指數相關研究之探討

一、指數概念的教學

Confrey and Smith (1995)提出分裂(splitting)與共變(covariation)結構系統應 用於指數函數的教學，他們提出四個主張並引用實證工作來支持分裂與共變結 構。

主張一、在許多乘法的情境中，以連續的加法來描述是不充分或不適當的。

主張二、除了連續的加法之外，提供了一個以乘法和除法的操作基礎的原始模 型，他們稱它為「分裂」(splitting)，就如計數的動作可和加法與減法發 展的觀點相關連，分裂的動作則是和乘法與除法發展的觀點相關連。

在分裂的早期應用中，分配是最重要且常見的例子，在 Edith Biggs (1971) 針對 7 歲大孩童的研究中，她的報告指出孩童想知道每個人在操場上 有多少空間，他們改變舊有的乘除模式，而以圖 2-2 孩童在操場面積問 題的條列表示，孩童自發地使用重複倍增或減半，Biggs 認為孩童可以 不經由累加正式計算答案的過程而對乘法有更多的理解。

圖 2-2

孩童在操場面積問題的條列

資料來源：Confrey, J. & Smith, E. (1995). Splitting, Covariation, and Their Role in the Development of Exponential Functions. Journal for Research in Mathematics

Education, Vol. 26, No. 1. (Jan., 1995), p. 71.

主張三、分裂提供比例概念的基礎，比例是分裂世界發展基礎下的主要概念。

主張四、分裂的發展和它與比的連結奠定了分裂世界的基礎，其整體結構與發展

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Characteristics of Counting and Splitting Worlds Splitting 分裂 Counting 計數

One is the origin 起源為 1 Zero is the origin 起源為 0 Splitting by n is the successor

action 後繼元素為 n 的分裂

Adding one is the successor action 後繼元素為 1 的累加

The unit (of growth) is n or n: 1 單元（增長）是 n 或 n：1

The basic unit is one 基本單元是 1 Multiplication and division are

basic operations

乘法和除法是基本的運算

Addition and subtraction are the basic operations

加法和減法是基本的運算 One is the identity element

1 是單位元素

Zero is the identity element 0 是單位元素

Reinitializing to one 重新初始化為 1

Reinitializing to zero 重新初始化為 0 Commutativity applies to

multiplication 適用於乘法交換性

Commutativity applies to addition 適用於加法交換性

Ratio is used to describe the interval between two successive

“whole” numbers 用比率(Ratio) 來描述兩個連續整數的間隔

Difference is used to describe the interval between two successive

“whole” numbers 用差(Difference) 來描述兩個連續整數的間隔 Composite units are made by

raising “splitting units” to a higher power

複合單位是提高“分裂單位”到更 高次方而成

Composite units are formed by aggregating counts into larger groups

複合單位是聚集成較大的群體而 成

Parts (multiplicative) are created by n-rooting

乘法的等分是由n-方根所建立

Parts (additive) are created by n-splitting

加法的等分是由n-分裂所建立 Exponentiation is created as

repeated multiplication

乘冪是由反覆連續的乘法所建立

Multiplication is contructed as repeated addition

乘法是由反覆連續的加法所建立 Distributivity is applied to

exponentiation over multiplication 分配律應用在乘法對乘冪的分配

Distributivity is applied to over addition

分配律應用在乘法對加法的分配

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Rate is the ratio per unit time 變動率是每個單元次的比率

Rate is the difference per unit time 變動率是每個單元次的差

資料來源：Confrey, J. & Smith, E. (1995). Splitting, Covariation, and Their Role in the Development of Exponential Functions. Journal for Research in

Mathematics Education, Vol. 26, No. 1. (Jan., 1995), p. 75.

圖 2-3 為 3 次 2-分裂的樹狀圖，其中將發生分裂動作的數目進行計數，

做為指數，分裂動作後的數目則為其結果，因此 3 次 2-分裂後可得到 8。

圖 2-3

3 次 2-分裂的樹狀圖

資料來源：Confrey, J. & Smith, E. (1995). Splitting, Covariation, and Their Role in the Development of Exponential Functions.

Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 26, No. 1.

(Jan., 1995), p. 76.

在九年一貫正式綱要數學學習領域(民 89)中提到，傳統數學教學上，常把概 念和演算截然二分，然而數學運算或計算並不只是機械式計算操作而已。所謂能 熟練數學的運算或計算，是指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行 的純熟操作。

Tall (2001)指出我們可以用不同的方法在不同的數學領域中發現數學概念的 精簡或壓縮(compress)，例如：在算術上由計數的冗長過程到簡單的數的概念，

或由反覆連加的過程到乘法的概念。要成功的發展數學思維，通常要透過符號表 徵及使用可用的關連操縱符號。數學的增長並非只是新知識的增加，它需要在舊 的教學概念之上給予新的和不同的意義，導致知識的重建。Tall 更指出在一開始 介紹次方時要先以連乘的熟悉概念引入，並介紹一個新的符號來表示它，而指數 律的學習要在練習中讓學生藉由操縱這些次方符號結合的方式得到有意義規則

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的經驗去學習，當指數是分數或負整數時，xⁿ代表 x 連乘 n 次就不再適用，一個 人怎能說「有¹

2個 2 連乘」呢？同樣地，2^-3不能解釋為「有-3 個 2 連乘」。

Skemp (1987)也提到在學習指數時，有兩個明顯不同的階段，自然數指數的 意義是非常明顯的，但到零指數和負指數時，引入新定義(或者說擴大定義)不應 該破壞原來定義所具有的公式或性質。

對本研究的啟示：

由以上文獻探討，在指數律的教學中，讓學生藉由操縱先將乘方分解為連乘績，

再將其結合簡記為乘方的方式得到有意義規則的經驗去學習，在零指數教學中，

以類似 2 分裂的樹狀圖設計細菌分裂的實例讓學生理解零指數的意義，並詳細舉 例說明 2⁰代表「0 個 2 相乘」或 2^-3代表「-3 個 2 相乘」是沒有道理的。

二、 指數相關錯誤類型的實徵研究

國內學者對數學概念探究學生的錯誤概念及其形成原因的實徵研究眾多，茲 將與指數相關的研究整理如下：

藍國華(民 94)研究宜蘭地區高中生在指數函數單元的學習過程中，會產生哪 些錯誤類型，並分析學生犯錯的原因。研究發現學生的錯誤類型共有 7 種，其中 有指數律的運算法則錯誤、粗心漏看題目的條件、與對數運算規則混淆等，造成 學生錯誤的原因共有 12 種，其中則有對定義及指數律的概念不清、受先前學習 過的知識或本單元學習經驗的影響做錯誤的推論、缺乏先備知識、忽略題目所給 條件、把給定的條件特殊化、教學；口訣的影響、忽略；遺漏或誤加條件及不合 邏輯的推論等。

陳英世(民 97)探討台南縣地區高一學生在指數函數單元概念與運算錯誤情 形及犯錯原因，歸納出高一學生在指數函數單元概念與運算錯誤類型共有 11 種，其中有概念不清產生的錯誤、濫用規則產生的錯誤、忽略題目的條件或隱藏

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條件產生的錯誤、括號處理的錯誤等，造成錯誤的原因共有 9 種，其中則有缺乏 指數概念、指數符號概念不清、指數律混淆、指數函數圖形單調性概念模糊、先 備知識不足、受先前學習過的經驗或本單元學習經驗的影響以及新舊學習經驗的 相互干擾、教師上課口訣的影響、對題目的條件認知不足。

沈龍植(民 97)針對高雄地區高中學生指數單元解題之錯誤類型分析研究中 得到學生在指數單元的錯誤類型共有 12 種，其中有指數意義概念錯誤、指數運 算(指數律)概念錯誤、指數函數單調性概念不清楚等，發生錯誤的原因共 5 種，

其中則有指數概念；指數運算規則錯誤、運用公式錯誤或代入錯誤公式、對題目 的條件認知不足、無據的推論。

郭佾玄(民 98)探討高雄市地區高職一年級學生在指數函數單元概念與運算 錯誤情形及犯錯原因，歸結出高職一年級學生在指數函數單元概念與運算錯誤類 型共有 6 種，其中有概念造成的錯誤、先備知識的不足、忽視條件產生的錯誤等，

造成學生錯誤的原因共有 9 種，其中則有對指數定義及指數律的觀念不清楚，指 數函數圖形概念模糊、缺乏預備知識、忽略題目所給的條件、把給定的條件特殊 化、不合邏輯的推論等。

廖純如(民 101) 探討高中生在學過「對數概念及其運算性質」的課程後，會 出現哪些錯誤類型，並針對這些錯誤類型實施補救教學，幫助學生改正這些錯 誤。研究發現高中學生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型共有 10 種，其 中有指數式與對數式的轉換，兩式之間記號的對應錯誤等，造成學生錯誤的原因 共有 4 類，其中則有對於新概念的單一表徵方式或不同表徵方式之間的轉換或是 其使用的條件限制無法正確地認識與連結、無法將兩個概念之間的符號表徵關係 或不同運算性質間的差異，做正確的轉換或區分、對於新概念的運算性質或使用 的限制不熟悉，就將先前的經驗做過度的類推、為方便學生記憶口訣的影響造成 的錯誤等。

陳筱涵(民 93)研究探討高雄地區國一學生在因數與倍數單元中可能產生的

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錯誤類型，進而分析造成學生錯誤之成因，結果發現學生錯誤類型主要有 4 個部 分，其中有指數律誤用或指數概念錯誤導致相關概念計算之錯誤等，造成學生錯 誤的原因有 7 類，其中則有錯誤的使用運算規則等。

陳怡如(民 96)探討國二學生在多項式乘除運算單元的解題情形與錯誤類 型，及其錯誤形成原因，研究結果學生在學習多項式乘除單元的錯誤類型共有 2 大類 14 種，其中在多項式的乘法和除法運算中，學生都有使用指數律運算錯誤 的情形，造成錯誤的原因共有 6 種，其中則有運算規則錯誤及口訣的影響造成乘 法公式的誤用等。

張嵐雄(民 100)探究國中生在多項式乘除運算的主要錯誤類型及其補救教學 之研究，得到國二學生在多項式乘法與除法的主要錯誤類型有 13 種，其中指出 學生有使用錯誤的指數律的錯誤類型等，造成錯誤的原因共有 5 種，其中則有對 次方的意義不了解和對指數律公式的記憶錯誤等。

李憶琴(民 95)以基本學力測驗試題為藍本改編對國三學生在二元一次方程 式單元之解題策略及所出現的錯誤類型，並探究分析學生出錯的原因。研究結果 發現在計算題的錯誤類型中有指數律概念上的錯誤情形，錯誤的原因中則有運算 法則的混淆、以自行建構的錯誤概念計算等。

Indiogine, S. E. (2008)指出學生在指數學習常見的迷思概念有：

(1)認為 x^a+b=x^a+x^b；(2)認為 x^ab

= x

^a‧x^b；(3)認為 x²‧x³

＝x

⁶；(4)認為(2^x)(2^x)=4^2x； (5)認為(y²)³=y⁵；(6)認為 ₄ ³

12

2 2

2  ；(7)認為 3a²=(3a)²；(8)認為 x^-3

=- ¹

₃

x

^；(9)認為 (a+b)^-1=

b a

1

1 

；(10)認為 10^-3=-0.3。

Marquis (1988)研究指出學生常犯的指數錯誤類型有：a²×b⁵＝(a×b)⁷， (a²)⁵＝a ⁷，3²×3³＝9⁵，(3a)⁴＝3a ⁴等。

Marquis (1988)研究指出學生常犯的指數錯誤類型有：a²×b⁵＝(a×b)⁷， (a²)⁵＝a ⁷，3²×3³＝9⁵，(3a)⁴＝3a ⁴等。

在文檔中 國一學生在指數學習的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 41-51)