國
立
交
通
大
學
理學院網路學習學程
碩
士
論
文
虛擬教具應用於國小四年級位值單位轉換
概念補救教學之成效
A Study of the Effects of Integrating Virtual Manipulatives into
Remedial Instruction of Place-Value and Transformations of
Multidigit Numbers in Fourth Grade
研 究 生：蔡郁樺
虛擬教具應用於國小四年級位值單位轉換概念補救教學之成效
A Study of the Effects of Integrating Virtual Manipulatives into Remedial
Instruction of Place-Value and Transformations of Multidigit Numbers in
Fourth Grade
研 究 生：蔡郁樺 Student：Yu-Hua Tsai 指導教授：袁媛 Advisor：Yuan Yuan 國 立 交 通 大 學 理 學 院 網 路 學 習 學 程 碩 士 論 文 A ThesisSubmitted to Degree Program of E-Learning College of Science
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Degree Program of E-Learning
July 2009
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
虛擬教具應用於國小四年級位值單位轉換概念補救教學之成效
學生：蔡郁樺 指導教授：袁 媛 教授 國立交通大學理學院網路學習學程碩士班 摘要 本研究主要是藉由虛擬教具-萬用揭示板進行位值單位轉換概念補救教學，以 探討虛擬教具是否能成為有效的位值單位轉換概念補救教學工具，以提供教師於 進行位值單位轉換概念補救教學之參考，且提供學生進行位值單位轉換概念學習 的輔助工具。本研究採用單一受試跨個案多探試設計（single subject multiple probe across subjects designs），以苗栗縣一所國小四年級學生為研究樣本，研究者首先以自編 之「國小兒童位值單位轉換概念測驗」試卷進行篩選，選擇得分低於60 百分比 的學生3 人作為補救教學的實施對象。實驗設計分為三個階段：實驗教學前的基 線期、實施實驗教學的介入期、實驗教學後的保留期。將基線期、介入期及保留 期三個階段的資料，以目視分析法探討受試者在「國小兒童位值單位轉換概念測 驗」的整體表現，並以C 統計考驗各階段趨向的顯著性，進一步分析「各表徵題 型」和「子概念題型」的作答狀況。 實驗結果發現如下： 一、實驗介入能提昇三位受試者的位值單位轉換概念的立即成效。 二、實驗介入後能維持三位受試者的位值單位轉換概念的成效。 三、實驗介入能有效降低三位受試者在「數字表徵」、「古氏積木圖像表徵」、「錢 幣圖像表徵」、「文字表徵」四種表徵題型的答題錯誤率。 四、實驗介入能有效降低三位受試者在「部分整體-合成」、「部分整體-分解」二 個子概念的答題錯誤率。 最後根據研究結果與發現，提出若干建議，做為「萬用揭示板」之設計者及 使用者未來研究與教學改進之參考。
A Study of the Effects of Integrating Virtual Manipulatives into Remedial Instruction of Place-Value and Transformations of Multidigit Numbers in
Fourth Grade
Student: YU-HUA TSAI Advisor: Yuan Yuan Degree Program of E-Learning
National Chiao Tung University
Abstract
The purpose of this study was to explore whether the Web-based virtual manipulatives, Magic Board could be an effective aid of remedial instruction or not. The research provided the reference of carrying on remedial instruction of place-value and transformations of multidigit numbers, and proved that the Web-based virtual manipulatives, Magic Board may help students to study place-value and transformations of multidigit numbers.
This research adopted the single subject multiple probe across subjects designs to examine the effects of the remedial instruction. The subjects were students selected from a 4th grade class of a primary school in Miaoli county. Researcher designed a performance test to test students’ understanding of multidit numbers. According to the test results, the
researcher chose three subjects whose score were lower than average 60 percent as the target. Subsequently, the subjects received a remedial instruction which applied the web-based virtual manipulatives, Magic Board, as a aid to learn the concepts of place-value and
transformations of multidigit numbers.. In the experimental design, there were three treatment phases: the baseline phase, the experimental instruction phase, and the retention phase. The data of the research were based on “learning performance of the concept of place-value and transformations of multidigit numbers” were analyzed by using the visual analysis, and then the C statistic. In addition, the tests of all question types and concepts were scored to evaluate students’ performance in solving problems.
The results of this study were as follows:
1. For each subject, the learning effects during the intervention phase were immediate and significant to a different degree.
2. For each subject, the learning effects during the retention phase were sustained. 3. The experimental instruction was successful in decreasing the percentages of wrong
answers to the questions of numeral representation, Cuisenaire iconic representation , coin iconic representation , and writing representation picture for the subjects.
4. The experimental instruction was successful in decreasing the percentages of wrong answers to the questions of compose and decompose in part-whole for the subjects.
Finally, based on the findings of this study, suggestions for improving teaching and future research were discussed.
Key words: virtual manipulatives, Magic Board, place-value and transformations of
誌 謝
回顧交大在職專班這兩年的求學生涯，從課堂上得到的知識既豐富又珍貴， 從人身上學到的道理更是言之不盡。週遭要感謝的人很多，首先要感謝的是我的 指導教授-袁媛老師，在袁媛老師身上，我見識到聰慧而嚴謹的研究態度及方法， 每當我遇到難題 或關卡時，老師也總會溫柔而明確的給我引導與建議，使我的 論文能順利完成，所以在此向她獻上十二萬分的敬意。此外，感謝口試委員陳明 璋教授與吳慧敏教授，由於兩位所提供的真知灼見與詳盡細膩的指導，使我的論 文內容更加周詳、完善。 其次要感謝的是楓樹國小黃立雄校長的大力支持及全校全體同仁的協助，因 為有你們的體諒及幫忙，研究所學業才能順利的完成。另外，也要感謝同一研究 室一起奮鬥的夥伴：富美、長銘、玉琪及祖慰，和你們一起相互砥礪，讓我的治 學能力增長不少，也因為你們不同的個人風格-富美的聰明、長銘的細心、玉琪 的果決及祖慰的穩重，使我一年多的研究生涯宛如添加了美味的調味料，充滿著 相處的樂趣。 另外，還要感謝家人的支持與鼓勵，謝謝母親鄭宥蓁含莘茹苦地拉拔我長 大，因為她的堅強與獨力照顧，讓我有機會能進入學術的殿堂；而男友佳霖的體 貼與包容，是為我最大的精神支柱，每當在求學過程中遇到瓶頸或心情低落，他 下班後即使身體疲累，仍陪我散心、紓解壓力，讓我在這兩年專心的學習與進行 論文研究。 最後，謹以此文，獻給所有曾關心過我，幫助過我的人，以表達我最誠摯的 謝意。目 錄
頁次 中文摘要 ……… i 英文摘要 ……… ii 誌謝 ……… iv 目錄 ……… iv 表目錄 ……… v 圖目錄 ……… iv 第一章 緒論……… 1 第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的與假設……… 3 第三節 名詞解釋……… 4 第四節 研究範圍與限制……… 5 第二章 文獻回顧……… 6 第一節 位值的相關理論……… 6 第二節 知識的表徵……… 13 第三節 教具的使用……… 15 第四節 虛擬教具……… 18 第三章 研究方法……… 28 第一節 研究設計與流程……… 28 第二節 實驗架構……… 30 第三節 實驗設計……… 32 第四節 研究對象……… 34 第五節 研究工具……… 44 第六節 資料分析……… 47 第四章 研究結果與討論……… 50 第一節 三位受試者個別位值單位轉換概念教學成效之分析… 50 第二節 三位受試者整體位值單位轉換概念教學成效之分析… 57 第三節 三位受試者在各類表徵題型解題表現資料分析……… 59 第四節 三位受試者在位值單位轉換子概念學習成效分析…… 66 第五節 三位受試者課後學習感想及研究者教學心得………… 74 第五章 結論與建議……… 82 第一節 結論……… 82 第二節 建議……… 84 參考文獻 ……… 89 附錄 ……… 96表 目 錄
表2-1 多位數的概念結構……… 11 表2-2 兒童二位數字含義的五階段模式……… 12 表3-1 三位受試者基本資料……… 35 表3-2 受試者甲位值單位轉換概念測驗錯誤題型分析……… 36 表3-3 受試者甲位值單位轉換概念測驗表徵題型錯誤比率……… 37 表3-4 受試者甲位值單位轉換概念測驗子概念題型錯誤比率……… 37 表3-5 受試者乙位值單位轉換概念測驗錯誤題型分析……… 38 表3-6 受試者乙位值單位轉換概念測驗表徵題型錯誤比率……… 39 表3-7 受試者乙位值單位轉換概念測驗子概念題型錯誤比率……… 39 表3-8 受試者丙位值單位轉換概念測驗錯誤題型分析……… 40 表3-9 受試者丙位值單位轉換概念測驗表徵題型錯誤比率……… 41 表3-10 受試者丙位值單位轉換概念測驗子概念題型錯誤比率……… 41 表3-11 三位受試者位值單位轉換概念測驗表徵題型錯誤比率……… 42 表3-12 三位受試者位值單位轉換概念測驗子概念題型錯誤比率………… 42 表3-13 三位受試者位值單位轉換概念測驗錯誤子概念與表徵題型之間的 關係 43 表3-14 「位值單位轉換概念」前測試題雙向細目表……… 45 表3-15 「分分合合」單元教學目標……… 46 表4-1 受試者甲階段內目視分析結果摘要表……… 52 表4-2 受試者甲比較相鄰兩階段之目視分析結果摘要表……… 53 表4-3 受試者甲解題正確率 C 統計摘要表……… 53 表4-4 受試者乙階段內目視分析結果摘要表……… 54 表4-5 受試者乙比較相鄰兩階段之目視分析結果摘要表……… 55 表4-6 受試者乙解題正確率 C 統計摘要表……… 55 表4-7 受試者丙階段內目視分析結果摘要表……… 56 表4-8 受試者丙比較相鄰兩階段之目視分析結果摘要表……… 57 表4-9 受試者丙解題正確率 C 統計摘要表……… 57 表4-10 三位受試者在階段內的目視分析結果摘要表……… 58 表4-11 三位受試者在相鄰兩階段之比較的目視分析結果摘要表………… 59 表4-12 介入期三位受試者四種表徵平均錯誤率……… 65 表4-13 保留期三位受試者四種表徵平均錯誤率……… 65 表4-14 保留期三位受試者四項子概念平均錯誤率……… 68 表4-15 受試者甲課後感想及心得調查問卷……… 75圖 目 錄
圖2-1 次序(a)和階層(c)的關係……… 7 圖2-2 個位數系統(a 和 d)和較高位數系統(b 和 c)的差異……… 8 圖2-3 數學學習和問題解決的五個表徵型態……… 14 圖2-4 整數的說讀聽寫做活動……… 15 圖2-5 萬用揭示板-積木板功能……… 21 圖2-6 萬用揭示板-積木板進位合成……… 21 圖2-7 萬用揭示板-積木板退位分解……… 22 圖3-1 研究流程圖……… 28 圖3-2 研究架構圖……… 31 圖3-3 跨個案多探試設計……… 34 圖4-1 三位受試者位值單位轉換概念測驗正確率曲線圖……… 51 圖4-2 三位受試者在「數字表徵」的解題表現……… 60 圖4-3 三位受試者在「古氏積木圖像表徵」的解題表現……… 61 圖4-4 三位受試者在「錢幣圖像表徵」的解題表現……… 62 圖4-5 三位受試者在「文字表徵」的解題表現……… 63 圖4-6 三位受試者在「部分整體-合成」概念的解題表現……… 66 圖4-7 三位受試者在「部分整體-分解」概念的解題表現……… 67 圖4-8 受試者甲保留期二次以上錯誤題型範例……… 69 圖4-9 基線期試卷(2)錯誤題型……… 70 圖4-10 介入期試卷(2)錯誤題型……… 70 圖4-11 保留期試卷(2)錯誤題型……… 71 圖4-12 受試者乙保留期二次以上錯誤題型範例……… 72 圖4-13 基線期試卷(1)錯誤題型……… 72 圖4-14 介入期試卷(1)錯誤題型……… 73 圖4-15 介入期試卷(3)錯誤題型……… 73 圖4-16 介入期試卷(4)錯誤題型……… 74 圖5-1 萬用揭示板的小缺失……… 86第一章 緒論
本章將依研究動機、研究目的與問題、名詞解釋、研究範圍與教材使用限制， 分四節做說明。第一節 研究動機
行政院教育改革審議委員會總諮詢報告書（1996）中提出「發展適性適才的 教育：帶好每位學生」的建議，秉持著以人為本的精神，強調每一位學生都能擁 有適合自己的教育，並且尊重每個人的潛能和特質。但在現今數學教育上，由於 統一的制度和課程，使學校內未受到充分照顧的學生明顯存在，這些學生在學習 的初期沒有奠定良好的基礎，日後隨著學習內容的增加，其學習落後的狀況將日 益明顯。 「補救教學」常是在學生學習落後的情況下，教師不得不採取的教學策略。 補救教學是一種「評量、教學再評量」的歷程（黃志賢，2003），對於學習有困 難者，給予他們再學習的機會，具有課後補救的功能。教師對學生進行補救教學 時，應依據學習診斷所分析出來的原因，提供適切合宜之教學策略，幫助學生達 到學習目標及增加學習的成就感。但九年一貫數學學習領域課程規範在國小三、 四年級的數學授課時間每週僅三節，要滿足每一位學習落後之學生的學習需求， 對數學老師而言，是一大挑戰。 教師要提供有效而合宜的數學補救教學，首先要知道「學生為什麼學不會數 學？」Piaget（1964）認為學習數學的基本條件是邏輯數學能力，這些能力在幼 兒早期就開始發展，兒童經由物體操作和心智抽象作用能力而發展邏輯數學知 識。但數學對於兒童之所以困難是因為數學是一種抽象的科學，是屬於研究「型 （patterns）與關係」的學科（Reys, Suydam, & Lindquist, 1984），因此，兒童先天 的數學概念與符號的連結是數學教學與學習成敗的關鍵。Bruner（1966）認為兒童學習數學概念的過程是先從具體物的操弄，到形成 心像，最後到符號的使用，也就是從引導學生從操弄具體物發現數學的原理原
Nathan, 與 Resnick（1996）也認為教學中須重視各種表徵之間的轉譯過程及反向 的轉譯，教師連結數個表徵的教學是幫助學生瞭解的主要方式。 每一種數學表徵都有自己的特性，例如：古氏積木表徵含有十進位的結構， 在學習數字時所使用的積木有白色積木、橘色積木、百格板和大立方體；而新台 幣幣圖像表徵，有一元、十元、百元、千元，錢幣和錢幣之間也含有十進位的關 係；文字表徵為生活情境相關的應用題，藉由情境問題的出現，學生在腦海中思 索解題方式；數字表徵，主要為印度-阿拉伯數字系統的記數系統，在不同位置的 數碼所代表的量不同，例如：22，十位數的 2 代表量為 20，個位數的 2 代表量為 2，且相鄰兩個位置的數關係為「滿十進一」、「一換成十」。數學教師需要了解每 種表徵型態的特性，在教學過程中，能明確地向學生展示表徵的特性，並使用不 同的表徵進行相同概念的教學，學生才能對數學概念有完整的認識。 從研究者本身的教學經驗中發現，教師除了是否能專業地展示這些教具之 外，這些實體教具受限於物理上的屬性，也會對數學的教學與學習產生不便利的 情形，像是古氏積木不易合成、拆解，學生在學習滿十進一時，要排列十個白色 積木來換成1 條橘色積木，在排列的過程中白色積木不容易排整齊，一個不小心 的碰撞，先前排好的白色積木就會散掉；若是要學習50 個白色積木要換成 5 條 橘色積木時，更是工程浩大、耗時費力，學生排列的過程中，不耐煩的情緒是可 預見的；再者，若是為節省時間只排列十個白色積木換成1 條橘色積木，剩餘的 40 個白色積木請學生在心中依此類推，習慣眼見為憑的學生，因為沒有視覺上的 印象，容易有不確定感或是類推失敗等問題。 所幸，新科技的引領，在講求資訊融入教學的潮流下，虛擬教具的出現解決 了實體教具這樣的不便利。虛擬教具是一種互動化、網頁式及動態物件的教具， 它以實體教具為模型的視覺表徵，可以提供使用者藉由動態的操弄虛擬教具去建 構數學知識，用以豐富使用者的印象，是適合國小學生使用於數學學習的科技輔 具（Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002），此外，虛擬教具還具有不佔空間、容易複 製、分享，課堂上易於整理等優點。
在國內，萬用揭示板（Magic Board）數學教學網，是由 95、96 年度國科會
計畫補助建置，計畫編號95-2520-S-033-003。計畫主持人為中原大學教育研究所
袁媛教授，網站的設計維護者是台北市博愛國小張世明老師。此網站所提供的虛 擬教具是以國小課程內較常使用的實體物件為複本，再物件化及程式化，該網站
所提供的虛擬教具種類相當的多，舉凡現今國小教科書出版商所配送給教師的實 體教具，該網站都找得到相對應的虛擬教具，是一個提供相當豐富教具資源的網 站。目前為免費使用，網站內有許多教師已打包製做好的教材，國小數學教師可 藉由萬用揭示板的分享功能參考他人的作品，教師若有需要可直接下載，或者依 照學生的需求將別人的佈題修改使用，製作教學教材相當便利，能大大地減輕數 學老師的備課時間，提供學生更多元學習的機會。
國外的研究者（Miller, Brown, & Robinson, 2002；Riley, Beard, & Strain, 2004） 指出虛擬教具對有特殊需求的學生能提供有效的幫助。因此，研究者利用萬用揭 示板的特性，設計一個強調多重表徵與表徵連結的學習環境，在萬用揭示板的環 境下，將位值單位轉換概念以多重表徵呈現，提供學習者在多重表徵中，觀察及 發覺數學概念，並且讓學生有較多的時間和專注力做概念性的思考。所以研究者 將針對國小四年級位值單位轉換概念落後之學生，進行補救教材設計，並進一步 檢驗其補救教學成效。
第二節 研究目的與問題
基於上述研究動機說明，本研究目的如下： 一、探討「虛擬教具融入位值單位轉換概念教學」對國小四年級數學學習落後學 生位值單位轉換概念學習的立即成效。 二、探討數學學習落後學生經由「虛擬教具融入位值單位轉換概念教學」後，位 值單位轉換概念之維持成效。 根據研究目的，提出下列兩個研究問題及對應之研究假設： 一、「虛擬教具融入位值單位轉換概念─分分合合」課程教學介入後，數學學習落 後學生的位值單位轉換概念是否能有所增進？ （一）經教學介入後，數學學習落後學生在「位值單位轉換概念測驗」的整體二、在撤除「虛擬教具融入位值單位轉換概念─分分合合」課程教學後，數學學 習落後學生在「位值單位轉換概念測驗」的正確率是否持續維持在介入期之 平均答題正確率的水準範圍內？ （一）撤除教學後，數學學習落後學生在「位值單位轉換概念測驗」的整體解 題正確率具有維持之成效。 （二）撤除教學後，數學學習落後學生在「位值單位轉換概念測驗」的各表徵 題型解題正確率具有維持之成效。 （三）撤除教學後，數學學習落後學生在「位值單位轉換概念測驗」的各子概 念題型解題正確率具有維持之成效。
第三節 名詞解釋
一、位值單位轉換概念補救教學 本研究所指的位值單位轉換概念補救教學是依據教育部頒訂的九年一貫數學 領域能力指標N-1-01所指的位值單位換算，並進一步細分為「部分整體-合成」和 「部份整體-分解」二個子概念，進行位值單位轉換的補教教學。 二、萬用揭示板 萬用揭示板（Magic Board）數學教學網，由 95、96 年度國科會計畫補助建 置，計畫編號95-2520-S-033-003。計畫主持人為中原大學教育研究所袁媛教授， 網站的設計維護者是台北市博愛國小張世明老師。萬用揭示板目前所提供的虛擬 教具是以國小課程內較常使用的實體物件為複本，再物件化，程式化，放置於網 站，該網站所提供的虛擬教具種類相當的多，舉凡現國小廠商配送給教師的實體 教具，該網站都找的到相對應的虛擬教具（例如：秤、天平、古氏積木、百格板、 硬幣等等），是一個提供相當豐富資源的網站。目前為免費使用，教師只要申請 為會員後，可登入自由使用，網站內有許多教師已打包製做好的教材，教師若有 需要可直接下載，或者將別人的佈題稍做修改使用，相當便利，參考網址為 http://163.21.193.5/。三、分分合合課程 為本研究針對位值單位轉換概念內容包含二個教學活動-活動一：積木教學 和活動二：怪怪屋便利商店。兩個教學活動皆運用萬用揭示板作為教學輔具，在 「積木教學」單元藉由拖曳積木到積木板上，積木板上方會同步呈現數字表徵的 功能，引導受試者觀察數量與數字的變化，進而發現千位中的十進位系統運作方 式；在「怪怪屋便利商店」單元，使用萬用揭示板設計一個應用「千位合成與分 解的運用」的之消費模擬情境，讓受試者可以從前一單元所學的概念解決所遇到 的情境問題。
第四節 研究範圍與教材使用限制
一、研究對象上的限制 本研究對象僅以三位國小階段位值單位轉換概念學習落後之學生為主，因此 無法將結果推論至其他年齡階段、障礙類別之學生，僅能視為補救教學之參考。 二、研究方法之限制 本研究採單一受試實驗研究法的跨個案多探試設計，實驗階段分為基線期、 介入期、保留期，故本研究的結果不適合推論到以不同研究法所進行之研究結果。 三、介入工具的限制 本研究介入工具以虛擬教具-萬用揭示板作為輔具的教學介入，故受試者所得 之學習效果僅限於虛擬教具-萬用揭示板作為輔具的教學所得之效果。第二章 文獻探討
本研究旨在應用萬用揭示板設計位值單位轉換概念教學活動，並探討其對國 小中年級數學成就低落學生學習位值單位轉換概念的學習成效，因此本章擬就位 值的相關理論、知識的表徵、教具的使用、虛擬教具等相關的文獻加以探討，以 作為本研究的理論依據。第一節 位值的相關理論
因為位值隱含在數中，若要了解位值單位轉換概念，則需要對數字概念有基 本的認識，因此，本節就數字概念的相關理論來做探討。 一、數字概念的形成與發展 皮亞傑解釋兒童數概念發展的結果來自於的次序（order）與階層（hierarchical inclusion）二種關係的合成（Kamii, 1985）。 （一）次序（order） 一個四歲大的兒童在數東西時，有時會跳過某些東西不數，有時又會把某 樣東西重覆數了好幾次。這樣的行為顯示出兒童沒有感覺將東西安排好次序 的必要性，因此會跳過某樣物件或把同樣的東西重複計數，唯有將物件使用 心智建立次序的關係，如圖2-1 的（a），才能避免這樣的問題發生。 （二）階層（hierarchical inclusion） 即使兒童能將物件納入次序的關係中，他們也未必知道數量的涵義。例 如：一個四歲大的兒童在數排成一列的8 個物件時，如圖 2-1 的（b）所示， 他們往往可以正確地數算出答案，並聲稱有「八」個。如果我們要求兒童指 出8 個物件時，他們往往指出最後一個物件，也就是第 8 個物件。這顯示出 1、 2、3…等數字對兒童而言，僅代表最後一個物件，而不是全部的物件。 如果想要用數字算出總量，兒童必須先把物件放進一種階層的關係中。如圖 2-1 的（c）所示，顯示「1」包含在「2」裡面、「2」包含在「3」裡面、「3」包 含在「4」裡面等等。當兒童能整合次序及階層的關係，他才能用數字算出一個 集合的總量。圖2-1 次序（a）和階層（c）的關係。
資料來源:引自Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget's theory (p.12),
by Kamii, C., & DeClark, G., 1985, New York: Teachers College Press.
在兒童到七、八歲大時，大部分兒童的次序和階層變得可以自由運轉而具備 「可逆性」。「可逆性」意味著能將「全部」分解成「部分」、「部分」並能聚合成 「全部」，能操弄「部分-整體」的關係。皮亞傑指出當兒童把各種類別的思考內 容放進各種關係中，他們的思路運轉會更加流暢，若不理解階層包含的關係，則 兒童在組織位值概念中的十進位系統時便會遇到困難。 位值概念中十進位系統是一種分層的邏輯概念（見圖2-2），當低階單位滿10 則合成1 個高階單位，這是十進位系統重要的規則。十進位系統概念圖如下： （a ） （b （c 8 8
圖2-2 個位數系統（a 和 d）和較高位數系統（b 和 c）的差異
資料來源:引自Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget's theory (p.13),
by C. Kamii, & G. DeClark, 1985, New York: Teachers College Press.
圖2-2 的圓圈是代表兒童腦袋的數字概念。當大部分一年級兒童說「112」的 時候，如圖2-2 的（a）所示，是表示 112 個「個數」。 從圖2-2 的（b）可以看出兒童已能從個位數系統之中建構出十進位系統，他 們創造「十個一數」的觀念，然後用這種新的高階次序單位來整理次序和階層涵 屬的關係，此時兒童已能在同一時間思考「1 個 10」和「10 個 1」，因此，也就 能同時思考「11 個 10」和「2 個 1」及「112 個 1」。 圖2-2 的（c）顯示出，兒童已經開始從「一個一個地數」和「十個一數」的 系統當中建構出一個更高階的百位數系統，這個階層的新單位是「100」，兒童可 以同時思考「1 個 100」、「1 個 10」和「2 個 1」，以及「11 個 10」和「2 個 1」， 以及「1 個 100」和「12 個 1」，而這些都是代表相同的總數，只是這些數所使用 的階層組合不同而已。 圖2-2 的（d）顯示兒童雖然可以十個一數，但是兒童的數概念仍在個位數系 統，並未建構出第二個更高階的系統，也就是十位數系統。 而事實上，數理邏輯知識是由既定的關係結構建構出來，如「一個十」是從 個位數系統裡所建構出來的，這個系統必須先行架構完成，而後才能放入次序與 階層涵屬這兩種關係，兒童才能思考「25」是「2」個十和「5」個一，進而能彈 （a）個位數系 （b）由個位數建構而來的十位數系統 （c）由十位數建構而來的百位數系 （d）把個位數系統區分（以十進位方式）
性地並流暢地轉換成「1」個十和「15」個一。 甯自強（1992）認為數概念是由「1」構成的集聚單位（composite unit），一 個集聚單位是一個二階的單位（unit of units）；而「1」概念則由測量活動中的行 為，或數數動作的內蘊化所得的。另外數概念用在實際中，是單位量（部分）與 被界定量（全體）的關係，此一關係多半發生在測量活動中。 蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君與陳俊瑜（2006）提及學童的個別差異和成 長因素，使得學童產生數概念品質上的差異，以「47」為例： 1.「47」代表由 1 開始對應標準數詞序列的最後一項，是數的前置概念。 2.「47」代表 47 個「1」所合成的新集聚單位，是數的起始數概念。 3.「47」代表一個集聚單位，比如 40，再往上累積 7 個「1」，所合成的新集聚單 位，由於47 可以內嵌其他數（如 40），是為內嵌數概念。 4.「47」可代表由 4 個「10」和 7 個「1」所合成的新集聚單位，為巢狀數概念， 部分與整體的關係對合成者結構是明顯的（甯自強，1994）。 擁有不同數概念品質的學童，所表現的運思方式也有所不同：（1）在起始數 概念之前，學童表現出序列性合成運思；（2）在內嵌數概念時，學童表現出累進 性合成運思；（3）巢狀數概念時，學童表現出部分整體運思（早期）或測量運思 （後期）（引自 蔣治邦等人，2006，頁 25）。依據甯自強（1994）的說法，學童 約在一年級下學期開始發展累進性合成運思，而約在三年級下學期開始發展部份 整體運思 。 上述學者所提到的數概念，都是強調數的「部分與整體」的關係。數是一種 邏輯經驗，兒童將物體屬性經驗抽象化，整合到心智架構中，透過內省抽象化的 歷程，形成十進位的分層邏輯結構。唯有當兒童能在心智建構十進位的「部分-整體」的關係並且靈活轉換，兒童數概念的品質才能有所提昇。 二、位值概念的內涵 記數系統是數概念的一種表徵系統，本研究所指的記數系統是印度阿拉伯記
（一）位值概念 印度阿拉伯數字位值系統（position-value system），這是目前社會上普遍 使用的記數系統，這個記數系統具有下列幾項性質（Ross, 1989）： 1.位置的性質（positional property）：在整體數字中，由數字所在的位置決定 個別的數字所代表的數量。 2.十進的性質（base-ten property）：位置的值是由右至左，以10為基底的次 方增加。 3.乘法的性質（multiplicative property）：個別數字的值是來自於數字的面值 乘以位置的值。 4.加法的性質（additive property）：整體的數表示的量是個別數字量的總和。 一個完整的位值概念須具備上述四種性質，而這些性質皆抽象且交錯在 一起的，因此完整的位值概念較難學習、也較難傳達。 周筱亭（1987）認為位值源於兩個重要的概念： 1.明確的重組（交換）法則：可以「滿十進一」，也可以「一換成十」。 2.數字所在的位置決定它所代表的量。例如：1245 和 2415 各自的 1 代表不 同的量，前面的1 在千位表示 1000；後面的 1 在十位表示 10。 兒童欲了解位值的十進位結構，就先要具備「一」、「十」、「百」、「千」、… 等位階的特性，也要知道「一」、「十」、「百」、「千」…等個別的位階的量聚 合之後會等於整體的量，即能掌握「部分-整體」的關係 （周筱亭，1987）。 記數系統是數概念的符號化，此符號是文化約定俗成的，用與他人溝通和記 錄。世界上所有的記數系統都是有結構的，我國小學所使用的記數系統-「印度-阿拉伯記數系統」，即是使用十進位結構。而記數系統的結構化設定了數概念的 結構化，如甯自強（1995）所言，記數系統的結構預設了數概念間的組織活動， 也就是兒童的數概念除了以1 為單位的數概念結構外，至少需要使用另一個單位 -「十」來結構他們的數概念，並且在使用的過程中不能相互混淆，而事實上，需 要更多的集聚單位，如百、千、萬、……等單位，來組織兒童的數概念。學習利 用多單位來組織數概念，事實上就是在學習印度─阿拉伯記數系統的位值概念。 （二）位值概念的研究 Fuson （1992）將多位數的位值概念分成八個層次。第一、二層為符號 層，兒童了解數字與語文系統的「結構對應關係」，能進行符號轉譯。第三層
為建立多元概念結構，兒童能將「位置」與「單位字」連結到多元的數量 （multiunit quantities），例如：「5467」能以5個大立方體、4張百格板、6條積 木、7個小積木來表示。第四層是學會十進位的轉換規則，第五到八層，各位 值間的關係，由加減結構轉換到乘除結構，如表2-1所示。 表2-1 多位數的概念結構 層次 概念結構名稱 概念結構之本質 第一層 符號的特徵位值視覺的 排列由右往左增加價值 ─ 第五位 ─ 第四位 ─ 第三位 ─ 第二位 ─ 第一位 第二層 文字的特徵，當我們唸 出多重單位名稱 （Multiunit names） 時，文字排列由左到右 遞減價值 萬 Ten- thousand 千 Thousand 百 Hundred 十 Ten 一 Ones 第三層 多重單位結構 （Multiunit structure） 多重單位量（Multiunit quantities） 第四層 「十合成一」和「一換 成十」的轉換規則 十個千 一 十個百 十 一 十個十 十 一 十個一 十 一 一 十 第五層 位值累積轉換 四次 進位 三次 進位 二次 進位 一次 進位 沒進位 第六層 累積十倍數的位值轉換 四個 十倍 10×10 ×10× 10 三個 十倍 10×10 ×10 二個 十倍 10×10 一個 十倍 10 沒倍數 第七層 十倍數的指數函數文字 十的 十的 十的 十的 十的
Ross（1989）使用個別訪談測驗發現兒童在「位值」和「部分-整體」關係的 思考，根據研究結果提出兒童二位數位值概念的獲得有五個階段的模型，第一個 階段，兒童將二位數理解成所呈現的整體數，但是單一數是沒意義的。第二階段， 兒童展示單一數位置屬性的知識；兒童知道右邊的數是個位數，左邊的數是十位 數，然而他們的知識是限制於數字的位置，並沒有包含每一個數字所對應的量。 第三階段，藉由面值理解數字共計整體數，例如：數字25中的2，代表2個相同的 物件，而5代表5個不同於前者的物件，例如：2條長積木，5個小積木代表數字25。 第四階段，十位數被解釋為十的群體，儘管理解是有限的和實行是不可信任的。 第五階段，兒童知道二位數中的單一數代表一個整體量分割成十位數部分和個位 數部份，即使對收集量以非標準的方式分割，物件的分量對應於每一個數可以被 確定，理解是容易示範操作和實行是可信賴的，如表2-2所示。 表2-2 兒童二位數字含義的五階段模式 階 段 名 稱 表 現 階段一 整體的數字 （whole numeral） 一的數字4和8本身是沒有任何意義的。 兒童寫出數字48但是把它視全部的量，單 階段二 位置的特性 （positional property） 兒童知道在二位數中，個位在右邊、十位 在左邊，但僅知單一數字的位置，數字的位 置及所相對應的量並不知道。 階段三 面值（face value） 兒童是以每個數字面值來解釋它的意義， 並表示它的量。他們指出十位數字對應的物 體，在兒童的心裡並不是真的代表十個「一」 的組合，例如：48，兒童把4個口述標示為十 的物件與4相配對，但對兒童而言，這物件並 沒有真正表徵十個一合成的群組，沒有認知 到十位數是十的倍數。 階段四 建構區 （construction zone） 兒童知道二位數左邊的數是對應於十的群 組，右邊的數對應於單一物件，但此概念仍 處於不穩定狀態。 階段五 完全瞭解 （understanding） 兒童了解在二位數裡單一的數表徵全部的 量中的區分為一個十位的部分和一個個位的 部份。物件的量對應於每一個數可以用非標 準方法分割，例如：48可分成「3個十和18 個一」。
資料來源:引自“Parts, wholes, and place value: A developmental view,” by S. H. Ross, 1989, Arithmetic Teacher, 36(6), p.49.
透過Fuson 的多位數的概念結構，讓我們更清楚了解學童所學到的概念結構 的本質為何。當前依據九年一貫的能力指標而設計的國小中年級的課程，對照 Fuson（1990）的多位數的概念結構，教學目標分布在一到五層。對照 Ross 的位 值五階段模式，當兒童進入階段五，才屬於完全了解位值，故本研究根據Fuson 的多位數的概念結構第五層和Ross 的位值五階段模式中的階段五，作為本研究 設計「位值單位轉換概念課程」的參考，設計出二個子概念，第一個為「部分整 體-合成」及第二個為「部分整體-分解」。
第二節 知識的表徵
在數學課程中，老師需要透過不同的方法傳遞知識並與兒童溝通觀念，兒童 也需要使用某些方式與老師和同學溝通想法，這樣的表達方式就是「表徵」。一 個數學概念對專家而言，他已經能形成緊緻連結的物件，但是對於初學者的生手 而言，卻往往只是獲得圍繞著此概念名詞之鬆散不相連的組合，原因之一在於學 習者沒有多重表徵及其連結的具體經驗。而「表徵」的形式有哪些呢？ Bruner（1966）定義人類經由知覺外在世界的事物轉換為內在心理事件的過 程，稱為知識表徵（representation of knowledge）。他將知識表徵分為三個階段（張 春興，1996）： 1.具體表徵（enactive representation）：具體表徵是求知的基礎，透過動作操弄來 掌握概念或事物。例如：實物、具體教具，兒童藉由操弄具體物來掌握概念。 2.圖像表徵（iconic representation）：指兒童經由對物體知覺留在記憶中的心像 （mental image），或靠照片圖形等，即可獲得知識。例如：如果兒童被問到「蘋 果是什麼顏色？」，他不需要靠觀察實物，即可回答問題。 3.符號表徵（symbolic representation）：指運用抽象符號、文字從事抽象思維，從 中發現原理原則，進而解決問題。例如：已知甲＞乙，乙＞丙，則可推論甲＞ 丙。 所以Bruner 建議，應該依照學童的認知發展程度，以舉例解析複雜的數學觀化，是可觀察得出。Lesh 等人（1987）將表徵的類別區分成五項： 1.以經驗為基礎的腳本（real scripts）-以真實世界的事件為背景寫成的腳本，用 以解釋，而且解決其他類型的問題情形。 2.可操弄的教具（manipulative models）-如古氏積木、算數積木、分數條、數線 等等。 3.靜態的照片或圖表（static pictures）-可內在化成心像。 4.口說的語言（spoken language）-包含關於像邏輯領域的專業化附屬語言等。 5.書面符號（written symbols）-包含專業化句子和片語，例如：10×4＝40。 Lesh 等人（1983）認為概念要在不同表徵中自由轉換，才表示對概念的理解 及掌握。在某些數學概念上，學生經常無法在不同的表徵中流暢的轉換，其關鍵 因素是轉譯的能力，這影響數學學習和問題解決的表現、強化初步數學想法的使 用和獲得的能力。要診斷一個學生的學習困難或澄清教學的觀念時，老師可以藉 著某一個表徵的模式呈現一個想法，產生多種有用類型的問題，進而要求學生解 釋說明、描述或用其他種類的表徵呈現一樣的觀念。 圖2-3 數學學習和問題解決的五個表徵型態
資料來源:引自Rational number concepts (p.102), by M. Behr, R. Lesh, T. R. Post, & E. A. Silver, 1983, in R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics
concepts and processes, NY: Academic.
圖形或表格 書寫符號 口語語言 經驗基礎的 描述 可操作的 模型
蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君與陳俊瑜（2006）認為整數的學習活動是指 具體物（或圖像）、數字與數詞三者之間的轉換活動，「數字」指的是數的書寫符 號，例如：「5」、「13」、……等；「數詞」指的是數的口語符號或語音，例如：「ㄨ ˇ」、「ㄕ ˊ ㄙㄢ」、……等。具體物（或圖像）、數字與數詞三者之間的轉換能力 是兒童學習整數必須具備的能力，唯有掌握這些能力，才能在繼續進一步數概念 的學習。呈現的關係如下圖所示： 圖2-4 整數的說讀聽寫做活動 資料來源：引自蔣智邦等人（2006）。國小數學教材分析－整數的數概念與加減運 算（頁25）。台北縣：國立教育研究院籌備處。
Schwarz, Nathan, 與 Resnick（1996）認為教學中須重視各種表徵之間的轉譯 過程及反向的轉譯，教師連結數個表徵間的教學是幫助學生瞭解的主要方式。尤 其是，表徵本身的轉換與表徵間的轉譯，對數學觀念的獲得與使用更是非常重要 的。 上述學者都提到說學童必須具備使用不同的表徵中展示內在概念的能力，並 且在各表徵間進行流暢的轉譯，兒童才真正習得數學概念。記數系統是數概念的 一種表徵系統，數概念需要透過數字、數詞和具體/圖像表徵才能表達和溝通。
第三節 教具的使用
具體物或圖像表徵 數字 數詞 說 做 做 寫 聽 說一、具體教具的優點與缺點 多數兒童的數學概念發展狀況，仍需使用具體物來模擬問題情境，才能進一 步解決問題，因此具體物是學童理解及解決問題的必備工具；具體物亦是發表解 題過程的溝通工具，當兒童無法用口語完整描述解題過程時，兒童可以藉由具體 物的操作，展示其解題過程，教師宜參考具體物的獨特功能，選擇使用具體物的 適當時機來進行教學（蔣智邦等人，2006）。 （一）教具的使用-數學積木 十進位的數學積木，被眾多老師視為幫助學生建立多位數概念結構特別 地有用的數學教具（English & Halford, 1995）。英國教育家Dienes 是首創迪恩 氏多層基底（Dienes Multibase）算數積木的專家，他認為教合適的教具輔助 教學能幫助學童了解到抽象符號所代表的意義。Dienes 根據以下四個原則製 造迪恩氏多層基底算數積木（Dienes Multibase Arithmetic Blocks）（張平東， 1989）。 1.機能活動原則（dynamic）：學童在剛認識積木時，應先任其自由操弄，可 讓他們了解積木代表的意義。 2.結構性的原則（constructive principle）：Dienes 的積木提供了十進位的基礎 觀念。例如：十個小積木等於一個長積木、十個長積木等於一張百格板（一 百個小積木的平面）。這些都是直觀即可獲得知識，不必用到推理的思考。 3.數學變易原則（mathematical variability）：積木數值的排列情況，並不影響 積木位值的恆常關係，例如：一塊大立方體等於十張百格板等於一百條長 積木等於一千個小積木。 4.知覺變易原則（perceptual variability）：Dienes 的積木除了可以展現十進位 的位值概念，也可以展現五進位或二進位的位值概念。 （二）十進位數學積木的使用限制 要讓十進位數學積木有效的代表數目，讓學生注意積木和數字之間存在 的關係是很重要的（Fuson, 1992）。我們應該在具體操作中自然地把數學性質 交給孩子，因此應該先消除這些教具的外在特徵，以免影響孩子的學習。 Schoenfeld（1987）發現就算孩子透過教具而熟悉某些概念，但是他們仍然沒 有能力把這些概念運用到解題情境上。而且，只靠著這些教具，並不會使他
們發展出對這些觀念的洞察力（Resnick & Omanson, 1987）。例如：他們學數 字時，可能會「觀察」結構化的數棒（structure rods），這時他們會連帶地產 生一些概念，以及「大」和「小」；但是不見得可以把這種變化的情形聯想到 相關的數字概念。以所謂「由上而下」的研究觀點，已經具體化的形式數學 被放在「結構化」的教具裡，這些具體物並不能引導孩子注意應用的層面， 也不能幫助他們體會到圍繞在真實生活情境中的數學。 Gravemeijer（1997）指出這種具體物帶有的可觸摸的感覺，並不等於物 體本身的數學意義，這些物體本身具有的數學性質對孩子來說並不明顯。使 用這種操作具體物的方式並不是一個「由下而上」、學習者開始的學習歷程。 相反的，我們應該在具體物操作中自然地把數學性質教給孩子，因此應該先 消除這些教具的外在特徵，以免影響孩子學習數學（詹勳國、李震甌、莊蕙 元、戴政吉、侯美玲，2004）。 Dorward（2002）指出使用教具的成效與使用者的專業知能不足是有關聯 的。使用教具教數學時，教具應該是從具體到抽象學習數學的媒介，孩子必 須透過老師的幫助才能達到這個目標。許多兒童在具體的活動經驗與數學的 形式化之間的連結會有許多的困難，Hart 與 Sinkinson（1987）建議提供搭 橋（bridging）的過程，如圖形表徵作中介的表徵以解決這個問題。 綜而言之，教具在教導數學概念上扮演重要的溝通角色，但如何讓這個溝通 的角色在教學目的與學生認知搭起交流的橋樑，則有賴於教師專業的引導，才能 使教具發揮教學的功效。
第四節 虛擬教具
何謂「虛擬教具」？Moyer, Bolyard, 與 Spikell（2002）在文章中清楚指出中 虛擬教具的定義是：虛擬教具是一種互動的，網頁式的，動態物件的視覺表徵， 可以提供使用者一個機會去建構數學知識，由於此定義中明確清楚的指出虛擬教 具的特性（互動，網頁式，動態物件的視覺表徵及提供使用者一個機會去建構數 學知識），之後，所發表有關虛擬教具的論文，也大多以Moyer 等人的定義為主。 一、虛擬教具之優點與特色 Izydorczak（2003）曾對虛擬教具的功能整理出八項優點： 1.虛擬教具可以監控學習活動。 2.虛擬教具比實體教具更具有擴張性，如可以表現比1/100 更細微的分數概念， 實體教具因物理特性無法隨需要而轉變。 3.虛擬教具可呈現比實體教具更細微的概念，如位值概念以十位基底可互逆的積 木，十個ㄧ的積木轉換成一個十的積木，其中的化聚過程會讓學習者印象深刻。 4.虛擬教具比實體教具更易於操作，如操作拼圖或七巧板時，學生利用虛擬教具 可以拼得更專注、精準。 5.虛擬教具比實體教具更適合大班教學，因為實體教具的尺寸無法讓遠距離的學 習者看得很清楚；而虛擬教具可投影於大尺寸螢幕或轉播為多個畫面。 6.有些虛擬教具透過輔助說明的連結，可以更清楚表徵數學符號和程序。 7.購買實體教具有時會有經費限制問題，而虛擬教具軟體只需一份就可以提供多 人使用，且現在虛擬教具多半可以免費使用。 8.虛擬教具比傳統實體教具所產生班級管理的問題較少。
Moyer, Niezgoda, 與 Stanley（2005）在研究報告中指出在數學教具中，最常 用到的表徵為具體/創造（例如：實體教具）、圖片/影像、抽象/符號，每一種表徵 形式有助於及促進了解數學概念，因此，每一種表徵都不應取代另一種表徵。 而虛擬教具的表徵不是這三個表徵中的其中一個，虛擬教具可以供一張圖片如同 是視覺表徵，而這個圖片亦可同時被操弄，就是另一個具體/創造，在這個情況下， 虛擬教具可以同時有2 種的表徵，這是虛擬教具的好處。這些同時存在這些表徵， 透過輔助說明，可以更清楚的表徵數學符號和程序，換句話說，虛擬教具連結了 視覺表徵及數學符號表徵，提供了另一種教與學的過程（Izydorczak, 2003; Moyer,
Niezgoda, & Stanley, 2005; Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002; Suh, Moyer, & Heo, 2005）。
虛擬教具能夠在同一時間內提供多個單一的概念（Clements & McMillen, 1996; Heath, 2002; Keller, Wasburn-Moses & Hart, 2002; Moyer & Bolyard, 2002; Suh & Moyer, 2005）。Reimer 與 Moyer （2005）指出使圖形、數字和文字及其 它表徵同時出現在螢幕上，能讓學生有機會進行符號表徵之間的連結。有學者認 為，虛擬教具的這種特性可以促進知識的增長和移轉（Moyer, 2005）。 二、萬用揭示板 （一）萬用揭示板簡介 萬用揭示板（Magic Board）數學教學網由 95、96 年度國科會計畫補助建 置，計畫編號95-2520-S-033-003。計畫主持人為中原大學教育研究所袁媛教 授，目前的設計維護者是台北市博愛國小張世明教師。萬用揭示板目前所提 供的虛擬教具是以國小課程內較常使用的實體物件為複本，再物件化，程式 化，放置於網站，該網站所提供的虛擬教具種類相當的多，舉凡現國小廠商 配送給教師的實體教具，該網站都找的到相對應的虛擬教具（例如：秤、天 平、古氏積木、百格板、硬幣等等），是一個提供相當豐富資源的網站。目前 為免費使用，教師只要申請為會員後，可登入自由使用，網站內有許多教師 已打包製做好的教材，教師若有需要可直接下載，或者將別人的布題稍做修 改使用，相當便利。 袁媛、陳國龍與張世明（2007）指出，萬用揭示板具有以下的特色： 1.簡單易上手：因為萬用揭示板的元件只需運用滑鼠功能即可操作，不必教 師具備高深的資訊素養或繁複的使用步驟。 2.可培養運用別人所編教材或自編教材的能力：這是因為萬用揭示板的佈題 中心和教材中心具有資源分享的功能，教師可使用網站上的資源而不必擔
4.可配合數學單元進行教學：因為萬用揭示板的元件需由教師自行運用組織 教材，所以反而比一套已設計好的電子教材更具教學的彈性。 5.萬用揭示板具備傳統的白板或黑板功能，能呈現數學的動態教學過程：除 了元件的易操作性外，萬用揭示板的塗鴉筆可讓師生用滑鼠進行必要的書 寫。 6.萬用揭示板對特殊教育學生的學習有平面及立體視覺輔助效果：萬用揭示 板可讓學生在圖形、具體物、數學符號表徵上進行連結，有助於數學抽象 概念的學習。 （二）萬用揭示板應用在位值單位轉換教學設計 有一些形式的表徵，例如：圖表、圖形和符號表示……等，在數學教育 中都是一直被強調的部份，然而這一些表徵時常只是單獨的在教學中呈現， 這一種方式的教學，其實會將表徵這一個作為學習數學工具的力量限制住。 由於萬用揭示板的積木板具備多重動態表徵的功能，能讓圖形、具體物、數 學符號等表徵物同步呈現聯結，藉由滑鼠的控制，視窗環境將有視覺上的改 變，相較於實體的數學積木有立即、精準的回饋。動態及多重表徵連結提供 學習者強而有力的學習與知覺經驗，因此得以讓學習者形成動態連結的內在 表徵，使學習者的抽象概念能有知覺的基礎。而虛擬教具-積木板的動態連 結，可將概念中多重表徵一起呈現在畫面中。 萬用揭示板-積木板的多重動態表徵有三種表徵型態，如圖2-5所示： 1.半具體表徵—可實際操弄古氏積木的分解與合成。 2.數字表徵—對應古氏積木數量的變化。 3.定位板表徵—呈現位名和位置。
圖2-5 萬用揭示板-積木板功能 萬用揭示板-積木板在進行積木的合成和分解具有動態多重表徵的功能： 1.使用積木板的進位合成操作之動態多重表徵過程，如圖2-6所示： （a） （b） 數字表徵 定位板表徵 半具體表徵
擺放在個位方格，方格中同時呈現「1」和「11」數字表徵；按積木板右下方的 「自動鈕」，如圖2-6的（b）所示，11個白色積木其中的10個白色積木自動合成1 條橘色積木，如圖2-6的（c）所示將剛合成的1條橘色積木移動到位值板的十位方 格內，十位方格中的數字表徵同步呈現「2」。 2.使用積木板的退位分解操作之動態多重表徵過程，如圖2-7所示： （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2-7 萬用揭示板-積木板退位分解 圖2-7的（a）顯示，2片百格板擺放在定位板的百位方格中，百位方格中同時
呈現「2」數字表徵，如圖2-7的（b）所示，將1片百格板移到十位，百位方格數 字表徵由2改為1，十位方格中數字表徵由0改為10；如圖2-7的（c）所示將擺放在 十位的百格板按右鍵分解成10條橘色積木，如圖2-7的（d）所示再將1條橘色積木 移到個位，十位方格數字表徵由10改為9，個位方格中數字表徵由0改為10；如圖 2-7的（e）所示，接著將擺放在個位的橘色積木按右鍵分解成10個白色積木，如 圖2-7的（f）所示，把其中1個白色積木拖曳到定位板外圍，個位方格中數字表徵 由10改為9。教師可以藉著積木板的功能引導學生從不同的積木形式、不同位值 單位的數字中去尋找數值的不變性。 萬用揭示板-積木板，能將教學內容以多重表徵呈現，提供學習者在此動態變 化中，觀察及發覺某些現象，並且讓學生有較多的時間和專注力做概念性的思 考。本研究將利用萬用揭示板-積木板的特點，以位值單位轉換概念做為單元素 材，讓學生察覺與習得位值單位與積木間的關係。 三、虛擬教具的相關研究結果 虛擬教具雖然有諸多的優點，但到目前為止，在教室中使用虛擬教具的教學 研究仍十分有限，Young（2006）指出「對虛擬教具教學成效的正式研究，數量 其實很少」，可能的原因是教師欠缺使用虛擬教具從事數學教學的知能（Reimer & Moyer, 2005）。以下研究者將國內外國中以下使用虛擬教具學習數學的教學研 究分析整理。 （一）國外國中以下虛擬教具學習數學的教學相關研究
Steen, Brooks, 與 Lyon（2006）以準實驗研究法探究使用虛擬教具與實 體教具在數學成就測驗上是否有差異？研究結果顯示虛擬教具組在兩次的測 驗中，都有顯著的進步。虛擬教具組在兩次的前測成績低於控制組，雖兩次 的後測分數，兩組皆無顯著差異，但若從前後測的分數的進步量來看，虛擬 教具組與控制組在前後測的分數進步量是有顯著差異的。
愈強，則在後測的分數上，也有較高的成績。
Moyer, Niezgoda 與 Stanley（2005）以兩個行動研究，實證使用虛擬教 具的學習成效。虛擬教具在這兩個研究的教學過程中扮演具體物、圖形及符 號此三種表徵的橋樑。此兩項研究內容分述如下： 1.探討幼稚園兒童的類型製造活動：此研究對象為18 位分屬不同種族文化、 上全日班之幼稚園兒童。研究的目的在於了解使用類型積木、虛擬教具、 紙筆，對學生類型（重複型ABAB…、成長型AAB，ABC…）的創作變化 性和複雜性影響如何。維時三天的研究流程中，五位研究觀察者觀察到， 兒童使用虛擬教具時，表現出較多的創作類型、使用較多的積木數量來表 現每一種類型、全部積木的使用數量較多、創作類型較多元且較有變化、 創作特殊類型的人數最多，所以研究證明虛擬教具能提供學生學習創作類 型的機會。 2.探討二年級學生使用十進位虛擬積木的成效：此研究對象為19位分屬不同 種族文化之二年級學生。研究目的在於了解學生在使用過虛擬教具後如何 說明解題過程，尤其是十與一的化聚過程。研究發現學生使用過虛擬教具 後，更掌握了十位和個位之位值概念，且以位值計算方式取代了原本的點 數方法。
Olkun, Altun, 與 Smith（2005）以電腦程式模擬中國的七巧板，研究對
象為250 位五年級學生，學生來自於城市及鄉村的學校，學校實驗目的為比 較有使用電腦經驗的兒童，其數學成就會不會比較好？來自城市及鄉村的兒 童，在使用過電腦遊戲教學後，空間能力有何不同？使用電腦與不使用電腦 教學遊戲，對其空間能力有何影響？研究結果顯示擁有電腦及使用過電腦的 前測成績較好，但經過學習後，擁有電腦及使用電腦的經驗，與空間能力後 側成績，並沒有顯著差異，另一個結果顯示，使用電腦學習，在空間能力後 測成績，與未使用電腦學習的控制組比較，有顯著的差異。 Reimer 與 Moyer（2005）研究使用虛擬教具教學，以了解19位三年級學 生學習分數概念的效果。研究結果顯示，在概念性知識上，學生前後測分數 有顯著性差異，但在程序性知識上則無顯著性差異。從學生的態度量表分析 得知：學生喜歡虛擬教具立即回饋的機制；學生認為虛擬教具在使用上比鉛 筆及紙張更容易且快速；學生覺得使用虛擬教具學習數學感覺很愉悅。
Suh（2005）以分數的加法與等號的對稱性為主題，利用準實驗研究法比 較兩個小學三年級的班級，在輪流交錯使用虛擬教具和實體教具進行教學後 的教學成效。兩個班級的學生人數是36位，在原訂的教學時間中，以兩週的 時間完成教學實驗。隨機選取一個班級，在第一週的時間使用虛擬教具學習 分數的加法，第二週使用實體教具學習等號的對稱性。另一個班級則反之。 結果顯示，使用虛擬教具融入教學的學生表現都比實體教具組來得好。研究 者並且在質化與量化的分析中發現，使用分數的虛擬教具比實體教具更能讓 學生清楚計算的過程。另外，資訊科技的所獨有的立即回饋性，也是幫助虛 擬教具組的學生學好分數加法的重要原因。研究者下了兩個結論，一是設計 良好的虛擬教具在教學上能比其它的教學輔具發揮更大更好的影響力，二是 在某些數學主題中，設計良好的虛擬教具確實能對教學成效產生正面的影響。 Bolyard（2005）使用三種虛擬教具，想了解這些不同的虛擬教具在整數 的加減這個單元上，對學生的影響什麼?而使用虛擬教具是如何影響學生的概 念性知識? 研究結果顯示這三組，學生使用虛擬教具在整數加減法的前後測 上，皆有顯著性差異，也就是說，三種虛擬教具皆有助於學生學習。但三組 虛擬教具組，在前測、後測的分數上，三組間無顯著性差異。實驗中，學生 的能力（分低及高兩群）測驗成績與這三種教具形態無顯著關係。觀察記錄 分析顯示，學生可以自由的轉換（在文字，圖片及數學的抽象符號）。 Crossley（2003）使用 NLVM 虛擬教具，以分數這個單元，找出虛擬教 具與學生的學習成就是否有關係。研究結果顯示實驗的結果是虛擬教具對學 生的學習成就及態度並無顯著性影響。 Olkun（2003）以電腦程式模擬中國的七巧板，研究對象為四至五年級， 實驗目的為使用實體與電腦的七巧板，其在幾何測驗的成績上有何不同？研 究結果顯示學生在空間的後測分數上皆有增加，但實體與虛擬教具無顯著差 異。不論是實體教具或虛擬教具，與不使用教具組相較，則有顯著差異。
（二）國內國中以下虛擬教具學習數學的教學相關研究 彭健彰（2008）研究目的主要是藉由「萬用揭示板」教學輔具設計國小 四年級重量單元的教材，以此教材實際教學研究並探討此教材的教學成效。 研究結果顯示使用此教材教學的實驗組的後測平均得分比控制組高，且兩組 達到顯著差異。但實驗組的延後測平均得分雖比控制組高，但兩組未達顯著 差異。 林瑞蘭（2008）研究目的主要是藉由「萬用揭示板」虛擬教具設計國小 三年級的周長與面積的教材，以探討虛擬教具的教學成效。研究結果顯示實 驗結果顯示使用虛擬教具教材與學傳統實體教具相較，在後測及延後測上， 數學成就均達顯著差異。研究者認為：使用萬用揭示板做為輔助教具有助於 提升教師設計教材的能力及學生的數學學習的正向態度。 劉景聰（2008）研究目的藉由 NCTM 虛擬工具，將有關分數的 applet 中 文化，以Dreamweaver 整合製做網頁，進行分數補救教學，以探討虛擬教具 是否能成為有效的分數補救教學工具，以提供教師於進行分數補救教學之參 考，且提供學生進行分數學習的輔助工具。研究結果顯示：補救教學優於不 做補救教學，且使用虛擬教具優於使用傳統教具。研究者並在結論中提到： 對學習低成就學生，補救教學有其必要性；但使用虛擬教具於分數加法概念 無明顯幫助，仍要輔以適度紙筆練習。而學生對於虛擬教具融入分數補救教 學傾向於正向。 林文昌（2003）研究目的使用Flash設計「角度」、「角與圖形」的單元教 材，實驗組及控制組上的課程都一樣，只除了實驗組每週多上一節多媒體教 材課程，實驗目的為分析多媒體教材對數學成就測驗及態度的影響為何？研 究結果顯示接受融合網路多媒體教學的學童與一般傳統教學的學童相較，其 學習成效有顯著差異。雖教材製作未盡善盡美，但仍有高達有87﹪以上的小 朋友樂於使用；也有有94%的學生認為上課之餘，若能再配合網路多媒體的 學習，相信能了解課本的內容及含義。除此之外，研究者透過這次實驗研究 發：使用動畫教學，除了有刺激感官的效果之外，還可以補充解釋課本靜態 文字說明的不足，強化學習者理解與吸收。 以上的四個虛擬教具教學成效的研究，結果通常顯示使用虛擬教具的教 學成效比實體教具教學或不使用任何教具教學來得好，對虛擬教具的影響抱
持正面的肯定。所以，國內虛擬教具教學成效的研究也都比傳統的教具有顯 著的教學成效。 本研究根據Bruner、Lesh 等人和國內學者蔣治邦等人的對表徵的詮釋，來設 計「位值單位轉換概念-分分合合」的課程教材；參考 Bruner 的理論，提供虛擬 教具讓學生操弄，藉由虛擬教具擁有具體與圖片的表徵特色，循序漸進地引導學 生達到符號表徵的階段；參考Lesh 等人提出的五種表徵轉譯，藉由虛擬教具細 部設計可操弄模型，呈現圖形、書寫符號和個人經驗類似的虛擬情境，並在教學 中使用口語語言與學生溝通討論。測驗工具-「位值單位轉換概念測驗」則是參考 蔣智邦等人對於整數的學習活動是指具體物（或圖像）、數字與數詞三者之間的 轉換活動，將位值單位轉換概念參照南一版第五冊數學課本的題目表徵形式，將 位值單位轉換概念分為「數字表徵」、「古氏積木圖像表徵」、「錢幣圖像表徵」、「文 字表徵」等四種表徵形式。
第三章 研究方法
本研究旨在探討應用萬用揭示板設計位值單位轉換概念教學活動，並對位值 單位轉換學習落後學童進行補救學習之成效，由於受試學生皆有注意力不宜集中 的現象，個別的學習特質不同，不適合使用大樣本的實驗設計，故本研究採單一 受試跨個案多探試設計（single subject multiple probe across subjects design），探究 受試者接受「分分合合」教學實驗的立即學習效果及學習保留效果。
第一節 研究設計與流程
本研究實驗流程如圖3-1 所示： 圖3-1 研究流程圖 資料蒐集與閱讀文獻 收集基線資料 教學前準備 正式實驗階段 資料整理與分析 撰寫研究報告 決定研究方法、工具與對象 擬訂教學目標 設計教學活動教案 進行實驗教學 實施保留效果評量 進行教學成效調查表之訪談一、蒐集資料與閱讀文獻 與指導教授討論確定研究題目後，蒐集國內外有關位值教學、認知表徵、教 具的使用、虛擬教具等相關資料，以建立研究架構。 二、教學前準備階段 （一）決定研究方法、工具與對象 研究對象來源是經過自製位值單位轉換概念前測試卷（見附錄一）篩選 出符合本研究條件之三名受試者。研究工具使用袁媛教授所研發之虛擬教具 -「萬用揭示板」，設計「分分合合」課程以做為本研究之實驗教材。 （二）擬定教學目標 計畫使用「分分合合」課程教導受試者能做10000 以內各數位值單位的 換算。 （三）設計教學活動方案 本研究教學活動方案依據上述教學目標加以設計，並請專家及教學 實務工作者進行評估，以符合本研究之研究目的（見附錄三）。 三、正式實驗教學階段 （一）蒐集基線資料 在受試者在進行實驗教學之前，先進行三到五次的基線期位值單位轉換 概念測驗（見附錄四），以蒐集受試者在基線期的資料。 （二）進行實驗教學 本實驗教學共分成五個節次，每節「分分合合」課程結束後，即以介入 期位值單位轉換概念試卷（見附錄六）測量受試者的立即成效。
四、「分分合合」教學成效意見調查表 本研究於實驗教學結束後，由研究者個別訪談受試者，以研究者自編的教學 成效意見調查表（見附錄八）進行錄音訪談，以了解受試者在實驗過程的學習態 度。 五、資料處理分析階段 整理實驗階段資料成書面檔，將資料作成曲線圖，同時進行C 統計處理，以 了解本實驗教學對受試者的學習成效，並進行訪談分析以了解受試者對本實驗教 學的看法。 六、撰寫研究報告 將實驗結果進行分析討論，並以所蒐集到的文獻資料作解釋和比較。接續撰 寫研究報告結論與建議部分，並與指導教授、專業教師討論，修飾論文的內容， 最後提出研究報告。
第二節 實驗架構
本研究以「萬用揭示板」作為電腦輔助教學工具，設計「分分合合」課程來 教導位值單位轉換概念學習困難學生，課程概念分為「部分整體-合成」和「部分 整體-分解」二部份，並檢驗其位值概念學習立即和保留效果。研究架構圖如圖 3-2 所示：圖3-2 研究架構圖 一、自變項 本研究以「分分合合」的課程為自變項，即使用萬用揭示板設計課程對國小 四年級位值單位轉換概念學習困難學童進行教學實驗處理，探討其介入對依變項 所產生的效果。 二、依變項 本研究的依變項為評量在「分分合合」的課程教學後學習的立即效果和保留 效果，其評量如下： （一）立即效果： 指本研究對象接受「分分合合」實驗教學後之立即學習成效，利用施測 工具-「位值單位轉換概念」評量測驗的得分百分比作為立即學習成效的檢 核依據。 （二）保留效果 「分分合合」 課程 「位值單位轉 換概念」測驗得 分 1.整體表現 2.表徵題型 3.子概念題型 自變項 依變項 1.教學者 2.教學時間 3.教學地點 4.教學方式 5.評量者 6.評量方式 7.評量地點 控制變項 單一受試跨個案多探試實驗設計
（三）控制變項 影響實驗變項的因素相當複雜，為了提高本實驗的內在效度，需要盡可能 掌握無關變項，其控制變項如下： 1.教學者：實驗階段所有教學活動均由研究者擔任，避免因不同教學者的個 人特質、學習的氣氛營造有所偏差。 2.教學時間：教學時間為每週五節，進行一週，每節四十分鐘，共計五節， 教學地點在電腦教室。 3.教學方式：本研究在實驗處理期實施五節課，在教學程序與步驟皆以「分 分合合」課程作為實驗處理期之主要教學法，避免因教學方法不同影響到 實驗結果。 4.評量者：從基線期、介入期到保留期，皆使用符合效度之自製試卷評量， 評分者由研究者及另一名國小正式老師擔任。 5.評量方式與地點：評量的方式分為基線期測驗、介入期測驗和保留期測驗 三部份，從受試者的得分百分比即可得知作答正確率的百分比。 另外，為了避免受試者在不同環境產生不同的情緒反應，而導致測驗結果之 誤差，本研究各項測驗皆在電腦教室進行。
第三節 實驗設計
本研究採用「跨受試者多探試設計」，目的在觀察「分分合合」課程分別在 三位不同受試者身上所產生的學習效果。且考量到冗長的基線階段可能會對受試 者造成嫌惡的經驗以致於損害到資料的效度（杜正治，1994）。因此對未開始介 入之基線資料採用間斷蒐集方式，直到教學前才連續收集學生的資料。茲就處理 方式說明如下： 一、基線期（A） 此階段不進行任何教學的處理，主要蒐集受試者在基線期位值單位轉換概念 測驗上的表現。蒐集的方式為先對受試者甲進行連續性的資料蒐集，當資料呈現 穩定水準或趨向時，則實施教學介入；在此時，受試者乙與受試者丙則實施每週 一次的間斷式資料蒐集，則當受試者甲資料達到預定水準且呈穩定狀態後，受試 者乙則進行至少三次連續性的測驗，而受試者丙仍持續每週一次測驗；同樣，當 受試者乙進入教學處理資料達到預定水準且呈穩定狀態後，受試者丙則進行至少三次連續性的資料蒐集工作。 二、介入期（B） 當受試者甲基線呈現穩定水準時則實施教學介入，每一節次為四十分鐘，每 週安排五個節次，並於每個教學結束後進行介入期位值單位轉換概念測驗評量， 且最後學生的精熟學習標準需呈現穩定水準時使可進入追蹤期；同樣地，當受試 者甲的教學結束後且受試者乙的基準線呈現穩定的狀態，則再對受試者乙進行教 學實驗，其標準如同受試者甲；待受試者乙教學告一個段落且受試者丙基準線呈 現穩定後，則進行受試者丙的教學處理。 三、保留期（C） 在實驗課程結束後一週，對受試者實施四次的保留期位值單位轉換概念測 驗，以觀察受試者是否能維持教學介入的效果。 本研究之實驗處理階段時間分配如下圖3-3：
圖3-3 跨個案多探試設計
