錯誤類型產生成因之分析

一、預試學生主要錯誤類型產生成因之分析

研究者根據開放性試題測試的結果改編為二階段評量試題，然後另外找了 74 名國一學生進行「指數的概念與指數運算」二階段評量的第一次預試，根據第一 次預試的結果略作修改後，又找 36 名國一學生做「指數的概念與指數運算」二 階段評量的第二次預試。研究者將這兩次預試的結果進行分析，整理歸納得到國 一學生在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題之犯錯率，如表 4-3。

表 4-3

國一學生在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題之犯錯率 錯誤類型

預試人數 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 第一次預試 74 人 20.3％ 66.2％ 25.7％ 74.3％ 28.4％ 24.3％ 18.9％

第二次預試 36 人 16.6％ 72.2％ 19.4％ 61.1％ 16.6％ 25％ 22.2％

合計共 110 人 19.1％ 68.2％ 23.6％ 70％ 24.5％ 24.5％ 20％

錯誤類型

預試人數 C1 C2 C3 C4 D1 D2 第一次預試 74 人 25.7％ 29.7％ 83.8％ 81.1％ 14.9％ 16.2％

第二次預試 36 人 25％ 27.8％ 75％ 77.8％ 16.7％ 22.2％

合計共 110 人 25.5％ 29.1％ 80.9％ 80％ 15.5％ 18.2％

在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題中，每一個錯誤類型可能出現 在不只一個選項，若一個學生有選到某一錯誤類型的 50％以上(含 50％)的選項，

我們就認定該生犯此錯誤類型。而犯此錯誤類型的人數達到受施測總人數的 15

％以上(含 15％)，我們即認定此錯誤類型為主要錯誤類型。由表 4-3 發現，施測 學生在 13 種錯誤類型的犯錯率皆超過 15％，因此本研究將這 13 種錯誤類型列 入主要錯誤類型。

為了深入了解學生真正犯錯的原因，本研究除分析學生在試卷上的答題理由 外，針對無法判定學生解題作法或想法的試卷，另透過與學生訪談以了解學生在

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答題時的想法。以下茲將學生在指數的概念與指數運算前測時所犯的 13 種主要 錯誤類型及其犯錯成因分述如下：

類型 A1 不了解指數為正整數的乘方意義。

在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題預試統計結果，總數 110 位受 測學生中，共有 21 位犯此錯誤類型。

此錯誤類型的成因為：

(a) 將先前的經驗(乘法)做過度類推，誤以為 aⁿ＝a×n 或 a×n＝aⁿ。 (b) 忽視連加和連乘的條件差異，誤以為 n 個

a 連加可簡記為 a

ⁿ。

《訪談實例 A1(a)-1，學生編號：ST054，訪談時間：101 年 1 月 4 日》

師：你在第 2 題勾「錯誤」並選了理由「(B)因為(-5²)＝(-5×2)＝-10，而(-5)×(-5)＝

25」，你認為(-5²)是-5×2 嗎？

生：對啊，我記得上課老師有說這個是要相乘，不是相加，這裡有-5 和 2，所以就 -5×2。

師：你還記得你們老師在上課時說過(-5²)的底數是什麼嗎？

生：(想了一下)…忘記了。

《訪談實例 A1(a)-2，學生編號：SP005，訪談時間：100 年 12 月 20 日》

師：你在第 07 題勾「錯誤」並選了理由「(C)2²＋2³＝4＋6＝10，而 4⁵＝20」，可 以說說你的計算過程嗎？

生：這裡(指著 2²)就是 224，這裡(指著 2³)就是 236 啊，所以就這樣囉。

師：所以你的意思是(在紙上寫下 2²＝2×2，2³＝2×3)，是嗎？

生：嗯啊。

師：那你記得這些(指著 2²和 2³)讀作什麼？

生：2 的 2 次，2 的 3 次，對不對？(小聲，有些猶豫) 師：對，那 2 的 3 次是代表什麼你知道嗎？

生：就 3 個 2，就是 2×3，應該是吧。(出現狐疑的眼神)

《訪談實例 A1(a)-3，學生編號：SP034，訪談時間：100 年 12 月 22 日》

師：你在這份開放性試題第 5 題勾「正確」，並寫理由：「2

3^{乘 9 次比} 2

3^{乘 8 次大」}

(如照片)，你可以解釋一下你的意思或當時的想法嗎？

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《訪談實例 A2(a)-1，學生編號：SP014，訪談時間：102 年 12 月 22 日》

師：妳在這份開放性試題第 3 題勾「正確」，並寫了下面的理由(如照片)，請問妳 是怎麼想的？

生：這個(指著(-5²))是負 5 的二次方，我這裡有寫，就等於 25 啊，25＝25 就正確 啦。

師：所以你說的負 5 的二次方就是負 5 乘負 5 嗎？

生：對，就負負得正，我有寫在這裡。

師：那老師問妳，(-5)²是多少？(在另一張紙寫下(-5)²) 生：一樣啊。

師：和什麼一樣？

生：這樣也是負 5 的二次方，負負得正，一樣是 25 啊。

師：妳有沒有發現這個(寫下(-5²)在(-5)²旁邊) 和這個(指著(-5)²)有沒有哪裡不同？

生：(將眼睛湊進試卷看清)…喔，那個 2 的位置不太一樣。

師：括號的位置是不是也有不一樣？

生：嗯，可是都是 2 次，應該沒差吧。

《訪談實例 A2(a)-2，學生編號：SP007，訪談時間：100 年 12 月 20 日》

師：同學你在開放性試卷上第 6 題勾「正確」，寫了理由：「負數去乘奇數是負數，

負數去乘偶數是正數(如照片)」，是什麼意思？

生：這裡負 1 是負數，(指著-1¹⁰⁰的指數)因為 100 是偶數，負數去乘偶數就是正數，

老師上課有說過的。

師：你的意思是只要這裡(指著-1¹⁰⁰的指數)是偶數，最後就會是正數，是嗎？

生：嗯。

師：那你可不可以講一下你怎麼算-1¹⁰⁰＝？

生：就負數去乘偶數是正數，所以-1¹⁰⁰就是 1×100＝100。

師：老師看到你在第 8 題勾「錯誤」，寫了理由(如下圖)，這也是一樣的算法嗎？

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生：對啊，你看我這裡有寫，就是這邊(指著 2)是偶數，所以就是正的，那 428，

然後 1 減 8 就是負 7 才對啊。

類型 A3 不了解零指數的正確意義與概念。

在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題預試統計結果，總數 110 位受 測學生中，共有 26 位犯此錯誤類型。

此錯誤類型的成因為：

(a)在指數為 0 的概念學習上，將先前的經驗(乘法)做過度類推，誤以為

a

⁰＝

a×0＝0。

(b)受正整數指數概念學習的影響，認為

a

⁰表示 0 個

a 連乘，0 個就代表沒有，

所以

a

⁰＝0。

(c)受正整數指數代表連乘積概念學習之影響，誤認為

a

⁰表示

a 的後面沒有其他

數可連乘，但還有一個

a，所以 a

⁰＝a。

《訪談實例 A3(a)-1，學生編號：ST083，訪談時間：101 年 1 月 11 日》

師：第 1 題你勾了「錯誤」，選擇理由「(B)因為 7×0＝0」，你回想一下當時作答的 時候，你是怎麼想的？

生：這個(指著 70)就是 7×0。

師：那這個(在另一張紙寫下 5⁰)是多少？

生：0 啊，5×0 還是 0 啊。

師：那這樣(在紙上寫 7²)是多少？

生：14，7×2 就是 14 啊。

《訪談實例 A3(b)-1，學生編號：ST073，訪談時間：101 年 1 月 4 日》

師：妳在第 1 題勾「正確」並選了理由「(A)因為 0 次方表示沒有任何數可連乘」，

請妳說明一下妳寫的理由好嗎？

生：就例如 7 的 2 次是 2 個 7 相乘，那 7 的 0 次就是 0 個 7 相乘，0 個就是沒有，

所以就選(A)。

105 師：那 7⁰等於 0 嗎？

生：對。

師：為什麼？

生：就剛剛說過啦。

師：妳可以再說得更詳細一些嗎？

生：你很煩耶，(停頓約 2 分鐘)讓我想想，就 7 的 2 次不是 7×7 嗎，那 7 的 0 次就 沒有啊，連 1 個 7 都沒有嘛，那不就是 0。

師：老師知道妳的想法了，謝謝妳了。

《訪談實例 A3(c)-1，學生編號：SP011，訪談時間：100 年 12 月 20 日》

師：這份開放性試題的第 2 題，你勾了「錯誤」，理由寫：因為就算 0 次方還是有 一個 7，請你解釋一下意思好嗎？

生：我想一下…，就 7⁰應該是一個 7，然後後面就沒有了，所以還是有一個 7 啊。

師：那你的意思是 7⁰＝7 嗎？

生：是。

師：那 7²呢？你認為 7²＝？(在另一張紙寫下 7²＝)

生：那就是一個 7(先在紙上 7²＝後面寫下 7)，這裡是 2，所以後面還有 2 個 7(後 面又寫下×7×7)，好像是這樣，有點奇怪。

師：這樣就是 7²＝7×7×7，是嗎？

生：嗯…，我覺得怪怪的，我不知道。

類型 A4 不了解負整數指數的正確意義與概念。

在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題預試統計結果，總數 110 位受 測學生中，共有 77 位犯此錯誤類型。

此錯誤類型的成因為：

(a)在負整數指數概念學習上，將先前的經驗(乘法)做過度類推，誤以為 a^-n＝-a

×n。

(b)在負整數指數概念學習上，將先前的經驗(有一個負號就是負的)做過度類 推，誤以為

a

^-n＝-aⁿ。

(c)受正整數指數概念學習之影響，誤認為

a

^-n表示

a 連乘-n 次或有-n 個 a 連乘。

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107 師：那你告訴我 5^-3是多少？

生：0.005 啊。

師：為什麼次方是負的就是小數？

生：老師有教過，課本也有吧。

師：那你記得是在哪一個單元教的呢？

生：(靜默思考…搖頭)。

師：是不是在講科學記號時教的？

生：好像是。

類型 A5 認為相同底數時，指數愈大，乘方的值就愈大；或只要底數是分數，指 數愈大，乘方的值就愈小。

在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題預試統計結果，總數 110 位受 測學生中，共有 27 位犯此錯誤類型。

此錯誤類型的成因為：

(a)忽略底數的各種可能性或誤用其它底數推論，誤認為指數愈大，乘方的值就 愈大。

(b)受教學口訣的影響(分數越乘越小)，認為只要底數是分數，指數愈大，乘方 的值就愈小。

《訪談實例 A5(a)-1，學生編號：SP016，訪談時間：100 年 12 月 22 日》

師：來，同學，你在開放性試卷這一題的理由寫了：9＞8(如下圖)，請你說明一下 你的想法好嗎？

生：就看右上角，9 次比較大，所以就比較大。

師：你的意思是不管底下是多少，只要上面次方比較大，它就會比較大嗎？

生：嗯。

《訪談實例 A5(a)-2，學生編號：SP044，訪談時間：100 年 12 月 27 日》

師：同學，這一題你的理由寫的意思(如下圖)，可不可以請你再說明一下？

生：就這兩個都是三分之二，那分數一樣時，指數是它(指著 9)比較大嘛，所以數

108 字就越大，所以這題就正確。

師：為什麼指數越大，數字就越大？

生：像 2×2×2，3 個 2 相乘就是 8 嘛，那 2×2，2 個 2 相乘只有 4，乘越多次就越大 啊。

師：那你有去計算 2 ⁹ ( )3 ^和

2 8

( )3 ^嗎？

生：不用算吧，那很難算耶。

《訪談實例 A5(a)-3，學生編號：SP054，訪談時間：100 年 12 月 27 日》

師：同學，你這一題寫的理由(如下圖)，可以請你說明一下最後你是怎麼得到 2 ⁹ ( )3

＞ 2 ⁸

( )3 ^的嗎？

生：我就把它們都算出來，乘 9 次就是 19683 分之 512，8 次是 6561 分之 256，9 次比較大。

師：你是怎麼看出 9 次比較大的？

生：它(指著 19683)比它(指著 6561)大，這個(指著 512)也比這個(指著 256)大。

師：那你覺得比較兩個指數的大小一定要把它們全部乘開嗎？

生：我覺得這樣比較好。

師：如果無法乘開，像 2 ⁹⁰ ( )3 ^和

2 80

( )3 來比較大小(在另一張紙寫下 2 ⁹⁰ ( )3 ^___

2 80

( )3 ^)，

你會怎麼做？

生：嗯…，應該是 90 比較大，所以這個(指著 2 ⁹⁰

( )3 ^{)比較大。}

《訪談實例 A5(b)-1，學生編號：SP084，訪談時間：100 年 12 月 28 日》

師：來，同學你這一題的理由寫「分數的次方越多數越小」是什麼意思？

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生：就是這裡 3 分之 2 是分數，那 9 次方比 8 次多，所以應該是 2 ⁹

( )3 ^比較小。

師：那如果是 3 ⁹ ( )2 ^和

3 8

( )2 比較大小，你覺得哪個比較大？

生：我覺得還是 9 次比較小，8 次方比較大。

師：所以你認為只要是分數，次方越大，數就會越小。是嗎？

生：(停頓思考了一下)嗯。

類型 B1 對含有乘方的加減運算，乘方要先算的程序概念不清楚。

在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題預試統計結果，總數 110 位受 測學生中，共有 27 位犯此錯誤類型。

此錯誤類型的成因為：

(a)將先前的經驗(負負得正)做過度類推，在處理含有乘方的加減運算時，誤認 為要先負負得正，再計算指數。

《訪談實例 B1(a)-1，學生編號：ST104，訪談時間：101 年 1 月 11 日》

師：你在這份試題的第 6 題勾「正確」，理由選了(A)，可以口頭說明一下你的計算 過程嗎？

生：我想想看，這裡先負負得正，然後就 428，1 加 8 等於 9，就像這上面寫的。

《訪談實例 B1(a)-2，學生編號：ST067，訪談時間：101 年 1 月 6 日》

師：你這題勾選「錯誤」，理由上這些是你寫的，說明一下你的計算過程好嗎？

生：這裡，先負負得正，你看我有寫，在這裡（指著-(-的位置)。

師：所以你在這邊寫「＋」，是負負得正的意思嗎？

生：嗯，然後我先算 4×4 等於 16，再加上前面的 1，應該是 17，不是 9。

類型 B2 將 a^m＋aⁿ與指數律 a^m×aⁿ＝a^m+n的運算混淆或誤認為 a^m+aⁿ＝(a+a)^m+n 在「指數的概念與指數運算」二階段評量試題預試統計結果，總數 110 位受 測學生中，共有 22 位犯此錯誤類型。

此錯誤類型的成因為：

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(a)將指數的加法運算 a^m＋aⁿ與指數律 a^m×aⁿ＝a^m+n混淆，誤認為 a^m＋aⁿ＝a^m+n。 (b)不了解指數律規則而臆造公式，認為 a^m+aⁿ＝(a＋a)^m+n。

《訪談實例 B2(a)-1，學生編號：SP101，訪談時間：100 年 12 月 20 日》

師：同學，來，這一題你寫的理由(如下圖)，請你說明一下好嗎？

師：同學，來，這一題你寫的理由(如下圖)，請你說明一下好嗎？

在文檔中 國一學生在指數學習的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 108-127)