第一章 緒論
第一節 問題背景與研究動機
研究者在參加學校幾位數學科教師共同組成的讀書會研討中，共讀並分享對
「數學與頭腦相遇的地方」(丘宏義譯，民 89)一書的心得。該書的原作者柯爾(K.
C. Cole)認為在過去我們甚少有接觸到極大數字或極小數字的經驗，但在資訊發 達的現代社會中，舉凡複利、人口爆炸、細菌增殖、地震強度、通貨膨脹、傳染 病的蔓延、能量的消耗、核爆等，都呈現指數式放大的形式(邱宏義譯，民 89，
頁 27～32)。我們很容易透過新聞媒介、教育傳播或日常生活中接觸到如上億(大 樂透的彩金)、上兆(國債)等極大數字，或是奈米、微米等極小數字，在科技日新 月異的現代，我們有必要教導學生認識並使用指數或科學記號表示很大的數或很 小的數，例如光在真空中行進的速率是 3×108公尺/秒，1 奈米等於 1×10－9公尺。
民國 100 年 6 月，新北市針對 99 學年度入學之全市國一學生(含完全中學、
私立學校)共 43634 人進行數學基本能力檢測，結果發現新北市國一學生數學各 知識向度表現結果如下表 1-1：
表 1-1
新北市國一學生數學各知識向度表現結果
知識向度 題號 全市通過率(％)
01.一元一次式 2、10 74.90
02.二元一次式 11、19 72.97
03.不等式 12、23 68.06
04.比與比例式 18、21、26 64.25 05.正負數與四則運算 3、5、16 67.93
06.函數 7、15、25 71.05
07.因數與倍數 8、9、13 68.29
08.直角坐標 17、22 66.20
09.指數律 4、14、24 57.17
10.分數 6、20 59.41
資料來源：新北市國中數學輔導團(民 100)。99 學年度國中七年級學生數學基本 能力檢測報告(頁 30)，新北市教育研究發展中心，取自
http://edutest.ntpc.edu.tw/mediafile/770/knowledge/31/19/79/2012-1-2-16-15-37-nf1.
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由表中可看出指數律與分數這兩部分的通過率均低於 60％，其中指數律更 是通過率最低的項目，這個現象引起了研究者的注意與好奇。這次檢測中，指數 律知識向度的題目共設計了如下的三題：
第 4 題
某種 A 物體 1 個的質量約為1.61019公克，請問41023個 A 物體的質量約為 多少公克？
(A) 6.4×105 (B) 6.4×104 (C) 6.4×10-42 (D) 4×10 -43 正確答案：(B)
通過率 答(A) % 答(B) % 答(C) % 答(D) % 69.32% 5.44% 69.32% 18.22% 6.64%
第 14 題 52
可以表示成下列何者？
(A) (5 5) (B) (5 2) (C) ( 5) ( 5) (D) － (5 5) 正確答案：(D)
通過率 答(A) % 答(B) % 答(C) % 答(D) % 48.23% 3.18% 5.41% 42.95% 48.23%
第 24 題
計算113113111112之值為何？
(A) 0 (B) 11
1
(C) 11 (D) 2
1
正確答案：(B)
通過率 答(A) % 答(B) % 答(C) % 答(D) % 53.95% 17.78% 53.95% 16.08% 11.80%
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這三題中除了第 4 題的答對率接近 70％，其餘兩題的答對率都低於 60％，
第 14 題的答對率更不到 50％，一般學校教師在課程進度壓力下，指數律單元通 常都是 3～4 節課就教完，學生再經過大量的演練將計算程序與公式口訣記熟，
就覺得學生已具備指數的概念與運算規律的基本知識。
在學習指數時，許多學生對於指數符號與意義之間仍無法有正確的連結，因 此以乘法的舊經驗去理解指數，誤認為 23等於 2×3。在國一指數運算規律學習 中，因指數律的規則有 am×an＝am+n、am÷an＝am-n、(am)n＝am×n、(a×b)n＝an×bn、 (a÷b)n＝an÷bn五個之多，學生常因不理解這些規律背後的原因或僅記憶部分口訣 公式規則而造成錯誤，以下是研究者實際教學現場發生的現象：
(學生編號：S010，訪談時間：100 年 9 月 27 日) 老師：請問 35×36＝？
學生：911。
老師：為什麼等於 911？
學生：上面是 5＋6＝11，下面是 3×3＝9，所以就是 911啊。
老師：你還記得課堂上的這個指數律規則是什麼嗎？
學生：就是指數相加，底數相乘吧。
老師：那為何指數要相加？又為何底數要相乘？
學生：就是公式吧。
此類學生並不理解指數運算規律的原因，只以機械式記憶死背規則來解題，
記憶部分口訣公式的結果，就容易產生上述錯誤了。到學習零指數與負整數指數 時，學生發生的學習困難就更大了，Skemp (1987)提到在學習指數時，有兩個明 顯不同的階段，自然數指數的意義是非常明顯的，但到零指數和負指數時，引入 新定義(或者說擴大定義)不應該破壞原來定義所具有的公式或性質。這對於國一 學生而言是非常抽象且不易理解的，因此學生常犯以下的錯誤：
(學生編號：S036，訪談時間：100 年 9 月 29 日) 老師：請問 30是多少？
學生：30就是 0。
老師：為什麼？
學生：30表示有 0 個 3 相乘，0 就是沒有，所以就是 0。
這類學生從正整數指數的定義去類推零指數，而非由擴大定義時應符合指數
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律規則去理解，就算學生記得任意非零的數的 0 次方都是 1，也不表示學生真正 理解零指數的意義，在實際教學現場也常發生下列現象：
(學生編號：S018，訪談時間：100 年 9 月 29 日) 老師：請問 30是多少？
學生：30等於 1。
老師：為什麼 30等於 1？
學生：因為除了 0 以外，任何數的 0 次方都等於 1。
老師：對，那你知道為什麼除了 0 以外，任何數的 0 次方都等於 1 的原因嗎？
學生：不是規定嗎？
老師：為什麼要這樣規定？
學生：不知道。
在負指數的學習上，對學生而言就更加抽象與難以理解了，部分學生會誤認 為 3－2是負數。如何讓學生有意義的學習並理解指數的意義、運算和指數律規則 就是本研究主要的課題，對於學習低成就的學生，學習數學本來就已經是無趣且 厭煩的，如果還要求學生死背一堆規則公式，靠著做大量的練習題機械式的熟練 計算程序與規則，只會使學生更加厭惡數學，況且，以形式記憶背誦下的知識很 容易隨時間增長而遺忘。
此外，指數概念與運算規則的學習對於學生日後的數學學習占有關鍵的地 位，國一學生在學習科學記號的表示法，以及標準分解式、質因數分解求最大公 因數或最小公倍數時，均要能以指數形式表示，國二學生在學習方根化簡、乘法 公式、多項式的乘除運算、一元二次方程式求解，以及國三學生在學習二次函數 都必須具備指數概念與運算規律的基礎，才能順利學習，到高中學習對數單元 時，指數概念與指數律運算規則更是重要的先備知識。
民國 100 年馬英九總統在建國百年元旦宣示十二年國民基本教育開始啟 動，教育部規畫於民國 103 年起正式推動十二年國民基本教育之政策目標為：
一、提升國民素質，增進國家競爭力；二、促進教育機會均等，實現社會公平正 義；三、縮小教育落差，均衡城鄉發展；四、紓緩升學壓力，引導學生適性發展，
期使國中教學正常化、適性輔導與品質提升。然而如何能達到此目標？全國教師
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會劉欽旭認為，推動十二年國民教育的重要關鍵在於國中「適性輔導」與「補救 教學」的落實。前教育部長林清江（民 87）指出「希望國民教育能有較根本的 改進，要從三個環節去進行：一、評量方法的改變，也就是考試制度的改變；二、
課程的改變；三、教學方法的改變。」，從教學歷程來看，教學和評量乃一體兩 面，缺一不可，需透過評量來瞭解教學成效，教師才能不斷地改進其教學；需透 過評量結果，師長及學生本身才能了解他的學習情形，進而調整學生個人的學習 策略（鄭富森，民 86）。Ashlock (1986)，Brown and Burton (1978)指出分析學生 錯誤類型的過程對學生及教師都是有助益的，教師可藉由錯誤類型的分析得知學 生常犯哪些系統性的錯誤，來修正教師的教學。教師經由詳實的錯誤類型分析可 發現學生的學習困難，並瞭解學生錯誤形成的可能原因，當學生在指數概念發生 學習困難時，教師若能經由診斷測驗以分析學生對指數概念學習上的錯誤類型及 形成錯誤的原因，再依據學生主要的錯誤類型及形成原因設計適合且有效的補救 教學計畫，幫助學生改正在指數概念及運算上的學習錯誤，釐清迷思概念，期使 學生能跟上班級的教學進度，且對於日後相關數學概念的學習與高中的銜接，能 減少學習困難與障礙。本研究希望經由探討國中生在指數概念學習上的錯誤類型 與分析形成錯誤的原因，設計補教教學方案並分析補救教學後的成效結果，提供 給日後數學教育工作者參考。
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