表徵與整數加減學習

理想的數學學習需引導學習者在同一個物件上運用數個表徵，並且對該概念 有清晰的多重表徵。Noss and Hoyles（1996）提出僅就單一表徵的學習並不適當，

因為在解題時，不同表徵的角色結構相互牽連，單一表徵在解題時必須要能切換 到其它的表徵上。學生面對一個問題情境若能形成多種表徵，並形成表徵間的連 結，將有助於對問題的理解和解題能力。可見，表徵對於數學學習之重要性。本 節將分為表徵與數學學習以及表徵在整數加減學習之功能。

壹、表徵與數學學習

根據Bruner的研究，認知表徵是隨著年齡發展的，其發展順序依序為動作表 徵、圖像表徵、符號表徵。透過這三種表徵方式，兒童可以從過去的經驗提取保 留下來的經驗模型，以認識現有的刺激，或是將現有的刺激收納至過去的經驗模 型(王淵智，2005)。學齡兒童的知識認知，初步階段以對物件操弄的知覺認知為 基礎，進而能運用半具體的表徵，例如藉由自己的心像，視覺觀察與半抽象表徵 並用解題，繼而發展抽象的表徵理解，如運用圖畫或語言等等，及能使用抽象符 號作簡易的推論分析。Bruner認為智慧的成長是指運思活動從具體的實物操作逐

漸轉換成使用抽象符號來認知，不再依賴外在刺激，運用抽象符號表徵之前，學 生仍應從具體的學習活動中了解抽象符號表徵的意義，才能運用符號進行運思，

這種有意義的歷程對學習運用抽象表徵非常重要（蔣治邦，2001b；黃幸美，

2003）。

具體操作物是協助兒童學習數學概念重要工具，更進一步認為經由具體物操 作的經驗，可以幫助數學知識的獲得，且藉由實際的操作經驗，可以增強兒童心 理的認知與圖像的表徵，進而發展抽象的概念（楊德清，2000；NCTM，2000；鄭 寰文，2004）。Heddens（1984）則以表徵觀點出發，將學生學習階段分為四個 連續階段：

1.具體表徵階段：運用生活中真實存在的物體，如蘋果、彈珠等等。

2.半具體表徵階段：利用圖片或照片來代表實際物品。

3.半抽象階段：利用上同於實體物的符號或圖形來代表實際物品，如畫三個

○代表三隻貓。

4.抽象階段：運用符號表徵，如2+5＝7。

Heddens認為學習者必須在具體階段，將新的知識加以內化，並有系統沿著四個 學習階段，將新學知識賦予抽象化的表徵，學習者才得以在真實世界與抽象世界 建立好連結。

劉秋木（1996）與Witzel（2005）則從數學問題解決的觀點出發來說明學生 運用表徵並非僅侷限於其較易於理解的具體操作物階段，必須隨著學習經驗逐漸 提升運用抽象化表徵的能力。劉秋木說明學童理解整數加法『2+3＝（ ）』問 題，他先取2個積木，再取3個積木，全部數一數共有5塊，其以行動方式來知道 數學，行動的對象是具體物，具體物的操作過程使學生形成心像，之後遇到此問 題，可在腦海中呈現2塊和3塊積木的圖像，對圖像進行計數活動，此時的運思對 象是圖像，再更進一步，在具體操作物與圖像運思活動中，符號能與運思形成對

應關係，學生即能習得符號的意義，不斷累積經驗後，學生只要腦中呈現2和3的 符號，即可進行運思活動，而獲得5這個答案，此時運思對象則是符號； Witzel 則指出美國許多州的數學標準規定數學學習需要讓學生透過操作來經驗數學，以 便建立數學的問題解決與高層次的思考。使用具體物操作的活動讓學生藉此進行 表徵轉譯活動，使其可以從不同的表徵系統中重新獲得訊息。此外，學生也可以 對操作具體物過程和使用的畫圖表徵兩者來進行連結。未來，當學生面臨到困難 的數學問題時，可藉由具體物操作與圖像表徵間的連結，而將操作具體物的過程 畫下來解決問題，逐漸將其運用表徵能力抽象化。教科書呈現之表徵形式與安排 之表徵轉譯活動須依不同學習階段有所不同，才得以逐漸建立學生運用抽象化表 徵的運思能力。

表徵的使用是學生接受教師或教科書提供之訊息以及自行發展的結果。因 此，在教學過程中，教師一方面需要告訴學生一些約定俗成的表徵概念，同時也 要讓學生將其所了解的內容或對數學的論證，才得以讓學生透過適當的表徵與他 人進行溝通，進而能促進學生不同的思考。教科書中若能提供適切的表徵，藉以 提升學生應用表徵的能力，可以促進學生對數學概念更豐富的理解。

貳、表徵在整數加減學習之功能

綜合來看，學者認為表徵在整數加減學習方面，有以下幾種功能：

一、表徵能將具體呈現出整數加減學習之抽象概念

研究發現，兒童在未入小學前，即已能利用計算策略來解決簡單的加減問 題（Ginsburg,1980，轉引自蔣治邦，2001b）。具體物加減計算發生於日常生活 中，兒童透過生活中的實際物品計數來熟悉計數經驗，得以學得簡易的加減計 算技能。然而入小學後，兒童開始接觸正規運算過程與公式的教學。對兒童而 言，這是一些脫離情境的符號學習，較難理解與運用。因而，低年級教科書中 呈現文字表徵轉譯為生活中常見之實際物品（具體物圖片）的活動，利用生活

中實際存在的物品作為表徵將問題中的訊息視覺化，讓具體物圖片形成一個具 體的刺激，並讓學生從活動中，核對問題中的訊息與具體物圖片是否一致，進 而思考及檢視對問題的理解是否與題意一致，逐漸引導學生理解加減運算格式 的意義，以協助兒童使用正確的解題策略（戴妏純，2008）。而教科書安排文 字表徵轉譯為抽象符號（○）的活動，讓學生將「○」視為問題情境中具體物 表徵，在計數過程中，保留問題具體物的意義，用「○」模擬實物變化狀態，

用「○」為材料，依循具體物系統的運思法則（例如可被移動點數），完成計 算總數的運思活動，唯有在運思過程中，不喪失具體物所表徵的實物意義，才 能使用具體物的運思，來解決實物的問題（蔣治邦，2000a）。

從文字表徵轉譯為圖像表徵的表徵轉譯活動，能夠將整數加減教材中部分-整體問題複雜且抽象的關係，透過圖畫表徵讓學生瞭解題目的特徵，使一些難 以理解的數量關係資訊變得具體化且有可詮釋性，能使解題者易於發現隱藏在 已知及未知條件間的關係，進而取得相關的解題基模，而達到成功解題的目的

（李秀玲，2008）。在教科書整數加減教材的中，為了讓學生『看』見加減運 算部分-整體的結構，常使用抽象符號-『線段圖』來表徵問題中數量間的關係。

線段圖可以把情境用圖示表達、呈現數學運算符號及把合成、分解情形表現的 更充分，使得外在表徵-線段圖成為學生理解數學概念或表達想法的溝通工 具，但學生必須發展相關的概念，才得以正確的解讀編輯者透過表徵形式意圖 傳達的訊息。Gustein and Romberg（1995）提出當看到教科書中呈現之線段 圖時，學生是否能賦予正確意義，這是值得關心的問題。而蔣治邦（2000c）

指出線段圖並非是學生常用的溝通表徵，線段圖與文字表徵間的關係，並不如 理論中顯而易見，線段圖表現數量合成、分解或比較的語法，皆可能造成學生 看見問題中數量關係或文字表徵轉譯與線段圖之間表徵轉譯的困難；並且從朱 建正與吳昭容（1993）研究發現：能在圖示中用某種合理方式標示問題的數量

關係者，解題率較高，並發現大約至六年級才有較多學生能運用有效、有意義 的空間關係，如線段圖來表徵問題中的數量關係。

整數加減運算需做多階單位系統的聚合與分解，混合使用時容易造成困擾 (蔣治邦，2000a）。因而，在加減運算教學的過程中，常讓學生藉由文字或圖 像表徵轉譯為具體操作物的活動將多階單位間轉換的抽象概念具體地呈現出 來，但在操作多階單位系統換算時容易產生具體物多重意義的困擾，橘色積木 在視覺上來看，是『一』條橘色積木，但其在操作的過程中，有時必須被當作

『十』個白色小積木，『l』亦相同，其同時具備了一個 10 和十個 1 的意義（甯 自強，2000）。為了讓學生透過表徵轉譯的過程逐漸理解運算意義，且不易產 生具體物的多重意義困擾，必須讓學生在活動中反覆檢查該表徵意義的保留，

再由教科書呈現表徵與活動結果對應，在如此對應情況下，才得以溝通此特定 表徵的意義。否則，當具體物被移去時，學童並不一定能運用這樣的多階單位 概念進行運算（陳竹村，2000）。

低年級學童常透過演出(act out)的表徵轉譯活動呈現文字表徵的情境，具 體呈現出問題中抽象數量間的關係（Carpenter & Moser,1982）。但當問題數 字範圍逐漸增大時，具體操作問題情境的策略，會產生許多運算上的不便。學 生必須形成新的策略，才得以因應與簡化大數量的需求與困難（蔣治邦，

2001c）。教師教學或教材中必須讓學生經由表徵轉譯活動過程中，反思抽象化 的活動，擴展其表徵使用與表徵間轉譯的彈性。

二、表徵能促進對整數加減內容意義的瞭解

數學符號的使用有兩個層次的發展，首先數學符號是代表具體活動經 驗，以此作為溝通工具，但在此階段使用數學符號時，須使用具操作體物或 心像重演活動經驗，才得以繼續運作，當活動類型的組成成分被進一步地理 解，成為可逆溯的運思(reversible operation)，則數學符號的意義，逐漸演化