研究對象

本研究樣本取樣的方式為立意取樣，對象為研究者所服務的苗栗縣某國小四 年級數學位值概念學習困難的學生為對象。其篩選標準：1.使用自製位值單位轉 換概念試題（見附錄一），檢視學生位值以十進位為基礎的單位轉換概念錯誤之 處，在位值單位轉換概念測驗得分在百分等級60 以下；2.學生家長在閱讀家長同 意書後（見附錄二），徵求其同意參與本研究之教學實驗。研究對象之基本資料 及現況描述如表3-1 所示：

受試者甲受試者乙受試者丙

%

次數

%

% 次數

次數

基線期 介入期 保留期

表3-1 三位受試者基本資料

項目 受試者甲 受試者乙 受試者丙

生理年齡 10 歲 4 個月 10 歲 3 個月 9 歲 10 個月

性別 男 男 男

年級 四年級 四年級 四年級

數學平均成績

（3 年級上學期到 4 年級上學期）

73 76 70

國語平均成績

（3 年級上學期到 4 年級上學期）

87 87 75

三位受試者在3 年級上學期到 4 年級上學期的數學平均成績表現，受試者乙 表現最佳為76 分，受試者甲次之為 73 分，受試者丙最後為 70 分；在 3 年級上 學期到4 年級上學期的國語平均成績表現，受試者甲和乙表現最佳為 87 分，受 試者丙最後為75 分。

受試者甲為對於自然、歷史資訊吸取廣泛，喜歡發言獲得老師的肯定；但有 不寫功課的習慣，衛生習慣不佳，每日的桌面都是凌亂狀態，與同學相處直言快 語常得罪同學而不自知，受班上大部分同學排擠，因此心情常常低落。

受試者乙熱衷體育活動，為人充滿喜感，喜歡搞怪，上課時，較缺乏學習動 機且注意力不集中，容易被其他事物吸引注意力，非常愛與同學聊天，欺負受試 者甲更是他的樂趣，有時與上課老師頂嘴，常常被老師處罰。

受試者丙喜歡玩電腦遊戲，個性樸實敦厚，稍微好強，會尊敬老師，上課時 遵守秩序，對什麼都感興趣，但學了就忘，沒有特別擅長的科目。

一、受試者甲的前測試卷結果

（二）表徵題型錯誤比率

表3-3 受試者甲位值單位轉換概念測驗表徵題型錯誤比率 表徵題型類型 數字表徵 古氏積木

圖像表徵

錢幣

圖像表徵 文字表徵 錯誤題數 4 題 3 題 4 題 2 題

錯誤率百分比 66.7% 50% 66.7% 33.3%

表3-3 顯示表徵題型錯誤比率由高到低的比較：數字表徵題型＝錢幣圖 像表徵題型＞古氏積木圖像表徵題型＞文字表徵題型。

（三）位值單位轉換子概念題型錯誤比率

表3-4 受試者甲位值單位轉換概念測驗子概念題型錯誤比率

位值單位轉換子概念 部分整體-合成 部分整體-分解

小計（原本題數） 5 題 8 題

錯誤率百分比 42% 66.7%

表3-4 顯示位值單位轉換子概念錯誤率由高到低比較：部分整體-分解＞

部分整體-合成。

二、受試者乙的前測試卷結果

表3-5 （接前頁）

三、受試者丙的的前測試卷結果

表3-8 （接前頁）

四、三位受試者表徵題型錯誤比率

表3-11 三位受試者位值單位轉換概念測驗表徵題型錯誤比率 表徵題型類型 數字表徵 古氏積木

圖像表徵

錢幣

圖像表徵 文字表徵

受試者甲 66.7% 50% 66.7% 33.3%

受試者乙 33.3% 83.3% 66.7% 16.7%

受試者丙 50% 83.3% 33.3% 66.7%

平均錯誤率 50% 72.2% 55.6% 38.9%

表3-11 顯示三位受試者平均表徵題型錯誤比率由高到低的比較：古氏積木圖 像表徵題型＞錢幣圖像表徵題型＞數字表徵題型＞文字表徵題型。在表徵類型 中，對三位受試者而言，最困難是「古氏積木圖像表徵」題型，錯誤率高達72.2%，

最簡單的是「文字表徵」題型，錯誤率為38.9%。

五、三位受試者錯誤概念比率

表3-12 三位受試者位值單位轉換概念測驗子概念題型錯誤比率

位值單位轉換子概念 部分整體-合成 部分整體-分解

受試者甲 42% 66.7%

受試者乙 42% 58.3%

受試者丙 25% 66.7%

平均錯誤率 29.7% 63.9%

表3-12 顯示三位受試者平均位值單位轉換子概念錯誤率由高到低比較：部分 整體-分解＞部分整體-合成。

在子概念類型中，對三位受試者而言，最困難是「部分整體-分解」題型，平 均錯誤率63.9%，「部分整體-合成」題型次之，平均錯誤率為 29.8%。

六、三位受試者錯誤子概念與表徵題型之間的關係

表3-13 三位受試者位值單位轉換概念測驗錯誤子概念與表徵題型之間的關係 表徵題型

子概念 數字表徵 古氏積木 圖像表徵

錢幣

圖像表徵 文字表徵

部分整體-合成 5.6% 11.1% 11.1% 8.3%

部分整體-分解 19.4% 25% 16.7% 2.8%

表3-13 顯示三人在錯誤概念中的表徵題型錯誤率由高到低的比較：

1.部分整體-合成：古氏積木圖像表徵＝錢幣圖像表徵＞文字表徵＞數字表徵。

2.部分整體-分解：古氏積木圖像表徵＞數字表徵＞錢幣圖像表徵＞文字表徵。

由上述的比較可知，在部分整體-合成中，古氏積木圖像表徵和錢幣圖像表徵 的錯誤率最高；在部分整體-分解，古氏積木圖像表徵的錯誤率最高。

古氏積木圖像表徵的高錯誤率，顯示出三位受試者對「積木間的結構關係」

認知不清楚，受試者甲認為一個大立方體等於6 片百格板，因為認知上的正方體 有六個面；受試者乙認為一個大立方體等於9 片百格板，因為粗心少數一片百格 板；受試者丙認為一個大立方體等於4 片百格板，因為在試題上所呈現的大立方 體可以明顯地看到四個面。傳統積木教具的使用是目前數學課程主要的教學工 具，在三位受試者三年級上學期時，在數學第一單元「一萬以內的數」教學積木 已使用到大立方體；四年級上學期，數學第一單元「一億以內的數」，又再使用 過一次大立方體，但三位受試者對積木間的結構關係仍然不清楚，可見位受試者 深受大立方體外在特徵影響到對十進位的正確認知。這與Gravemeijer（1997）所 提及具體物本身帶有可觸摸的感覺，但這些物體本身所帶有的數學性質對孩子而 言並不明顯的想法不謀而合。