年級普通班學童在三角形面積概念的知識 結構。 本研究以臺中市某國小五年級資優班一班以及南投縣某國小五年級普 通班一班為研究對象，施測後採用試題關聯結構理論之 IRSP 電腦程式進行 紙筆測驗資料的分析，期望能從中獲得兩個不同類型班級的學童，在三角形 面積概念的試題關聯結構圖中中所呈現的訊息。依據結構圖所呈現的結果， 獲得以下結論： 一、三角形面積的初步概念 資優班學生在此概念中呈現兩兩題目之間的等價關連，而且兩試題之間 互相有順序性指向；而普通班則需具備面積的點數合成、面積公式計算、底 高對應關係的概念後，才能瞭解單位的轉換和化聚概念。 二、三角形面積的保留概念 資優班學生在試題 3「等量減等量」面積恆等、試題 23「面積切割拼湊 面積不變」之間為等價關連，有順序性指向；普通班學生，試題 3、試題 23 之間無順序性指向，在圖上無關聯性的結構產生。 三、三角形面積的估測概念 資優班學生在三角形面積估測概念中的「底高對應概念」 、 「面積估測概. II.
(4) 念」二個概念之間無關聯；普通班學生試題 6、25 之間無順序性指向，在圖 上無關聯性的結構產生。因為試題 6、25 沒有關聯結構存在，代表對學童而 言，這二個概念的學習是獨立的。. 四、三角形面積的測量概念 資優班學生在圖中呈現，試題 10、14、24 是試題 2、試題 5、試題 12 的上位概念，而試題 17 和試題 2、試題 5、試題 12 之間有順序性；試題 20 和試題 2、試題 5、試題 12 之間有順序性，而且試題 17、20 是試題 2、試 題 5、試題 12 試題的上位概念。 普通班學生在圖中呈現，試題 24 和試題 5、10、12 之間有順序性，試 題 24 是試題 5、10、12 的上位概念。試題 12 和試題 17 之間也呈現順序性。 而試題 17 是試題 12 的上位概念。試題 2、試題 14 和試題 20 之間在圖上無 關聯性的結構產生。 五、三角形面積的解題應用概念 資優班學生顯示在學童的答題反應上，三角形解題應用概念中的試題 7、16、21 分別是試題 9、18、19 的下位概念。 普通班學生顯示試題 7 是下位概念，試題 9 和試題 21 是上位概念。除 此之外，另可發現試題 9 和試題 21 是等價關連。另外，試題 16、18、19 之 間沒有關聯結構。 綜合以上結果，並根據此結果提出若干建議，以作為教學者以及將來研 究之參考。 關鍵詞：國小五年級資優班、五年級普通班、三角形面積概念、試題關聯結構分析法. III.
(5) A study on the triangle concept for the gifted and normal students of the fifth grade.. Abstract This study is to compose an exam paper on triangle area, and to analyze the test outcome by utilizing the relational structure figure drawn by Item Relational Structure analysis (IRS), with the expectation to explore the cognition construction process of fifth-graders when they are forming their concepts of triangle area. The study was conducted on two class of fifth-graders of elementary school in Taichung city and Nantou County(denoted as gifted students class-A and normal students class-B). After the students took the test, the outcome was analyzed with IRSP, which its design is based on IRS with the expectation of getting information through the item relational structure analysis figure. According to the structure figure, several findings are concluded as below: I. Preliminary Concept of Triangle Area The structure analysis figure derived from outcome of the test shows the test questions not only have sequential relations but also equivalent relations in Class-A students. On the other hand, Class-B students need to have the concept of counting prior ,concept of using formula to calculate the area of triangles,concept of relation between base and height in order to concept of converting area units. II.. Conservatory Concept of Triangle Area In item 3 and 23,the structure analysis figure shows sequential relations and equivalent relations in Class-A students. On the other hand, two test questions appear no sequential relations in Class-B. Thus, two concepts are independent to each other. III.. Estimating concept of Triangle Area The structure analysis figure shows no sequential relations in concept of relation between base and height and estimating concept of triangle area in Class-A students. On the other hand, there are no sequential relations in Class-B students. Thus, two concepts are independent to each other. IV.. Measurement Concept of Triangle Area Test questions appear to have concepts of genus and species in Class-A students. The concept of species is item 2,item5,item 12 ; the concept of genus is item 10,item14,item 24.There are sequential relations between item 2,item5,item 12 and item 17,and there are sequential relations between item 2,item5,item 12 and item 20. The concept of species is item 2,item5,item 12 ; the concept of genus is item 17,item20. IV.
(6) On the other hand, there are sequential relations between item 5,item10,item 12 and item 24.The concept of species is item 5,item10,item 12 ; the concept of genus is item 24,and there are sequential relations between item 12and item 17. The concept of species is item 12 ; the concept of genus is item 17. There are no sequential relations between item 2 and item 14 and item20. V. Application to problem-solving concept of Triangle Area The structure analysis figure in Class-A students shows the relation between item7,16,21 and item 9,18,19. We found item 7,16,21 is the concept of species,item 9,18,19 is the concept of genus. On the other hand, the structure analysis figure in Class-B students shows the relation between item7,and item 9,21. We found item 7 is the concept of species,item 9,21 is the concept of genus. It also exists an equivalent relation between item 9 and item 21. There are no sequential relations between item 16 and item 18 and item 19. With the findings and conclusion, the researcher has made some suggestions that educators and future studies can draw reference to. Keywords: fifth-grade students,concept of triangle area, gifted students , item relational structure analysis. V.
(7) 目次 第一章 緒論 第一節 研究動機與目的.......................................... ......…............ ......1 第二節 代答問題........................................................... ........................3 第三節 名詞定義......................... ..........................................................3 第四節 研究範圍與限制............................. ........ .................................4 第二章 文獻探討 第一節 學童的面積概念發展...............................................................5 第二節 國小教材的分析.................................... ............... .................12 第三節 學生的迷思概念及相關研究............................... …..............18 第四節 試題關連結構分析法..............................................................22 第三章 研究方法 第一節 研究架構........................................ .........................................33 第二節 研究樣本........................................ ........................................34 第三節 研究工具........................................ ........................................34 第四節 研究流程........................................ ........................................44 第五節 資料的統計與分析................................ ................................45 第四章 研究結果與分析 第一節 試題性質分析.................................... .....................................46 第二節 試題關聯順序性係數之分析..................................................48 第三節 試題關聯結構圖之分析與討論..............................................53 第五章 結論與建議 第一節 結論.........................................................................................67 第二節 建議.........................................................................................72 參考文獻 一、中文部分.................................................................................................75 二、英文部分.................................................................................................77 附錄 附錄一 試題檢核表.............................................................................79 附錄二 國小五年級學童三角形面積概念測驗工具..........................80 附錄三 國小學童三角形面積概念專家效度問卷..............................84 VI.
(8) 表次 表 2-1 表2-2-A. 82 年版數學科『量與實測』領域內『面積』教材綱要.....14 九年一貫數學領域『數與量』中的面積教材分佈.................15. 表2-2-B. 100學年度課程綱要數學領域『數與量』中的面積教材分佈..16. 表2-3. 82年版與九年一貫數學領域「面積」教材分佈比較.................17. 表 2-4-A. A 組學生試題通過情形..............................................................23. 表 2-4-B. B 組學生試題通過情形..............................................................23. 表2-5-A. A組學生試題通過情形簡表.......................................................24. 表2-5-B. B組學生試題通過情形簡表.......................................................24. 表2-6-A. A組學生得分排序表...................................................................25. 表2-6-B. B組學生得分排序表...................................................................25. 表2-7. 試題順序數..................................................................................28. 表 2-8. 試題順序 0-1 表..........................................................................28. 表 2-9. 試題關聯結構的適用對象..........................................................32. 表 3-1. 預試試卷的三角形概念試題雙向細目表..................................37. 表 3-2. 預試試題分析表..........................................................................40. 表 3-3. 正式試卷三角形概念試題雙向細目表......................................42. 表 4-1. 正式施測試題分析表..................................................................47. 表 4-2. 資優班試題關聯順序性係數一覽表............................................49. 表 4-3. 普通班試題關聯順序性係數一覽表............................................50. 表 4-4. 資優班順序性係數之 0-1 矩陣表................................................51. 表 4-5. 普通班順序性係數之 0-1 矩陣表................................................52. 表 4-6. 試題 1、4、8、11、13、15、22 之概念分析..........................53. 表 4-7. 試題 3、23 之概念分析..............................................................56. 表 4-8. 試題 6、25 之概念分析..............................................................58. 表 4-9. 試題 2、5、10、12、14、17、20、24 之概念分析................60. 表 4-10. 試題 7、9、16、18、19、21 之概念分析................................63 VII.
(9) 圖次 圖 2-1. 面積的基本保留概念......................................................................7. 圖2-2. 面積的互補保留概念.....................................................................8. 圖2-3-A. A組試題關聯結構圖.....................................................................26. 圖2-3-B. B組試題關聯結構圖.....................................................................26. 圖2-4. 試題關聯結構圖之簡化（1）......................................................30. 圖2-4. 試題關聯結構圖之簡化（2）......................................................30. 圖2-4. 試題關聯結構圖之簡化（3）......................................................30. 圖 3-1. 研究架構圖...................................................................................33. 圖 3-2. 學童的三角形認知發展概念圖.....................................................35. 圖 3-3. 三角形面積知識概念圖.................................................................36. 圖3-4. 研究流程圖....................................................................................44. 圖 4-1. 資優班「三角形面積初步概念子概念」之試題關聯結構圖........54. 圖 4-2. 普通班「三角形面積初步概念子概念」之試題關聯結構圖........54. 圖 4-3. 資優班「三角形面積保留概念子概念」之試題關聯結構圖.......56. 圖4-4. 普通班「三角形面積保留概念子概念」之試題關聯結構圖......57. 圖 4-5. 資優班「三角形面積保留概念子概念」之試題關聯結構圖......58. 圖 4-6. 普通班「三角形面積保留概念子概念」之試題關聯結構圖.......59. 圖 4-7. 資優班「三角形面積測量概念子概念」之試題關聯結構圖.......61. 圖 4-8. 普通班「三角形面積測量概念子概念」之試題關聯結構圖......61. 圖 4-9. 資優班「三角形面積解題概念子概念」之試題關聯結構圖.....64. 圖 4-10. 普通班「三角形面積解題概念子概念」之試題關聯結構圖.....64. VIII.
(10) 第一章 緒論 在現行教育制度中，除了一般學生之外，資優生的智力、創造力等也是受到關注 的一環。本研究旨在探討國小五年級的資優班學童以及五年級的普通班學童在三角形 面積的學習情況，並利用試題關連分析法來分析他們的三角形面積思考能力層次和順 序。本章在說明研究的動機和目的、待答問題、研究中所需之名詞定義、和研究之範 圍與限制。. 第一節 研究動機和目的 一、研究動機 人力資源在高度競爭的社會，越來越被重視，所以自小學起，資優生的教育和各 項議題始終受到大眾的關注。如果在適當的引導和教育下，這一些天賦優異的孩子， 將可變成社會重要的中流砥柱，成就社會國家更大的進步。正因為如此，探討知識結 構概念將有助於讓學生有更大的機會，受到正確有效率的教導是重要的。 自從 64 年版的數學教材實施起，有很長的時間課程沒有重大的修訂，主要是以老 師的講述性課程為主，學生只是被動的接受知識和背誦公式計算。但是從實施 82 年版 新課程標準後（1993 年 9 月修訂公布），我們可以發現課程已轉變成為以學習者為中 心的趨勢，藉著和同儕、教師之間的討論，建立起自己的解題經驗，累積之後成為自 己的觀念。 『數學對學童的意義，由發現轉向建構』 （寗自強，1993） 。自九十學年度起 實施的九年一貫課程數學學習領域總目標強調能力的開拓，期望提供 80％以上的學 生，對課程綱要內每個階段的學習內容，都具有學習能力，而課程總綱也以培養學生 具備帶著走的基本能力，拋掉背不動的書包與學習繁雜的知識教材為努力宗旨（教育 部，1998）。 教師在這樣的過程中，已經從以前的主導者，漸漸變成現在的從旁協助者。因此 教師應該引導學生發展自己的解題策略，教師方能教的比較有效率。許多認知心裡學 者認為，兒童在學習科學概念前，並不是空白的，因此教師在教學前先瞭解學生有哪 些數學概念、和概念的層次，還有可能的迷思概念是哪些是有必要的。 1.
(11) 尤其是在我們的生活中經常充滿了面積的概念，從小開始，拜拜用的桌子、寫字 的簿本，家裡的地板，到阿嬤的菜園都和面積息息相關。但是學生對面積的概念往往 總是停留在背公式演算，並沒有注意面積真正的意義。譚寧君（1995）發現學生對面 積的概念就是一連串的公式，但面積的意義和之間的關聯性經常被忽略，也因為如此， 學生的概念經常是不精密、囫圇吞棗而影響學習的。 近年來陸續推動了多次的課程改革，從 82 年新課程，九年一貫暫綱，到九年一貫 正式綱要，在有關面積概念方面，從初步的概念、直接比較、間接比較、個別單位的 描述、單位的化聚到公式的建立，一系列下來學生所學習的概念才是完整的。只是在 現實方面，教師大都為了教學效率或是其他因素，大都將重點放在面積公式的熟悉和 應用，包含正方形、長方形、到圓形等等（陳鉪逸，1996；吳德邦，1997；譚寧君， 2000；朱玉如，2002） 。在 TIMSS 的測驗中發現，台灣學生在『測量』這一項目中， 通過率是不佳的。也由於教科書中，往往呈現是完整的圖形，學生偏重用公式透過紙 筆來解題，所以在公式和面積的關聯上，學生的理解是很薄弱的。 雖然如此，但是資優生有良好的運思技巧、高度統整力和理解不同訊息的能力， 知覺敏銳、獨立且好問（洪美鈴，2001） 。因此資優生的認知特質在建構三角形面積概 念時會有怎樣的序列性結構，是學者關注的主題。只是目前有關面積的概念研究還是 以普通班為主，針對資優生的部分較少有人探討。於是取樣的過程中便選擇了一班資 優生及一班普通班，可以藉此驗證已做過的理論並做比較。另外過去對三角形面積概 念的研究，都著重在三角形面積的保留概念、測量概念、估測活動與迷思概念，然而 本研究將以概念關聯結構分析法去研究資優班學生和普通班學生對三角形面積的思考 能力層次和順序。 因此本研究將從三角形面積的初步概念、保留概念、測量概念、估測概念、解題 應用五個方向，藉由日本學者竹谷誠所提出的概念關聯結構分析法，簡稱 IRS 分析法， 來分析國小五年級資優班學生和普通班學生在三角形面積概念的思考能力層次和順 序。. 2.
(12) 二、研究目的 根據以上的研究動機，本研究主要的目的在 （一） 利用概念關連結構分析法，瞭解國小五年級資優班和普通班學生在三角 形面 積的概念結構。 （二） 以五年級資優班和普通班的學生來分析在三角形面積概念結構上有何不同之 處. 第二節 待答問題 依據以上研究目的，此研究主要在探討以下問題 一、使用概念關聯結構分析法，得到的資優班和普通班學生在三角形面積概念之子概 念與系列概念上的結構圖是如何？ 二、透過得到的結果，來分析資優班及普通班學生在三角形面積概念之子概念與系列 概念上的結構差異是什麼？ 三、如何編製一份具信度、效度，且能檢視國小五年級三角形面積概念的優良試題。. 第三節 名詞定義 為了使讀者能清楚知道此研究會用到的詞語，本節將研究所用到的有關名詞界定 並說明如下： 一、 國小五年級資優班和普通班 此研究中的國小五年級指的是九十九學年度之台中市某國小資優班和南投縣普通 班各一班的學生。 二、 概念關聯結構分析： 本研究中，所謂概念關聯結構分析係指日本學者竹谷誠於1980年發表「試題關聯 結構分析法」(Item relational structure analysis)，提出以測驗試題的結果，按題目彼此 間反應所得的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性。經由竹谷 誠教授長期實際應用於教育研究後，結果證明了試題關聯結構分析法有助教師進行教 學設計，瞭解兒童的認知學習構造及概念形成過程，對形成性評量的結果進行補救教 3.
(13) 學並提供教科書編者對課程教材之瞭解(許天維，1995)。. 第四節 研究的範圍與限制 此研究主要在瞭解接受九年一貫正式綱要的五年級資優班和普通班學童，在三角 形面積概念的學習情況。此研究的範圍與限制如下列 一、 此研究基於時間、人力等等因素，無法取得大樣本的範圍和人數，受試樣本僅 限於研究中所測試的兩班學生（一班資優班和一班普通班） ，故無法推論到其他 五年級的學生，只能做為研究者和教師三角形面積教學時的參考。 二、本研究範圍僅限於診斷學童之三角形面積概念結構圖，研究結果亦不宜推論至其 他單元或主題。. 4.
(14) 第二章. 文獻探討. 本章旨在探討本研究之相關文獻，以作為本研究之理論基礎，並藉以建立本研究 之研究架構。由於本研究是要探討資優班學童以及普通班兒童在三角形面積概念的認 知狀況及其層次結構。第一節就學童的面積概念發展進行探討；第二節是國小數學課 程標準之面積課程及教材分析；第三節是國內外相關的研究和學童面積的迷思概念； 第四節就試題關聯結構分析法，分析試題概念的關聯性。. 第一節 學童的面積概念發展 一、資賦優異的定義 由於本研究與資優生的三角形面積概念有關連，所以先介紹資優現有的定義與現 況。 「資優」是一個繁複的概念，眾多學者所下的定義各有些許差異。按字義來講， 美國的聯邦教育署長曾經爲資賦優異兒童下了一個多樣化定義，且這個定義，被置於 美國的教育立法（ 91-230公法）中（何華國，2004）：資優學童是由合格的專業人士 所鑑定出來，其能力相當卓越，有高度的成就表現。這些孩子需要超乎一般學校所提 供的特別教育方案或服務，以實現其自我並對社會有所貢獻。有優越表現的兒童，包 括下列任何一種或多種領域具有成就或潛能的兒童：1.一般智能（general intellectual ability）2.特殊學術性向（specific academic aptitude）3.創造性或生產性思考（creative or productive thinking）4.領導能力（leadership ability）5.視覺及表演藝術（visual and performing arts）6.心理動作能力（psychomotor ability）. 我國於2006年9月修定發布之「身心障礙及資賦優異學生鑑定標準」中則將資優定 義為：（一）一般智能優異：能在記憶、理解、分析、綜合、推理、評鑑等方面較同 年齡具有卓越潛能或傑出表現。（二）學術性向優異：能在語文、數學社會學科等學 術領域，較同年齡具有卓越潛能或傑出表現。（三）藝術才能優異：能在視覺或表演 5.
(15) 藝術方面具有卓越潛能或傑出表現。（四）創造能力優異：能運用心智能力產生創新 及建設性之作品、發明、或問題解決。（五）領導才能優異：具有優異之計畫、組織、 溝通、協調、預測、決策、評鑑等能力，而在處理團體事物上有傑出表現。（六）其 他特殊才能優異：指在肢體動作、工具運用、電腦、棋藝、牌藝等能力具有卓越潛能 或傑出表現。由以上所述可知，我國對資賦優異的定義與他國法規及學者的看法同質 性相當的高，都是以比較寬廣的的角度來界定資賦優異是什麼。均強調資賦優異學生 是在一般智能、學術性向、藝術才能、創造能力、領導才能及其他特殊才能等多個或 任一個領域中有傑出表現者。 我國學者侯禎塘（2001）則是整理了美、英兩國官方及學者George and Renzulli 對資優及資優教育的定義，「資賦優異學生」是指當與同齡、同樣生活經驗的兒童或 青少年相比較時，顯示具有傑出能力或具有卓越成就表現潛能者。這些資優兒童和青 少年的傑出表現往往顯示在智力、創造力、藝術領域、領導能力或特殊學術性向方面。 二、面積定義 面積指的是在平面上，對直線或曲線所圍成的封閉區域，進行測量並數值化的過 程，也就是某一封閉區域內平面的大小（譚寧君，1995），亦即表示對此一特定區域 被數個單位量所覆蓋的程度。此時的覆蓋活動，含有二個條件：(1) 面積是有周界的， 故覆蓋物不能超過給定的邊界。(2) 面積是從一維到二維掃描的結果，故覆蓋物不能 重疊。陳鉪逸（1996）認為面積是『一條有固定長度的線段或曲線，所掃出來的封閉 區域可以對應到一個連續量，此量為其面積』。因此面積概念包含了三個主要部分， （1）面積保留；（2）面積測量；（3）面積估測 三、面積概念 面積概念發展有一定的順序，從保留概念到測量概念的建立，再而發展到估測概 念。由九年一貫課程綱要數學學習領域目標分類得知，面積分類於量與實測的教材領 域，測量教材的本質在於量感的培養及測量概念的建立，學習面積概念的過程中若忽 略從操作中學習及了解，進而了解面積公式的意義及不同公式間的關聯性，將導致面 積概念的不完整和偏差。以下是面積概念發展所含之概念，將分別敘述： 6.
(16) （一）面積保留 要進行測量時，將一物件搬到另一處，和另一物件比較，但此物件在搬移或改變 形狀時，依然保留原來的量，兒童對這樣的理解稱為具備保留概念（劉秋木，1996）。 另一位蔡春美（1982)則指出面積的保留概念指的是學童能夠認知物件原有的面積不因 方向轉動、位置移動、形狀改變或切割活動而改變。亦即對某一封閉平面圖形，不論 形狀、位置如何變動，其面積保持相同的認知能力，此部分概念的發展是持續不斷的 成長歷程，而非一次就能學好的。面積保留概念又可包含二個不同的子概念層次，分 別敘述如下： 1.基本面積保留 此概念代表封閉區域內的大小，不因位置的改變而不同。如. 與. 雖然放置. 的方向不同，但面積相同。此外，若圖形本身為合成圖形，例如七巧板或其他組合式 積木，可以重組成不同的形狀，但若兒童具備面積的保留概念，則會明瞭這些組合的 面積都是一樣的。. 圖2-1 面積的基本保留概念 Piaget等人於(1999)曾設計了這樣的『牛吃草』實驗，如圖2-1所表示，Piaget以此 實驗觀察兒童何時會放棄「等量減等量，結果相同」的概念。拿了一樣大小的綠色紙 板當做草地，再放上木頭模型代表小木屋。實驗是在兩塊一樣的草地上，放置完全相 同的小木屋，但其中一塊是整齊排列，另一個則是隨意放置。經詢問小朋友，若牛要 吃草，哪一邊的牛可以吃的比較多。結果發現七歲半，甚至在六歲的兒童就有這樣的 基本面積的保留概念。譚寧君（1998）的研究指出四年級兒童基本的面積保留概念的 通過率是76.3％，王選發（2002）研究指出六年級兒童基本面積保留概念的通過率是 93.6％。上述的研究可知，基本面積的保留概念是可以隨年齡的增加而提高通過率。 而這樣的研究也陸續得到很多的印證。 7.
(17) 2.互補面積保留 互補面積保留概念指的是，在面積相同的兩個面上，分別減去形狀不同但面積相 同的兩個小平面，剩下的面積依然相等。在兒童已具備基本面積保留概念後，互補關 係才有可能被建立 (譚寧君，1995)。如甲圖與乙圖 ，兩者面積是一樣的，互補面積 保留概念所表示的，即是在面積相等的兩個面上，減去如下所示形狀不同但面積相同. 甲圖. 乙圖. 圖2-2 面積的互補保留概念 的兩塊小平面之後，剩下的面積仍會相同。 (二)面積測量 面積測量的基本概念即在探索封閉範圍內的覆蓋情形，可以分成三個不同層次 (譚寧君，1995)，分述如下： 1.基本面積 （1）直接的點數能力，即表示可以點數出在給定的平方單位格內的面積。 （2）合成活動點數能力，此能力必須要具備在已有的面積保留概念基礎上。如. 中，兒童透過點數及合成活動，將四個半格合起來為2個平方單位，算 出面積。年紀不同，保留概念精熟能力不一樣，在合成概念上的表現也不相同。. （3）透過分解、合成活動再進行點數的能力。如. 必須先從分解活動找出. 灰色面積是由四個三角形所組成，是9個平方單位的一半，故合起來為4.5平方單位， 此為較高層次的點數活動。 8.
(18) （4）經由逆向思考的互補關係進行點數的能力，如. ，若只有透過分解、. 合成活動不易點數出面積，但若從互補關係中，即用全部12平方單位扣除『空白』部 分的面積，可以求得面積為6個平方單位。 個平方單位。 2. 單位面積 此概念指的是面積的測量可以利用不同單位的覆蓋或拼湊而成，雖然單位量不 同，但所指的是面積大小是相同。如一個長5公分寬4公分的長方形，可透過不同單位 量來描述面積的大小，舉例來說用邊長1公分的正方形. 加以覆蓋，則長方形需要. 20個 才能蓋滿，即表示長方形的面積是20個平方單位；若改用40個. 蓋滿，則示. 長方形的面積是40個平方單位，此時雖為同一長方形，但由於單位量不同，故其單位 數亦有不同 (一為20個 ，一為40個 ) (譚寧君，1998b)。 3. 直線測量概念 直線測量法 (straight line measuring) 已包括單位在數學上的相乘關係，這是 屬於較抽象的推理層次。一般所謂的面積公式如正方形面積由邊長乘以邊長，菱形面 積是對角線相乘除以二求得等均屬於此。直線測量面積概念不只包含公式，而是包含 了以下這四個部分，分別為面積公式、面積做圖、單位量的轉換、面積的包含關係 (譚 寧君，1995)。不同於基本面積概念透過點數測量面積，亦不同於單位面積概念透過覆 蓋、拼湊、比較與切割等活動以進行測量面積，此兩概念 (基本面積概念與單位面積 概念) 只是在單位數的累加與單位量的比較。 （1）公式 在兒童了解邊長為1公分的正方形面積為1平方公分後，透過覆蓋經驗，經驗一個 長4公分寬2公分的長方形，經由1平方公分正方形的覆蓋，需要二排正方形才可完全覆 蓋，一排需要4個，得到4 × 2 = 8，共需8個正方形，可知面積為8平方公分，而了解. 9.
(19) 長方形的面積公式為長乘以寬。在平行四邊形方面，為求其面積，可透過切割、拼湊 活動合成一個長方形，如. →. ，了解其面積公式亦為底乘以. 高。其他如三角形、菱形、箏形的面積亦都可透過切割活動發現一般規律的通則，即 所謂的面積公式。面積公式教學過程中，面積公式是經由嚴密的過程求得，並非只靠 勉強記憶，如此才能有助於學童掌握公式之間的關係，公式的教學才有意義。 （2）做圖 利用釘板或是方格紙，請學生圍出或畫出所要求的形狀，兒童透過點數的經驗檢 查所圍成的圖形面積是否符合條件，用實作的方式驗證學生的面積概念是否正確。. （3）單位量 面積概念的重點之一是在單位量的明白，不同於單位面積概念中單位量的轉換是 透過實作慢慢達成，直線測量面積概念裡的單位量轉換是利用二維的運算而建立的。 如長30公分寬15公分的長方形，需要多少個邊長15公分的正方形去覆蓋呢？30 ÷ 15 = 2，長邊需要2個正方形，15 ÷ 15 = 1，寬邊需要1個正方形，2 × 1 = 2，共需2個正方形； 若以邊長為5公分的正方形去覆蓋則需要多少個，30 ÷ 5 = 6，長邊需要6個正方形，15 ÷ 5 = 3，寬邊需要3個正方形，6 × 3 = 18，共需18個正方形。所以單位量的大小會影響 單位數的答案。 （4）包含關係. 以此圖為例。若一個封閉圖形是由二個或二個以上封閉圖形所交集而形 成的，兒童須先了解集合的包含關係，再透過面積公式始能解題。兒童必須先了解圖 形中的包含關係，再透過面積公式分別求出扇形及正方形面積，才能解題，最後還要 乘以4倍，得到解答。是一個高層次思考的問題。. 10.
(20) （三）面積估測概念 估測 (estimation) 包含估算和估量兩類，估算是「得到一個計算題的粗略答案 的一種過程」(支毅君，1996)，是一種猜出合理的接近值的技巧。估算是心算、數概 念及各種算數技巧的綜合使用，即是以心算的過程快速的算出答案，且此結果合理地 接近由正確計算的結果 (Reys & Bestgen, 1981)。估量可以定義為「在不使用一般工具 去測量的狀況下，以某種方法推論出該種度量的一種過程」(Bright, 1976)。James (1982) 認為「估量是利用以前所形成的標準進行比較，形成標準必須靠經驗，經驗的累積對 於量感的產生相當重要」雖然這未必是好辦法，但在許多實際的情況中，不一定能夠 使用測量工具；亦或是精算不需要時，估測能力成為一種相當重要的技能。 這樣說來，就算精確是很重要的，但在許多情況之下，估測能使人對整體的情況 有更清楚的掌握；且在某些情況下，必須用估測來簡化情況，以便之後的處理可以更 方便、有效率的進行 (黃敏晃譯，1986)。因此，估測概念在現今的數學精神中是不可 或缺的。面積估測概念第一是量感的培養，教學中應以學生的直覺經驗為基礎，來進 行估量的活動，如猜猜看課桌椅面積有多大。由於兒童已有覆蓋的經驗，便可透過任 何工具，包括直觀或手測，去經驗單位量與單位數的關係來進行估測活動，再使用工 具去檢驗，此種先猜再檢驗的活動，就能引起兒童參與的興趣，也能培養估測的能力 (譚寧君，1995)。 事實上，數學中經常追求某問題的唯一答案，這樣的方法是否就是好。如果教學 只讓學生有這類的經驗，將會漏掉數學的其他部分；因為執著於精確答案的追求，常 迫使學生做許多不必要的計算，而阻止了他們得到估測判斷的經驗與信心 (王選發， 2002)。因此在教學中，唯有透過先估測後測量的方式，能幫助兒童培養並掌握量感。 而不當面積估測方式有以下：(1) 以長+ 寬求得面積，可能是因為學生覺得必須 結合這二個維度，但卻不知道如何整合；也可能是認為加法比較簡單。(2) 單位旋轉， 使用不是標準的測量單位 (如矩形單位)，去測量出待測物長與寬所需的個數，但只以 測量單位的某一邊長進行 (如單位中的寬)，(3) 胡亂猜測。(4) 使用不適當的單位去估 測。 11.
(21) 莊維展 (2001) 整理出以下這些五年級學童在面積估測上所使用的策略：第一， 猜測，分為憑經驗猜測與憑感覺猜測二種策略；第二，使用普遍單位直接比較，分為 尺寸相似與尺寸不相似二種策略；第三，使用個別單位直接比較，分為尺寸相似與尺 寸不相似二種策略；第四，分解重組，此與Hildreth(1983) 的研究發現相同；第五，不 知道，此策略指的是兒童無法做出任何估量行為或對於估量值的產生沒有任何理由者。. 第二節. 國小教材的分析. 一、三角形面積概念 依據國立教育研究院（部編本，2010）指出，國小高年級學童在建立三角形面積 概念時，提供了四個活動， （一）點數活動； （二）切割活動； （三）高的命名與畫法活 動； （四）建構三角形面積公式意義的活動，研究者也認為要精熟三角形面積必須經過 這樣的步驟，才能完整學習全部的概念。 （一）點數活動 （二）切割活動 （三）高的命名與畫法活動 （四）建構三角形面積公式意義的活動. 二、九年一貫版本與 82 年版國小面積教材的分析比較 （一）課程設計原則 第一提到課程設計的原則，黃湘武（1993)認為數學科教材內容的編輯與教學的設 計，應如下原則進行設計： 1.教學教法應符合兒童的認知成長。 2.教學設計應以學童舊有的認知為依據，鼓勵並誘導學童用自己的想法處 理並解決問題，當學童想法有錯誤時，應設法使學童體會與原有知識體系的矛盾，. 12.
(22) 然後引導其修正或重新建構舊有的體系。 3.在教學過程中，應提供學童彼此之間或學童與老師之間互相討論與交換意見的時 間，使學童有機會體驗到自己想法的矛盾及參考別人不同的想法。 4.操作教學應著重於能夠使學童體會到成有知識體系矛盾的設計，讓學生能自由操作 各種變因及觀察各種變化。 5.應盡量使學童學習的知識和物理現象的意義相結合，如此學童所學的才有意義，亦 能理解其中的意涵。 （二）82 年版本數學科面積教材 82 年版本國小課程標準數學課程中量與實測的領域，包含了長度、面積等生活中 常見到的量值，而且建立量感也是數學教材很重要的一環。要完整的發展量的概念， 必須經過五個有順序的階段。1.量的初步概念.2.量的間接比較 3.量的普遍單位比較 4. 量的測量單位制度概念 5.量的測量公式概念（教育部，1993）。 面積的教學有一定的次序，首先應該要讓學童知道面積到底在量什麼？使用工具 例如百格板來作為開始，知道了基本定義後，可以做面積的直接比較；再來用基本單 位為工具，進行覆蓋活動做間接比較；接著是引入工具上的普遍單位，就可以進行面 積的實際測量與估測；然後是介紹不同單位，並說明單位間的關係，進行單位化聚； 最後才是介紹面積的測量公式，讓學生可以學會面積的分解與合成，這樣大致上就是 教學上的一個有次序且不遺漏的步驟了。. 13.
(23) 下表是 82 年版中面積教材的分佈情形。（引自王選發，2002） 表 2-1. 82 年版數學科『量與實測』領域內『面積』教材綱要. 年級. 教材綱要. 二年 級. ◎面積的認識 ◎面積的直接比較 ◎用平方公分為單位，進行實測與估測的活動. 三年 級. ◎ 面積的間接比較 ◎ 面積的個別單位比較與實測. 四年 級. ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎. 五年 級. ◎ 透過對平行四邊行、三角形、梯形的分析綜合，認識平行四邊行、 三角形、梯形面積的求法 ◎ 平行四邊行、三角形、梯形面積求法公式的應用 ◎ 透過對圓的分析綜合，認識圓面積的求法 ◎ 圓面積求法公式的應用 ◎ 認識圓周率的意義 ◎ 以圓周率進行實測與估測活動. 六年 級. 認識平方公分、平方公尺的意義 以平方公尺為單位，進行實測與估測的活動 認識平方公分與平方公尺的關係 平方公分與平方公尺的化聚 透過對正方形、長方形的分析綜合、認識正方形、長方形面積求法 正方形與長方形面積求法公式的應用. 1 1 1 1 圓和 圓等特殊扇形的綜合分析，認識 圓和 圓等特殊 2 4 2 4 扇形面積的求法 ◎ 認識公畝、公頃的意義 ◎ 以公畝、公頃為單位，進行實測和估測的活動 ◎ 認識公畝、公頃的關係 ◎ 透過對. （三）九年一貫的面積教材 九年一貫暫行綱要課程中將數學領域區分成四個階段，階段一（1～3年級）、階 段二（4～5年級）、階段三（6～7年級）、階段四（8～9年級）。100年8月即將實施. 14.
(24) 的97課程綱要則將數學階段分為階段一（1～2年級）、階段二（3～4年級）、階段三 （5～6年級）、階段四（7～9年級）。數學領域又分為五大主題，面積是屬於『數與 量』內的主題之一，但在數與量、幾何兩個主題中雖以主題與階段來區分，仍有若干 能力指標採跨主題方式同時編列，以強調其連結。（教育部，2003） 表2-2-A 九年一貫數學領域『數與量』中的面積教材分佈. 階段一. 階段二. 階段三. 指標代號. 能力指標. N-1-11. 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數 線，並標記整數值。. N-1-14. 能對兩個同類量作直接比較。. N-1-15. 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。. N-1-16. 能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和刻 度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整數倍 的問題。. N-1-17. 能做量的估測. S-1-04. 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。. S-1-05. 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖 形。. N-2-15. 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。. N-2-16. 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作不 同單位間的換算。. N-2-17. 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。 （S-2-07）. N-2-19. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的 面積公式。（S-2-08）. N-3-15. 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算 其面積。（S-3-03）. N-3-16. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面 積。（S-3-04）. N-3-17. 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 （S-3-06）. 15.
(25) 表2-2-B 100學年度課程綱要數學領域『數與量』中的面積教材分佈 （教育部，2008）. 階段一. 階段二. 指標代號. 能力指標. N-1-08. 能做長度的實測，認識「公分」、「公尺」，並能做長 度之比較與計算。. N-1-09. 能做長度的簡單估測。(修 N-1-17). N-1-10. 能認識容量、重量、面積(不含常用單位)。. S-1-01. 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。. S-1-02. 能描繪或仿製簡單幾何形體。. N-2-14. 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數 線，並標記整數。(同 N-1-11). N-2-17. 能做長度的實測，認識長度常用單位，並能做長度之 比較與計算。. N-2-21. 能認識面積常用單位，並能做面積之比較與計算。. N-2-22. 能理解正方形和長方形的面積與周長公式。(S-2-08). N-2-25. 能用複名數的方法處理量相關的計算問題(不含除 法)。. N-2-26. 能做量的簡單估測。(同 N-1-17). S-2-02. 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖 形。(同 S-1-05). S-2-04. 能透過平面圖形的組成要素，認識基本平面圖形. N-3-19. 能認識量的常用單位及其換算，並用複名數處理相關 的計算問題。. N-3-22. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的 面積公式。(S-3-06). S-3-06. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的 面積公式。(N-3-22). 階段三. 16.
(26) （四）九年一貫與 82 年版數學教材比較 從以上的內容可以知道，兩個不同時期的版本在編排順序上，有以下的分別（莊 仁宗，1997；王選發，2002） ，下表是兩版本的呈現：. 表2-3. 項目. 82年版與九年一貫數學領域「面積」教材分佈比較. 九年一貫課程. 82 年課程. 一、面積大小的比較＿ 分佈在階段一與階段二中，先從 在二～四年級逐年教學，循序漸 直接比較、間接比 面積的直接比較，再到間接比較 進，由淺入深。 較等 與個別單位的比較 二、面積的實測. 從普遍單位的認識到個別單位 面積測量強調覆蓋、切割、拼湊 的測量進入，藉以描述面積，再 的經驗，再漸漸導入公式 將此應用在實測活動，來培養學 生的量感。. 三、面積的估測. 認識量的普遍單位，及各種測量 重視估測能力，所以在各年級中 工具間的刻度，再將此引入應用 都加入了面積估測的活動 在生活中的估測活動，藉以培養 量感. 四、面積公式的教學. 提供較多的具體操作活動，能以 切割後重新拼湊組合的方式，瞭 解各圖形面積與邊之間的關 係，再形成面積公式。. 面積是覆蓋後的抽象結果，在公 式引入之前，提供豐富的操作、 點數、切割、拼湊、比較等活動， 希望兒童由具體到抽象，進而發 現在求效率的原則下，才使用公 式。. 數學的學習都有一定的順序和過程，在82年版的數學中有一個重大的改變傾向， 就是由老師為主的講述性教學，走向由學生主動建構知識（甯自強，1993），在九年 一貫課程中，對數學領域的重視更是可以清楚的看見。具體而言，九年一貫數學學習 領域的教學總體目標為：（1）培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。 （2）學習應用問題的解題方法。（3）奠定下一階段的數學基礎。（4）培養欣賞數學. 17.
(27) 的態度及能力。其中，國民小學階段的目標為：（5）在第一階段（一至三年級）能掌 握數、量、形的概念。（6）在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合 計算，培養流暢的數字感。（7）在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利 用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其 面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念（教育部，2003）。其中又提到， 數學教學應注重數、量、形的聯繫，讓學生在實作、實測與直覺中，獲得數、量、形 及其相互關係的概念，並逐步抽象化與程序化成為精鍊有效的數學語言，再經由反思、 論證、練習與解題，讓學生逐步穩定掌握其概念，作為進一步學習的基礎。 九年一貫課程和82年版都強調經過五階段的學習（1）面積的初步概念（2）面積 的間接比較（3）面積的普遍單位（4）面積的測量單位概念（5）面積的公式概念，這 樣的有次序吸收後，面積概念在學生的學習才是完整的。因此，譚寧君（1998）強調 只有多透過操作學習，學生的抽象思考能力才會提升，多討論亦可以更確定概念的內 化與深化，明白公式形成的過程。. 第三節、學生的迷思概念及相關研究 一、迷思概念 教育學者 Ausubel（1968）曾說： 「假如要我將所有的教育心理學縮減為一條法則， 我將會這麼說：影響學習最重要的單一因素就是學習者已知道的是什麼。確定其所知， 然後據此教之。」 （林清山，1990） 依據以上所述，陳鉪逸 (1996) 認為，迷思概念是思考與判斷錯誤造成的，也是 造成學習障礙的最大原因。因此迷思概念指的是學生在特定的學科中，對某件事或現 象，所持有的一些有別於目前科學家所公認的想法 (謝青龍，1995)。所以，作為一個 教師的角色，應該試著找出學生的迷思概念及錯誤造成原因，並導正學生錯誤的想法 藉此有效引導教學活動的進行。以下是學生在學習面積時所產生的迷思概念：. 18.
(28) （一）缺乏保留概念 (1) 王選發 (2002)、譚寧君 (1998a)指出學童對於切割變形但沒有保留切割痕跡的 圖形，缺乏面積保留概念。(2)王選發 (2002) 的研究指出學童受視覺影響，無法了解 等量減等量面積不變的保留性概念。在面積保留上的迷思概念有以下這一些：(3) 陳 鉪逸 (1997) 指出，學生的面積保留概念受到圖形轉向的影響。 (4) Hutton (1978) 指 出兒童在處理保留概念時的困難。如向48 位11 歲學生展示二個切割成三份的全等圖 形，如. 將左邊的三角形移至右邊，使形成. ，此時有9 名學生表示兩. 者面積不一樣。 （二）語彙溝通的迷思 陳鉪逸 (1997) 指出學生對於「有面積的圖形」的概念並不清楚，會有部分學生 認為：規則圖形、有面的、有單位的、平平的才有面積、或是認為有長度就有面積、 有直角的圖形才有面積以及有空間的就有面積，這與封閉區域的圖形概念有很大的差 別；也有學生認為曲線所圍成的封閉區域是沒有面積的，或沒有底和高的圖形無法求 出面積，因此這些圖形就是沒有面積的圖形，由此處可以看出部分學生對於「求不出 面積」與「沒有面積」這兩個概念是無法分辨的。 （三）一維單位及二維單位間變換的錯誤 面積單位是二維的平方單位，但有學生會以一維的長度單位來表示面積單位。 Gibson (1984) 指出學生以邊長單位做為面積單位。此外，洪義德 (2002) 指出，學生 在面積單位上的錯誤類型有：(1)單位寫錯。(2) 漏寫單位。(3) 單位間的轉換錯誤。這 是因為學生在處理單位轉換時，長度與面積關係的轉換概念不清楚，如對1公尺等於100 公分和1平方公尺等於10000平方公分常混淆不清，由一向度到二向度的變化概念仍然 混亂的緣故 (陳鉪逸，1997)。王選發 (2002) 研究結果亦顯示，在單位化聚問題上， 不少學童會誤認面積單位關係為長度單位關係。. 19.
(29) （四）單位量與測量總量間的關聯模糊 譚寧君 (1998a) 研究發現，國小五、六年級學生普遍能解決單位量為1平方公分 的問題，但當單位量不是學生所熟悉的ㄧ平方公分時，如為邊長0.1 公分的正方形， 學生對兩個單位量的轉換將感到困難 (答對率由90％降至30％)；單位量的再分割對高 年級的學生較感困難，通過率不到4 成，若再加上形狀的改變，則通過率將會更低。 Sexton (1983) 研究指出若提供ㄧ個單位量圖像，去覆蓋另ㄧ個封閉區域，美國11 歲 學生通過率約為55.0%，但若只提供面積口語的敘述，而非透過圖像表達，通過率更 只有25.0%。王選發 (2002) 指出，六年級學童在提供單位方格測量面積的情境中，若 1 4. 給定每一格單位量為 平方公分，僅有31.8%的學童能察覺並掌握單位量改變了， 59.4%的學童僅以點數出的格子數當作面積，未能察覺出單位量大小改變。 （五）圖形的底和高辨認會出錯 一些學童對於底和高的認定不知變通或錯誤，如 (1) 部分學生認為幾何圖形的底 一定在水平面上，高一定要在鉛直線上。(2) 對在指定的邊上或是斜放之圖形畫高有 困難。(3) 學生對鈍角三角形的高概念不清楚 (王選發，2002；譚寧君，1998a)。陳鉪 逸 (1997) 在研究中發現，學生在為各正放圖形上畫高的題目中，其通過率約在 52%~69%之間，若為斜放之圖形或是在指定的邊上畫高的題目，通過率則大幅降低， 在正放三角形斜邊上一點畫高通過率僅有9.03%。可知學童因為不能確實掌握圖形的 底高之間的關係，而造成計算面積的困境。 （六）對面積與周長的錯誤認知 Hirstein (1981) 指出兒童面積概念非常不足，並且會和周長概念混淆，例如求一 個直角三角形的面積，13 歲組中48%學生求的是周長。戴政吉(2001) 研究中發現，四 年級學童容易混淆計算面積與周長的公式，例如將「邊長× 4」當作求正方形面積的公 式，將「長×寬」當作求長方形周長的公式，而譚寧君 (1998a) 研究中，若要求學生 求出長2cm、寬1.5cm 的長方形面積，只有約六成的學生通過，學生容易因混淆面積 與周長的概念，而選擇7cm 2 這個答案。。由此可知，學童在面積及周長的概念上明顯. 20.
(30) 混淆，解題時多依賴機械性的公式計算。王選發 (2002) 研究發現，學童誤認面積相 等周長就會相等，此發現與國內外許多研究相同 (高敬文，1989；陳建誠，1998；Baturo, & Nason, 1996；Reinke, 1997)。譚寧君 (1995) 研究則發現學童存在周長相同面積就一 定一樣，或是周長越長面積就會越大的迷思概念。. (七)面積公式的不瞭解與過度依賴 譚寧君 (1998a) 指出五、六年級學生常有公式上的錯用，又若題目提供非需要的 資訊時，更造成判斷上的困難。戴政吉 (2001) 研究中，發現學童易執著於面積公式 中一定要兩數相乘的思考邏輯，只要題目中出現與面積相關的概念，他們的算式中必 定出現兩數相乘，不管算法是否合理。陳鉪逸 (1997) 研究中指出，高年級學童依賴 公式解決問題的情形十分普遍，許多學生對使用公式所需的條件認識不清，除運用不 適當的公式來解題之外；也有背錯公式，或是為了配合公式，不惜勉強配合而誤算答 案者。學童採用這些錯誤策略的原因極可能是學生不明白公式的來源、公式推導過程 與使用公式的背景。由這些研究發現都可以看出，學童不能真正了解面積概念及面積 公式的內涵，而只是記憶公式，所以會造成公式的錯用。所以，教學者進行面積公式 教學時，應加強學生對公式意義的解說，並在佈題時應避免常出只需利用公式便可求 解的「基礎型問題」，而是使學生在數學課程內習慣於面對「非常見的問題」，藉以 培養學生養成積極思考的能力與習慣 (黃敏晃1997) 。 (八)學童量感的不足，以致估測與實測能力也差 王選發 (2002) 發現：(1) 以估測黑板為例，答對率為47.6%，可見大多數學童對 生活中較大物體面積的估測經驗欠缺，且對各種單位大小缺乏量感。(2) 學童對於面 積較小的規則圖形，很大比例學童有高估面積的現象，其結果與戴政吉 (2001) 的研 究結果是相同的。 (3) 不規則圖形的估測表現，有52.7%答對率，有34.2%學童高估面 積；陳建誠 (1998) 研究亦發現，學生在不規則圖形的估測能力較差。相同的問題高 敬文 (1989) 以填充題做測驗，發現12歲組的通過率，台灣僅為32.7%；此外莊維展 (2001) 指出，五年級學童在面積、長度、容量及重量的估量能力，在面積估量表現最 21.
(31) 差。總結以上研究結果，學童估測能力的表現並不好，且普遍有高估面積的現象。譚 寧君 (1998a) 研究指出，估測活動在一般數學教室中較少進行，所以即使提供相當簡 單的長方形 (長邊2公分，寬邊1.5公分 )，甚至不限制可以使用工具情況下，通過率仍 只有六成。學童在面積估策上所形成的迷思概念可能使學童在解決問題時採取不恰當 策略，這當中包括直觀處理，如圖形被畫分為八格，便認為有8 平方公分，或是周長 概念與面積概念混淆。. 第四節 試題關聯結構分析法理論 一、. 試題關聯結構分析法理論. IRS是適合處理小樣本的方法，當樣本數不多時，例如處理大約一個班級大小的人 數，進行步驟如下所敘述（許天維，1995） （一）尋找分析對象 （二）設計試題 （三）資料建檔 （四）試題分析與統計分析 （五）描述結果 （六）發表結論與建議：根據描述驗證，提出相關的訊息並賦予具體的建議 在試題關聯結構法中，有一個重要的核心價值是試題的上位和試題的下位關係， 簡言之，就是試題之間的關聯性。舉例來說，假如試題 A 是上位概念，試題 B 是下位 概念，它們之間有上、下位關聯，那麼如果試題 A 能答對，那麼試題 B 就能答對，也 就是上位概念會，下位概念就一定能答對。 來舉一個實例來說明試題關聯結構分析法理論，若存在A、B這兩組的學生，每組 各有10位學生，兩組的學生同時參加共6題的相同測驗，每個試題都各代表某一個想要 測驗的數學概念。答對某一個試題即代表通過該概念，得l分，答錯即代表未通過，得 0分。此兩組學生施測後的情形如下表2-4-A與表2-4-B。. 22.
(32) 表 2-4-A. A 組學生試題通過情形. 試題 通過 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 試題7 學生 題數 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 0 0 5 3 1 1 1 1 1 1 1 7 4 1 1 1 0 0 0 0 3 5 1 1 1 1 0 0 0 4 6 1 1 1 0 0 0 0 3 7 1 1 1 1 0 0 0 4 8 1 0 0 0 0 0 0 1 9 1 1 1 1 1 1 0 6 10 0 0 0 0 0 0 0 0 各題通 8 7 7 5 3 2 1 33 過人數. 表 2-4-B. B 組學生試題通過情形. 試題 通過 試題1試題2試題3 試題4試題5試題6 試題7 學生 題數 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 0 0 5 3 1 1 1 1 1 1 1 7 4 1 0 1 1 0 0 0 3 5 1 0 1 1 0 0 0 3 6 1 1 1 0 0 0 0 3 7 1 1 1 0 0 0 0 3 8 0 1 0 0 0 0 0 1 9 1 1 1 1 1 1 0 6 10 1 1 0 0 0 0 0 1 各題通 8 7 7 5 3 2 1 33 過人數. 由表2-4-A與表2-4-B中得知兩組各試題之通過人數均相同，為了觀測方便起見， 將表簡化如下表2-5-A與表2-5-B：. 23.
(33) 表2-5-A A組學生試題通過情形簡表 試. 學. 生. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 各題通 過人數. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0. 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0. 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0. 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0. 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0. 通過 題數 0 5 7 3 4 3 4 1 6 0. 8. 7. 7. 5. 3. 2. 1. 33. 表2-5-B. B組學生試題通過情形簡表 試. 學. 生. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 各題通 過人數. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1. 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1. 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0. 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0. 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0. 通過 題數 1 5 7 3 3 3 3 1 6 1. 8. 7. 7. 5. 3. 2. 1. 33. 24.
(34) 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得如下表2-6-A與表 2-6-B：. 表2-6-A A組學生得分排序表 試. 3 9 學 2 5 7 6 4 8 10 生 1 各題通 過人數. 表2-6-B. 題. B組學生得分排序表 試. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 8. 7. 7. 5. 3. 2. 1. 通過 題數 高 7 6 學 5 4 4 3 3 1 0 生 0 33. 低. 3 9 2 5 7 6 4 8 10 1 各題通 過人數. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1. 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0. 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 8. 7. 7. 5. 3. 2. 1. 通過 題數 高 7 6 5 3 3 3 3 1 1 1 33. 低. 由表2-6-A及表2-6-B可知兩組學生的個人總分順序及各試題通過人數多寡次序都 是一樣的；兩組試題難易分配及試題編號之對應完全一致，但若加以深入的剖析所呈 現之順序結構圖，就會有很大的差異性。 在A組中，通過試題6的學生有3號和9號，他們也同時通過了試題5，亦即通過試 題6的學生亦通過試題5，此時畫出試題5到試題6的箭頭，記做5à6；通過試題5的學生 有3號、9號和2號，他們同時也通過了試題4，所以記為4à5；通過試題4的學生有3號、 9號、2號、5號和7號，他們分別通過了試題2、試題3，所以分別記為2à4、3à4；通 過試題2、試題3的學生有3號、9號、2號、5號、7號、6號和4號，他們亦通過試題1， 所以記為1à2、1à3；其餘依次類推。 在B組中，通過試題6的學生有3號和9號，他們亦同時通過了試題5，亦即通過試 25.
(35) 題6的學生亦通過試題5，此時畫出試題5到試題6的箭頭，記做5à6；通過試題5的學生 有3號、9號和2號，他們同時也通過了試題4所以記為4à5；通過試題4的學生有3號、9 號、2號、5號和4號，他們亦通過了試題3，所以記為3à4；通過試題3的學生有3號、9 號、2號、5號、7號、6號和4號，他們亦通過試題1，所以記為1à3；另一方面，通過 試題5的學生有3號、9號和2號，他們同時也通過了試題2，所以記為2à5；其餘依此類 推。 依上面分析，我們定義答對率如下： 受試答對人數. 試題答對率＝ ───────── 所有受試人數. 並以縱座標為通過率，將分析結果用箭頭標示畫出，成為完整的試題關聯結構圖， 如下圖2-3-A與圖2-3-B。. 試題答對率. A組結構圖. 試題答對率. B組結構圖. 0.1. 7. 0.1. 7. 0.2. 6. 0.2. 6. 0.3. 5. 5. 0.3. 0.4. 0.4 4. 0.5. 0.5 0.6. 0.6 0.7 0.8. 4. 2. 3. 0.7 0.8. 1. 圖 2-3-A A 組試題關聯結構圖. 2. 3 1. 圖 2-3-B B 組試題關聯結構圖. 26.
(36) 觀察上面兩個試題關聯結構圖表，發現兩個結構圖不盡相同，儘管A、B兩組各試 題的通過率一致，然而兩組學生呈現出的結構層次卻不相同。在A組的試題關聯結構圖 2-3-A中顯示出的結構只有一個單純的一元化系列；而在B組的試題關聯結構圖2-3-B 中顯示的結構卻有兩個系列存在，其中之一為試題2、5、6、7的系列，另一個是試題1、 3、4、5、6、7的系列。試題關聯結構圖可以更進一步可以觀察到各試題間的順序關係， 也讓我們對學生的學習反應成效進行更細緻，且有方向性的判讀。. 二、試題關聯結構分析法 (一)試題關聯結構順序性係數 試題之間的順序程度，用順序性係數來表示，順序性係數的求法，說明如下： 試題j. 答對(1). 答錯(0). 總計. 答對(1). A. B. A＋B. 答錯(0). C. D. C＋D. 總計. A＋C. B＋D. N(＝A＋B＋C＋. 試題i. D). 表中A、B、C、D、N代表意義如下： A：試題i與試題j均答對的人數 B：試題i答對而試題j答錯的人數 C：試題i答錯而試題j答對的人數（當C越接近0，試題就越有上下位關聯） D：試題i與試題j均答錯的人數 N：作答試題i與試題j的受試者人數 由以上可發現，當C越趨近於「0」，順序性係數就越趨近於1 *. 試題關聯結構順序性係數為r ij =1－. 27. CN ( A + C )(C + D).
(37) *. 順序性係數為r ij 表示試題i指向試題j的順序性程度，也就是說試題i為下 位概念(lower concept)，試題j為上位概念(upper concept)的程度。順序性係數 是一個數值，若順序性係數大於閥值，表示試題i與試題j順序性存在；反之則 否。根據Takeya(1991)的研究，閥值(threshold)為0.5，亦即 *. r ij >0.5，則有試題i指向試題j之順序關係，記作iàj *. r ij <0.5，則試題i與試題j沒有順序關係。 (二)繪製試題關聯結構圖 結構圖繪製流程如下： 1、根據試題間之順序性係數，整理出所有試題間是否有順關係。以表2-5中A 組學童作答情形為例，計算出試題的順序係數，如表2-7。 表2-7. 試題順序係數. 試題i 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. －. +1.000. +1.000. +1.000. +1.000. +1.000. +1.000. 2. +0.583. －. +1.000. +1.000. +1.000. +1.000. +1.000. 3. +0.583. +1.000. －. +1.000. +1.000. +1.000. +1.000. 4. +0.250. +0.429. +0.429. －. +1.000. +1.000. +1.000. 5. +0.107. +0.184. +0.184. +0.429. －. +1.000. +1.000. 6. +0.062. +0.107. +0.107. +0.250. +0.583. －. +1.000. 7. +0.068. +0.048. +0.048. +0.111. +0.259. +0.444. －. 試題j. 2、在求完所有的試題順序性係數後，以l和0表示此種順序指向的存在與否，順. 28.
(38) 序係數大於0.5的係數改寫為1，而小於0.5的係數改寫為0，將試題順序係數表修 改成簡便的0-1表，如表2-8。 表2-8. 試題順序0-1表. 試題i 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. －. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. －. 1. 1. 1. 1. 1. 3. 1. 1. －. 1. 1. 1. 1. 4. 0. 0. 0. －. 1. 1. 1. 5. 0. 0. 0. 0. －. 1. 1. 6. 0. 0. 0. 0. 1. －. 1. 7. 0. 0. 0. 0. 0. 0. －. 試題j. 3、結構圖的縱軸代表通過率，在平面上標示試題位置，並以「. 」表示兩. 者之間的關係，通過率高的在下面，通過率低的在上面，根據試題順序係 數0-1表，繪出圖2-4(1)。 4、兩試題間若能以直接或問接相連接時，則應除去直接連結的箭號，以簡化 試題關聯結構圖。如試題i為試題j的下位概念，順序關係為iàj；試題j為 試題k的下位概念，順序關係為jàk；試題i為試題k的下位概念，順序關係 為iàk，而iàk為遞移指向，應將其消除，如圖2-4(2)所示。. 5、最後，將等價的概念合併，即可得試題關聯結構圖，如圖2-4(3)所 示。. 29.
(39) 試題答對率. A組結構圖. 0.1. 試題答對率. A組結構圖. 0.1. 7. 7. 0.2. 6. 0.2. 6. 0.3. 5. 0.3. 5. 0.4. 0.4 0.5. 0.5. 4. 0.6. 0.6 0.7. 4. 2. 0.8. 0.7. 3. 2. 0.8. 1. 1 (2). (1). 0.1. 7. 0.2. 6. 0.3. 5. 0.4 4. 0.5 0.6 2. 0.7 0.8. 3 1. (3). 圖2-4. 試題關聯結構圖之簡化 30. 3.
(40) 三、試題關聯結構分析法的功能及適用對象 學者許天維(1994)指出主要有下列五種功能可應用試題關聯結構分析法 (一)教學設計之運用 在進行單元的教學活動前，教師可針對教學活動之先備經驗對學生進行施 測，對於施測結果利用試題關聯結構來進行分析，如此可以探究學生先備經驗 的不足之處，作為教師在教學活動設計時的參考依據。 (二)形成性評量之應用 在單元教學活動後，教師可以根據知識結構圖來編製形成性評量試題，並 對學生進行施測，將結果施測結果利用試題關聯結構來進行分析，可以探究學 生學習後的不足之處，作為教師進行補救教學的參考依據。 (三)認知學習構造之分析 教師利用形成性評量的結果並依據S-P表獲得的注意係數，找出異質性的 學生，把異質性學生的知識結構圖與班上的知識結構圖加以比較，即可診斷出 學生異質的原因。 (四)概念形成過程之考驗 從縱貫觀點來探究，學童概念的形成過程有層次之分，教師評定學童時分 成四個層次：操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次、因果理論層次， 以此四個層次來評定概念形成過程，可以建立各年級的結構圖，瞭解學童的概 念形成過程發展。然而從橫斷觀點來看，亦可瞭解班上學生概念形成過程的分 布。 (五)課程教材構造之解析 學生的學習構造對教科書編者而言是重要的資料。從母群體隨機抽樣進行 考驗後，透過試題關聯結構分析法進行構圖，建立學生的學習構造，對於教科 書編輯及分析典範教師的學習指導構造圖的特質，具有很大的功用。 此外，試題關聯結構適用於多個試題或項目所組成，分析試題與項目之間的關係 故適用對象有測驗、教材和問卷等，如表2-9所示(引自蔡長添，1993) 。 31.
(41) 表2-9. 試題關聯結構的適用對象. 對 象. 項 目. 計 量 資 料. 解 釋. 測驗. 測驗項目. 測驗的對錯. 測驗架構之分析. 教材. 學習課程. 測驗或行為觀察等之成就. 教材與架構之分析. 程度 問卷. 問卷項目. 問卷調查之結果. 態度、品質之分析. 由表2-9中可以得到一個事實，試題關聯結構分析不僅適用於試題測驗上，在其他 類型的問卷上也有很好的應用。黃盈君(2001)的研究指出，利用試題關聯結構分析法， 獲得三角形圖形的概念結構，也發現不同性別學生概念結構並無差異。楊秀倩(2002) 的研究發現根據試題關聯結構分析呈現的訊息，瞭解國小五、六年級資優生於梯形面 積的概念結構是有差異性的。秦達祐(2007)的研究中發現態度量表是可以與試題關聯 結構做整合分析，並畫出態度問題結構關聯圖，來分析學生對教師之評鑑的態度問題 之間的順序關聯及討論其結果。. 32.
(42) 第三章 研究方法 本研究利用自編的國小三角形概念測驗進行施測，來獲取所需的資料， 並根據前述之相關文獻探討，進行本研究方法的設計與實施。 本章將從研究架構、研究樣本、研究工具、研究流程及資料處理與分析 等五節來說明本研究方法。. 第一節 研究架構 本研究根據研究目的以及參考文獻，提出研究架構如圖 3-1：. 圖 3-1 研究架構圖. 33.
(43) 第二節 研究樣本 本研究的目的是在探討五年級資賦優異學生和普通班學生在三角形面積的概念結 構，故以國小五年級學童為研究對象。由於本研究欲採用試題關聯結構分析理論（IRS） 來分析筆試資料，僅需要少數班級學生作為施測的對象。 研究者選擇臺中市某國小五年級一般資賦優異的班級中 25 名學童，另外抽樣南 投縣某國小五年級普通班某一班 25 名學生為正式施測對象。 一、預試樣本 為南投縣某國小五年級學童，有兩個班，一班為一般資賦優異班級，另一班為 普通班，共計 40 人，接受三角形概念測驗的預試，並藉以分析三角形概念試卷之適 切性及信度，作為修訂正式施測試卷的依據。 二、正式施測樣本 為臺中市某國小及南投縣某國小五年級學童，有兩個班，共計 50 人。為減少 環境情境等其他因素之影響，使學生在最熟悉的環境下施測，因此施測地點在原班 級教室，由研究者委託導師進行監考；施測前，監考者先說明測驗的目的與作答方 式，作答時間為 40 分鐘。. 第三節 研究工具. 本研究的工具主要為研究者自編的「國小五年級三角形面積概念」試卷，以及相 關的統計、繪圖軟體等，茲說明如下： 一、編製試題 (一)試題內容架構 依據九年一貫課程綱要數學學習領域之學生能力指標，參考現行國民小學南一版 (2010 年版)、康軒版(2010 年版)及翰林版(2010 年版)所出版的教科書與學生三角形概 念發展相關的單元內容；然後斟酌三角形概念國內外相關文獻，配合學童的三角形認 34.
(44) 知發展（圖 3-2） ，架構出三角形面積知識概念圖（圖 3-3） ，再架構出預試試卷的三角 形概念試題雙向細目表（表 3-1） ，進而編製出「國小五年級三角形概念」預試試卷， 試題共 30 題，題型皆為選擇題。. 圖 3-2 學童的三角形認知發展概念圖 35.
(45) 圖 3-3 三角形面積知識概念圖. 36.
(46) 表 3-1 預試試卷的三角形概念試題雙向細目表 教材內容 初步 教. 保留概念. 估測概念. 測量概念. 解題應用. 合計. 概念 學單元 圖形辨認. 22. 26. 2. 基本性質. 4. 14. 2. 保留概念. 23. 19. 2. 恆等概念. 3. 27. 2. 面積估測. 25. 10. 等積異形. 6. 5. 覆蓋圖形. 28. 2 7. 24. 3 2. 點數合成. 8. 17. 9. 3. 底高對應. 15. 2. 16. 3. 13. 20. 21. 3. 面積公式 計算 單位轉換 11. 30. 1. 29. 12. 3. 與化聚 應用問題 18. 3. 7. 30. 解題 合計. 7. 3. 4. 37. 9.
(47) （二）選擇命題指導原則 選擇題命題應符合下列原則（吳裕益，民 1998；余民寧，2002； Haladyna,1999; Osterlind,1989） ： 1.內容要項 （1）試題的編製，應落在確定的內容範圍向度與確定的心智活動向度，如記憶、理 解、批判思考或問題解決等。 （2）在確定的內容向度上，題與題間要互為獨立，避免發生相互依賴的內容。 （3） 試題中的內容取材，避免使用過度特定或過度一般性的材料。 （4）在心智活動向度上，凝聚在單一心智活動，而不是一連串的心智活動。 （5）避免以眾人意見為基礎的答案，來形成的試題。 （6）避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱。 2.選幹要項 （1）使用有問題的題幹或是未完句。 （2）確定題幹的指示是非常清楚的。 （3）試題的中心概念出現在題幹，而不是在選項。 （4）題幹中避免無關的修辭語與冗長的贅語。 （5）使用肯定句，避免否定用語或除此以外的用語，如果非不得以使用否定用語， 則必須在字體上予以標線。 （6）題幹避免被選項中斷。 （7）在使用字句上，避免使用一些學童未熟悉的專有名詞。 3.選項要項 （1）採用四選一的單選題，即題目所列的答案數目為四個。 （2）確定選項中的答案只有一個是正確的。 （3）根據選項數目，變化正確答案所在的位置。 （4）聞自力求淺顯簡短，題意明確，解題所依據的必要條件避免遺漏。 （5）保持選項內容的同質性。 38.
(48) （6）保持選項內容長度的一致性。 （7）避免使用「以上皆非」 、 「以上皆是」、「不知道」的答案。 （8）選項採用正面陳述，避免負面陳述。 （9）試題內容避免使用具有暗示性的字詞。 （10）應使所有的選項具有誘答力。 （11）應用考生典型的錯誤作為選項。 （12）避免使用幽默選項。 根據以上選擇命題指導原則，編製「試題檢核表」 ，提供命題者逐一檢查其所命試 題，以期提升命題品質。試題檢核表如附錄一所示。 (三)測驗試題的信度 信度(reliability)又稱可靠性，係指測驗結果的穩定性(郭生玉，1989)。本研究以 Cronbach ' s α 係數來求測驗試題之內部一致性。 (四)測驗試題的效度 (1)內容效度 本測驗工具根據面積概念測驗試題之雙向細目表(表 3-1) 來編製，並依據試題檢 核表(如附錄一)要項一一檢視編製試題，作為考驗內容效度之依據。 (2)專家效度 編製完成之初稿邀請兩位數學教育專家、多位任教 7-10 年的五年級現職國小教師 與兩位具教育碩士資格之國小教師依據專家效度調查問卷(如附錄三)共同審視試題是 否合適，並提供修改建議使試題內容具專家效度。. 二、預試結果 透過 EXCEL 軟體及 SPSS 統計軟體來分析學童的作答資料，計算出每題的難度、 鑑別度，作為正式試卷篩選試題的依據，並且以 Cronbach's α 係數來求試題之內部一 致性，得到的 α 值為 0.722 ，是信度可接受的預試試卷，預試試題分析如表 3-2 所示， 難度大多介於 0.4~0.8 之間，鑑別度多數達到 0.2 以上。 39.
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