研究工具

本研究利用以下幾項研究工具來蒐集所需的資料及進行實驗，分別說明如 下：

一、數位器材

本研究所使用的數位器材包含：電腦教室中的桌上型電腦、錄音筆、數位錄 影機。桌上型電腦內含 XP 作業系統、小算盤、Office 文書處理軟體之 PPT 簡報、

Excel 軟體及 SPSS、AMOS 統計軟體等，主要處理資料之整合及分析比較，錄 音筆功能為紀錄本研究面談學生時的談話內容，數位錄影機則為紀錄補救教學實 驗前導研究及正式補救教學實驗之實際教學情形。

二、「指數的概念與指數運算」的開放性試題

為研究的需要，研究者共編製兩次開放性試題，目的在於了解學生在指數單 元的學習情形，並探討學生在學習指數基本概念及運算上的錯誤類型及其形成原 因，同時逐次刪修與增訂試題，以達到研究目的。

(一) 第一次開放性試題—「指數的概念與指數運算測驗試題(一)」

研究者依指數單元各主題的教學目標訂定其評量標準，並彙整蒐集文獻資 料、各家版本的教科書、以及本身和專家教師的教學經驗，設計出第一次開 放性試題「指數的概念與指數運算」開放性試題(一)(詳見附錄一)，並編列 雙向細目表，表 3-3 為指數概念與指數運算試題(一)雙向細目表；表 3-4 為 指數律試題(一)雙向細目表；表 3-5 為第一次開放性試題各題資料參考來源 表。

表 3-3

指數概念與指數運算開放性試題(一)雙向細目表 知識內容

條件

指數的概念 指數的運算

合計 形式 大小比較 求值 加減 乘除

底數為 指數為正整數 ○⁴ ○¹² ○⁶ ○¹ 4

49 Misconceptions about Exponents (2007)

Salvatore Enrico Indiogine

12、13、14、15 張嵐雄(2010)、張勝和(1995) 06

各家版本的教科書(康軒、翰林、南一) 01、08、17、19

國中基本學力測驗 04、11

本身或專家教師的教學經驗 09、10、16、20

50

研究者於 100 年 12 月 14 日進行第一次開放性試題施測，施測的學生樣本為 新北市某市立國中一年級學生一班共 37 人，採集體施測方式，試題共 20 題，其 中指數的概念與指數運算 12 題，指數律試題 8 題，測驗時間為 45 分鐘。測驗目 的在收集學生的錯誤情形及其成因，根據測驗結果刪修部份試題成為第二次開放 性試題。表 3-6 為第一次開放性試題各題的答對率：

表 3-6

指數概念與指數運算測驗開放性試題(一)各題答對率

題號 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 答對率(%) 78.4 48.6 37.8 62.2 59.4 67.6 32.4 72.9 45.9 64.8

題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答對率(%) 40.5 56.7 62.2 54.1 70.3 43.2 21.6 45.9 56.7 37.8

針對第一次開放性試題刪修並增訂部分試題成為第二次開放性試題的過程 說明如下：

1.第 01 題與第 12 題原先的評量目標都在測試學生是否理解含指數的運算規則是 需先計算指數，再處理乘法運算，但第 01 題是純數字計算，第 12 題則是包 含未知數 x，評量結果顯示，78％的學生對於 2×3²的運算程序—先計算 3²＝9，

再計算 2×9＝18 沒有問題，但只有約 57％的學生能正確計算 x＝3 時，2x²的 值，在訪談學生時發現學生主要的錯誤在於不理解 2x²和(2x)²的區別，誤以為 2 和 x 之間省略乘號，應該先乘再平方，研究者與幾位專家教師討論後，認為 在學生尚未對指數的意義及運算有正確的概念之前，再加入未知數符號的概 念將使學習更加困難，因此將第 12 題刪去，而第 01 題與第 08 題評量目標相 同，因此將兩題合併。

2.第 03 題原評量目標在測驗學生對於負整數指數的意義是否有正確的了解，本 題學生的答對率僅有 37.8％，訪談時發現學生對於正整數指數是連乘積的簡 記以及負整數指數意義的區別並沒有清楚的概念，因此在第二次開放性試題

51

增加一題對正整數指數的意義與概念的評量試題(第 01 題)，並將本題的敘述 修改為文字題，評量學生對負整數指數的認知情況(開放性試題(二)第 04 題)。

3.第 04 題與第 11 題原評量目標在測驗學生對於指數大小比較的認知，測驗後發 現學生在這兩題的答對率均不高，且訪談學生時發現學生多數用單一概念或 口訣做判斷，例如學生認為只要底數一樣，指數越大所得的結果就越大，或 認為只要底數是分數，指數越大所得的結果一定越乘越小，為避免增加負號 後影響研究者對學生錯誤類型的判斷與歸類，因此將第 11 題修改為假分數的 指數比較大小(開放性試題(二)第 09 題)。

4.第 05 題的評量目標在測驗學生對於(-a)ⁿ與(-aⁿ)概念之間的區別，尤其是當 n 為偶數時，(-a)ⁿ與(-aⁿ)的概念和結果都不相同，但學生容易記憶口訣：偶數 次方就是正的，而忽略括號和指數的相關位置，訪談學生時發現部分學生對 題目(-5)×(-5)可以表示成(-5²)的敘述不能理解，因此將第 05 題敘述修改為(-5²)

＝(-5)×(-5)是否正確(開放性試題(二)第 03 題)。

5.第 07 題原評量目標在測驗學生對於-1ⁿ，指數 n 為正整數的概念及指數為 0 的 概念是否正確，由學生作答反應與事後訪談的結果顯示，學生對於-1¹⁰⁰的概 念仍不清楚，有些學生會認為-1¹⁰⁰是 100 個-1 等於-100，有些認為-1¹⁰⁰是 1。

學生對於指數為 0 的概念更加模糊，許多學生認為 0 次方就是 0，因此認為 25⁰＝0，但因本題一次考兩個概念，學生答錯無法明確區分是對-1ⁿ，指數 n 為正整數的概念不清，還是對零指數的概念不清，學生答錯的理由選項組合 也太多，因此將本題修改為兩個問題，分別問-1¹⁰⁰＝100 是否正確以及 7⁰＝0 是否正確(開放性試題(二)第 06 題及第 02 題)

6.第 09 題的評量目標在測驗學生對於指數為負整數的概念是否正確，因研究者 由文獻及學生作答反應中得到學生容易誤認為指數是負數時，所得的結果就 是負數，或誤認為指數是負整數就一定能寫成小數，由學生的作答反應也確 實得到有相當多的學生犯這些錯誤，因此在第二次開放性試題中負指數的概

52

念除設計第 04 題外，在研究者與專家教師討論，並經指導教授認同下，再設 計第二次開放性試題第 17 題，評量目標在測驗學生是否真正理解負指數的概 念，對於連除的情境，能否用指數律或乘除互逆的運算得到結果。

7.第 16 題的評量目標在測驗學生對於(a^m)ⁿ指數律概念的理解，學生的作答反應 及訪談結果顯示學生對於(2¹⁰)³＝2^10×3＝2³⁰的概念並沒有問題，但本題的答對 率卻只有 43.2％，學生主要的錯誤來自於學生誤認為 2³⁰是 2¹⁰的 3 倍，因此 將本題修改題目敘述為開放性試題(二)第 16 題。

8.第 18 題是參考新北市 99 學年度新生數學檢測的題目修編，但因題目中考的概 念涵蓋 a^m×aⁿ＝a^m+n以及 a^m÷aⁿ＝a^m-n兩個指數律概念，學生犯錯時不易明確 歸類錯誤類型，又因為這兩類題型在題本中已有類似問題，所以將本題刪去。

9.第 19 題的評量目標在測驗學生對乘方轉換底數的概念，本題答對率為 56.7％，

學生對於乘方轉換底數的概念確實有困難，經與專家教師及指導教授討論 後，認為中間的轉換步驟應讓學生自己運算，因此將本題修改題目敘述為開 放性試題(二)第 18 題。

10.第 17 題與第 20 題的答對率僅有 21.6％和 37.8％，這兩題原評量目標在測驗 學生對指數律的了解及應用，但其中所需的轉換概念較多，第 17 題需將 6¹⁰×3⁸中的 6¹⁰先轉換成(2×3)¹⁰再利用指數律表示成 2¹⁰×3¹⁰，得到 6¹⁰×3⁸＝ 2¹⁰×3¹⁰×3⁸，再利用指數律將 3¹⁰×3⁸表示成 3¹⁸，第 20 題同樣需將 14⁶先轉換 成(2×7)⁶再利用指數律表示成 2⁶×7⁶，經與專家教師及指導教授討論後，認為 課本中原指數律規則為(a×b)ⁿ＝aⁿ×bⁿ和(a÷b)ⁿ＝aⁿ÷bⁿ，學生容易用學習過的 分配律概念記憶公式，因此在遇到(a＋b)²和(a－b)²時，就容易產生(a＋b)²

＝a²＋b²和(a－b)²＝a²－b²的錯誤，但乘法公式為國二課程單元，故不在本 研究中進行評量及教學。因國一學生在學習指數律 a^m×aⁿ＝a^m+n和 a^m÷aⁿ＝

a

^m-n時，容易以機械式記憶口訣的方式學習，故在此設計指數律 aⁿ×bⁿ＝(a×b)ⁿ 和 aⁿ÷bⁿ＝(a÷b)ⁿ的試題，讓學生產生認知衝突，以評量學生是否達到有意義

53

54 Anderson and Krathwohl (2001)修訂 Bloom 認知領域教育目標之認知歷程向度內 容中較低層的記憶、了解與應用設計雙向細目表(表 3-4)，但指數律也是指數運

55

56

乘 除

︵ 指 數 律

︶

若 a 為整數，則 a^m×aⁿ＝a^m+n，其

中 m、n 為正整數 ○¹¹ 1

若 a 為整數，則(a^m)ⁿ＝a^m×n，其

中 m、n 為正整數 ○¹³ ○¹⁶ ○¹⁸ 3 若 a 、 b 為 整 數 ， 則 aⁿ×bⁿ＝

(a×b)ⁿ，其中 n 為正整數 ○¹² 1 若 a 是不為 0 的整數，則 a^m÷aⁿ

＝a^m-n，其中 m、n 為正整數 ○¹⁴ 1 若 a 、 b 為 整 數 ， 則 aⁿ÷bⁿ＝

(a÷b)ⁿ，其中 n 為正整數 ○¹⁵ 1

合計 5 3 1 9

研究者於 100 年 12 月 26 日進行第二次開放性試題施測，施測的學生樣本為 新北市某市立國中一年級學生兩班共 68 人。採集體施測方式，試題共 18 題，其 中指數的概念試題共 9 題，指數的運算(含指數律)試題共 9 題，測驗時間為 45 分 鐘。表 3-10 為第二次開放性試題各題的答對率：

表 3-10

「指數的概念與運算測驗」開放性試題(二) 各題答對率

題號 01 02 03 04 05 06 答對率(％) 79.4 36.8 58.8 26.5 47.1 13.2

題號 07 08 09 10 11 12 答對率(％) 86.8 73.5 54.4 64.7 55.9 38.2

題號 13 14 15 16 17 18 答對率(％) 51.5 54.4 48.5 53 41.1 29.4

三、「指數的概念與運算」的二階段評量試題(前測、後測、延後測) (一) 「指數的概念與運算」二階段試題的發展過程

研究者根據「指數的概念與運算測驗」開放性試題(二)的學生作答情形及面 談結果，分析出學生的主要錯誤類型及其犯錯的成因，再依據學生作答狀況編製

57

58

就算是零次答案也不會是零 ¹

68＝1.5％

7⁰等於有零個 7，而每個數字後面都可以加上

「×1」，所以 7⁰＝1

1

68＝1.5％

註：上表中 所圈的，代表在開放性試題中，學生所回答的正確理由中是 最多的，而 所圈的，則是學生所回答錯誤理由中前三多的，因此 將這四個理由編製成二階段試題中的理由選項。

【二階段試題】：

問題 1 7⁰＝0 是否正確？ □正確 □錯誤 理由：

(A) 因為 0 次方表示沒有任何數可連乘 (B) 因為 7×0＝0

(C) 因為除了 0 以外，任何數的 0 次方都等於 1 (D) 因為 7 的 0 次方還有 1 個 7

(E) 其他，我的理由是 。

表 3-12

開放性試題發展為二階段式題範例二

【開放性試題】： 問題 5

2

⁹

( ) 3

^＞

2

8

( ) 3

是否正確？ □正確 □錯誤 理由：

前方打「＊」號者表示學生兩部分填答均答對。 答對率：³²

68＝47.1％

第一部份 第二部分：學生回答的理由 學生人數百分比 學生勾選

「正確」

次方(指數)越大值就越大，9＞8 ₁₉

68＝28％

59

60

比值較大 ¹

68＝1.5％

學生勾選

「錯誤」

分數的次方越大其值越小 ₇

68＝10.3％

假分數乘越多次會越大 ¹

68＝1.5％

問題 5 和問題 9 在學生答題的錯誤概念上有相同的趨勢，故將兩題合併為一題。

【二階段試題】： 問題 4

2

⁹

( ) 3

^＞

2

8

( ) 3

是否正確？ □正確 □錯誤 理由：

(A) ² 9

3 比² 8 3 大

(B) 底數相同時，指數越大值就越大

(C) 底數是相同的正分數時，指數越大值就越小

(D) 底數相同且是小於 1 的正分數時，指數越大值就越小

(E) 其他，我的理由是 。 其餘各題的二階段試題發展請參閱附錄三。

研究者於 101 年 1 月 2 日針對 74 名 100 學年度入學的國一學生進行「指數

研究者於 101 年 1 月 2 日針對 74 名 100 學年度入學的國一學生進行「指數

在文檔中 國一學生在指數學習的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 56-97)