名詞解釋

（二）不同版本數學領域教科書整數加減概念表徵轉譯活動安排差異為何？

（三）不同版本數學領域教科書不同類型文字題表徵轉譯活動安排差異為何？

第三節 名詞解釋

壹、表徵形式

表徵(representation)是指用某一種形式，將一種事物或想法，重新表現出來，

以達成溝通的目的（蔣治邦，1994）。本研究參考Lesh、Post and Behr（1987）

以溝通觀點所分的表徵形式-靜態圖形、具體操作、書寫符號、真實腳本與口語。

經本研究初步分析一至三年級教科書整數加減相關單元後，研究者將表徵形式分 為數學符號、具體物圖片、具體物操作、抽象符號與文字等五種形式。

貳、表徵轉譯

表徵之間的轉譯（translations）在數學學習及問題解決中扮演重要的角色。

Janvier（1987）認為，轉譯過程是從某一種表徵的模式至另一種表徵的過程轉譯 是包含兩種模式的表徵形式，如文字表徵轉譯至圖形表徵。若能透過不同表徵系

統間的轉譯，可使學生對同一問題的結構與意義有更完整的認識。在轉譯的過程 中，需建立不同表徵系統間的關係，更必須保持問題的結構及意義。本研究將表 徵轉譯定義為教科書中文字表徵保持問題結構而轉譯成各種不同的表徵形式。

參、不同類型文字題

Fuson (1992) 依問題情境結構，將整數加減法文字題歸納分類，其將文字題 分為改變、合併、比較及等化四種類型。因教科書整數加減教材中等化型問題數 量極少，因此，本研究不同類型文字題包含改變、合併與比較型問題。改變型問 題指的是一個起始量經過改變之後，形成一個結果量的問題，屬於動態問題情境

；合併型問題指的是兩個數量總合的問題，而比較型問題指的是比較兩個數量大 小或多寡的問題。

第四節 研究範圍與研究限制

本節將說明本研究之研究範圍與研究限制。

壹、研究範圍 一、研究對象

本研究選擇康軒、翰林、南一及國教版，以民國九十二年九年一貫課程綱 要四個版本編製的國小一至六冊四個版本數學課本為研究對象，共 24 冊。整數 加減為數學領域第一學習領域階段學習的重點教材，整數加減是未來數學學習 四則混合運算的基礎。因而，選擇第一學習領域階段的整數加減作為教材分析 主題。

二、研究內容

本研究分析類目分為兩個部分：教科書整數加減例題表徵形式與安排表徵

轉譯活動兩個面向來分析，以瞭解各版本一至三年級整數加減教材中表徵形式 與安排表徵轉譯活動之差異。

三、教材內容

本研究將四個版本一至三年級整數加減相關單元歸納為整數加減運算格 式、整數加減概念兩個部分。在整數加減運算格式方面包含了橫式、直式與算 式填充；整數加減概念包括加減法進退位概念、加減法關係與兩步驟問題。

貳、研究限制

本研究採用內容分析法，針對教科書中整數加減教材作分析，僅由研究者個 人知覺教材中表徵形式與表徵轉譯活動安排進行編碼與分析，本研究僅針對不同 表徵形式間之表徵轉譯活動進行編碼與分析，並未探討同一表徵系統內的轉譯活 動。因而，無法探究不同表徵系統間與系統內之表徵轉譯活動的互相之間的關聯。

第二章 文獻探討

將一道數學例題，由文字或圖像表徵轉譯成數學符號或其他表徵形式，的確 是許多學童感到困擾之問題。學生在面對數學問題，必須先了解問題的陳述，回 憶或激發出相關問題的知識結構，建構出問題的表徵模式，進而推論出結果。Lesh et al.（1987）提到學生是否能在不同的表徵形式中自由轉譯，表示其對概念意義 的掌握。不論問題以何種形式呈現，學生皆需要在不失原有意義之下，使用自己 的方式重新表徵，以進行解題以及數學的學習。目前，數學學習仍是以數學教科 書為主，因而，教科書例題之表徵形式與轉譯活動，給予學生學習表徵轉譯的經 驗與練習，皆有助於學生解題與後續之數學學習。

本章分三節分析相關研究文獻：第一節探究表徵轉譯與數學學習的關聯；第 二節說明表徵與整數加減學習；第三節整理分析表徵轉譯相關研究。

第一節 表徵轉譯與數學學習之關聯

問題解決是數學領域最困難的部分，學生需要學習組合思考、計算能力以及 概念所需的語言、分析和解釋資料，以致他們能夠做選擇和決定，進而解決數學 問題。許多學者研究發現解題者對問題所形成的表徵是解題的關鍵。問題解決的 失敗多在於表徵轉譯的不當，而非解題歷程的錯誤，可見表徵轉譯能力在解題過 程中影響甚大。本節將說明表徵內涵及表徵轉譯在數學學習過程中的重要性。

壹、表徵的內涵

表徵為認知心理學研究重點之一，在認知心理學上，表徵是指將外在現實世 界的事物以另外一種較為抽象或符號化的形式來代表的歷程；而從訊息處理觀點

來看，表徵指的是訊息處理過程中，將訊息譯碼而轉換成另一種形式，以便儲存 或表達的歷程（張春興，1989）。表徵是個體透過對周遭事物透過感覺系統形成 概念的歷程，而不同的表徵形式可以呈現及建構同一個概念。從認知互動的觀點 來看，Kaput（1987）將表徵分為（1）認知及覺知表徵（cognitive and perceptual representation ）：個體在腦中將訊息及知識轉換的形式。（2）解釋表徵(explanatory representation)：自然心理或數學符號及心像間的關係聯結。(3)數學內部表徵 (representation within mathematics )：用一種數學結構解釋另一種結構特性系統。

(4)外在符號表徵(external symbolic representation)：以外在符號表徵代表某一種 數學概念系統，透過外在表徵可與他人進行溝通數學概念。當我們面對一個新的 問題情境時，會將所接收到的訊息轉譯成自己所能理解的形式，也就是一種內化 的心理表徵，接著再經由問題整合、解題計畫與監控、解題執行的解題過程

（Mayer,1992）。Mayer的解題理論中，表徵的功用亦是從認知觀點出發。在數 學解題的過程中，數學表徵除了是內部數學思考歷程亦是外在數學形式的展現。

學生需將內部思考過程轉化為外在解題的表徵，即進行表徵的轉譯活動，以作為 溝通數學想法的工具。

表徵是個體自我建立，可以調整可以觀察的外在模式表現內在心智的歷程，

一個良好的表徵是思考與溝通的最佳工具。在數學活動中，表徵扮演著兩種角 色：運思的材料與溝通的媒介。作為運思的材料時，是用表徵來代表物化的概念 或內蘊化的活動類型，再對表徵所代表的意義進行活動，表徵簡化了人類思考的 過程（蔣治邦，1994）。數學教學必須使用各種表徵系統來學習，要學生理解各 種數學問題，其必須熟悉各種表徵系統的轉譯，並使用各種表徵系統進行運思與 溝通，可見表徵運思及溝通功能與數學學習有密不可分的關係。Bruner（1966）

從個人運思的觀點，將表徵區分為動作表徵（enactive representation）、圖像表徵

（iconic representation）及符號表徵（symbolic representation）三種。動作表徵指

的是透過行動掌握概念。面對刺激我們以所學得的習慣動作做出反應，當物體不 再能被操作後，物件意義則不存在；圖像表徵指的是用心像掌握概念，具體物消 失後，在腦中仍有心像，以心像為材料進行內在活動；符號表徵指的是受外在實 物抽象的影響，代表實物或心像的某種抽象性質（轉引自劉秋木，1996）。在數 學學習過程中，動作表徵指的是可以實際外顯操弄（用手指點數）或外在物件如 實物、具體物教具（如花片、積木..）；圖像表徵階段指的是可在腦中形成對圖 像進行計數活動；而符號表徵指的是在腦中形成數字符號的對應關係。在Bruner 的觀點中，表徵只是運思的材料，動作、圖像與符號表徵代表著運思的抽象程度，

並不需要與外界溝通，屬於個人化的活動。而在每個解題活動中存在著被運思的 材料，前一個活動中經過運思所得到的結果，必須以一種形式呈現出來，才能夠 以此做為下一個運思活動的材料。此時，表徵便成為運思的材料，可以幫助學生 呈現出自己的數學概念（蔣治邦，2001）。

從表徵溝通的功能來看，表徵作為溝通工具時，是用特定的表徵形式，表示 一些約定成俗的共識，來描述活動經驗，溝通並不限於與他人溝通，也是與自己 溝通的工具。Lesh et al.（1987）從數學的學習與解題中，進一步具體化將溝通 的表徵區分出五種不同的類型，其所提的五種表徵類型交互作用模式，如圖2-1-1 所示。

一、真實腳本（real scripts）：利用實物情境的知識或物品來表示或解釋問題情境。

二、具體操作物（manipulative models）： 必須配合某些數學概念使用才有意義 的具體物，如古氏積木、分數板等。

三、靜態圖形（static pictures）：一種靜態的圖形模式，如面積、數線圖等、統 計表、抽象符號（如○、X..）等..。

四、口語（spoken language）：日常生活用的口語符號。

五、書寫符號（written symbol）：常用的數學符號或算式。如5+6=11、6x+y=76、

□+5=8..等。

圖2-1-1 表徵系統的交互作用模式

（資料來源：Lesh et al.,1987,p.34）

一種表徵可以代表多個數學概念，在不同處使用有著不同意義，表徵的多重 意義容易使學生產生學習困擾。在表徵系統中除了要做到對單一表徵做完整的建 構，亦要做到表徵間互相連結的工作。教科書中呈現多樣性的表徵形式可以引導 學生創造並使用不同的表徵去組織、記憶與溝通數學概念外，也可以幫助學生發 展一個完整的數學表徵，並得以有意義、靈活並適當地使用。

表徵在學習活動中最常扮演的角色，除了的運思材料與溝通的媒介之外，另

表徵在學習活動中最常扮演的角色，除了的運思材料與溝通的媒介之外，另