表徵轉譯與數學學習之關聯

問題解決是數學領域最困難的部分，學生需要學習組合思考、計算能力以及 概念所需的語言、分析和解釋資料，以致他們能夠做選擇和決定，進而解決數學 問題。許多學者研究發現解題者對問題所形成的表徵是解題的關鍵。問題解決的 失敗多在於表徵轉譯的不當，而非解題歷程的錯誤，可見表徵轉譯能力在解題過 程中影響甚大。本節將說明表徵內涵及表徵轉譯在數學學習過程中的重要性。

壹、表徵的內涵

表徵為認知心理學研究重點之一，在認知心理學上，表徵是指將外在現實世 界的事物以另外一種較為抽象或符號化的形式來代表的歷程；而從訊息處理觀點

來看，表徵指的是訊息處理過程中，將訊息譯碼而轉換成另一種形式，以便儲存 或表達的歷程（張春興，1989）。表徵是個體透過對周遭事物透過感覺系統形成 概念的歷程，而不同的表徵形式可以呈現及建構同一個概念。從認知互動的觀點 來看，Kaput（1987）將表徵分為（1）認知及覺知表徵（cognitive and perceptual representation ）：個體在腦中將訊息及知識轉換的形式。（2）解釋表徵(explanatory representation)：自然心理或數學符號及心像間的關係聯結。(3)數學內部表徵 (representation within mathematics )：用一種數學結構解釋另一種結構特性系統。

(4)外在符號表徵(external symbolic representation)：以外在符號表徵代表某一種 數學概念系統，透過外在表徵可與他人進行溝通數學概念。當我們面對一個新的 問題情境時，會將所接收到的訊息轉譯成自己所能理解的形式，也就是一種內化 的心理表徵，接著再經由問題整合、解題計畫與監控、解題執行的解題過程

（Mayer,1992）。Mayer的解題理論中，表徵的功用亦是從認知觀點出發。在數 學解題的過程中，數學表徵除了是內部數學思考歷程亦是外在數學形式的展現。

學生需將內部思考過程轉化為外在解題的表徵，即進行表徵的轉譯活動，以作為 溝通數學想法的工具。

表徵是個體自我建立，可以調整可以觀察的外在模式表現內在心智的歷程，

一個良好的表徵是思考與溝通的最佳工具。在數學活動中，表徵扮演著兩種角 色：運思的材料與溝通的媒介。作為運思的材料時，是用表徵來代表物化的概念 或內蘊化的活動類型，再對表徵所代表的意義進行活動，表徵簡化了人類思考的 過程（蔣治邦，1994）。數學教學必須使用各種表徵系統來學習，要學生理解各 種數學問題，其必須熟悉各種表徵系統的轉譯，並使用各種表徵系統進行運思與 溝通，可見表徵運思及溝通功能與數學學習有密不可分的關係。Bruner（1966）

從個人運思的觀點，將表徵區分為動作表徵（enactive representation）、圖像表徵

（iconic representation）及符號表徵（symbolic representation）三種。動作表徵指

的是透過行動掌握概念。面對刺激我們以所學得的習慣動作做出反應，當物體不 再能被操作後，物件意義則不存在；圖像表徵指的是用心像掌握概念，具體物消 失後，在腦中仍有心像，以心像為材料進行內在活動；符號表徵指的是受外在實 物抽象的影響，代表實物或心像的某種抽象性質（轉引自劉秋木，1996）。在數 學學習過程中，動作表徵指的是可以實際外顯操弄（用手指點數）或外在物件如 實物、具體物教具（如花片、積木..）；圖像表徵階段指的是可在腦中形成對圖 像進行計數活動；而符號表徵指的是在腦中形成數字符號的對應關係。在Bruner 的觀點中，表徵只是運思的材料，動作、圖像與符號表徵代表著運思的抽象程度，

並不需要與外界溝通，屬於個人化的活動。而在每個解題活動中存在著被運思的 材料，前一個活動中經過運思所得到的結果，必須以一種形式呈現出來，才能夠 以此做為下一個運思活動的材料。此時，表徵便成為運思的材料，可以幫助學生 呈現出自己的數學概念（蔣治邦，2001）。

從表徵溝通的功能來看，表徵作為溝通工具時，是用特定的表徵形式，表示 一些約定成俗的共識，來描述活動經驗，溝通並不限於與他人溝通，也是與自己 溝通的工具。Lesh et al.（1987）從數學的學習與解題中，進一步具體化將溝通 的表徵區分出五種不同的類型，其所提的五種表徵類型交互作用模式，如圖2-1-1 所示。

一、真實腳本（real scripts）：利用實物情境的知識或物品來表示或解釋問題情境。

二、具體操作物（manipulative models）： 必須配合某些數學概念使用才有意義 的具體物，如古氏積木、分數板等。

三、靜態圖形（static pictures）：一種靜態的圖形模式，如面積、數線圖等、統 計表、抽象符號（如○、X..）等..。

四、口語（spoken language）：日常生活用的口語符號。

五、書寫符號（written symbol）：常用的數學符號或算式。如5+6=11、6x+y=76、

□+5=8..等。

圖2-1-1 表徵系統的交互作用模式

（資料來源：Lesh et al.,1987,p.34）

一種表徵可以代表多個數學概念，在不同處使用有著不同意義，表徵的多重 意義容易使學生產生學習困擾。在表徵系統中除了要做到對單一表徵做完整的建 構，亦要做到表徵間互相連結的工作。教科書中呈現多樣性的表徵形式可以引導 學生創造並使用不同的表徵去組織、記憶與溝通數學概念外，也可以幫助學生發 展一個完整的數學表徵，並得以有意義、靈活並適當地使用。

表徵在學習活動中最常扮演的角色，除了的運思材料與溝通的媒介之外，另 一則是解題工具。具體物表徵能夠提供學生做為解題時的思考依據。但此處的具 體物並不是為學生安排好現成的情況，而是要求學生依所學、所想來說明。透過 對具體物的操作，呈現出學生的數學概念。之後，必須由最初的引導，逐漸提升

靜態圖形

具體操作物

真實腳本

書寫符號

口語

至抽象的概念（Cobb , Yackel & Wood , 1992）。而數學符號表徵除了溝通的目的 之外，在數學教育中的另一個目標，便是利用其來解題。在獲得符號初步意義、

使符號成為溝通工具之後，要逐步提升學生對表徵的運用，使數學符號成為解題 工具（Mack , 1995）。利用數學符號所具有的高度系統性共通原則，讓學生能更 有效率的解題，進而提升數學能力。

綜合以上所述，表徵具有幫助運思與溝通的功能，在數學學習中包含兩方面，

一是獲得一套系統來表徵概念，另外則是以多重表徵來代表數學概念。從解題工 具來看，將表徵移轉到問題情境中，再呈現結果，使用適當的表徵可以簡化思考 過程與問題。由於表徵的多義性與多樣性，表徵間的轉譯乃是影響數學學習與問 題解決的關鍵，更是學生是否理解數學概念的重要指標。

貳、表徵轉譯活動在數學學習過程的重要性

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在 2000 年公佈的「學校數學課程之原則和標準(Principles and Standards for school Mathematics)」一書中，表徵能力區分為：創造使用表徵去組織、紀錄、溝通數 學想法；選擇、運用及轉換數學表徵去解決問題；使用表徵模式及解釋物質的、

社會的和數學的現象。NCTM 將發展學生表徵能力列為教學重點。學生若能適當 的運用多樣化的數學表徵，不但能夠增進數學概念的理解，並且在相關的數學概 念之間建立連結，真正理解數學問題，讓數學學習變得有意義，還能以數學表徵，

與他人溝通數學想法，且應用在真實的問題情境，更能進一步解決生活當中所面 臨的問題。游自達(1995)亦提出在數學學習過程中，應該讓學生掌握符號系統，

做有意義的操作，更需注意不同表徵系統間的關聯，進而利用多重表徵代表數學 概念。

在獲得數學觀念時，學生須要做到對於單一表徵的完整建構，亦要進行表徵 間互相連結的工作。數學教科書中除了需安排多種的表徵形式，協助學生在表徵

內進行轉換和表徵間的轉譯更為重要。經由不同形式的數學表徵的轉譯過程能夠 協助學童概念的意義掌控，而經由將數學由一個表徵轉譯到另一個表徵，亦可強 化學生的數學溝通與理解(Lesh et al.,1987)。但從 Dufour- Janvier, Bednarz and Belanger（1987）的研究結果中可以發現：對兒童而言，只是各別單獨地將表徵 與概念對應，兒童並不會將同一問題的不同表徵視為等同問題，他們會將同一題 目的不同表徵，視為是不同的題目，喪失了許多在不同系統下轉譯問題結構與意 義的機會。表徵轉譯活動是促進數學了解的有效策略，同樣的概念有上同的表 徵，如符號表徵、圖像表徵…等。適當的上同表徵融入數學教科書中，搭配表徵 轉譯的連結功能，對促進數學了解有一定的成效（林福來，2007）。教科書是國 中小階段獲得知識的主要來源。因而，在數學教科書中安排合宜的表徵轉譯活動 更顯得重要。透過教科書中安排多樣的表徵轉譯活動，讓學生靈活進行表徵轉 譯，選擇適合的表徵來解題，不僅反映解題者對問題的了解，也可提升解題者對 數學概念的連結。

國內外研究( Brenner ,Herman & Zimmer,1999；林福來，1997；游自達，1995；

蔣治邦，2001b)強調表徵轉譯的重要性。學習者不但需要從不同形式的表徵系統 中抽取數學概念，亦要能正確地將數學概念用不同表徵形式加以呈現與轉譯。因 此，能正確運用多重表徵進行不失原意的表徵轉譯，並注重不同表徵系統之間的 連結，才算真正掌握此數學概念，才有利於學生解決問題及數學學習。當學生面 臨一個數學問題的時候，可以選擇利用符號、圖形或是操作具體物來代表對於問

蔣治邦，2001b)強調表徵轉譯的重要性。學習者不但需要從不同形式的表徵系統 中抽取數學概念，亦要能正確地將數學概念用不同表徵形式加以呈現與轉譯。因 此，能正確運用多重表徵進行不失原意的表徵轉譯，並注重不同表徵系統之間的 連結，才算真正掌握此數學概念，才有利於學生解決問題及數學學習。當學生面 臨一個數學問題的時候，可以選擇利用符號、圖形或是操作具體物來代表對於問