國小數學領域教科書整數加減表徵轉譯活動之內容分析：以一至三年級為例

國立臺中教育大學課程與教學研究所碩士在職專班

碩士論文

指導教授：游自達 博士

國小數學領域教科書整數加減表徵

轉譯活動之內容分析~以一至三年級

為例

研究生：蘇琵雅撰

謝辭

在撰寫論文的過程中，我最要感謝的是指導老師游自達教授對我的教 導與鼓勵，老師認真逐字審閱，總能在我掉進大量編碼與文獻中時給予適 時的指正與建議，感謝游老師在這一路上的耐心指導與諄諄教誨。同時， 也要衷心的感謝蔡文煥教授及謝闓如教授，在百忙之中撥冗審閱論文，並 提出珍貴的建議，使論文能更加完善。 在研究所的求學生涯中，認識了研究上的好伙伴與生活上的好姊妹-佳琳、佳倫和桂瑛，一起討論論文撰寫上的問題，一起分享完成論文時的 喜悅，這兩年半來，我從你們身上學到了許多，在論文的研究後期，要不 是有你們在精神上的陪伴，並且幫忙在坐月子的我處理行政上的事務，這 兩年多來，我們培養了革命情感，說好了，要當一輩子的好朋友！ 在研究所進修這兩年多來，要感謝我的父母、弟弟、公婆、及最支持 我的老公，有了你們的支持讓我在徬徨無助的時候，能夠有最有力的援助。 在完成論文過程中，有了可愛的小寶寶，這幾個月來，感謝老公的體貼包 容與支持鼓勵，才能讓我無後顧之憂的專注於學業上的學習，也要感謝我 們家小寶貝-小衽健康平安的出生，讓我安心的將論文完成，並完成口試！ 我要把這份論文送給幫助過我、支持我的人，要感謝的人太多，不一 一列出，總之，謝謝你們！

國小數學領域教科書整數加減表徵轉譯活動之內容分析~

以一至三年級為例

摘要

本研究旨在探討教科書中整數加減教材表徵形式與安排之表徵轉譯活動。本 研究以九年一貫課程綱要國小一至三年級數學領域教科書為研究對象，包含南 一、康軒、國編及翰林四個版本的課本和教學指引。 本研究採用內容分析法，同時運用『Atlas.ti』軟體協助進行相關分析與整 合的工作。研究類目主要分為兩個部分，表徵形式與表徵轉譯活動安排，兩者皆 參考學者的架構與定義，且在初探性研究過程中，修正之所制定的架構。 根據研究發現，歸納出下列幾項結論： 一、B、C兩個版本在整數加減橫式與直式之表徵形式與表徵轉譯活動皆由具體化 逐漸變成抽象化 二、四個版本安排之表徵轉譯活動，皆以文字表徵轉譯為數學符號最多，而D版 本少有具體化之表徵轉譯活動 三、四個版本整數加減進、退位概念教材之表徵形式與安排之表徵轉譯活動多為 文字表徵轉譯為具體操作物 四、A與B兩個版本多採用線段圖表徵形式來呈現具有部分-整體概念的整數加減 教材 本研究根據上述各項研究發現，分別對教科書編寫者、教師教學與未來研究 提出建議。 關鍵詞：表徵形式、表徵轉譯、整數加減、數學教科書

A content analysis of the representation translation activities about whole -number addition and subtraction materials in first to third grade elementary

school mathematics textbooks

Abstract

The main purpose of the study was to analyze the whole-number addition and subtraction representation forms and representation translation activities to be arranged in mathematics textbooks. Four versions of mathematics textbooks and instruction manuals from volumes 1 to 6, namely textbook A, B, C, and D respectively, which were compiled in accordance with the “Guidelines of Grade 1-9 Curriculum” of school mathematics were selected.

Content analysis and Atlas.ti software were adopted for this study. Representation forms and translation activities in the textbooks were coded and analyzed according to the coding frameworks developed by researchers.

Four findings of this study were as follows:

1. The representation forms and representation translation activities of addition and subtraction equations in textbooks B and C were concrete to abstract. 2. Most frequently used representation translation activities in the four versions of textbooks were word representation to written symbolic. Word representation to concrete representation were few in textbook D.

3. Carrying and decomposition concepts in four versions were word represent -ation to manipulative models were most frequently used.

4. Part-whole concepts of addition and subtraction in textbooks A and B line drawing graphs were represented frequently.

Finally, researcher proposed some recommendations for the textbook publishers, teaching and studying in the future.

Keywords: representation forms, representation translation activities, whole-number addition and subtraction, mathematics textbooks

目錄

第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的與問題 ... 2 第三節 名詞解釋 ... 3 第四節 研究範圍與限制 ... 4 第二章 文獻探討 ... 7 第一節 表徵轉譯與數學學習之關聯 ... 7 第二節 表徵與整數加減學習 ... 13 第三節 數學領域教科書內容分析相關研究 ... 19 第三章 研究設計 ... 25 第一節 研究對象 ... 25 第二節 研究方法 ... 26 第三節 研究流程 ... 27 第四節 研究工具 ... 28 第五節 研究的信度與效度 ... 35 第四章 結果與討論 ... 39 第一節 整數加減例題表徵形式之分析結果與討論 ... 39

第二節 整數加減教材表徵轉譯活動安排之分析結果與討論 ... 61 第五章 結論與建議 ... 81 第一節 結論 ... 81 第二節 建議 ... 82 參考文獻 ... 85 一、中文部分 ... 85 二、英文部分 ... 90

表目次

表 2-3-1 表徵相關研究 ... 19 表 2-3-2 表徵轉譯相關研究 ... 22 表 3-1-1 各版本出版資料 ... 25 表 3-1-2 四個版本數學領域教科書一至三年級整數加減教材內容 ... 26 表 3-4-1 國小數學領域教科書整數加減教材表徵形式之分析架構表 ... 29 表 3-4-2 國小數學領域教科書整數加減教材安排表徵轉譯活動之分析架構表29 表 3-4-3 五種表徵形式範例 ... 30 表 3-4-4 表徵轉譯活動範例 ... 32 表 3-5-1 『表徵形式』研究者與兩位編碼者間的相互同意值 ... 37 表 3-5-2 『表徵轉譯活動安排』研究者與兩位編碼者間的相互同意值 ... 37 表 4-1-1 不同版本整數加減運算格式-橫式與直式表徵形式 ... 40 表 4-1-2 不同版本整數加減運算格式-橫式之表徵形式例題 ... 41 表 4-1-3 不同版本整數加減運算格式-直式之表徵形式例題 ... 43 表 4-1-4 不同版本在二位數加減教材中呈現加減法關係之表徵形式 ... 50 表 4-1-5 不同版本在二位數加減教材中加減法關係表徵形式例題 ... 51 表 4-1-6 不同版本合併型問題表徵形式之差異 ... 54 表 4-1-7 不同版本『被比較量未知』問題表徵形式 ... 56 表 4-2-1 四個版本不同位數加減教材表徵轉譯活動安排次數 ... 62 表 4-2-2 不同位數加減教材安排表徵轉譯活動變化 ... 63 表 4-2-3 不同版本在 10 以內加減教材中橫式安排之表徵轉譯活動 ... 64 表 4-2-4 不同版本在二位數教材中直式之表徵轉譯活動 ... 65 表 4-2-5 各版本二位數加減教材安排文字表徵轉譯為算式填充活動安排差異67

表 4-2-6 不同版本二位數加減教材加減法關係安排表徵轉譯活動類型 ... 70 表 4-2-7 兩步驟問題二、三位數加減教材文字表徵轉譯為數學符號活動內容72

圖目次

圖 2-1-1 表徵系統的交互作用模式 ... 10 圖 4-1-1 A、B 與 C 版本呈現算式填充表徵形式例題 ... 45 圖 4-1-2 A、B 版本首次引進加法進位例題之表徵形式 ... 47 圖 4-1-3 D 版本首次引進加法進位例題之表徵形式 ... 47 圖 4-1-4 C 版本首次引進加法進位例題之表徵形式 ... 47 圖 4-1-5 A、C 版本首次出現減法借位例題表徵形式 ... 48 圖 4-1-6 D 版本首次出現減法借位例題表徵形式 ... 48 圖 4-1-7 C 版本正式介紹加法進位概念表徵形式例題 ... 49 圖 4-1-8 A、C 版本正式介紹減法借位概念表徵形式例題 ... 49 圖 4-1-9 B 版本介紹直式運算規則表徵形式例題 ... 50 圖 4-1-10A 與 D 版本二位數加減教材合併型部份量未知問題之表徵形式55 圖 4-1-11A 與 D 版本三位數加減教材合併型部份量未知問題之表徵形式55 圖 4-1-12 B 與 C 版本四位數加減比較型參照量未知例題表徵形式 .... 58 圖 4-2-1 A、B 版本在三位數教材中直式之表徵轉譯活動 ... 66 圖 4-2-2 C 版本介紹加法進位概念安排表徵轉譯活動例題 ... 69 圖 4-2-3 D 版本介紹加法進位概念安排表徵轉譯活動例題 ... 69 圖 4-2-4 B 版本介紹減法退位概念安排表徵轉譯活動例題 ... 69 圖 4-2-5 A 版本 10 以內加減改變型文字題-文字表徵轉譯為口語活動 . 76 圖 4-2-6 B 版本二位數加減改變型文字題-文字表徵轉譯為數學符號活 動... ... 76 圖 4-2-7 C 版本二位數合併型文字題-文字表徵轉譯為具體操作物、抽象 符號活動.... ... 76 圖 4-2-8 C 版本比較型文字題-文字表徵轉譯為口語活動 ... 76

第一章 緒論

本研究係以數學教科書為範圍，探討教科書中整數加減教材之表徵形式與表 徵轉譯活動安排情況。本章將說明研究動機、研究目的與問題、名詞解釋及研究 範圍與限制。

第一節 研究動機

表徵在數學學習中是學習、溝通與表達的重要媒介。學生若能根據問題情境 彈性的運用適當的數學表徵，例如口語、圖像、實物、抽象符號等等表徵形式來 協助自我與他人溝通，可以利用多種表徵表達同一個數學概念，且在單獨的表徵 系統之內以及各個表徵系統之間可以靈活的轉譯，才能證明學生具有穩固的概念 理解 (Dreyfus & Eisinberg,1996)。在數學學習中，若能提供學生不同的表徵與表 徵轉譯活動，引導其將問題情境轉譯成多種表徵形式，將有助於學生思考與問題 分析的呈現，幫助學生不僅以一種有意義的方式來學習數學。從整數加減的相關 研究來看，表徵有助於整數加減學習。例如透過文字表徵轉譯為圖像表徵的活 動，運用合宜的圖像表徵來呈現問題中隱含的數量關係，能夠增進學生理解文字 問題的題意並減少解題歷程的錯誤(方美珍，2007；林文彥，2006；羅秋霞，2006)。 數學的概念理解包含兩個面向，除了能夠以一套符號或系統來表徵數學概 念，另一個則是能以多重表徵來呈現一個概念，且能在不同表徵系統間進行轉譯 活動(Davis, 1984)。學生學習數學概念過程中，進行表徵轉譯的過程產生的內 心建構有助於未來學習並且能應用在其他表徵系統，當學生數學概念持續進化， 其表徵系統網絡則會越來越複雜，對於表徵轉譯的能力愈能彈性掌握，其對於概 念學習則是愈成功(Behr, Lesh & Post,1987)。表徵轉譯過程除了產生內心建構

且有助於日後的數學學習之外，Izsak(2000)則提出透過表徵轉譯的過程學生可 以反思自己解題的過程，且表徵能處理問題情境與數學概念間連結的困難。總的 來看，在數學概念學習時，可以透過表徵轉譯活動來幫助學生思考、理解題意、 建立不同表徵系統間的連結、亦能理解題意與記錄題目。因此，表徵轉譯活動對 促進學生的概念學習來有相當大的助益。例如，整數加減學習在形成高階單位概 念時，學生會有加減法進退位的問題，單位間的相互轉換的抽象概念學生不易掌 握，常會造成進退位上的困難（蔣治邦、林碧珍，2000）。抽象的加減法進退位 概念常透過數學符號或文字與具體操作物之間的轉譯活動，一方面建立學生多元 表徵的能力，另一方面透過表徵間的轉譯，增進學生對概念的理解。 由以上論述可得知，整數加減學習過程中表徵轉譯扮演重要的角色。教科書 是學生學習的主要來源，其安排之表徵轉譯活動關係著學生的學習。因而，本研 究將分析不同版本教科書中整數加減之表徵形式與表徵轉譯活動安排。

第二節 研究目的與問題

基於以上研究動機，本研究旨在於分析根據九年一貫課程綱要編輯，並通過 教育部審定四個版本數學領域教科書，進行內容分析。焦點放在各版本國小數學 領域各版本一至三年級數學領域教科書中整數加減例題之表徵形式與表徵轉譯 活動安排的差異。研究目的如下： 壹、研究目的 一、探究不同版本數學領域教科書不同整數加減教材表徵形式之差異。 二、瞭解不同版本數學領域教科書不同整數加減教材安排表徵轉譯活動之差異。 三、提供教師教學、各家出版社編寫教材及學校選用教科書之參考。

貳、研究問題 一、不同版本數學領域教科書不同整數加減教材內容表徵形式差異為何？ （一）不同版本數學領域教科書整數加減運算格式表徵形式差異為何？ （二）不同版本數學領域教科書整數加減概念表徵形式差異為何？ （三）不同版本數學領域教科書不同類型文字題表徵形式差異為何？ 二、不同版本數學領域教科書不同整數加減教材表徵轉譯活動安排差異為何？ （一）不同版本數學領域教科書整數加減運算格式表徵轉譯活動安排差異為 何？ （二）不同版本數學領域教科書整數加減概念表徵轉譯活動安排差異為何？ （三）不同版本數學領域教科書不同類型文字題表徵轉譯活動安排差異為何？

第三節 名詞解釋

壹、表徵形式 表徵(representation)是指用某一種形式，將一種事物或想法，重新表現出來， 以達成溝通的目的（蔣治邦，1994）。本研究參考Lesh、Post and Behr（1987） 以溝通觀點所分的表徵形式-靜態圖形、具體操作、書寫符號、真實腳本與口語。 經本研究初步分析一至三年級教科書整數加減相關單元後，研究者將表徵形式分 為數學符號、具體物圖片、具體物操作、抽象符號與文字等五種形式。 貳、表徵轉譯 表徵之間的轉譯（translations）在數學學習及問題解決中扮演重要的角色。 Janvier（1987）認為，轉譯過程是從某一種表徵的模式至另一種表徵的過程轉譯 是包含兩種模式的表徵形式，如文字表徵轉譯至圖形表徵。若能透過不同表徵系

統間的轉譯，可使學生對同一問題的結構與意義有更完整的認識。在轉譯的過程 中，需建立不同表徵系統間的關係，更必須保持問題的結構及意義。本研究將表 徵轉譯定義為教科書中文字表徵保持問題結構而轉譯成各種不同的表徵形式。 參、不同類型文字題 Fuson (1992) 依問題情境結構，將整數加減法文字題歸納分類，其將文字題 分為改變、合併、比較及等化四種類型。因教科書整數加減教材中等化型問題數 量極少，因此，本研究不同類型文字題包含改變、合併與比較型問題。改變型問 題指的是一個起始量經過改變之後，形成一個結果量的問題，屬於動態問題情境 ；合併型問題指的是兩個數量總合的問題，而比較型問題指的是比較兩個數量大 小或多寡的問題。

第四節 研究範圍與研究限制

本節將說明本研究之研究範圍與研究限制。 壹、研究範圍 一、研究對象 本研究選擇康軒、翰林、南一及國教版，以民國九十二年九年一貫課程綱 要四個版本編製的國小一至六冊四個版本數學課本為研究對象，共 24 冊。整數 加減為數學領域第一學習領域階段學習的重點教材，整數加減是未來數學學習 四則混合運算的基礎。因而，選擇第一學習領域階段的整數加減作為教材分析 主題。 二、研究內容 本研究分析類目分為兩個部分：教科書整數加減例題表徵形式與安排表徵

轉譯活動兩個面向來分析，以瞭解各版本一至三年級整數加減教材中表徵形式 與安排表徵轉譯活動之差異。 三、教材內容 本研究將四個版本一至三年級整數加減相關單元歸納為整數加減運算格 式、整數加減概念兩個部分。在整數加減運算格式方面包含了橫式、直式與算 式填充；整數加減概念包括加減法進退位概念、加減法關係與兩步驟問題。 貳、研究限制 本研究採用內容分析法，針對教科書中整數加減教材作分析，僅由研究者個 人知覺教材中表徵形式與表徵轉譯活動安排進行編碼與分析，本研究僅針對不同 表徵形式間之表徵轉譯活動進行編碼與分析，並未探討同一表徵系統內的轉譯活 動。因而，無法探究不同表徵系統間與系統內之表徵轉譯活動的互相之間的關聯。

第二章 文獻探討

將一道數學例題，由文字或圖像表徵轉譯成數學符號或其他表徵形式，的確 是許多學童感到困擾之問題。學生在面對數學問題，必須先了解問題的陳述，回 憶或激發出相關問題的知識結構，建構出問題的表徵模式，進而推論出結果。Lesh et al.（1987）提到學生是否能在不同的表徵形式中自由轉譯，表示其對概念意義 的掌握。不論問題以何種形式呈現，學生皆需要在不失原有意義之下，使用自己 的方式重新表徵，以進行解題以及數學的學習。目前，數學學習仍是以數學教科 書為主，因而，教科書例題之表徵形式與轉譯活動，給予學生學習表徵轉譯的經 驗與練習，皆有助於學生解題與後續之數學學習。 本章分三節分析相關研究文獻：第一節探究表徵轉譯與數學學習的關聯；第 二節說明表徵與整數加減學習；第三節整理分析表徵轉譯相關研究。

第一節 表徵轉譯與數學學習之關聯

問題解決是數學領域最困難的部分，學生需要學習組合思考、計算能力以及 概念所需的語言、分析和解釋資料，以致他們能夠做選擇和決定，進而解決數學 問題。許多學者研究發現解題者對問題所形成的表徵是解題的關鍵。問題解決的 失敗多在於表徵轉譯的不當，而非解題歷程的錯誤，可見表徵轉譯能力在解題過 程中影響甚大。本節將說明表徵內涵及表徵轉譯在數學學習過程中的重要性。 壹、表徵的內涵 表徵為認知心理學研究重點之一，在認知心理學上，表徵是指將外在現實世 界的事物以另外一種較為抽象或符號化的形式來代表的歷程；而從訊息處理觀點

來看，表徵指的是訊息處理過程中，將訊息譯碼而轉換成另一種形式，以便儲存 或表達的歷程（張春興，1989）。表徵是個體透過對周遭事物透過感覺系統形成 概念的歷程，而不同的表徵形式可以呈現及建構同一個概念。從認知互動的觀點 來看，Kaput（1987）將表徵分為（1）認知及覺知表徵（cognitive and perceptual representation ）：個體在腦中將訊息及知識轉換的形式。（2）解釋表徵(explanatory representation)：自然心理或數學符號及心像間的關係聯結。(3)數學內部表徵 (representation within mathematics )：用一種數學結構解釋另一種結構特性系統。 (4)外在符號表徵(external symbolic representation)：以外在符號表徵代表某一種 數學概念系統，透過外在表徵可與他人進行溝通數學概念。當我們面對一個新的 問題情境時，會將所接收到的訊息轉譯成自己所能理解的形式，也就是一種內化 的心理表徵，接著再經由問題整合、解題計畫與監控、解題執行的解題過程 （Mayer,1992）。Mayer的解題理論中，表徵的功用亦是從認知觀點出發。在數 學解題的過程中，數學表徵除了是內部數學思考歷程亦是外在數學形式的展現。 學生需將內部思考過程轉化為外在解題的表徵，即進行表徵的轉譯活動，以作為 溝通數學想法的工具。 表徵是個體自我建立，可以調整可以觀察的外在模式表現內在心智的歷程， 一個良好的表徵是思考與溝通的最佳工具。在數學活動中，表徵扮演著兩種角 色：運思的材料與溝通的媒介。作為運思的材料時，是用表徵來代表物化的概念 或內蘊化的活動類型，再對表徵所代表的意義進行活動，表徵簡化了人類思考的 過程（蔣治邦，1994）。數學教學必須使用各種表徵系統來學習，要學生理解各 種數學問題，其必須熟悉各種表徵系統的轉譯，並使用各種表徵系統進行運思與 溝通，可見表徵運思及溝通功能與數學學習有密不可分的關係。Bruner（1966） 從個人運思的觀點，將表徵區分為動作表徵（enactive representation）、圖像表徵 （iconic representation）及符號表徵（symbolic representation）三種。動作表徵指

的是透過行動掌握概念。面對刺激我們以所學得的習慣動作做出反應，當物體不 再能被操作後，物件意義則不存在；圖像表徵指的是用心像掌握概念，具體物消 失後，在腦中仍有心像，以心像為材料進行內在活動；符號表徵指的是受外在實 物抽象的影響，代表實物或心像的某種抽象性質（轉引自劉秋木，1996）。在數 學學習過程中，動作表徵指的是可以實際外顯操弄（用手指點數）或外在物件如 實物、具體物教具（如花片、積木..）；圖像表徵階段指的是可在腦中形成對圖 像進行計數活動；而符號表徵指的是在腦中形成數字符號的對應關係。在Bruner 的觀點中，表徵只是運思的材料，動作、圖像與符號表徵代表著運思的抽象程度， 並不需要與外界溝通，屬於個人化的活動。而在每個解題活動中存在著被運思的 材料，前一個活動中經過運思所得到的結果，必須以一種形式呈現出來，才能夠 以此做為下一個運思活動的材料。此時，表徵便成為運思的材料，可以幫助學生 呈現出自己的數學概念（蔣治邦，2001）。 從表徵溝通的功能來看，表徵作為溝通工具時，是用特定的表徵形式，表示 一些約定成俗的共識，來描述活動經驗，溝通並不限於與他人溝通，也是與自己 溝通的工具。Lesh et al.（1987）從數學的學習與解題中，進一步具體化將溝通 的表徵區分出五種不同的類型，其所提的五種表徵類型交互作用模式，如圖2-1-1 所示。 一、真實腳本（real scripts）：利用實物情境的知識或物品來表示或解釋問題情境。 二、具體操作物（manipulative models）： 必須配合某些數學概念使用才有意義 的具體物，如古氏積木、分數板等。 三、靜態圖形（static pictures）：一種靜態的圖形模式，如面積、數線圖等、統 計表、抽象符號（如○、X..）等..。 四、口語（spoken language）：日常生活用的口語符號。

五、書寫符號（written symbol）：常用的數學符號或算式。如5+6=11、6x+y=76、 □+5=8..等。 圖2-1-1 表徵系統的交互作用模式 （資料來源：Lesh et al.,1987,p.34） 一種表徵可以代表多個數學概念，在不同處使用有著不同意義，表徵的多重 意義容易使學生產生學習困擾。在表徵系統中除了要做到對單一表徵做完整的建 構，亦要做到表徵間互相連結的工作。教科書中呈現多樣性的表徵形式可以引導 學生創造並使用不同的表徵去組織、記憶與溝通數學概念外，也可以幫助學生發 展一個完整的數學表徵，並得以有意義、靈活並適當地使用。 表徵在學習活動中最常扮演的角色，除了的運思材料與溝通的媒介之外，另 一則是解題工具。具體物表徵能夠提供學生做為解題時的思考依據。但此處的具 體物並不是為學生安排好現成的情況，而是要求學生依所學、所想來說明。透過 對具體物的操作，呈現出學生的數學概念。之後，必須由最初的引導，逐漸提升 靜態圖形 具體操作物 真實腳本 書寫符號 口語

至抽象的概念（Cobb , Yackel & Wood , 1992）。而數學符號表徵除了溝通的目的 之外，在數學教育中的另一個目標，便是利用其來解題。在獲得符號初步意義、 使符號成為溝通工具之後，要逐步提升學生對表徵的運用，使數學符號成為解題 工具（Mack , 1995）。利用數學符號所具有的高度系統性共通原則，讓學生能更 有效率的解題，進而提升數學能力。 綜合以上所述，表徵具有幫助運思與溝通的功能，在數學學習中包含兩方面， 一是獲得一套系統來表徵概念，另外則是以多重表徵來代表數學概念。從解題工 具來看，將表徵移轉到問題情境中，再呈現結果，使用適當的表徵可以簡化思考 過程與問題。由於表徵的多義性與多樣性，表徵間的轉譯乃是影響數學學習與問 題解決的關鍵，更是學生是否理解數學概念的重要指標。 貳、表徵轉譯活動在數學學習過程的重要性

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在 2000 年公佈的「學校數學課程之原則和標準(Principles and Standards for school Mathematics)」一書中，表徵能力區分為：創造使用表徵去組織、紀錄、溝通數 學想法；選擇、運用及轉換數學表徵去解決問題；使用表徵模式及解釋物質的、 社會的和數學的現象。NCTM 將發展學生表徵能力列為教學重點。學生若能適當 的運用多樣化的數學表徵，不但能夠增進數學概念的理解，並且在相關的數學概 念之間建立連結，真正理解數學問題，讓數學學習變得有意義，還能以數學表徵， 與他人溝通數學想法，且應用在真實的問題情境，更能進一步解決生活當中所面 臨的問題。游自達(1995)亦提出在數學學習過程中，應該讓學生掌握符號系統， 做有意義的操作，更需注意不同表徵系統間的關聯，進而利用多重表徵代表數學 概念。 在獲得數學觀念時，學生須要做到對於單一表徵的完整建構，亦要進行表徵 間互相連結的工作。數學教科書中除了需安排多種的表徵形式，協助學生在表徵

內進行轉換和表徵間的轉譯更為重要。經由不同形式的數學表徵的轉譯過程能夠 協助學童概念的意義掌控，而經由將數學由一個表徵轉譯到另一個表徵，亦可強 化學生的數學溝通與理解(Lesh et al.,1987)。但從 Dufour- Janvier, Bednarz and Belanger（1987）的研究結果中可以發現：對兒童而言，只是各別單獨地將表徵 與概念對應，兒童並不會將同一問題的不同表徵視為等同問題，他們會將同一題 目的不同表徵，視為是不同的題目，喪失了許多在不同系統下轉譯問題結構與意 義的機會。表徵轉譯活動是促進數學了解的有效策略，同樣的概念有上同的表 徵，如符號表徵、圖像表徵…等。適當的上同表徵融入數學教科書中，搭配表徵 轉譯的連結功能，對促進數學了解有一定的成效（林福來，2007）。教科書是國 中小階段獲得知識的主要來源。因而，在數學教科書中安排合宜的表徵轉譯活動 更顯得重要。透過教科書中安排多樣的表徵轉譯活動，讓學生靈活進行表徵轉 譯，選擇適合的表徵來解題，不僅反映解題者對問題的了解，也可提升解題者對 數學概念的連結。

國內外研究( Brenner ,Herman & Zimmer,1999；林福來，1997；游自達，1995； 蔣治邦，2001b)強調表徵轉譯的重要性。學習者不但需要從不同形式的表徵系統 中抽取數學概念，亦要能正確地將數學概念用不同表徵形式加以呈現與轉譯。因 此，能正確運用多重表徵進行不失原意的表徵轉譯，並注重不同表徵系統之間的 連結，才算真正掌握此數學概念，才有利於學生解決問題及數學學習。當學生面 臨一個數學問題的時候，可以選擇利用符號、圖形或是操作具體物來代表對於問 題架構的詮釋，也可以用語言來解釋個人對於問題的想法以及做法。表徵是有利 的思考工具，讓數學概念可更具體的表達。教科書中安排不同的表徵轉譯活動， 幫助學生理解不同情境中共同的數學要素，更能提供學習者一種建立溝通訊息、 證明推理的有用工具（Greeno & Hall, 1977，轉引自洪小凡，2008）。

助於數學概念的學習及解決數學問題。教科書若能多提供多樣的表徵轉譯活動， 引導學生瞭解數學問題。若是將其應用在真實的問題情境，更能進一步解決生活 當中所面臨的問題。因此，在數學學習如果多提供學童運用表徵的機會，讓表徵 成為數學思考能力的工具，對於學童數學概念的發展有很大的助益。現行教科書 編製除了應考慮數學內容、題目情境佈置之外，也應該注重表徵活動轉譯的安排 情況。

第二節 表徵與整數加減學習

理想的數學學習需引導學習者在同一個物件上運用數個表徵，並且對該概念 有清晰的多重表徵。Noss and Hoyles（1996）提出僅就單一表徵的學習並不適當， 因為在解題時，不同表徵的角色結構相互牽連，單一表徵在解題時必須要能切換 到其它的表徵上。學生面對一個問題情境若能形成多種表徵，並形成表徵間的連 結，將有助於對問題的理解和解題能力。可見，表徵對於數學學習之重要性。本 節將分為表徵與數學學習以及表徵在整數加減學習之功能。 壹、表徵與數學學習 根據Bruner的研究，認知表徵是隨著年齡發展的，其發展順序依序為動作表 徵、圖像表徵、符號表徵。透過這三種表徵方式，兒童可以從過去的經驗提取保 留下來的經驗模型，以認識現有的刺激，或是將現有的刺激收納至過去的經驗模 型(王淵智，2005)。學齡兒童的知識認知，初步階段以對物件操弄的知覺認知為 基礎，進而能運用半具體的表徵，例如藉由自己的心像，視覺觀察與半抽象表徵 並用解題，繼而發展抽象的表徵理解，如運用圖畫或語言等等，及能使用抽象符 號作簡易的推論分析。Bruner認為智慧的成長是指運思活動從具體的實物操作逐

漸轉換成使用抽象符號來認知，不再依賴外在刺激，運用抽象符號表徵之前，學 生仍應從具體的學習活動中了解抽象符號表徵的意義，才能運用符號進行運思， 這種有意義的歷程對學習運用抽象表徵非常重要（蔣治邦，2001b；黃幸美， 2003）。 具體操作物是協助兒童學習數學概念重要工具，更進一步認為經由具體物操 作的經驗，可以幫助數學知識的獲得，且藉由實際的操作經驗，可以增強兒童心 理的認知與圖像的表徵，進而發展抽象的概念（楊德清，2000；NCTM，2000；鄭 寰文，2004）。Heddens（1984）則以表徵觀點出發，將學生學習階段分為四個 連續階段： 1.具體表徵階段：運用生活中真實存在的物體，如蘋果、彈珠等等。 2.半具體表徵階段：利用圖片或照片來代表實際物品。 3.半抽象階段：利用上同於實體物的符號或圖形來代表實際物品，如畫三個 ○代表三隻貓。 4.抽象階段：運用符號表徵，如2+5＝7。 Heddens認為學習者必須在具體階段，將新的知識加以內化，並有系統沿著四個 學習階段，將新學知識賦予抽象化的表徵，學習者才得以在真實世界與抽象世界 建立好連結。 劉秋木（1996）與Witzel（2005）則從數學問題解決的觀點出發來說明學生 運用表徵並非僅侷限於其較易於理解的具體操作物階段，必須隨著學習經驗逐漸 提升運用抽象化表徵的能力。劉秋木說明學童理解整數加法『2+3＝（ ）』問 題，他先取2個積木，再取3個積木，全部數一數共有5塊，其以行動方式來知道 數學，行動的對象是具體物，具體物的操作過程使學生形成心像，之後遇到此問 題，可在腦海中呈現2塊和3塊積木的圖像，對圖像進行計數活動，此時的運思對 象是圖像，再更進一步，在具體操作物與圖像運思活動中，符號能與運思形成對

應關係，學生即能習得符號的意義，不斷累積經驗後，學生只要腦中呈現2和3的 符號，即可進行運思活動，而獲得5這個答案，此時運思對象則是符號； Witzel 則指出美國許多州的數學標準規定數學學習需要讓學生透過操作來經驗數學，以 便建立數學的問題解決與高層次的思考。使用具體物操作的活動讓學生藉此進行 表徵轉譯活動，使其可以從不同的表徵系統中重新獲得訊息。此外，學生也可以 對操作具體物過程和使用的畫圖表徵兩者來進行連結。未來，當學生面臨到困難 的數學問題時，可藉由具體物操作與圖像表徵間的連結，而將操作具體物的過程 畫下來解決問題，逐漸將其運用表徵能力抽象化。教科書呈現之表徵形式與安排 之表徵轉譯活動須依不同學習階段有所不同，才得以逐漸建立學生運用抽象化表 徵的運思能力。 表徵的使用是學生接受教師或教科書提供之訊息以及自行發展的結果。因 此，在教學過程中，教師一方面需要告訴學生一些約定俗成的表徵概念，同時也 要讓學生將其所了解的內容或對數學的論證，才得以讓學生透過適當的表徵與他 人進行溝通，進而能促進學生不同的思考。教科書中若能提供適切的表徵，藉以 提升學生應用表徵的能力，可以促進學生對數學概念更豐富的理解。 貳、表徵在整數加減學習之功能 綜合來看，學者認為表徵在整數加減學習方面，有以下幾種功能： 一、表徵能將具體呈現出整數加減學習之抽象概念 研究發現，兒童在未入小學前，即已能利用計算策略來解決簡單的加減問 題（Ginsburg,1980，轉引自蔣治邦，2001b）。具體物加減計算發生於日常生活 中，兒童透過生活中的實際物品計數來熟悉計數經驗，得以學得簡易的加減計 算技能。然而入小學後，兒童開始接觸正規運算過程與公式的教學。對兒童而 言，這是一些脫離情境的符號學習，較難理解與運用。因而，低年級教科書中 呈現文字表徵轉譯為生活中常見之實際物品（具體物圖片）的活動，利用生活

中實際存在的物品作為表徵將問題中的訊息視覺化，讓具體物圖片形成一個具 體的刺激，並讓學生從活動中，核對問題中的訊息與具體物圖片是否一致，進 而思考及檢視對問題的理解是否與題意一致，逐漸引導學生理解加減運算格式 的意義，以協助兒童使用正確的解題策略（戴妏純，2008）。而教科書安排文 字表徵轉譯為抽象符號（○）的活動，讓學生將「○」視為問題情境中具體物 表徵，在計數過程中，保留問題具體物的意義，用「○」模擬實物變化狀態， 用「○」為材料，依循具體物系統的運思法則（例如可被移動點數），完成計 算總數的運思活動，唯有在運思過程中，不喪失具體物所表徵的實物意義，才 能使用具體物的運思，來解決實物的問題（蔣治邦，2000a）。 從文字表徵轉譯為圖像表徵的表徵轉譯活動，能夠將整數加減教材中部分-整體問題複雜且抽象的關係，透過圖畫表徵讓學生瞭解題目的特徵，使一些難 以理解的數量關係資訊變得具體化且有可詮釋性，能使解題者易於發現隱藏在 已知及未知條件間的關係，進而取得相關的解題基模，而達到成功解題的目的 （李秀玲，2008）。在教科書整數加減教材的中，為了讓學生『看』見加減運 算部分-整體的結構，常使用抽象符號-『線段圖』來表徵問題中數量間的關係。 線段圖可以把情境用圖示表達、呈現數學運算符號及把合成、分解情形表現的 更充分，使得外在表徵-線段圖成為學生理解數學概念或表達想法的溝通工 具，但學生必須發展相關的概念，才得以正確的解讀編輯者透過表徵形式意圖 傳達的訊息。Gustein and Romberg（1995）提出當看到教科書中呈現之線段 圖時，學生是否能賦予正確意義，這是值得關心的問題。而蔣治邦（2000c） 指出線段圖並非是學生常用的溝通表徵，線段圖與文字表徵間的關係，並不如 理論中顯而易見，線段圖表現數量合成、分解或比較的語法，皆可能造成學生 看見問題中數量關係或文字表徵轉譯與線段圖之間表徵轉譯的困難；並且從朱 建正與吳昭容（1993）研究發現：能在圖示中用某種合理方式標示問題的數量

關係者，解題率較高，並發現大約至六年級才有較多學生能運用有效、有意義 的空間關係，如線段圖來表徵問題中的數量關係。 整數加減運算需做多階單位系統的聚合與分解，混合使用時容易造成困擾 (蔣治邦，2000a）。因而，在加減運算教學的過程中，常讓學生藉由文字或圖 像表徵轉譯為具體操作物的活動將多階單位間轉換的抽象概念具體地呈現出 來，但在操作多階單位系統換算時容易產生具體物多重意義的困擾，橘色積木 在視覺上來看，是『一』條橘色積木，但其在操作的過程中，有時必須被當作 『十』個白色小積木，『l』亦相同，其同時具備了一個 10 和十個 1 的意義（甯 自強，2000）。為了讓學生透過表徵轉譯的過程逐漸理解運算意義，且不易產 生具體物的多重意義困擾，必須讓學生在活動中反覆檢查該表徵意義的保留， 再由教科書呈現表徵與活動結果對應，在如此對應情況下，才得以溝通此特定 表徵的意義。否則，當具體物被移去時，學童並不一定能運用這樣的多階單位 概念進行運算（陳竹村，2000）。 低年級學童常透過演出(act out)的表徵轉譯活動呈現文字表徵的情境，具 體呈現出問題中抽象數量間的關係（Carpenter & Moser,1982）。但當問題數 字範圍逐漸增大時，具體操作問題情境的策略，會產生許多運算上的不便。學 生必須形成新的策略，才得以因應與簡化大數量的需求與困難（蔣治邦， 2001c）。教師教學或教材中必須讓學生經由表徵轉譯活動過程中，反思抽象化 的活動，擴展其表徵使用與表徵間轉譯的彈性。 二、表徵能促進對整數加減內容意義的瞭解 數學符號的使用有兩個層次的發展，首先數學符號是代表具體活動經 驗，以此作為溝通工具，但在此階段使用數學符號時，須使用具操作體物或 心像重演活動經驗，才得以繼續運作，當活動類型的組成成分被進一步地理 解，成為可逆溯的運思(reversible operation)，則數學符號的意義，逐漸演化

為代表抽象的具體活動經驗的意義，而不再是具體活動經驗的本身，在此階 段數學符號成為運思的材料(甯自強，1993a)。Steffe, Glasersfeld, Rechards and Cobb（1983）研究亦指出兒童計數東西的發展過程，乃由具體物的操作 開始，逐漸進入計數心像、動作、語言等較抽象的單位，最後則具有利用抽 象單位計數之能力(引自許靜雯，2007)。而Gagne and White 研究指出讓兒 童在操作具體物的過程，經由從操作過程轉譯到口語的活動，將有助於問題 情境的理解，亦能增進對此活動經驗的記憶 (Post,1988)。學生在學習數個 同一系統的表徵之後，應嘗試依據數個表徵的共通性，將新活動用數學符號 系統的方式藉以表徵出來，不能僅以在具體物操作活動中成功解題為目的， 而是以學生能透過抽象表徵運思活動解決問題為教學的最終目的。換言之， 學生必須依據其運思發展逐步掌握數學符號的多重意義，成為發展更高層運 思的經驗基礎。 整數加減中算式為量的操作表徵，而算式有不同的格式，不同格式具有 不同的功能，如直式為解題工具或策略，算式填充則是記錄問題與結果的格 式，是表徵題意的一種形式。算式填充將問題中已知量與未知量的關係表徵 出來，包含了量操作活動前的前提量與活動後的新量以及量的操作活動組 織，量與量的關係利用加法和減法的逆算概念，重組了量的操作活動。雖然， 兒童無法如成人一般藉由對關係操作活動解決問題，但並不表示兒童無法解 決涉及關係的問題。甯自強（1993b）提出兒童能夠透過把關係放在物中， 利用物的建構與解構（deconstruction）把內涵的關係藉由具體物操作的過 程表徵出來，從而解決涉及關係問題，他們可以透過物的構成成分來聯絡關 係，兒童會利用活動將未知量表現成已知量，其次進行已知量的確定數值工 作。 綜合上述，整數加減學習上表徵有將抽象概念具體呈現與促進學生理解整 數加減內容的功能。教科書中整數加減教材安排讓學生操作表徵的活動，讓學

生在操作過程中逐漸內化成自身的概念，但須逐漸提升其運用抽象化表徵的能 力。

第三節 表徵轉譯之相關研究

表徵在學生學習數學的過程中，是支持學生瞭解數學概念和關係必要的元 素。因此，針對表徵所進行的相關研究相當多。本節先探討表徵相關研究，並歸 納出表徵在數學學習上的功能，再聚焦至表徵轉譯相關研究對本研究的啟示。 壹、表徵相關研究 研究者歸納表 2-3-1 之後，整理出表徵對數學學習之影響。在表徵的相關研 究中，多為教學方面的研究，探究在整數加減、小數與分數的教學中運用不同的 表徵之教學成效。在整數加減的文字題方面，合宜的外在表徵可以協助學生理解 問題與解題（方美珍，2007；林秀燕，2004；林香，2003；羅秋霞，2006）。而 分數教學使用具體物操作、半具體的圖像表徵與具體圖片等表徵形式可增進學生 對分數詞意義、等值分數、分數部分-整體關係與等分割概念的瞭解（王淵智， 2005；張熙明，2004）。 表 2-3-1 表徵相關研究 研究者 研究主題 研究 對象 研究結果 方美珍 （2007） 整數加減 文字題 學障生 本研究目的主要在比較「圖片表徵」、「錢幣表徵」及 「線段表徵」三種圖示表徵解題策略教學在教學階 段、保留階段對於增進國小學障學生數學文字解題。 三種教學皆能提升受試者數學文字題之立即學習成 效。 （接下頁）

表 2-3-1 表徵相關研究（續） 羅秋霞 （2006） 整數加減 文字題 國 小 三 年 級 數 學 低 成 就學童 本研究旨在探討圖示表徵策略對提昇國小三年級數 學低成就學童加減文字題的補救教學成效。圖示表徵 策略教學能增進國小三年級數學低成就學童童理解 題意、正確列式，減少解題歷程的錯誤。 王淵智 （2005） 分數 國小四 年級 學生 本研究以 Behr 等人提出之表徵互動系統模式為基 礎，設計多元表徵分數課程進行教學實驗以探究其實 施成效。對於分數部分整體關係的口語表徵有所進 步，但書寫符號表徵則進步有限。 林文彥 （2006） 整數加減 比較型 文字題 六到七 年級 學生 本研究依循教學設計模式，發展完成兩套數位教材， 分別引用線圖表徵與圈圖表徵作為學生理解文字問 題的認知鷹架，探討參與對象在使用線圖和圈圖表徵 數位教材教學後的學習成效之差異，使用不同圖形表 徵數位教材對學生在代數比較類型文字題解題的學 習成效有顯著差異。 李宗哲 （2008） 分數 國小四 年級 學生 本研究旨在探討國小四年級學生對不同分數意義之 同分母分數加減問題運用不同表徵型解題的表現，比 較不同地區學校學生解題表現差異。學生在不同分數 意義的同分母分數加減問題中，運用文字符號表徵的 解題表現顯著優於運用圖畫表徵的解題表現。 吳佳容 （2007） 乘法 國小二 年級 學童 本研究旨在分析國小二年級學童乘法迷思概念，並探 討以「圖像表徵」為教學策略引入乘法教學後，對解 決國小二年級學童乘法迷思概念是否有幫助。實驗課 程對學童乘法概念之形成是有成效。 張熙明 （2004） 分數 國小五 年級 學童 主要目的在探究國小五年級學童在教學前後分數表 徵之迷思概念改變情形。所有學生在視覺、操作的表 徵是比較容易接受；此外，適當的操作具體物表徵或 具體的圖像以及半具體的圖形表徵對大部分學生的 數學學習、分數概念的提升有幫助。 林秀燕 （2004） 整數加減 文字題 國小低 年級 學生 探討實驗班和控制班採用圖示策略後，在整體上的學 習成效、圖示策略融入教學的可行性、不同題型文字 題的解題表現及不同數學程度學童的解題表現。在不 同面向合宜的外在表徵有正向效益。 （接下頁）

表 2-3-1 表徵相關研究（續） 林香 （2003） 整數加減 文字題 數學資 優生 探討國小數學資優生解題運用圖畫表徵策略之情形 與原因，並瞭解運用此策略之圖畫表徵與解題關係和 解題錯誤情形，及不同解題表現者的解題過程差異運 用圖畫表徵策略的學生，能配合問題類型畫出正確且 恰當的圖畫，尤其能呈現題目中所隱含的數量關係， 大都能解題成功。 貳、表徵轉譯相關研究 研究者歸納表 2-3-2 表徵轉譯相關研究後發現：從研究主題來看，表徵轉譯 相關研究多針對分數與小數教學，研究的表徵轉譯活動類型多為圖像表徵、符號 表徵與具體物表徵間的轉譯活動，並沒有其他數學主題之表徵轉譯活動的研究。 就研究方法來看，從相關研究中發現，表徵轉譯的研究多以個案訪談、施測等研 究方法來分析學生在小數與分數學習時進行不同表徵間的轉譯活動時的情況，藉 以瞭解學生小數與分數概念與計算的理解程度。從研究結果方面來看，林芳玉 （2003）、彭嘉妮（2007）與盧淑津（2005）研究均提出小數與分數概念的表徵 轉譯活動中，學生在圖像表徵與符號表徵間的轉譯活動表現不佳，表示學生仍無 法確切的掌握概念。曾靖雯（2003）則提出透過表徵轉譯活動讓學生具體理解問 題的情境，亦能使其重新省視自己的概念。學生數學學習主要來源的教科書中是 否安排數學問題與各種表徵形式間的轉譯活動讓學生從不同面向理解數學概念 值得檢視。 從表 2-3-1 與表 2-3-2 之相關研究中，本研究歸納出呈現多樣性的表徵可以 增進學生數學學習的成效，而透過學生進行表徵轉譯活動可以得知其數學學習的 情況。從相關研究中發現國內針對表徵轉譯活動之研究多為探究學生的小數與分 數學習時表徵轉譯情形，並未有針對教科書中表徵轉譯活動的研究。教科書在國 小階段為學生主要的學習來源，數學教科書編輯者應審慎安排表徵轉譯活動。因

此，以教科書為研究對象，經由內容分析探究教材中表徵轉譯活動為一值得關注 的議題。 表 2-3-2 表徵轉譯相關研究 研究者 研究主題 研究對象 研究焦點 林芳玉 （2003） 分數 四、五、 六年級 學生 採半結構的訪談研究方式，以求得學生由「符 號表徵」轉換到「圖形表徵」、「操作物表徵」 及「真實情境表徵」的各種表現。對各年級學 生而言，都是「圖形表徵轉換到符號表徵」表 現優於「符號表徵轉換到圖形表徵」。 盧淑津 （2005） 小數 國小三年 級學生 透過具體物表徵與符號表徵及圖像表徵與符號 表徵之間的轉譯表現來探討國小三年級學童的 一位小數概念。本研究獲得以下幾點發現：1. 學童在符號表徵至具體物表徵與符號表徵至圖 像表徵的轉譯表現一樣圖像表徵至符號表徵的 轉譯表現較符號表徵至圖像表徵的轉譯表現 好。 陳麗婷 （2005） 小數 國小四年 級學生 本研究目的在於透過符號表徵與圖像表徵雙向 轉譯來探討國小四年級學童的二位小數概念。 說明四個個案在訪談原案中的解題表現分析及 歸納。 鄭寰文 （2004） 小數 國小三至 六年級 學生 本研究旨在探討國小三至六年級學童的小數概 念在不同表徵間轉譯的答題想法與表現。採「半 結構性的訪談」來訪談個案，透過逐題訪談的 方式，來了解學童在表徵方面的正確與錯誤想 法。 彭嘉妮 （2007） 分數、小 數 國小六年 級學童 本研究目的在探討國小六年級學童在分數符 號、小數符號和圖形表徵三者間轉譯的表現， 以紙筆測驗及晤談的方式收集資料。六年級學 童在『分數符號和圖形表徵、小數符號和圖形 表徵、分數符號和小數符號與圖形表徵和符號 表徵間轉譯間轉譯皆表現不佳。 （接下頁）

表 2-3-2 表徵轉譯相關研究（續） 曾靖雯 （2003） 分數 三年級 學生 探討國小三年級實際課堂中，兒童運用表徵學 習分數概念；分數概念如何在各種表徵間呈 現、轉譯以及教師在分數教學策略中運用表徵 的情形。本研究中觀察到，兒童在課堂上能透 過表徵具體的理解問題情境、重新省視自己的 概念，在教學中多嘗試各種表徵間轉換的經 驗，對於分數概念的穩固是有幫助的。 黃月平 （2004） 分數乘除 國小六年 級學童 本研究旨在探討學生將分數乘除算式符號表徵 轉為數學文字題之表徵轉換能力。學生在每一 題的擬題率達 94.6%以上，整體之通過率則均 在 73%以上，顯示大部分受試者能理解本擬題 之測驗內容，可以施以擬題測驗。 陳宏麟 （2007） 小數概念 國小五年 級學生 本研究以圖像、符號及真實腳本表徵的問題， 透過各類表徵，初步分析學生對小數概念的答 題表現。若圖形無分割，學生容易忽略圖形本 身為整體 1 的概念，僅以尺量出的刻度數做為 判斷小數點後數值的依據。可見學生較欠缺「部 分與整體 1」關係之概念。

第三章 研究設計

本研究欲分析比較國小一至三年級數學領域教科書整數加減教材中，各版本 整數加減例題之表徵形式與表徵轉譯活動安排的差異。基於研究主題、特性與研 究目的，選用內容分析法進行研究。本章內容共分為五個小節，分別為研究對象、 研究方法、研究流程、研究工具與資料處理與分析，分述如下。

第一節 研究對象

本研究欲探討國小一至三年級數學領域整數加減教材之內容。乃以依據九年 一貫課程綱要（教育部，2003）編製之數學領域審定本教科書為研究對象。選定 97 學年度使用的四個版本南一版、康軒版、翰林版及國編版為研究範圍，教科書 基本資料如表 3-1-1 所示，且整合四個版本有關整數加減單元內容如表 3-1-2 所 示，以不同位數加減為架構，其為第四章分析討論時的主軸。 表 3-1-1 各版本出版資料 註：×表示本冊無符合本研究範圍之整數加減教材 A B C D 第一冊 97年9月第四版 97年6月修訂版 97年8月修訂三版 97年8月修訂二版 第二冊 98年2月第四版 98年1月修訂版 98年2月修訂三版 98年1月三版 第三冊 97年9月第二版 97年6月再版 97年8月修訂一版 97年8月二版 第四冊 98年1月第二版 × × 98年1月二版 第五冊 97年9月初版 97年6月再版 97年8月初版 97年8月修訂初版 第六冊 × × 98年2月初版 ×

表 3-1-2 四個版本數學領域教科書一至三年級整數加減教材內容

第二節 研究方法

壹、內容分析法 內容分析法是一種普遍應用於分析教科書的研究技術。本研究欲經由教科書 內容的比較分析，探討不同版本的教科書對整數加減教材表徵形式與表徵轉譯活 動安排的異同處，因而，本研究選擇使用內容分析法。內容分析法既是對於各種 傳播形式的文件內容做量化及質性的分析，且傳統上教科書的分析，亦最常採用 內容分析法（歐用生，1989）。 A 版本 B 版本 C 版本 D 版本 第一冊 10 以內的 加減 10 以內的 加減 10 以內 的加減、二位 數的加減 10 以內的 加減 第二冊 二位 數的加減 二位 數的加減 二位 數的加減 二位 數的加減 第三冊 二位數的加減 二位數的加減 二位數的加減 二位數的加減 第四冊 三位數的加減 X X 三位數的加減 第五冊 四位數的加減 三位數、四位 數的加減 三位數的加減 四位數加減 第六冊 X X 四位數加減 X

內容分析法兼採質性的研究觀點來分析資料，因此漸漸被視為一種透過量化 與質化的分析，採取客觀及系統的態度，對資料進行分析與研究。 內容分析法 可依「定質」和「定量」的角度不同而分成「定質分析」 （Qualitative analysis） 和「定量分析」（Quantitative analysis）（楊孝濚，1989）。本研究先依文獻所得資 料分析之類別及項目，進行量化劃記，比較各版本例題之表徵形式與安排之表徵 轉譯活動數量；再輔以定質方式，深入比較各版本例題表徵形式呈現情形與表徵 轉譯活動安排，其各年段（縱向）及各版本（橫向）編排情形異同。

第三節 研究流程

研究者任教於中、低年級時，在數學教學過程中，發現學生表徵轉譯能力不 夠彈性，在不同表徵系統間轉譯的練習機會並不多，使得文字題讓許多學生在解 題時產生莫大的困擾。在研究所一年級修畢數學科教材教法之後，研究者對於學 生整數加減的初期學習及對於表徵轉譯活動有更濃厚的興趣。再閱讀相關文獻 後，確定研究對象與研究方向後，且擬定研究問題，再依研究性質採用內容分析 法，針對研究目的選定內容分析類目與分析單位，初步進行數學教科書轉譯活動 內容分析，不斷的修訂類目與架構，建立內容分析之信效度。最後，分析各版本 整數加減概念教材分析，採用質量並重的方式進行結果探討，在研究過程中，不 斷與教授討論以進行修正研究類目表、資料蒐集、分析，並同步撰寫研究結果與 分析。

第四節 研究工具

內容分析研究最重要的部分是分析類目和分析單位的決定。將下來針對本研 究之分析類目及分析單位進行說明。 壹、分析軟體 由於本研究涵蓋四個版本、三個年級，關注教科書表徵形式與表徵轉譯活動 的安排，涵蓋範圍甚大，使用人工編碼難以在眾多原始資料中發現關係，尋找主 軸。因而，採用現廣用於人類學、教育學與心理學不同領域質性分析，基於紮根 理論（grounded theory）的電腦分析軟體-「Atlas.ti」協助進行相關分析與整合的 工作，將教科書內容轉換成電子檔，編碼與資料結合在一起，可以看到人工編碼 無法看到的情境與脈絡，並且可以隨時進入記錄單位找到脈絡與情境，強調統整 化，並能將相關資料儲存在同一單位中，加上它的視覺化介面可以讓研究者更注 意於資料本身，使用者僅需要點擊滑鼠鍵即可操作（張允明，2005）。 貳、分析類目 類目的選定是內容分析之重要工作。並依此將分析內容加以歸類， 其分為兩大 類：「說什麼」 (What is said)，用以測量內容實質，包含主題、特徵、人物、 權威、方法、來源等類；「如何說」(How it is said)，測量內容之形式， 包含傳 播類型、敘述形式、感情強度、策略等類（王石番，1991）。本研究分析類目是 採「說什麼」類目。內容分析的工具主要有兩種方式形成，一種依據過去理論或 過去研究結果發展而成的；另一種由研究者自行發展而成（楊孝濚，1989）。本 研究中，表徵形式與表徵轉譯活動安排兩個類目表皆是研究者根據過去研究發現 結果及相關文獻部分修正而成。本研究內容分析類目架構表如表 3-4-1 與 3-4-2 所示。

表 3-4-1 國小數學領域教科書整數加減教材表徵形式之分析架構表 主類目 分析單位 類目名稱 說明 表徵 形式 例題 數學符號 直接將文字表徵轉譯為解題的數學橫式、 直式或算式填充格式。 文字 說明與題目相關的條件、數據關係等等問 題，讓學生了解題意並一一回答。 具體 操作物 運用花片、積木等等具體物進行操作活 動，進而解題。 具體物 圖片 利用真實（具體）之物品表徵問題，讓學 生能從中更深入了解題意。 抽象符號 利用○、錢幣、線段圖等抽象符號表徵物， 讓學生透過抽象表徵物的呈現，了解問題。 表 3-4-2 國小數學領域教科書整數加減教材表徵轉譯活動之分析架構 一、『表徵形式』類目表 本研究『表徵形式」的分析類目，係參考Lesh et al.(1987)將表徵分為：真實 腳本、具體操作物、靜態圖形、口語及書寫符號五種類型。本研究採用Lesh et al.分類中的具體操作物與口語兩種類型，在教科書口語形式的呈現上為文字形 主類目 分析單位 類目名稱 說明 表徵轉 譯活動 例題 文字表徵轉譯為 數學符號 希望學生直接將文字表徵轉譯為數學橫式、 直式或算式填充格式。 文字表徵轉譯為 口語 提出與題目相關的條件、數據關係等等問 題，讓學生了解題意並一一回答。 文字表徵轉譯為具 體操作物 希望學生運用花片、積木、手指等等具體物 進行操作活動，進而解題。 文字表徵轉譯為 抽象符號 希望學生利用畫○、錢幣或線段圖等抽象符 號表徵物，讓學生透過抽象表徵物的呈現， 了解問題。

式，並選擇Lesh et al.表徵系統靜態圖形類型中的抽象符號，並將書寫符號改 稱數學符號，真實腳本中實物情境用品稱為具體物圖片。本研究表徵形式分為 數學符號、具體物圖片、具體操作物、抽象符號與文字等五種形式，範例如表 3-4-3所示。 表3-4-3 五種表徵形式之範例 表徵形式 說明 範例 數學 符號 數學符號是指右圖中 「4+0=4」 。 （資料來源：97-B-1-60） （註：97-學年度，B-版本，1-冊別，60-頁數） 具體物圖片 媽媽與阿姨買的饅頭 圖片，為本研究所定義 的具體物圖片。 （資料來源：97-C-2-44） 具體操作物 圖中錢幣與積木的操 作情形為本研究所指 之具體操作物。 （資料來源：97-B-2-68） （接下頁）

表 3-4-3 五種表徵形式之範例（續） 具體 操作物 （資料來源： 97-A-4-18） 抽象 符號 本研究所指之抽象符 號 為 圖 中 之 ○ 、 、 與 （資料來源：97-A-2-21） （資料來源： 97-D-1-65） （資料來源： 97-D-2-23） （資料來源： 97-C-3-65） （接下頁）

表 3-4-3 五種表徵形式之範例（續） 文字 圖中小強有 25 顆彈 珠、再買多少顆、25 顆彈珠再買了一些，共 有 48 顆彈珠為本研究 所指之文字表徵。 （資料來源：97-B-3-58） 二、『表徵轉譯活動』安排類目表 本研究「表徵轉譯活動」的分析類目形成，係參考Lesh et al.(1987) 從數學 的學習與解題之溝通角度五種表徵類型。本研究將表徵轉譯活動分為文字表徵轉 譯為數學符號、口語、具體操作物及抽象符號，範例如表3-4-4所示。 表3-4-4 表徵轉譯活動範例 表徵轉譯活動 說明 範例 文字表徵轉譯 為數學符號 範 例 中 要 求學 生 由 文 字 表 徵 轉譯 為 算 式的活動。 （資料來源：97-D-2-54） 文字表徵轉譯 為具體操作物 圖 中 要 求 學生 由 文 字 表 徵 轉 譯為 積 木 操作的活動。 （資料來源：97-C-2-96） （接下頁）

表3-4-4 表徵轉譯活動範例（續） 文字表徵轉譯 為抽象符號 圖 中 要 求 學生 由 文 字 表 徵 轉 譯為 畫 錢 幣的活動。 （資料來源：97-B-2-66） 文字表徵轉譯 為口語 圖 中 要 求 學生 用 口 語 表 達 出 文字 表 徵 中的問題情境。 （資料來源：97-A-1-92） 參、分析單位

內容分析有三種單位：抽樣單位（sampling units）、記錄單位（recording units） 和脈絡單位（context units），各有其不同的功能。本研究採用記錄單位及脈絡單 位如下： 一、記錄單位：記錄單位係蒐集抽樣單位中的資料，以提供分析之基礎分析單 位是內容量化依循的標準。內容分析單位最常使用的有：字、主題、人物、項 目、課、章、段、詞、句、頁等，各種分析單位應配合研究的目的而設定（歐 用生，1991）。本研究所指的例題是清楚呈現題意、數據及提出問題者。在表 徵形式的分析中，以各例題之表徵形式為記錄單位；在表徵轉譯活動的分析中， 以各例題安排之表徵轉譯活動為記錄單位。 二、脈絡單位：脈絡單位是對描述記錄單位的脈絡資訊界定範圍，確定及彰顯

記錄單位特性，必須檢視符號資料之單元界限。內容分析不僅是畫記次數的量 化記錄而已，必須將分析單位放入單元、年段、出現的順序等等脈絡下來進行 分析。在編碼過程中脈絡與編碼之間需來回參考、參照。因而，本研究在分析 過程中選用ATLAS. ti 軟體分析龐大作業任務及數據的複雜性，與其他質性套裝 軟體相較下，ATLAS. ti 提供一種更多的直覺環境，這環境讓使者保持集中注意 力集中於分析的材料，以提供管理工具來分析、比較及探索，並且在靈活且有 系統的模式裡重新聚集數據，並從龐大的資料中找出主軸關係。 肆、編碼過程說明 編碼過程關係到研究的信、效度。建立明確的編碼原則評分者間能有 較為一致的共識，才得以提高研究的信效度數值。 一、表徵形式的編碼 依據各例題之表徵形式進行編碼，依表徵形式分為『數學符號』、『口 語』、『具體物操作』、『具體物圖片』及『抽象符號』五種。若同時呈現數種表 徵形式，編碼時，數個表徵均標記，以利日後進行資料解讀分析。 二、安排表徵轉譯活動的編碼 依據各例題安排之表徵轉譯活動進行編碼，依表徵轉譯活動分為文字表徵 轉譯為『數學符號』、『口語』、、『具體物操作』及『抽象符號』等四種表徵轉 譯活動。若同時安排數個表徵轉譯活動，編碼時，數個活動均標記，以利日後 進行資料解讀與分析。

第五節 研究的信度與效度

壹、信度 內容分析的信度是單位分配給類目時，至少兩位編碼員間達到一致性的程 度。編碼員對所有單位同意度完全一致，表示信度高。信度資料至少有兩個編碼 員，用共同語言獨立進行編碼，這些共同語言包含了描述類目、變數數值及複雜 的分類架構。研究信度要高，編碼者的技術、洞察力、經驗、類目和編碼規則清 晰性及資料複雜性等面向，不論是素材、分析人員、研究過程信度都要高，才有 可能達到高信度（王石番，1989）。以下針對本研究評分員選定與背景及信度分 析步驟說明之。 一、評分員選定與背景 本研究邀請兩位評分員，連同研究者共三人進行相互同意的信度檢驗。研究 者與其他兩位評分員現在均為國小教師，對國小學生學習情形也有所掌握，並 且研究者與評分員均修過課程所一年的數學科教材教法，目前於台中教育大學 課程與教學研究所在職專班進修中，對於國小數學教材有基本的了解與分析的 能力。評分員及研究者從 97 年 11 月起每隔兩週參與指導教授之國科會計畫討 論會，在討論過程中評分員及研究者皆學習到建立類目表、運用分析軟體時所 需注意的事項及編碼過程的技巧等等，對於使用ATLAS.ti 軟體有一定的了解與 認知。本研究連同研究者共有三位編碼員一同進行教材分析與編碼的工作。 二、信度分析步驟 （一）樣本抽樣 本研究採用隨機抽樣，從四個版本教科書中，各類目各抽選一個例題。期 望藉由隨機抽樣的方法，真正檢測信度的大小。

（二）向編碼員說明編碼原則 進行編碼前，研究者對其他評分員說明類目表定義、分析單位及分類標 準，並說明編碼及歸類原則。 （三）歸類 各評分員間經過溝通與釐清之後，獨立進行類目歸類。若信度不佳必須再 溝通，以釐清步驟，信度需達到 0.8 以上。信度雖無一定公認標準，但王石番 （1989）提出格伯那之文化指標設立是以 0.8 為信度的標準，若信度低於 0.8， 不可過於武斷下結論。 （四）信度計算方式 內容分析信度基於兩種一致性：一為分析者一致性，即不同編碼員間使用 相同類目、相同內容，應該得到相同的結果；另一為時間一致性，即同一個編 碼員在不同時間於相同類目、相同內容應該得到相同的結果（王石番，1989）。 本研究採用評分者一致性信度。本研究信度計算方式如下所示： 1.相互同意值（Pi）： 2 1 2 N N M Pi + = 2. 研究者與各編碼員間平均相互同意值（P）： N Pi P n i

∑

= = 1 3. 編碼者間信度（R）：

[

n P

]

nP R ) 1 ( 1+ − = M：完全同意之數量 N1：第一位編碼員應有的同意數量 N2：第二位編碼員應有的同意數量 Pi：相互同意值總和 N：相互比較次數 P：平均相互同意值 n：評分員人數

4.研究者本身信度: 研究者本身信度 P P + = 1 2 （五）研究信度分析 此部分將呈現研究信度分析，表 3-5-1 與表 3-5-2 之表徵形式與安排表 徵轉活動相互同意值及信度計算過程： 表 3-5-1 『表徵形式』研究者與兩位編碼者間的相互同意值 編碼員 研究者 編碼員甲 編碼員乙 編碼員甲 0.85 / / 編碼員乙 0.75 0.8 / 1. P= (0.85+0.8+0.75)/3=0.8 2. R= 3 0.8 0.92 1 2 0.8 × ₌ + × 3. 研究者信度： 2 0.8 0.88 1 0.8 × = + 表 3-5-2 『表徵轉譯活動安排』研究者與兩位編碼者間的相互同意值 編碼員 研究者 編碼員甲 編碼員乙 編碼員甲 0.75 / / 編碼員乙 0.875 0.75 /

1. P= (0.875+0.75+0.75)/3=0.79 2. R= 3 0.79 0.92 1 2 0.79 × = + × 3.研究者信度： 2 0.79 0.88 1 0.79 × ₌ + 參、效度

Budd、Thorp and Donohew (1967)認為檢視內容分析效度的方法有很多，包 含了評審法、已知團體法、獨立校標法、建構效度與預測效度等。其中評審團法 是最傳統卻也是最實際的方法，其為邏輯驗證的延伸，並且優於邏輯驗證。研究 者針對研究問題尋找有獨到見解的專家若干位，評斷研究設計、變項定義、抽樣 方法等研究過程，在討論過程中適時提出看法，改進研究品質（王石番，1989）。 本研究採用評審團法來檢測效度，由研究者與評分員根據相關文獻與教學經 驗進行討論，在編碼期間，研究者與評分員進行交叉編碼，且研究者本身在不同 時間進行對編碼結果自我訓練及反思，此一歷程為一個持續修正的過程，在研究 過程中不斷進行類目的修訂，發展出更符合研究需要的類目，並根據指導教授提 出相關修改意見，經過重新審視後釐清才正式進行編碼工作，本研究在此過程中 建立專家效度。

第四章 結果與討論

本章針對各版本整數加減教材表徵形式與表徵轉譯活動安排做探究，第一節 說明一至三年級數學領域教科書中整數加減教材之表徵形式的分析結果與討 論；第二節論述整數加減單元例題安排表徵轉譯活動之分析結果與討論

第一節 整數加減教材表徵形式之分析結果與討論

本研究將不同版本一至三年級整數加減單元之教材分為：整數加減運算格式-橫式、直式與算式填充；整數加減概念-加減法之進、退位概念與加減法的關係， 本節針對各版本在不同整數加減教材內容之表徵形式與差異分別加以分析與討 論，並說明不同版本不同類型文字題表徵形式差異。 壹、不同版本整數加減教材內容之表徵形式 根據分析編碼後發現在整數加減教材中，隨著不同的整數加減教材特質、出 現時機與文字題類型，各版本例題之表徵形式有所異同。 一、整數加減運算格式-橫式、直式與算式填充 在不同加減位數教材中，除了運算格式之外，同時呈現的表徵形式不盡相 同，如表 4-1-1 所示。從編碼分析中可發現，橫式在『10 以內的加減』部分，A、 B 與 C 三個版本皆是藉由兒童日常生活計數實際物品的經驗具體物以橫式代表具 體活動經驗和問題情境中數量有一對一關係的抽象符號（○）表徵以讓學生掌 握橫式的意義，而 D 版本亦有具體物圖片與抽象符號兩種表徵形式，但採用之 抽象符號與三個版本不相同，其為呈現累加與倒數的 形式；在『二位 數加減』教材中，B 與 D 版本仍與 10 以內加減的表徵形式相同，而 A 與 C 版本

則以具體操作物-積木、錢幣以及抽象符號（○）為主，例題如表 4-1-2 所示。 在直式方面，A 版本在『二位數加減至四位數加減』教材，皆以具體操作物表徵 搭配直式為主，全藉由學生日常生活中常見之錢幣與積木的操作過程讓學生理 解直式的運算法，B 版本僅在『二位數加減』初次引進直式時，同時呈現錢幣的 操作過程，到了三位及四位數加減時則全為直式一種表徵形式，C 版本則在二位 及三位數加減時呈現具體操作物，到了四位數加減則全為直式一種表徵形式， 而 D 版本則在不同位數加減之表徵形式完全不同，在二位數加減中，其以橫式 搭配直式，在『三位數加減』則以積木的具體物表徵形式為主，而在『四位數 加減』則僅有直式一種表徵形式，例題如表 4-1-3 所示。 表 4-1-1 不同版本整數加減運算格式-橫式與直式表徵形式 不同位數加減橫式之表徵形式 A 版本 B 版本 C 版本 D 版本 10 以內的加減 具體物圖片 抽象符號 具體物圖片 抽象符號 具體物圖片 抽象符號 具體物圖片 抽象符號 二位數加減 具體操作物 抽象符號 具體物圖片 抽象符號 具體操作物 抽象符號 具體物圖片 抽象符號 不同位數加減直式之表徵形式 A 版本 B 版本 C 版本 D 版本 二位數加減 具體操作物 具體操作物 具體操作物 數學符號- 橫、直式 三位數加減 具體操作物 數學符號-直式 具體操作物 具體操作物 四位數加減 具體操作物 數學符號-直式 數學符號-直式 數學符號-直式