因數倍數之相關研究

學生在進入五年級時立即面臨了因數與倍數的課程，相較於其他主題，

此部份課程更顯抽象，且在因數部份更無直接相關的先前知識，因此常讓學 童產生挫敗感。為了解學生解題錯誤的癥結所在，相關的研究相繼投入其 中，歸納出學童在因數與倍數的迷思概念；而有些研究則將焦點置於創新教 學的設計，期望能提供老師更有效的教學方法；亦有些研究針對學習困難的 學生設計生活化與個別化的補救教學活動，期許學生能突破學習瓶頸；部份 研究者的研究重心則在探索因數與倍數的知識結構，期望能有助於改善學童 學習之成效。

茲將因數和倍數相關的研究，依不同的研究方向大致分為錯誤解題策略 和迷思概念及其成因、創新教學及教學建議、補救教學之策略、知識結構分 析，分述於下。

壹、錯誤解題策略和迷思概念及其成因

林珮如（2001）依據 Mayer 及 Brainbridge 解題理論和直觀法則理論自 編因數迷思概念診斷工具，再對高雄縣市之 145 名國小五年級學童進行施測 及個別晤談，分析歸納學童在因數方面的解題策略，探討學童的因數迷思概 念和成因。結果發現國小學童學習因數時的迷思概念共計有概念混淆不清、

概念遺漏與概念錯誤三大類。原因包括先備知識理解不清產生錯誤連結、相 類似知識造成的混淆干擾、用一一列出對應方式解題時，粗心或計算錯誤、

缺乏閱讀解釋問題能力以致誤解題意、採用關鍵字解題……等。

邱慧珍（2002）在國小學童倍數解題迷思概念之研究中，發現國小學童 在解倍數相關知識時，會因為先備知識不足、概念理解不清楚、解題執行不 正確或不解題意等原因，而造成倍數相關概念混淆、概念遺漏或概念錯誤的

名詞誤解、認為 1 是倍數、遺漏數字本身是倍數、用猜測的方式找解題策略、

用關鍵字解題以及計算粗心等不正確的解題策略。

陳標松（2003）在國小六年級數學學習困難學生因數倍數問題解題之研 究中發現，國小六年級學生在因數倍數問題測驗中的總答對率 70，得分的 分配情形十分分散，且呈負偏態狀況，在測驗中的運算題目得分較高，對倍 數和公倍數的觀念較容易著手，對因數和公因數的學習較困難。數學學習困 難學生在因數倍數問題中的主要迷思概念有：乘除法運算概念錯誤（系統性 錯誤和粗心錯誤）、語言概念錯誤（題意了解錯誤和專有名詞概念錯誤）、

策略概念錯誤（解題策略錯誤和隨機反應錯誤）。

何欣玟（2004）在國小六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力研究 中發現，因數與倍數概念之錯誤類型可分為：語言概念錯誤，包括題意了解 錯誤、語意知識不足、專有名詞概念混淆；認知概念錯誤，包括運思能力不 足、粗心錯誤、運算系統錯誤、直觀法則影響；策略概念錯誤，包括解題策 略錯誤、計劃監控失誤；個人態度錯誤，包括厭惡思考、猜測。

陳筱涵(2004) 針對學生在因數與倍數單元中錯誤類型情形進行調查，

並且整理及歸納出學生之錯誤類型，同時藉由晤談進一步分析學生在因數與 倍數單元中犯錯之原因為：專有名詞概念混淆或錯誤；受該單元學習經驗影 響，做出錯誤的推論；新知識與舊經驗互相干擾混淆、做錯誤的聯結或類推；

錯誤的使用運算規則；易受文字題中無關訊息的干擾而無法解決問題；語意 知識不足，轉譯題意有困難；先備知識的不足。

除了國小學童的研究，亦有部份研究將觸角向上延伸，賴容瑩（2005）

以國一學生為研究對象，發現國一學生解最大公因數與最小公倍數相關試題 的困難在於：有了解題意的困難，多數中、低能力學生無法將題目轉譯成數 學式，無法將題目中的條件細分，亦無法找出有用的條件；有理解整除概念

之條件，此外諸多學生無法了解「a 可以被 b 整除」概念中的數值間之關係；

有理解各基本概念的困難，學生會在「公」、「最大」、「最小」等概念上 有誤解的情形發生，且學生也會對兩數之間的因數、倍數、公因數、公倍數、

最大公因數、最小公倍數關係混淆；過於依賴短除法，且在計算過程中容易 發生錯誤而影響到其解題；受試學生較無法判斷題目中有哪些條件是不必要 的；較無法分辨題目中有多於一個的答案；部分中、低能力學生僅從題目中 的「整除」條件判斷題目可能與因數或倍數有關，但並無法正確判斷出該找 因數還是倍數。

吳秀玲（2008）亦發展出一套適用於國中生的二階段診斷評量，診斷學 生在因數倍數單元的概念學習狀況。研究發現學生在因數倍數單元的錯誤類 型有：基本概念的錯誤；名詞定義不熟悉或名詞混淆的錯誤；處理語言訊息 能力不足的錯誤；數學語言表達困難的錯誤；運算及解題的錯誤。錯誤原因 為：知識的不足與概念、名詞的混淆；缺乏精熟練習對課程內容不熟悉；新 舊學習經驗的互相干擾；錯誤的使用運算規則；不了解或錯看題意；在學習 過程中做出錯誤推斷。

貳、創新教學及教學建議

有感於目前因數與倍數單元對學童和老師所造成的困擾，黃培甄、葉啟 村（2005）著手研擬異於目前因數與倍數課程的創新架構，希望能讓學童更 易於進入因數與倍數之學習情境。其創新架構特色包括三部份：先引倍數教 材再引因數教材、透過分的記錄引入因數教材、整合強化學童因數與倍數關 係。結果顯示，透過乘法分的記錄引入因數概念，可降低學童學習錯誤率並 有助於釐清概念，也因乘法分的記錄即以往除法算式的檢查記錄，因此學童 接受度很高，對算式也能夠有所理解。透過分的記錄，更可將學童因數與倍 數概念整合，且跟往後質因數分解工具連結，對因數的學習是有所幫助的。

透過乘法算式整合因數與倍數的概念，讓因數與倍數概念不只是個別的、分 散的，且解題概念會相當清楚。

利用孩子喜歡遊戲的天性，黃國勳（2003）積極投入動態活動、分組競 賽和補救遊戲的設計，分別設計了二個階段的教學模組，以解決實際因數教 學所面臨的問題。第一階段教學模組實踐結果顯示：實施真實的教學活動，

能使學生較易了解整除和因數的意義；操作具體物的教學活動，強化學生整 除與因數的概念；藉由趣味化與結構化的遊戲，能促進學生主動學習，確保 學生因數學習成功。第二階段教學模組實踐結果顯示：提供「視覺化」的具 體活動與細緻的引導，可協助學生抽象思考「因數配對」的關係；操弄「結 構化」教具，可強化學生「因數配對」的概念；透過找大數的因數之評量，

可準確考驗出學生因數配對的概念，也發現學生求因數的自然解法與障礙。

有別於遊戲的趣味，柯重吉（2006）則是運用多媒體電腦輔助教學融入 因數倍數教學，研究顯示：在實驗教學後，電腦輔助教學之因數倍數學習成 就顯著優於一般教學方式，數學學習態度也優於一般教學方式，且師生口語 互動有顯著的差異，整個活動的學習中心由教師轉向學生，學生轉為更自發 性的學習。

王詩惠（2003）對於國小五年級學童學習因數的情況透過施測結果的分 析歸納,將學童易犯的迷思、學習此單元狀況以及在因數文字題上的解題情 形整理詳述。並提出結論與建議,包括：學童對於「整除」要有清楚的概念 且知道整除與因數間的關係；提供學生具體或與生活有關的問題,藉由具體 物的操弄,讓學生有「等分」的經驗,以幫助理解因數的概念和用途；遇到文 字題時,老師多強調「公平分完」的概念；以簡單明確的文字來定義因數；

重視演算法與意義的連結,以協助學生發展過程概念。

參、補救教學之策略

由於學生素質良莠不齊，理解數學概念步調不一，為了能「把每一位學 生帶上來」，蕭正洋（2003）先以筆試測驗調查學童倍數迷思概念及錯誤解 法，以個別晤談的方式了解學生的解題過程與想法，再根據筆試與訪談之結 果，歸納出其原因，搭配相對應之補救教學活動，同時探討教學歷程及其成 效。最後在倍數補救教學部份提出以下的建議：其一，由於倍數概念是指定 一正整數為單位量，因此必須釐清單位量與單位數的概念，接著再建立「倍」

的概念及與乘、除法算式間的聯結，建立以上概念條件後，方能引進倍數概 念。其二，乘、除法是倍數概念的下屬概念，而公倍數概念是倍數的上位概 念，若下屬概念模糊，則易導致上位概念模糊。教師應注意學生是否在「概 念連鎖」的某環節出問題，並應對症下藥，以確保概念間的聯繫順暢及完整 性。其三，剛升上國小高年級的學童多數尚處於具體運思期，因此應多呈現 動手操作具體物及主動探索的情境，使學童獲得「從做中學」的經驗，進而 理解倍數、公倍數的概念。

與上一研究同樣利用具體物操作的情境，進行生活化、具體化及個別化 的補救教學活動，于國善（2003）則是聚焦於國小因數單元的補救教學。過 程強調以學生為主體，並將問題結合其經驗，讓學生能實際動手操作，且由 學生自己說出「整除」的意義，進而逐步建構「因數之概念」。個案經補救

與上一研究同樣利用具體物操作的情境，進行生活化、具體化及個別化 的補救教學活動，于國善（2003）則是聚焦於國小因數單元的補救教學。過 程強調以學生為主體，並將問題結合其經驗，讓學生能實際動手操作，且由 學生自己說出「整除」的意義，進而逐步建構「因數之概念」。個案經補救