國一學生在指數學習的主要錯誤類型及其補救教學之研究

296  Download (0)

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授: 曹 博 盛. 博士. 國一學生在指數學習的主要錯誤類型 及其補救教學之研究. 研究生: 林 信 宏. 中 華 民 國 一 百 零 二 年 六 月.

(2) 摘. 要. 本研究目的在探討國一學生在學習「指數的概念、運算及指數律」後,會 出現哪些主要的錯誤類型,本研究採二階段評量來診斷學生在指數學習的錯誤, 先針對 105 位學生進行兩次開放性試題施測,編製成二階段試題,然後針對 110 位學生進行兩次二階段評量試題預試,發展出二階段評量前測試題,再針對 342 位學生施測發展平行試題(複本信度的百分比一致性 PA 為 0.912),前測試題測得 的 Cronbach’s α 係數為 0.773,後測試題測得的 Cronbach’s α 係數為 0.767,試題 皆具有良好的信度與效度。 根據研究結果,國一學生在學習指數概念、運算及指數律共有 13 種主要錯 誤類型,依指數單元內容歸納為四大類:A.指數概念上共有 5 種錯誤類型,B. 指數加減運算上共有 2 種錯誤類型,C.指數律概念上共有 4 種錯誤類型,D.指數 律應用上共有 2 種錯誤類型。分析學生在這 13 種主要錯誤類型犯錯的成因共有 29 個,並將這些成因歸納為五大類:(一)將先前的經驗做過度類推,(二)受到新 的學習經驗干擾,(三)受教師教學口訣的影響或片面記憶部分口訣,(四)不了解 指數律規則而臆造公式,(五)忽視或誤用條件。 本研究在補救教學活動與教材設計的主要原則為:1.針對學生錯誤的原因, 擬定補救教學目標、教材與活動。2.以學生既有的舊知識和舊經驗為基礎,讓學 生將新知識或新概念與這些舊知識或舊經驗做連結。3.設計問題促成學生產生認 知衝突,引起學生學習新概念的需求感。4.提供學生學習過程中所需的鷹架,協 助學生改正錯誤概念。5.先以正例和非例呈現教材範例,讓學生得到正確的概 念,再以文字符號描述屬性使學生獲得概念的同化。 就補救教學的成效而言,學生在後測錯誤類型的犯錯率均顯著低於前測, 顯示補救教學活動對改善學生在指數學習常犯的錯誤具有良好成效。且學生於後 測、延後測的答題情形差異均不大,說明補救教學經一段時間後,學生的學習具 有不錯的保留效果。 關鍵字:指數、指數律、錯誤類型、二階段評量、補救教學.

(3) 國一學生在指數學習的主要錯誤類型 及其補救教學之研究 目. 錄. 第一章 緒論 第一節 問題背景與研究動機. ……………………………………………. 1. 第二節 研究目的與研究問題. ……………………………………………. 6. …………………………………………………………. 7. 第三節 名詞界定. 第二章 文獻探討 第一節 數學概念學習與教學之探討. ……………………………………. 9. 第二節 二階段評量工具的發展與應用. ………………………………… 15. 第三節 錯誤類型及其成因之相關研究. ………………………………… 22. 第四節 補救教學之探討. ………………………………………………… 25. 第五節 指數相關研究之探討. …………………………………………… 33. 第三章 研究方法 第一節 研究設計. ………………………………………………………… 43. 第二節 研究對象. ………………………………………………………… 46. 第三節 研究工具. ………………………………………………………… 48. 第四節 研究步驟與流程 第五節 研究限制. ………………………………………………… 89. ………………………………………………………… 94. 第四章 研究結果之分析與探討 第一節 國一學生在指數概念學習的主要錯誤類型. …………………… 95. 第二節 錯誤類型產生成因之分析 ……………………………………… 100 第三節 學生在補救教學活動之前測、後測結果分析 ……………………119 i.

(4) 第四節 學生在補救教學活動之後測、延後測結果分析 …………………142 第五節 補救教學結果之綜合分析. ………………………………………157. 第五章 結論與建議 第一節 結論. ………………………………………………………………161. 第二節 檢討與建議. ………………………………………………………170. 參考文獻 中文部份. ………………………………………………………………… 178. 英文部分. ………………………………………………………………… 183. 附錄 附錄一. 「指數的概念與指數運算測驗」開放性試題(一). 附錄二. 「指數的概念與指數運算測驗」開放性試題(二) …………192. 附錄三. 「指數的概念與指數運算測驗」試題發展統計資料 ………196. 附錄四. 「指數的概念與指數運算」前測(延後測)試題 ……………218. 附錄五. 「指數的概念與指數運算」後測試題 ………………………224. 附錄六. 「指數概念、運算及指數律」補救教學活動設計表 ………230. 附錄七. 「指數的意義、運算及指數律規則」補救教學教材 ………237. 附錄八. 細菌分裂實例簡報. …………188. …………………………………………271. 附錄九. 「指數的意義、運算及指數律規則」隨堂測驗 ……………272. 附錄十. 「指數的意義、運算及指數律規則」補救教學教案設計 …276. 附錄十一. 國中指數的概念與運算的概念圖與相關連結 …………… 287. 附錄十二. 指數律的概念圖 …………………………………………… 288. ii.

(5) 表次 表 1-1. 新北市國一學生數學各知識向度表現結果 …………………… 1. 表 2-1. Ausubel 的學習分類表. 表 2-2. 計數和分裂的世界的特徵. 表 3-1. 各項變因. 表 3-2. 「補救教學」各班級成員分布表. 表 3-3. 指數的概念與指數運算開放性試題(一)雙向細目表 ………… 48. 表 3-4. 指數律開放性試題(一)雙向細目表 …………………………… 49. 表 3-5. 指數的概念與指數運算開放性試題(一)各題資料參考來源表… 49. 表 3-6. 指數概念與指數運算測驗開放性試題(一)各題答對率 ……… 50. 表 3-7. 指數概念與運算的教學目標、評量目標與對應的開放性試題(二) 的題號. ………………………………………… 26 …………………………………… 34. ……………………………………………………… 44 …………………………… 47. ………………………………………………………… 53. 表 3-8. 指數的概念開放性試題(二)雙向細目表 ……………………… 55. 表 3-9. 指數的運算開放性試題(二)雙向細目表 ……………………… 55. 表 3-10. 指數概念與指數運算測驗開放性試題(二)各題答對率 ……… 56. 表 3-11 開放性試題發展為二階段試題範例一 ………………………… 57 表 3-12. 開放性試題發展為二階段試題範例二 ………………………… 58. 表 3-13. 指數的概念前測試題雙向細目表. …………………………… 61. 表 3-14. 指數的運算前測試題雙向細目表. …………………………… 61. 表 3-15. 前測、後測各題答題的一致率. 表 3-16. 前測、後測的複本信度係數. ……………………………… 62 ………………………………… 63. 表 3-17 「指數的概念與運算」二階段評量試題選項與錯誤類型之對照表 …………………………………………………………………… 63 表 3-18a. 指數的概念錯誤類型及其原因之對照表. …………………… 65. 表 3-18b. 指數的加減錯誤類型及其原因之對照表. …………………… 66. iii.

(6) 表 3-18c 指數律錯誤類型及其原因之對照表 …………………………… 67 表 3-18d 指數律的應用錯誤類型及其原因之對照表 …………………… 68 表 3-19. 補救教學教材與康軒版教科書的差異比較表 ………………… 73. 表 3-20. 補救教學實驗前導研究之上課時間與單元 …………………… 77. 表 3-21. 授課節數分配表. 表 3-22. 指數概念、運算及指數律補救教學活動設計簡表 …………… 85. 表 4-1. 指數概念、運算及指數律錯誤類型驗證性因素分析編碼對照表. ……………………………………………… 78. …………………………………………………………………… 98 表 4-2. 錯誤類型驗證性因素分析結果 ………………………………… 99. 表 4-3. 國一學生在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題之犯錯率 …………………………………………………………………… 100. 表 4-4. 預試學生與補救教學學生在「指數的概念與指數運算」二階段評 量試題之犯錯率 ……………………………………………… 117. 表 4-5. 前、後測各題答題正確率及答題差異情形 …………………… 119. 表 4-6. 後測答題正確率未達 70%的題目 …………………………… 120. 表 4-7. 後測答題正確率達 90%以上的題目 ………………………… 122. 表 4-8. 個人於前、後測答題正確率及差異情形比較表 …………… 126. 表 4-9. 後測答題正確率達 100%的學生在前測各題答題情形及選擇理由 表 ……………………………………………………………… 128. 表 4-10. 後測答題正確率低於 70%的學生在前測各題答題情形及選擇理 由表 …………………………………………………………… 129. 表 4-11(a)前、後測各個學生所犯的錯誤類型 ………………………… 129 表 4-11(b)前、後測各個學生所犯的錯誤類型 ………………………… 131 表 4-11(c)前、後測各個學生所犯的錯誤類型 ………………………… 132 表 4-12. 前、後測的各主要錯誤類型犯錯率及其差異情形比較表 … 133. iv.

(7) 表 4-13. 後測、延後測各題答題正確率及答題差異情形 …………… 142. 表 4-14. 第 6 題及第 14 題前測、延後測答題正確率及答題差異情形…144. 表 4-15. 個人於後測、延後測答題正確率及差異情形 …………………146. 表 4-16. 後測答對但延後測答錯之題號次數分配表 ……………………147. 表 4-17(a) 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型 ……………………150 表 4-17(b) 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型 ……………………151 表 4-17(c) 後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型 ……………………152 表 4-18. 後測、延後測的各主要錯誤類型犯錯率及其差異情形比較表 …………………………………………………………………… 154. 表 4-19. 後測、延後測犯錯率差距超過 10%的錯誤類型 …………… 156. 表 4-20. 前測、後測、延後測各錯誤類型答題正確率做 McNemar Test 的 結果 …………………………………………………………… 157. v.

(8) 圖次 圖 2-1. 二階段評量試題的型態 ………………………………………… 15. 圖 2-2. 孩童在操場面積問題的條列 …………………………………… 33. 圖 2-3. 3 次 2-分裂的樹狀圖 …………………………………………… 35. 圖 3-1. 實驗設計模式. 圖 3-2. 乘方表格規律學習鷹架範例圖 ………………………………… 70. 圖 3-3. 指數律學習鷹架範例圖 ………………………………………… 71. 圖 3-4. 研究步驟流程圖 ………………………………………………… 89. 圖 4-1. 指數概念、運算及指數律錯誤類型驗證性因素分析模式圖. ………………………………………………… 44. …………………………………………………………………… 97 圖 4-2. 前、後測的各題答題正確率折線圖. …………………………120. 圖 4-3. 個人於前、後測答題正確率折線圖. …………………………127. 圖 4-4. 前測、後測各錯誤類型犯錯率折線圖 …………………………134. 圖 4-5. 後測、延後測各題答題正確率折線圖 …………………………143. 圖 4-6. 個人於後測、延後測答題正確率折線圖 ………………………147. 圖 4-7. 後測、延後測各錯誤類型犯錯率折線圖 ………………………155. 圖 4-8. 前測、後測、延後測各錯誤類型犯錯率折線圖 ………………158. vi.

(9) 第一章. 緒論. 第一節 問題背景與研究動機 研究者在參加學校幾位數學科教師共同組成的讀書會研討中,共讀並分享對 「數學與頭腦相遇的地方」(丘宏義譯,民 89)一書的心得。該書的原作者柯爾(K. C. Cole)認為在過去我們甚少有接觸到極大數字或極小數字的經驗,但在資訊發 達的現代社會中,舉凡複利、人口爆炸、細菌增殖、地震強度、通貨膨脹、傳染 病的蔓延、能量的消耗、核爆等,都呈現指數式放大的形式(邱宏義譯,民 89, 頁 27~32)。我們很容易透過新聞媒介、教育傳播或日常生活中接觸到如上億(大 樂透的彩金)、上兆(國債)等極大數字,或是奈米、微米等極小數字,在科技日新 月異的現代,我們有必要教導學生認識並使用指數或科學記號表示很大的數或很 小的數,例如光在真空中行進的速率是 3×108 公尺/秒,1 奈米等於 1×10-9 公尺。 民國 100 年 6 月,新北市針對 99 學年度入學之全市國一學生(含完全中學、 私立學校)共 43634 人進行數學基本能力檢測,結果發現新北市國一學生數學各 知識向度表現結果如下表 1-1: 表 1-1 新北市國一學生數學各知識向度表現結果 知識向度. 題號. 全市通過率(%). 01.一元一次式. 2、10. 74.90. 02.二元一次式. 11、19. 72.97. 03.不等式. 12、23. 68.06. 18、21、26. 64.25. 05.正負數與四則運算. 3、5、16. 67.93. 06.函數. 7、15、25. 71.05. 07.因數與倍數. 8、9、13. 68.29. 17、22. 66.20. 4、14、24. 57.17. 04.比與比例式. 08.直角坐標 09.指數律. 10.分數 6、20 59.41 資料來源:新北市國中數學輔導團(民 100)。99 學年度國中七年級學生數學基本 能力檢測報告(頁 30),新北市教育研究發展中心,取自 http://edutest.ntpc.edu.tw/mediafile/770/knowledge/31/19/79/2012-1-2-16-15-37-nf1. pdf 1.

(10) 由表中可看出指數律與分數這兩部分的通過率均低於 60%,其中指數律更 是通過率最低的項目,這個現象引起了研究者的注意與好奇。這次檢測中,指數 律知識向度的題目共設計了如下的三題: 第4題 某種 A 物體 1 個的質量約為 1.6  10 19 公克,請問 4  10 23 個 A 物體的質量約為 多少公克? (A) 6.4×105 (B) 6.4×104 (C) 6.4×10-42 (D) 4×10 -43 正確答案:(B) 通過率 69.32%. 答(A) % 5.44%. 答(B) % 69.32%. 答(C) % 18.22%. 答(D) % 6.64%. 答(B) % 5.41%. 答(C) % 42.95%. 答(D) % 48.23%. 答(B) % 53.95%. 答(C) % 16.08%. 答(D) % 11.80%. 第 14 題.  52 可以表示成下列何者? (A) (5  5) (B) (5  2) (C) (  5)  (5) (D) - (5  5) 正確答案:(D) 通過率 48.23%. 答(A) % 3.18%. 第 24 題 計算 113 113 111  112 之值為何? (A) 0 (B). 1 11. (C) 11 (D). 1 2. 正確答案:(B) 通過率 53.95%. 答(A) % 17.78%. 2.

(11) 這三題中除了第 4 題的答對率接近 70%,其餘兩題的答對率都低於 60%, 第 14 題的答對率更不到 50%,一般學校教師在課程進度壓力下,指數律單元通 常都是 3~4 節課就教完,學生再經過大量的演練將計算程序與公式口訣記熟, 就覺得學生已具備指數的概念與運算規律的基本知識。 在學習指數時,許多學生對於指數符號與意義之間仍無法有正確的連結,因 3. 此以乘法的舊經驗去理解指數,誤認為 2 等於 2×3。在國一指數運算規律學習 m. n. 中,因指數律的規則有 a ×a =a n. n. m+n. m. n. 、a ÷a =a. m-n. m n. 、(a ) =a. m×n. n. n. n. 、(a×b) =a ×b 、. n. (a÷b) =a ÷b 五個之多,學生常因不理解這些規律背後的原因或僅記憶部分口訣 公式規則而造成錯誤,以下是研究者實際教學現場發生的現象: (學生編號:S010,訪談時間:100 年 9 月 27 日) 5. 6. 老師:請問 3 ×3 =? 11. 學生:9 。 11. 老師:為什麼等於 9 ? 學生:上面是 5+6=11,下面是 3×3=9,所以就是 911 啊。 老師:你還記得課堂上的這個指數律規則是什麼嗎? 學生:就是指數相加,底數相乘吧。 老師:那為何指數要相加?又為何底數要相乘? 學生:就是公式吧。. 此類學生並不理解指數運算規律的原因,只以機械式記憶死背規則來解題, 記憶部分口訣公式的結果,就容易產生上述錯誤了。到學習零指數與負整數指數 時,學生發生的學習困難就更大了,Skemp (1987)提到在學習指數時,有兩個明 顯不同的階段,自然數指數的意義是非常明顯的,但到零指數和負指數時,引入 新定義(或者說擴大定義)不應該破壞原來定義所具有的公式或性質。這對於國一 學生而言是非常抽象且不易理解的,因此學生常犯以下的錯誤: (學生編號:S036,訪談時間:100 年 9 月 29 日) 0. 老師:請問 3 是多少? 0. 學生:3 就是 0。 老師:為什麼? 0. 學生:3 表示有 0 個 3 相乘,0 就是沒有,所以就是 0。. 這類學生從正整數指數的定義去類推零指數,而非由擴大定義時應符合指數 3.

(12) 律規則去理解,就算學生記得任意非零的數的 0 次方都是 1,也不表示學生真正 理解零指數的意義,在實際教學現場也常發生下列現象: (學生編號:S018,訪談時間:100 年 9 月 29 日) 0. 老師:請問 3 是多少? 0. 學生:3 等於 1。 0. 老師:為什麼 3 等於 1? 學生:因為除了 0 以外,任何數的 0 次方都等於 1。 老師:對,那你知道為什麼除了 0 以外,任何數的 0 次方都等於 1 的原因嗎? 學生:不是規定嗎? 老師:為什麼要這樣規定? 學生:不知道。. 在負指數的學習上,對學生而言就更加抽象與難以理解了,部分學生會誤認 -2. 為3. 是負數。如何讓學生有意義的學習並理解指數的意義、運算和指數律規則. 就是本研究主要的課題,對於學習低成就的學生,學習數學本來就已經是無趣且 厭煩的,如果還要求學生死背一堆規則公式,靠著做大量的練習題機械式的熟練 計算程序與規則,只會使學生更加厭惡數學,況且,以形式記憶背誦下的知識很 容易隨時間增長而遺忘。 此外,指數概念與運算規則的學習對於學生日後的數學學習占有關鍵的地 位,國一學生在學習科學記號的表示法,以及標準分解式、質因數分解求最大公 因數或最小公倍數時,均要能以指數形式表示,國二學生在學習方根化簡、乘法 公式、多項式的乘除運算、一元二次方程式求解,以及國三學生在學習二次函數 都必須具備指數概念與運算規律的基礎,才能順利學習,到高中學習對數單元 時,指數概念與指數律運算規則更是重要的先備知識。 民國 100 年馬英九總統在建國百年元旦宣示十二年國民基本教育開始啟 動,教育部規畫於民國 103 年起正式推動十二年國民基本教育之政策目標為: 一、提升國民素質,增進國家競爭力;二、促進教育機會均等,實現社會公平正 義;三、縮小教育落差,均衡城鄉發展;四、紓緩升學壓力,引導學生適性發展, 期使國中教學正常化、適性輔導與品質提升。然而如何能達到此目標?全國教師. 4.

(13) 會劉欽旭認為,推動十二年國民教育的重要關鍵在於國中「適性輔導」與「補救 教學」的落實。前教育部長林清江(民 87)指出「希望國民教育能有較根本的 改進,要從三個環節去進行:一、評量方法的改變,也就是考試制度的改變;二、 課程的改變;三、教學方法的改變。」,從教學歷程來看,教學和評量乃一體兩 面,缺一不可,需透過評量來瞭解教學成效,教師才能不斷地改進其教學;需透 過評量結果,師長及學生本身才能了解他的學習情形,進而調整學生個人的學習 策略(鄭富森,民 86)。Ashlock (1986),Brown and Burton (1978)指出分析學生 錯誤類型的過程對學生及教師都是有助益的,教師可藉由錯誤類型的分析得知學 生常犯哪些系統性的錯誤,來修正教師的教學。教師經由詳實的錯誤類型分析可 發現學生的學習困難,並瞭解學生錯誤形成的可能原因,當學生在指數概念發生 學習困難時,教師若能經由診斷測驗以分析學生對指數概念學習上的錯誤類型及 形成錯誤的原因,再依據學生主要的錯誤類型及形成原因設計適合且有效的補救 教學計畫,幫助學生改正在指數概念及運算上的學習錯誤,釐清迷思概念,期使 學生能跟上班級的教學進度,且對於日後相關數學概念的學習與高中的銜接,能 減少學習困難與障礙。本研究希望經由探討國中生在指數概念學習上的錯誤類型 與分析形成錯誤的原因,設計補教教學方案並分析補救教學後的成效結果,提供 給日後數學教育工作者參考。. 5.

(14) 第二節 研究目的與研究問題 基於以上研究動機,本研究主要的研究目的在探討國一學生在學過『指數律』 單元的課程後,對於指數的意義、運算及指數律的規則在學習過程中會出現哪些 主要錯誤類型,並探討錯誤概念形成的原因。其後針對學生主要錯誤類型形成之 原因設計補救教學教材,實施補救教學活動以改正學生的錯誤。 因此本研究主要的待答問題如下: 1. 國一學生在學過『指數律』單元的課程後,對於指數的意義、運算與指數律 學習上可能出現哪些主要錯誤類型? 2. 這些錯誤概念形成的原因為何? 3. 如何針對學生主要錯誤類型設計補救教學教材? 4. 經補救教學後,學生的錯誤改善成效如何? 5. 經補救教學一段時間後,學生對指數的意義、運算與指數律的學習保留情形 如何?. 6.

(15) 第三節 名詞界定 1.指數學習:本研究所提及之指數學習,其內容涵蓋指數的概念、指數運算及 指數律規則之學習。 2.指數(exponent):本研究所提及之指數乃國中階段底數為有理數,指數為正整 數、0 或負整數之形式。 3.乘方(power):本研究所提及之乘方係指將相同的數連乘多次的連乘積,如相 n. n. 同的數 a 連乘 n 次時,簡記為 a ,a 即稱為乘方,讀作 a 的 n 次方,其中相 同的乘數 a 叫做底數(base number),a 的個數 n 叫做指數(exponent)。 m. n. 4.指數律(exponential law):本研究所提之指數律包含乘法的指數律 a ×a = m+n. a. m n. ;(a ) =a. m×n. n. n. n. ;a ×b =(a×b) ,其中 m、n 為大於 0 的整數,a、b 為任 m. n. 意數,以及除法的指數律 a ÷a =a. m-n. n. n. n. ,a ÷b =(a÷b) ,其中 m、n 為大於 0. 的整數,a、b 均不為 0。 5.錯誤類型:本研究所提出之錯誤類型,是研究者參考指數相關錯誤類型分析 的文獻外,再加上本研究經診斷測驗所分析而得的錯誤類型做為實證,兩者 共同歸納所得之錯誤類型。本研究是依據自編「指數的概念與指數運算」二 階段評量學生作答情形,所歸納出的錯誤類型。在「指數的概念與指數運算」 二階段評量中,因每一個錯誤類型常出現在不只一個選項,若一個學生有選 其中 50%以上(包含 50%)的選項,我們就認定該生有犯這樣的錯誤類型。而 當一個錯誤類型的犯錯人數達到超過 15%受測學生人數時,我們就將此錯誤 類型認定為主要錯誤類型。 6.補救教學:本研究之補救教學是指根據「指數的概念與指數運算」二階段評 量的學生主要錯誤類型與迷思概念,篩選出需要進行補救教學的學生,分析 錯誤形成原因,設計有效且合適的補救教學教材,並進行一連串積極性的補 救教學活動,其目的在改正學生對於指數所存在的迷思概念,達成該階段的 學習目標。 7.

(16) 8.

(17) 第二章 文獻探討 本研究在探討以國一學生「指數概念了解情形」之二階段試題做診斷評量, 依據學生問卷填寫結果,透過專家教師、學者以及相關文獻來分析國一學生在學 習「指數的概念、運算與指數律規則」時常犯的主要錯誤類型,及其產生錯誤的 成因,並依此研究結果進行分析,設計補救教學活動及教材,篩選學生實施補救 教學,期望能有助於改善學生在指數概念、運算與指數律規則學習上的錯誤。 本章共分為五節,第一節為「數學概念學習與教學之探討」;第二節為「二 階段評量工具的發展與應用」 ;第三節為「錯誤類型及其成因之相關研究」 ;第四 節為「補救教學之探討」;第五節為「指數相關研究之探討」。. 第一節 數學概念學習與教學之探討 一、 數學概念的形成 Henderson (1970)將數學概念分成具體概念(concrete concept)和抽象概念 (abstract concept),具體概念是具有物理上實質的例子,例如:代數書、幾何板、 尺;而抽象概念是不具上述物理實質的例子,例如:數學上會遇到的分數、複數、 極限、線段、多項式、機率等都屬於抽象概念。黃台珠(民 74)在其研究中指出概 念是學習的「基本單位」,並認為概念具有共同性、符號性及使用性三個特性, 其中共同性是指了解一個概念必須知道其分類的規則,能分辨出何者屬於此概念 範圍,何者為非,同時能找出此一概念與其它概念的關係及差異性,符號性是指 概念的命名是為了人類之間的溝通及個人認知結構中概念之使用,使用性指概念 是依據文化的方式來表達真理,以方便人類之溝通及使用。 Skemp (1979)認為概念就是將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起。許多 的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念,再根據這些初級概念抽象形 成次級概念,這些經歷多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮性,往往要經歷多 次抽象才能形成。形成概念的過程主要包括以下五種重要的特徵: 9.

(18) 1. 意識(realization):指一個新的概念,透過環境經由感官輸入概念結構,此時 新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。 2. 同化(assimilation):指在概念結構中找出與新的概念相類似的概念。 3. 擴張(expansion):指以概念結構中已有的概念來領悟此新的概念,使其成為概 念結構的一部份。 4. 分化(differentiation):指分辨新的概念與一些已有概念之間的異同處。 5. 重建(re-construction):指當問題的情境改變時,已建立的概念結構雖具有相關 性,卻不適用於此情境時,必須重建個體的概念結構。. 對本研究的啟示: 指數與乘方符號對國一學生是一個全新的概念,由以上文獻探討,在指數教學 上,必須讓學生分辨連加與連乘這兩個相似概念的差異,連加時是以乘法來簡 記,連乘時是以乘方來簡記,要讓學生領悟正整數指數的意義,在之後指數運算 與指數律的學習上,才能建立完整正確的概念。. 二、數學概念的教學 楊弢亮 (民 86)認為正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提,數學概 念的引入通常採取:1.利用學生的生活經驗—教師應收集和運用現實生活中能反 映數學概念的事例,但還必須注意,數學概念與日常概念是有區別的;2.利用教 材所提供的感性材料—先用實際事物、模型、圖表使學生了解新概念的直觀形 象,再提出概念的定義;3.由定義引入,再用感性材料加以證實;4.由舊經驗引 入新概念—其方式有(1)種概念引入類概念、(2)採用對比方法、(3)利用逆反關係、 (4)運用概念的推廣及(5)運用特例的聯繫。 Sfard (1991)認為可從結構性(structurally)與操作性(operationally)兩種不同的 方式來理解抽象數學,並指出大多數的人是以操作性概念(operational conception). 10.

(19) 做為獲得新的數學概念的首要步驟,意即藉由一連串的操作活動來獲得新數學概 念的存在性,然後概念會被抽象為一個物件;一個靜態的結構,在處理數學概念 時即將此結構視為整體,而不再顧慮細節。 Siegel(1981) and Shuell (1990)對於學生數學概念的建立,特別強調原有概念 的重要性,他們認為學習數學的心理歷程都是以原有知識為基礎,不斷的建構出 個人的知識結構,且不斷的獲得新訊息以擴充整個知識內涵。 認知心理學家 Rosch (1977)提出概念學習理論,認為學習中的種種概念,是 以這些概念的具體例子來表示,而非以某些抽象規則或一系列相關特徵來表示。 Klausmeier, Ghatala and Frayer (1974)共同提出關於概念學習的層級,他們將 概念學習分成四個層級,依照不同的情形分類如下: 層級 1.具體(Concrete):學生能認出稍早已學習過的一個例子。 層級 2.確認(Identity):學生對於稍早學習過的例子,即使經過時空轉換或以不同 的形式呈現亦能認出。 層級 3.分類(Classificatory):學生能分辨出例子和非例。 層級 4.形式化(Formal):學生能陳述概念的定義,此層級並不是單純地背誦定義 而已,而是比直接背誦定義的境界還要更高。 Sowder (1980)後續提出在層級 3 和層級 4 之間加入生產(Production)的層級, 指學生可以給出此概念的任何例子或新例子。根據 Sowder 的研究指出, 「概念的 獲得與同化」是概念教學上的第一個變項,「概念的獲得」來自一些正例和非例 的呈現,做為新例或口頭的描述,加以定義並作適當的分類。「概念的同化」來 自個體以既有的基準去辨識或解釋環境中的事物。如此就可把新的經驗同化到舊 的經驗,在概念的同化中,概念的定義或文字描述扮演著中心角色,有時會使用 正例與非例去幫助同化。 柳賢 (民 89)的研究指出學生在數學概念的學習發展層級方面,將其順序排 列先後次序,依序是由具體觀察、確認、分類、生產,最後達到形式化的結果。. 11.

(20) Henderson (1970)認為概念教學上的另一個變項為教學策略,概念的教學策 略有兩種:1.例示化教學策略(E-move):以正例和非例來進行,一般用於「概念 的獲得」,2.屬性描述化教學策略(C-move):在描述概念的屬性,一般用於「概 念的同化」。這兩種教學策略在概念教學的過程中,如能交替進行將更有效,然 而在使用屬性描述化教學(C-move)之前,應先運用例示化教學(E-move),C-move 也能促進 E-move 的達成,但若在未使用 E-move 之前就直接使用 C-move,可能 導致兩者皆無法達成。 關於數學概念的學習,Skemp (1987)提出兩個原則: 1. 超過個人已有的概念階級的高階概念,不能用定義的方式來進行溝通,只能 蒐集相關的例子,提供其經驗,再靠他自己抽象以形成概念。 2. 在數學中,有關的例子有時或多或少又含有其它概念,因此,我們在提供例 子時必須先確定學生已經形成這些預先的概念了。. 對本研究的啟示: 由以上的文獻探討,在指數概念及指數律的學習上,均先以例子作教學,讓學生 獲得指數的概念,並以概念思考提供正例和非例強化學生對指數的概念理解,最 後才以形式化的文字符號總結。. 三、數學符號的學習與教學 使用符號對數學有何重要性?Skemp (1987)提出符號有至少以下十種功 能:(1)溝通;(2)記錄知識;(3)溝通新概念;(4)使多重分類直接化;(5)解釋;(6) 促使反映活動;(7)有助於顯示結構;(8)使常規計算自動化;(9)回憶資料或理解; (10)一種創造性的心智活動,這十種功能間彼此相互關聯。從符號提供的這些功 能可以知道符號對數學的重要,確實也提供給現代人一個難以置信的便捷方法來 處理數量的計算、問題解決及進行預測等工作 (Tall et al., 2001)。. 12.

(21) Skemp 也提出一些輔助的原則來幫助數學符號的學習。 1. 在幼童學習數學階段,盡量以實物展示概念。 2. 不要只叫孩子背符號,在教一個新概念前要先分析其基礎概念是否都已教 過,以便孩子能將新概念適當同化。 3. 在幼童學習數學階段多用口頭解釋,少用文字解釋,因為概念和前者的關係 較強烈。 4. 在正式、濃縮的數學符號之間,可以使用非正式、暫時的約定符號,甚至是 學生個別指定的,如此他們的概念已自動和符號結合,同時經由比較長或短、 清楚或曖昧、不一致等困擾,學生就能逐漸領悟約定標準符號的好處。. Hiebert (1988)研究提出一套數學符號學習的發展理論,這理論主要針對一至 八年級中會面臨的符號學習,必須經歷下列四個發展階段。 1. 符號與指示物連結(connecting):此階段是指建立新符號與指示物之間的對應 關係,把日常生活經驗中所熟悉的數值或行動當成指示物(referents)。數學符 號一般有兩種:數值符號及運算符號,透過與指示物的連結,將使得符號變 得清晰可見且意義豐富,更可幫助解決問題。 2. 發展(developing)符號操作程序:此程序是在操作符號指示物;觀察結果和與 符號對應的行動中產生。規則和演算法都可以在指示物被執行、觀察和轉換 到符號世界的行動中發展,此階段程序或符號規則就和符號一樣,是指示物 賦予其意義。 3a. 詳述(elaborating)符號操作程序:即分析及詳述符號的操作規則以面對新的或 更複雜的任務。第一種形式是直接詳述;第二種形式包含創新的行動。此階 段的焦點在於符號與規則本身而不是指示物,意義的來源也因此轉移,強調 的是一致性。 3b. 自動化(routinizing)符號操作程序:操作程序經充分練習達到自動化後,就可. 13.

(22) 以節省認知工作空間以便處理更高深的問題。自動化被視為學習符號的重要 階段及發展下一階段(建立階段)的基礎。 4. 利用已建立的符號及規則建立(building)更抽象的符號系統:符號系統是由另 一符號系統發展而來,直接遷移或透過兩個不同系統對應的辨認建立而成。. 對本研究的啟示: 由以上的文獻探討,在乘方與指數的教學上,必須教導學生指數符號對數學的功 能,理解指數的威力,指出日常生活中可能會用到指數符號的情境,要建立指數 符號和連乘積連結的關係,依照發展階段幫助學生發展操作程序,不要讓學生背 誦記憶符號或口訣公式,最後讓學生達到自動化符號操作程序階段。零指數和負 整數指數的教學,也要讓學生充分理解及建立指數律規則後,進一步發展這兩個 更抽象的概念。. 14.

(23) 第二節. 二階段評量工具的發展與應用. 一、二階段評量工具的發展 Treagust (1988)提出二階段評量診斷(Two-tier diagnostic assessment)工具,此 種診斷測驗共分為兩階段:第一階段是核心概念的內容,第二階段是解釋或回答 第一階段的理由。第一階段共有 2 個選項,分為「是」和「否」;第二階段則有 5 個理由選項,主要是用來瞭解學生所選擇的理由敘述是否為正確概念。5 個理 由選項中的最後一個選項為「其他,我的理由是_______________」 ,當學生的理 由有別於前四個理由選項時,可以將自己的理由自由地表達出來。二階段評量試 題的形態如圖 2-1 所示:. ﹜. 題目: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -----------------------------□是. □否. 第 一 階 段. ﹜. 理由:(A) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. (B) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (C) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. 第 二 階. (D) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. 段. (E) 其他,我的理由是________________. 圖 2-1 二階段評量試題的型態 註:翻譯自 Treagust, D.F. (1997). Diagnostic assessment of students’ science. knowledge. Paper presented at the 1977 International workshop on students’ concept development, understanding diagnosis and teaching. Feb. 17-20, Taipei.. 依據 Treagust 所提出二階段評量診斷工具的設計,其編製程序區分為:定義 內容、獲得學生概念之相關證據、發展診斷工具三大部份,及其所包含的十個步 驟,茲將其發展步驟說明如下: (一)定義內容(Defining the content) 15.

(24) 前四個步驟是定義主題的概念範圍和相關內容知識的敘述,並發展概念圖。 步驟 1.確立命題知識敘述: 就研究主題內容,找出包含在此領域內的知識,並將其中的概念逐項 條列出來,以確定命題的範圍。確定命題知識的敘述,在課程發展及 教學上具有很重要的地位。 步驟 2.發展概念圖: 對研究主題相關之概念,畫出階層式的概念圖,研究者可利用概念之 間彼此的關聯性,仔細思考所選擇的教學內容之本質及範圍。而步驟 1 和步驟 2 可說是同時發展出來的,當命題敘述確立時,所對應的概 念圖也已成形,或是當概念圖確定時,所對應之命題敘述也已成形, 兩者是相輔相成的。 步驟 3.將命題知識敘述與概念圖連結比對: 每個命題知識的敘述皆要與概念圖中所對應之概念直接相關,確保被 檢測的內容具有其內部一致性,且彼此要能涵蓋整個主題。這是一種 信度檢核,看兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。 步驟 4.將試題內容效度化: 命題敘述和概念圖是由學科學者、學科教師和學科專家檢核進行內容 效度化,並經由這些專家、學者針對命題的敘述和概念圖之中有任何 矛盾或不適當之內容進行刪除或修訂。當命題敘述及概念圖都確定之 後,在發展診斷工具的題幹時就會更加明確。. (二)獲得學生概念之相關證據(Obtaining information about students’ conceptions) 第二部分是發展診斷式的評量工具來偵測出學生的迷思概念,首先透過對先 前研究文獻的檢視,以及利用紙筆測驗一些開放性的問題後,再和學生進行 訪談,得到學生作答情形的資料,來瞭解學生對該研究之學科內容的理解, 如此該主題的學生概念之典型範例就可以被確定。 16.

(25) 步驟 5.探索相關研究文獻: 在開始定義相關的學科問題或是探討學生的某種學科概念時,必須對 於一些研究學生之學科概念的相關文獻進行探討,以便獲得學生的迷 思概念,以及學習時若發現有困難的概念時,可以適時藉此用來發展 診斷工具。 步驟 6.與學生進行非結構性訪談: 利用非結構性開放式的問題與學生進行訪談,在訪談過程中可以廣泛 地獲得學生的知識結構或迷思概念,並藉此瞭解學生對此概念理解的 程度。 步驟 7.發展開放性試題,讓學生可以自由回答: 每一個選擇題的設計都是依照命題的敘述而來,而且每一題選擇題的 選項都是用來偵測學生的迷思概念。每一題選擇題的最後選項都包括 了一個空白位置,讓學生可以自由填答他所選擇此答案的理由,藉此 來蒐集學生的潛在概念。. (三)發展診斷工具(Developing a diagnostic instrument) 第三部分診斷工具的建構包含了二階段題目的發展,第一階段要求學生對核 心概念的內容進行作答,第二階段則在探索學生在第一階段作答的理由為 何。根據步驟 5、6、7 來發展題目的第二階段—理由選項。 步驟 8.發展兩階段式的診斷工具: 每一道測驗題中的第一階段選擇的是內容問題,且通常設計有二到三 個選項;第二階段是選擇第一階段的理由,通常包含四個可能的理由 選項,選項為綜合上述文獻、訪談和開放性紙筆測驗所獲得學生該題 作答的理由、想法,其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的 答案。然而學生必須兩階段都答對,那麼此題才算答對。. 17.

(26) 步驟 9.製作雙向細目表: 將所有題目的命題敘述整理成雙向細目表,以此表來檢視診斷性試題 的題目可公平地包含主題上的命題知識和概念圖上的概念。 步驟 10.持續精鍊: 透過不同的班級或是不同群的學生來進行施測,透過不斷地修正診斷 工具,來確保該診斷工具可以有效地偵測出學生的迷思概念。. 二、二階段評量工具的優點 九年一貫正式綱要數學學習領域(民 89)中指出教師教學應以學生為主體,以 學生的數學能力發展為考量。數學學習節奏之疏熟快慢,經常因人而異。教師應 避免將全班同學當做均質的整體,並應透過教學的評量,分析學生的學習問題, 做適當的診斷、引導與解決。 教科書的內容時常會令學生感到困擾,覺得難以理解,但教師通常沒有足夠 時間回答每一位學生的問題,而學生在沒有充分的時間消化其接受的數學資訊與 概念的情況下,往往建立一些錯誤的數學概念與原則。(Ashlock, 1986) Maurer (1987)研究指出學生在數學上所犯的許多錯誤是有系統的,這些錯誤 皆是永久性的錯誤而非隨機的錯誤。 張惠博(民 88)整理國內、外有關迷思概念的研究方法,指出常用來診斷學生 迷思概念的方法有六種,分別為(1)診斷式傳統測驗題;(2)概念圖法;(3)晤談法; (4)關係圖法;(5)Vee 圖;(6)二階段式診斷測驗。其中傳統測驗題診斷評量工具 的根本問題在於不知道學生「不知道的程度」,即它無法有效診斷出學生的迷思 概念,因為它只提供了對或錯的訊息。概念圖、晤談法、關係圖與 Vee 圖的診斷 使用上,教師本身都須要經過專門的訓練以便進行評分和解釋學生的概念,相當 耗費人力與時間,Treagust and Haslam (1986)、Odom and Brown (1995)、Rollnick and Mahooana (1999)建議使用二階段式(Two-tier)評量診斷工具,來診斷學生科學 概念的理解,幫助教師瞭解學生在概念學習的狀況。 18.

(27) 二階段評量工具診斷學生錯誤概念的方法,其優點為:(1)兼具晤談法之質 性優點與傳統測驗法之量化的優點;(2)提供教師發現學生在學習上的錯誤概念 快速便捷的方法;(3)相較於傳統選擇題,可減低學生猜對的機率以提高評量的 效果;(4)改良傳統選擇題的僵化模式,可引導學生改變只重視死背知識而不求 甚解的嚴重缺失;(5)可偵測出學生的錯誤概念,並提供教師做為擬定教學策略 或補救教學的重要依據。根據 Odom and Brown (1995)指出在一個含有四個選項 的典型選擇題測驗中,學生猜對答案的機率是 25%,但在二階段式的選擇題測 驗中,如果第一階段含有兩個選項,第二階段含有四個選項,則兩階段都能做出 正確聯結而猜對答案的機率就只有 12.5%,本研究在第一階段含有兩個選項,第 二階段含有五個選項,兩階段都做正確聯結而能猜對答案的機率更只有 10%。 國內柳賢(民 89)針對高一學生進行開放性二階段評量測驗之後,提出經由這 種二階段評量方式,教師可以了解學生是否真正理解所學的知識,而非一知半 解,教師也可藉由二階段評量方式了解學生錯誤概念的癥結所在,用以進行補救 教學並改善其錯誤。. 三、使用二階段評量診斷學生學習上的迷思概念的實徵研究 自 Treagust 提出二階段診斷評量的方法後,此評量方式即被普遍地應用於科 學教育及數學教育上,做為診斷學生學習上的迷思概念的主要工具。 在國外,Treagust and Haslam (1987)使用二階段選擇題診斷中學生在植物光 合作用和呼吸作用的理解,研究結果顯示有高比例的中學生對於植物的光合作用 和呼吸作用的關係了解甚少。 Odom and Barrow (1995)針對 240 名大一生物系的學生以二階段選擇題診斷 其對擴散和滲透的開發與應用的理解,並找出學生的錯誤概念。 Peterson and Treagust (1989)針對 11 和 12 年級的學生以二階段選擇題診斷其 在化學主題共價鍵結和結構上的錯誤概念。 在國內,宋志雄(民 81)以二階段式診斷工具針對台灣三縣市(高雄市、彰化 19.

(28) 市、宜蘭縣) 測驗 838 名國三學生在酸與鹼上的理解程度,並發展教學診斷工具。 林楷植(民 90)以二段式紙筆診斷測驗針對中部四縣市十所國中共 691 名國 中二、三年級學生探討有關學生在力與運動學習上的迷思概念。 在數學概念的實徵研究上,楊坤原(民 95)針對桃園縣 6 所國民小學共 523 名六年級學生發展二階段式診斷測驗工具來了解學生在乘除法概念中出現哪些 錯誤型態與迷思概念。 吳秀玲(民 97)針對高雄地區 143 名國二學生以二階段測驗診斷學生在因倍 數單元的概念學習狀況,藉以發展教學診斷工具,並做為提供學生自我檢測與改 進學習方式的依據。 林鴻成(民 98)採用二階段評量來診斷國二學生對於二次方根的意義與四則 運算的迷思概念,並整理歸納錯誤類型,分析錯誤類型的成因,設計補救教學教 材,並進行補救教學活動來改正學生對二次方根的迷思概念。 張嵐雄(民 100)採用二階段評量工具來診斷國二學生對多項式乘法與除法有 哪些迷思概念,並整理歸納錯誤類型,分析錯誤類型的成因,設計補救教學教材, 並進行補救教學活動。 徐敏媛(民 101)採用二階段評量來診斷國中九年級學生在學習「二次函數」 單元後,有哪些錯誤類型,再進行錯誤類型的成因分析,然後根據成因設計補救 教學教材,並進行補救教學活動。 林晁熙(民 98) 採二階段評量方式,用來診斷高中生在學習複數表徵與複數 四則運算學習上的迷思概念,並整理歸納成為錯誤類型,再針對所得的資料進行 分析錯誤類型的成因,設計補救教學教材,並進行補救教學活動。 趙慧怡(民 98)針對彰化縣 147 名高職學生以二階段評量診斷工具探討高職 學生在圓單元的錯誤類型與迷思概念。 李永貞(民 99)發展二階段診斷評量,探討高二學生在學習向量概念與基本運 算上有哪些主要錯誤類型及成因,並進行補教教學幫助學生改善錯誤概念。 吳仕傑(民 100) 採用二階段評量來診斷高二學生對於廣義角的三角函數的 20.

(29) 迷思概念,並整理歸納成為錯誤類型,再針對所得的資料進行分析錯誤類型的成 因,設計補救教學教材,並進行補救教學活動,來改正學生對於廣義角的三角函 數所存在的迷思概念。 廖純如(民 101) 採用二階段評量來診斷高中學生對於對數概念及其運算性 質有哪些迷思概念,並整理歸納成為錯誤類型,再針對所得的資料進行分析錯誤 類型的成因,設計補救教學教材,並進行補救教學活動。. 21.

(30) 第三節. 錯誤類型及其成因之相關研究. 一、 錯誤類型的形成與探討 呂溪木(民 72)認為錯誤概念的產生可能源自於學生日常生活經驗的自我學 習,也可能來自於學生對於老師傳統機械式教學所獲得的概念一知半解。 根據梁淑坤(民 85)研究指出,不管教學者在授課時如何用心,學生在解題 時仍會犯下錯誤的概念或運算。 Sutton and West (1982)曾提出學生產生錯誤概念的原因,主要有七個來源: (1)與生俱來的;(2)從日常生活經驗或用語而來的;(3)從隱喻而來;(4)從類比而 來;(5)來自同儕文化;(6)正式或非正式的教學;(7)字義的聯想、混淆、衝突或 缺乏知識。 Davis (1984)研究後提出錯誤可分為兩種型態,第一種是個體自有的錯誤模 型,常表現相當的一致性,無論是在同一問題或在不同時日皆會出現,根據這樣 的一致性,教師可以找出個體在思維上的習慣性錯誤,然後從中來協助學生認清 錯誤之處並消除之,這是較重要的一致性(consistency)。第二種一致性不是個體 自己的行為,而是不同的學習者卻顯示出相同的錯誤行為,亦即有某些錯誤概念 是許多不同的學習者,在接受教育的過程中所共同發生的現象。 根據 Demby (1997)的研究指出學生所使用的許多方法有時不曾出現在課堂 或教科書中,也不是老師教授的,學生所使用的規則,經常是自己發明的,且發 現即使是同一班的學生,因先備知識的差異也會產生不同的運算規則。 Maurer (1987)也提到,在數學學習中,若存在錯誤概念,則在演算時將會產 生有系統的錯誤規則,此種錯誤的演算規則並非由於學童粗心大意的結果,而是 因為不了解。 在 Resnick 等人(1989)的研究中提到錯誤的演算規則產生的原因有二: 一個原因是學習者把演算規則變化到其他情境;另一個原因則是學生去除演算公 式或規則的特有條件。 22.

(31) Gagne (1985)認為數學計算錯誤的發生可能是因為用了錯誤的規則或是缺 乏先備知識。前者可由這些錯誤類型的封閉測驗鑑定出來;後者則可藉由設計測 驗各類預備知識的考試來鑑定。 在錯解辨析(民 77)中將學生的錯誤類型區分為以下四大類: 1. 由於概念不清產生的錯誤:包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概 念等產生的錯誤。 2. 由於推理無據產生的錯誤:包含臆造公式、濫用法則、循環論證、論證不足 及方法不對等產生的錯誤。 3. 由於忽視條件產生的錯誤:包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、 公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、 忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特 徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等產生的錯誤。 4. 由於考慮不周產生的錯誤:包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、 以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。 Brown and Vanlehn (1980)兩人共同研究提出學生以過去形成之經驗,所衍生 計算問題上顯現之錯誤概念有下列兩種: 1. 修補理論(Repair Theory):學生在答題的過程中,如果遇到困難時就會形成僵 局(impasse),在此情況下學生通常不會立刻放棄,而會對此難題做出一種解 釋過程(problem solving process)去找到一個自認為較能接受的解決辦法來作 答,這個過程就稱為修補(Repair)。若修補成功,則這個修補辦法就會被保留 而成為學生的法則。反之,若修補失敗,則解答過程就會出現錯誤。學生通 常不知道自己使用了錯誤的計算過程,反而認為自己所使用的計算過程是正 確的,雖然有時候會懷疑自己的答案有問題,但卻不知道如何著手去檢驗。 2. 錯誤類化(Misgeneralization):學生對正確的規則做出錯誤的類化或過度的類 化。. 23.

(32) Schwarzenberger (1984)認為在數學的學習過程中,錯誤概念與獲得正確的答 案是同樣的重要,有些時候更有過之而無不及。錯誤概念的出現可讓教師了解學 生內心真正的想法。. 24.

(33) 第四節. 補救教學之探討. 一、補救教學理論依據 本研究係以奧蘇貝爾(Ausubel, 1963)有意義的學習(meaningful learning)理 論、皮亞傑(Piaget, 1969)的認知發展(cognitive development)理論、維果斯基 (Vygotsky, 1978)的鷹架(scaffolding)學習理論作為補救教學的理論基礎。 (一) 奧斯貝爾有意義的學習理論 Ausubel 曾說: 「影響學習的一個最重要因素即是學習者已經知道的事(what the learner already knows) ,只要確信「它」是什麼,並且以此做為教學的依 據即可。」就是指教師要從事有意義的教學,必須先了解學習者的先備知識 與經驗,並以此為基礎來設計教學活動,他主要提出的概念如下: (1) 有意義的學習 vs. 機械式的學習 有意義的學習也可以說成是「主動」、「深層」或「建構式」的學習 (constructive learning) ,意指學習者主動將新學習的概念聯結或關聯到 他原有認知結構中既存的概念上,以統整成為一個更龐大的認知結 構。而機械式學習也可以說成是「被動」、「膚淺」或「再生式」的學 習(reproductive learning),意指學習者以不求甚解的方式所進行的記 憶學習,這種記憶學習的效果通常僅能維持一小段時間。這種學習方 式並且認為新概念是無法被聯結到原有認知結構中既存的概念上,因 此,每次學習都是以外塑方式累積記憶的量而已。 Ausubel 將「有意義的」與「機械式的」學習視為一個連續的向度,他 認為多數的學習是兼具「有意義的」與「機械的」兩種性質,只是在 程度上的多寡不同而已。 (2) 接受式的學習 vs. 發現式的學習 接受式的學習意指學習內容先由教師組織過後,再以最後的形式出 現,提供給學習者。而發現式的學習則是鼓勵學習者自行操作、探索, 25.

(34) 以發現學科中所隱含的組織結構。 Ausubel 將學習分成兩種層面,第一個層面包括接受式和發現式學習, 第二個層面則為有意義的學習和機械式學習(見表 2-1),強調並非所有 的發現式學習都是有意義的學習,接受式學習也不必然全是機械式的 學習(林寶山,民 79)。 表 2-1 Ausubel 的學習分類表 階段二:所接受的訊息 被學習者接納時的方式是: 有意義的 1.有意義的接受學習. 各種訊息以最後的形. 組織後,再以最後的形. 式呈現,提供給學習. 受. 式提供給學習者;學習. 者,學習者再將它們記. 式. 者再將它們與已知的. 憶起來。. 所要學習. 知識相關聯(即將之納. 的訊息是. 入現有的認知結構中)。. 透過學習 者的:. 3.機械式的接受學習. 各種訊息先加以邏輯 接. 階段一:. 機械式的. 2.有意義的發現學習 發 現 式. 4.機械式的發現學習. 學習者獨自發現各種. 各種訊息是由學習者. 訊息,然後再將它們與. 獨自獲得,隨後將之記. 已知的知識相關聯. 憶起來。. (即將之納入現有的認 知結構中)。 資料來源:林寶山(民 79)。教學論—理論與方法(頁 173),臺北市:五南 圖書。. (3) 前導組織(Advance Organizer) 前導組織(Advance Organizer)是針對學習者已有的知識為基礎而設計的 材料,它可以是一段文字敘述、一部電影或是一個問題,凡有助於學 26.

(35) 習者了解新教材的概念皆做為「前導組織」來提示。「前導組織」如同 學習者的既有知識與新概念之間的橋梁,讓學習者容易將新教材融入 其舊知識之中。 「前導組織」可分為解釋性及比較性兩種,「解釋性組織」(expository organizer)的方式是選取比所要介紹的概念還要一般(generality)的概念 來引導,即提供學習者先備知識或背景知識,幫助學習者學習新教材。 「比較性組織」(comparative Organizer)則是以相似及比較的方式將新知 識和舊經驗相互比較,使新舊知識產生關聯(林寶山,民 79)。當所要學 習的新知識與學生的舊經驗有所關聯時,就可採用比較性組織,讓學 生比較新舊知識的異同,釐清相互間的關係,避免新舊知識混淆不清。 (4) 達成有意義學習的要件 為了達成有意義的學習,下列三項條件是必須具備的(Ausubel, 1963, 1968): 1. 針對所要學習的材料,在本質上必須是有意義的;這種學習材料本 身,即具有提供學習者以有意義方式聯結其知識結構的潛力。 2. 學習者必須具備相關的知識或概念,此即所謂的「先備知識」 (prior knowledge);亦即,學習者必須事先具備足供聯結新學習概念的既 有概念架構(conceptual framework)。 3. 學習者必須顯示出有意義學習的心向;亦即,學習者必須為自己的 學習負起責任,願意主動嘗試將新知識與既存架構作聯結,以建構 起有意義的理解。 (二) 皮亞傑的認知發展理論 Piaget 的認知發展理論的主要概念如下(張春興、林清山,民 78): (1) 基模(scheme) Piaget 認為嬰兒出生不久,就會運用與身俱來的一些基本行為模式對周. 27.

(36) 遭環境事物做出反應,以獲取知識,這種以身體感官為基礎的行為模 式,可視為個體用以了解周遭環境的認知結構(cognitive structure),此認 知結構就稱為基模。基模會隨著學習與成熟而改變,由粗略而精細;由 小而大;由淺而深;由簡而繁。Piaget 視基模為個體吸收知識的基本架 構,因此將認知發展或智力發展解釋為個體的基模隨年齡的增長而產生 的改變。當基模與基模彼此間經由交互作用後,就會再形成另一個認知 的基模。 (2) 適應(adaptation) 適應是指個體的認知結構與環境的交互作用,個體在適應環境時,因環 境的需要而產生兩種心理歷程,分別為「吸收同化」(assimilation)和「調 適順應」(accommodation)。「吸收同化」是指當外界的事物或知識與個 體既有的認知結構一致時,個體能將它吸納入既有基模,將此新事物同 化至既有基模之內,以擴大內在認知結構,成為新的認知結構。而「調 適順應」則是指當外界的事物或知識與個體既有的認知結構不一致時, 個體就必須改變原有的認知結構,以適應外界的新環境。 (3) 平衡化(equilibration) 當外界的客觀環境與個體內在的認知結構不一致時,個體的心理就會感 到「失衡」(disequilibrium),此時個體就必須重新進行吸收同化或調適 順應,擴大並組織成為另一個新的認知結構,使其恢復平衡。這種將認 知結構由一種狀態改變或重組為另一種狀態,以恢復平衡的過程,稱之 為「平衡化」。 (4) 認知衝突(cognitive conflict) 當新的知識與個體既有的認知結構不一致時,就會產生「失衡」,造成 認知衝突,此時個體為了解決認知衝突,會重新調適順應進而引起概念 改變,使其認知結構達成新的平衡。. 28.

(37) (三) 維果斯基的鷹架學習理論 Vygotsky 認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」,將社 會意義及經驗轉變成個人內在的意義。其主要的概念如下: (1) 近側發展區(zone of proximal development,簡稱 ZPD) Vygotsky 認為每一個兒童在各領域有其個人的實際發展層次(actual development level),而介於由獨自解決問題的實際發展層次,與經由成 人指導或與有能力的同儕合作來解決問題,所顯示的潛在發展層次之間 的距離,就稱為近側發展區。 (2) 鷹架(scaffolding)學習 「鷹架(scaffolding)」一詞,是由 ZPD 的理念發展而來。原意是指架設 在建築物外部用來幫助施工的一種設施。引申為教師為了幫助處於實際 發展層次的學習者,跨越近側發展區(ZPD)而達到潛在發展層次所提供 的協助就稱為鷹架。 鷹架在學習上提供的支援有:1.引發學童參與;2.指出所欲學習事物的 關鍵特徵;3.示範;4.減輕學習負擔;5.進行學習活動方向管理;6.掌握 學習過程挫折。 (3) 鷹架(scaffolding)理論的三個重要概念 1. 在近側發展區(ZPD)裡,鷹架提供者(教師)和接受者(學生)之間是互惠 關係。所謂的互惠是指教師所提供的學習支持和學習者的互動回饋 是由彼此協商而決定的。 2. 學習的責任應在過程中逐漸由教師轉移至學習者,而其轉移時機應 視學習的實際狀況而定。 3. 在教師與學生間的溝通語言是促進學習者反思與認知的橋樑。. 29.

(38) 對本研究的啟示: 研究者先使用 Treagust 的二階段評量診斷測驗歸納出學生的主要錯誤概 念,再參酌上述理論設計補救教學方案,在補救教學時,依據 Ausubel 有意義的 學習理論,以學生既有的舊知識和舊經驗為基礎,提供前導組織使學生易於將新 學習的知識或概念與既有的舊知識和舊經驗作聯結,使學生進行有意義的學習。 為了改變學生的錯誤概念,參考 Piaget 的認知發展理論,提供新的知識範例使學 生產生認知衝突,讓學生原有的認知結構產生失衡,進而進行吸收同化和調適順 應,以達到新的認知平衡,藉以改變錯誤概念,重新學習正確的知識概念。在學 生學習零指數與負指數概念以及指數律的過程中,藉由 Vygotsky 的鷹架學習理 論,指出關鍵特徵,並提供示範與演練,幫助學生由實際發展層次,跨越近側發 展區到達潛在發展層次,以減輕學生學習負擔,增進學生的學習成就。. 二、補救教學的歷程及課程設計原則 張新仁(民 90)指出補救教學是一種「評量—教學—再評量」的循環歷程,就 理想上而言,期望補救教學實施一段時期後,學生能跟得上原班級的教學進度。 補救教學基本上是一種診療式教學(clinical teaching,也稱臨床教學),在事先選 擇好接受補救教學的對象後,再進行教學。其重點在瞭解學生的學習困難後,精 心設計課程內容與慎選教學型態和策略,方能契合學生的個別需求。 張新仁(民 89)把補救教學的歷程分成三個階段: 1. 藉由篩選,診斷出需要進行補救教學的對象。 2. 透過學生的評量資料,來瞭解學生在學習時所遭遇的困難,以求對症下藥。 3. 根據診斷的結果擬定教學策略,設計適合學生的補救教學活動。 美國數學教師協會(NCTM,2000)所出版的「學校數學的原則和標準」 (Principles and Standards for School Mathematics)在學習方面指出:學生應該用理 解的方式學習數學,積極的在過去經驗與先前知識上建立新知。在教學原則方面. 30.

(39) 指出:有效的數學教學必須瞭解學生知道什麼和需要學習什麼,才能加以刺激和 鼓勵他們學習的更好。因此,數學的教與學更重視的是有意義、講道理的過程, 培養學童真正的能力,而非強記的知識。數學的概念與技能,必須由兒童自行「建 構」,無法由教師灌輸而獲得,因此數學的教學應提供兒童觀察、思考、討論的 機會並由此進一步歸納、驗證數學知識。 綜合學者(李翠玲,民 82;徐美貞,民 82;Olivares, 1993;Otto, McMenemy & Smith, 1973)所主張成功的補救教學進行的原則為:(1)徵求學生參加的意願; (2)根據學生的學習程度教學;(3)循序漸進、小步驟進行;(4)提供回饋和安排增 強;(5)使學習材料有意義;(6)協助記憶;(7)將學生安排為合作式小團體的學習; (8)提供充分而多樣化的練習機會;(9)建立成功的經驗;(10)激勵學習動機;(11) 可使用電腦多媒體、多元化的教具,以提高學生的學習興趣;(12)建立良好的師 生關係。 杜正治(民 82)認為一般補救教學的課程設計,應考慮下列項目: 1. 基本能力分析 任何學科目標的達成,需要一定程度的心智能力,包括注意力、理解力、記 憶力、觀察力、知覺力以及想像力等。相關能力若有不足必然會造成學習的 困難,因此在設計補救教學課程時,要先考量學生的相關能力,再配合教材 與教法,如此才能事半功倍。 2. 評量學科能力 在進行補救教學前,需對學科的學習能力進行測試與評量,以做為課程設計 的依據,學科能力的評量大多是成就評量。 3. 評量學習動機 學習動機往往會影響學習成就,因此在進行補救教學前,教師應先瞭解學生 學習動機的強弱,一方面設法對缺乏學習動機的學生提供外在的增強,另一 方面可以考慮學習動機強的低成就學生為優先補救對象。. 31.

(40) 4. 擬定課程目標 課程目標的研擬決定教學方法的選擇,也關係到教學的成效,教師在擬定課 程目標時,要先瞭解學生的學習能力以及學習的客觀條件。此外,課程目標 的訂定,務必指出學習對象、學習的內容、行為的標準、教學方法以及評量 的方式。 5. 選擇適合受試者能力的教材 有效的補救教學課程設計,宜根據學生的程度選擇合適的教材,包括發展有 效的學習策略、簡化原有教科書內容、另行編選坊間的教材、自行重新設計 教材。 張新仁(民 90)認為補救教學的課程設計,首先要考慮到學習的原則:由易至 難、由簡而繁、從已學到未學等,才能建立學生的自我信心與學習動機。其次, 課程應具高度的結構性,同時學習目標需明確與具體,才能掌握學習的重心。另 外,學習活動的設計要考慮學生能力、學習動機、學生的接受程度及注意廣度。 對中低程度的學生來說,宜簡化教材,學習活動更應富有變化,具趣味性。 此外,張新仁也提到運用不同教學科技的學習活動,適合少數個別化教學以 及較差的學生;因為科技器材的運用能製造積極的學習態度,增進低成就學生的 成功經驗。另外,電腦的使用以及較新的科技的應用,能夠讓教學者配合低成就 學生(補救教學學生)的興趣來分派作業。 九年一貫數學正式綱要(民 89)中也提到學生在解決問題時,可以將其中大量 重複、耗時又無意義的計算技術性處理,交給電腦來執行。. 32.

(41) 第五節 指數相關研究之探討 一、指數概念的教學 Confrey and Smith (1995)提出分裂(splitting)與共變(covariation)結構系統應 用於指數函數的教學,他們提出四個主張並引用實證工作來支持分裂與共變結 構。 主張一、在許多乘法的情境中,以連續的加法來描述是不充分或不適當的。 主張二、除了連續的加法之外,提供了一個以乘法和除法的操作基礎的原始模 型,他們稱它為「分裂」(splitting),就如計數的動作可和加法與減法發 展的觀點相關連,分裂的動作則是和乘法與除法發展的觀點相關連。 在分裂的早期應用中,分配是最重要且常見的例子,在 Edith Biggs (1971) 針對 7 歲大孩童的研究中,她的報告指出孩童想知道每個人在操場上 有多少空間,他們改變舊有的乘除模式,而以圖 2-2 孩童在操場面積問 題的條列表示,孩童自發地使用重複倍增或減半,Biggs 認為孩童可以 不經由累加正式計算答案的過程而對乘法有更多的理解。. 圖 2-2 孩童在操場面積問題的條列 資料來源:Confrey, J. & Smith, E. (1995). Splitting, Covariation, and Their Role in the Development of Exponential Functions. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 26, No. 1. (Jan., 1995), p. 71. 主張三、分裂提供比例概念的基礎,比例是分裂世界發展基礎下的主要概念。 主張四、分裂的發展和它與比的連結奠定了分裂世界的基礎,其整體結構與發展 33.

數據

Updating...

參考文獻

Updating...