名詞解釋

一、位值單位轉換概念補救教學

本研究所指的位值單位轉換概念補救教學是依據教育部頒訂的九年一貫數學 領域能力指標N-1-01所指的位值單位換算，並進一步細分為「部分整體-合成」和

「部份整體-分解」二個子概念，進行位值單位轉換的補教教學。

二、萬用揭示板

萬用揭示板（Magic Board）數學教學網，由 95、96 年度國科會計畫補助建 置，計畫編號95-2520-S-033-003。計畫主持人為中原大學教育研究所袁媛教授，

網站的設計維護者是台北市博愛國小張世明老師。萬用揭示板目前所提供的虛擬 教具是以國小課程內較常使用的實體物件為複本，再物件化，程式化，放置於網 站，該網站所提供的虛擬教具種類相當的多，舉凡現國小廠商配送給教師的實體 教具，該網站都找的到相對應的虛擬教具（例如：秤、天平、古氏積木、百格板、

硬幣等等），是一個提供相當豐富資源的網站。目前為免費使用，教師只要申請 為會員後，可登入自由使用，網站內有許多教師已打包製做好的教材，教師若有 需要可直接下載，或者將別人的佈題稍做修改使用，相當便利，參考網址為 http://163.21.193.5/。

三、分分合合課程

為本研究針對位值單位轉換概念內容包含二個教學活動-活動一：積木教學 和活動二：怪怪屋便利商店。兩個教學活動皆運用萬用揭示板作為教學輔具，在

「積木教學」單元藉由拖曳積木到積木板上，積木板上方會同步呈現數字表徵的 功能，引導受試者觀察數量與數字的變化，進而發現千位中的十進位系統運作方 式；在「怪怪屋便利商店」單元，使用萬用揭示板設計一個應用「千位合成與分 解的運用」的之消費模擬情境，讓受試者可以從前一單元所學的概念解決所遇到 的情境問題。

第四節 研究範圍與教材使用限制

一、研究對象上的限制

本研究對象僅以三位國小階段位值單位轉換概念學習落後之學生為主，因此 無法將結果推論至其他年齡階段、障礙類別之學生，僅能視為補救教學之參考。

二、研究方法之限制

本研究採單一受試實驗研究法的跨個案多探試設計，實驗階段分為基線期、

介入期、保留期，故本研究的結果不適合推論到以不同研究法所進行之研究結果。

三、介入工具的限制

本研究介入工具以虛擬教具-萬用揭示板作為輔具的教學介入，故受試者所得 之學習效果僅限於虛擬教具-萬用揭示板作為輔具的教學所得之效果。

第二章 文獻探討

圖2-1 次序（a）和階層（c）的關係。

資料來源:引自Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget's theory (p.12), by Kamii, C., & DeClark, G., 1985, New York: Teachers College Press.

在兒童到七、八歲大時，大部分兒童的次序和階層變得可以自由運轉而具備

「可逆性」。「可逆性」意味著能將「全部」分解成「部分」、「部分」並能聚合成

「全部」，能操弄「部分-整體」的關係。皮亞傑指出當兒童把各種類別的思考內 容放進各種關係中，他們的思路運轉會更加流暢，若不理解階層包含的關係，則 兒童在組織位值概念中的十進位系統時便會遇到困難。

位值概念中十進位系統是一種分層的邏輯概念（見圖2-2），當低階單位滿10 則合成1 個高階單位，這是十進位系統重要的規則。十進位系統概念圖如下：

（a

）

（b

（c

8

8

圖2-2 個位數系統（a 和 d）和較高位數系統（b 和 c）的差異

資料來源:引自Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget's theory (p.13), by C. Kamii, & G. DeClark, 1985, New York: Teachers College Press.

圖2-2 的圓圈是代表兒童腦袋的數字概念。當大部分一年級兒童說「112」的 時候，如圖2-2 的（a）所示，是表示 112 個「個數」。

從圖2-2 的（b）可以看出兒童已能從個位數系統之中建構出十進位系統，他 們創造「十個一數」的觀念，然後用這種新的高階次序單位來整理次序和階層涵 屬的關係，此時兒童已能在同一時間思考「1 個 10」和「10 個 1」，因此，也就 能同時思考「11 個 10」和「2 個 1」及「112 個 1」。

圖2-2 的（c）顯示出，兒童已經開始從「一個一個地數」和「十個一數」的 系統當中建構出一個更高階的百位數系統，這個階層的新單位是「100」，兒童可 以同時思考「1 個 100」、「1 個 10」和「2 個 1」，以及「11 個 10」和「2 個 1」，

以及「1 個 100」和「12 個 1」，而這些都是代表相同的總數，只是這些數所使用 的階層組合不同而已。

圖2-2 的（d）顯示兒童雖然可以十個一數，但是兒童的數概念仍在個位數系 統，並未建構出第二個更高階的系統，也就是十位數系統。

而事實上，數理邏輯知識是由既定的關係結構建構出來，如「一個十」是從 個位數系統裡所建構出來的，這個系統必須先行架構完成，而後才能放入次序與 階層涵屬這兩種關係，兒童才能思考「25」是「2」個十和「5」個一，進而能彈

（a）個位數系

（b）由個位數建構而來的十位數系統

（c）由十位數建構而來的百位數系

（d）把個位數系統區分（以十進位方式）

性地並流暢地轉換成「1」個十和「15」個一。

甯自強（1992）認為數概念是由「1」構成的集聚單位（composite unit），一 個集聚單位是一個二階的單位（unit of units）；而「1」概念則由測量活動中的行 為，或數數動作的內蘊化所得的。另外數概念用在實際中，是單位量（部分）與 被界定量（全體）的關係，此一關係多半發生在測量活動中。

蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君與陳俊瑜（2006）提及學童的個別差異和成 長因素，使得學童產生數概念品質上的差異，以「47」為例：

1.「47」代表由 1 開始對應標準數詞序列的最後一項，是數的前置概念。

2.「47」代表 47 個「1」所合成的新集聚單位，是數的起始數概念。

3.「47」代表一個集聚單位，比如 40，再往上累積 7 個「1」，所合成的新集聚單 位，由於47 可以內嵌其他數（如 40），是為內嵌數概念。

4.「47」可代表由 4 個「10」和 7 個「1」所合成的新集聚單位，為巢狀數概念，

部分與整體的關係對合成者結構是明顯的（甯自強，1994）。

擁有不同數概念品質的學童，所表現的運思方式也有所不同：（1）在起始數 概念之前，學童表現出序列性合成運思；（2）在內嵌數概念時，學童表現出累進 性合成運思；（3）巢狀數概念時，學童表現出部分整體運思（早期）或測量運思

（後期）（引自 蔣治邦等人，2006，頁 25）。依據甯自強（1994）的說法，學童 約在一年級下學期開始發展累進性合成運思，而約在三年級下學期開始發展部份 整體運思 。

上述學者所提到的數概念，都是強調數的「部分與整體」的關係。數是一種 邏輯經驗，兒童將物體屬性經驗抽象化，整合到心智架構中，透過內省抽象化的 歷程，形成十進位的分層邏輯結構。唯有當兒童能在心智建構十進位的「部分-整體」的關係並且靈活轉換，兒童數概念的品質才能有所提昇。

二、位值概念的內涵

記數系統是數概念的一種表徵系統，本研究所指的記數系統是印度阿拉伯記

（一）位值概念

為建立多元概念結構，兒童能將「位置」與「單位字」連結到多元的數量

Ross（1989）使用個別訪談測驗發現兒童在「位值」和「部分-整體」關係的

資料來源:引自“Parts, wholes, and place value: A developmental view,” by S. H. Ross, 1989, Arithmetic Teacher, 36(6), p.49.

透過Fuson 的多位數的概念結構，讓我們更清楚了解學童所學到的概念結構 的本質為何。當前依據九年一貫的能力指標而設計的國小中年級的課程，對照 Fuson（1990）的多位數的概念結構，教學目標分布在一到五層。對照 Ross 的位 值五階段模式，當兒童進入階段五，才屬於完全了解位值，故本研究根據Fuson 的多位數的概念結構第五層和Ross 的位值五階段模式中的階段五，作為本研究 設計「位值單位轉換概念課程」的參考，設計出二個子概念，第一個為「部分整 體-合成」及第二個為「部分整體-分解」。

第二節 知識的表徵

在數學課程中，老師需要透過不同的方法傳遞知識並與兒童溝通觀念，兒童 也需要使用某些方式與老師和同學溝通想法，這樣的表達方式就是「表徵」。一 個數學概念對專家而言，他已經能形成緊緻連結的物件，但是對於初學者的生手 而言，卻往往只是獲得圍繞著此概念名詞之鬆散不相連的組合，原因之一在於學 習者沒有多重表徵及其連結的具體經驗。而「表徵」的形式有哪些呢？

Bruner（1966）定義人類經由知覺外在世界的事物轉換為內在心理事件的過 程，稱為知識表徵（representation of knowledge）。他將知識表徵分為三個階段（張 春興，1996）：

1.具體表徵（enactive representation）：具體表徵是求知的基礎，透過動作操弄來 掌握概念或事物。例如：實物、具體教具，兒童藉由操弄具體物來掌握概念。

2.圖像表徵（iconic representation）：指兒童經由對物體知覺留在記憶中的心像

（mental image），或靠照片圖形等，即可獲得知識。例如：如果兒童被問到「蘋 果是什麼顏色？」，他不需要靠觀察實物，即可回答問題。

3.符號表徵（symbolic representation）：指運用抽象符號、文字從事抽象思維，從 中發現原理原則，進而解決問題。例如：已知甲＞乙，乙＞丙，則可推論甲＞

丙。

所以Bruner 建議，應該依照學童的認知發展程度，以舉例解析複雜的數學觀

化，是可觀察得出。Lesh 等人（1987）將表徵的類別區分成五項：

1.以經驗為基礎的腳本（real scripts）-以真實世界的事件為背景寫成的腳本，用 以解釋，而且解決其他類型的問題情形。

2.可操弄的教具（manipulative models）-如古氏積木、算數積木、分數條、數線 等等。

3.靜態的照片或圖表（static pictures）-可內在化成心像。

4.口說的語言（spoken language）-包含關於像邏輯領域的專業化附屬語言等。

5.書面符號（written symbols）-包含專業化句子和片語，例如：10×4＝40。

Lesh 等人（1983）認為概念要在不同表徵中自由轉換，才表示對概念的理解 及掌握。在某些數學概念上，學生經常無法在不同的表徵中流暢的轉換，其關鍵 因素是轉譯的能力，這影響數學學習和問題解決的表現、強化初步數學想法的使 用和獲得的能力。要診斷一個學生的學習困難或澄清教學的觀念時，老師可以藉

Lesh 等人（1983）認為概念要在不同表徵中自由轉換，才表示對概念的理解 及掌握。在某些數學概念上，學生經常無法在不同的表徵中流暢的轉換，其關鍵 因素是轉譯的能力，這影響數學學習和問題解決的表現、強化初步數學想法的使 用和獲得的能力。要診斷一個學生的學習困難或澄清教學的觀念時，老師可以藉