第四章 研究結果與分析
第二節 小六學童公因數公倍數之數學成就之現況
本節擬利用公因數公倍數之數學成就測驗正式施測結果，以了解小六學 童公因數公倍數之數學成就之現況，並利用晤談結果，整理出小六學童公因 數與公倍數答題錯誤迷思概念。
壹、小六學童公因數公倍數之數學成就之現況
整份公因數公倍數數學成就測驗正式施測各題通過率平均數 0.71，標 準差 0.176。其中通過率平均數在 0.8 以上者佔總題數之 41％，而平均數在 0.7~0.8 者佔 37％，平均數在 0.6~0.7 者佔 0％，平均數在 0.6 以下者約佔 22％。
表 4-2-1 公因數公倍數之數學成就測驗平均數與標準差
以個人得分而言，答對率在 0.90 以上者占 9％，答對率在 0.60 以下者 占 27％，答對率在 0.60~0.90 之間的人數最多，占全體人數之 64％，其中 又以答對率在 0.74、0.78、0.81、0.85 之人數最多，分別占全體人數之 12
％、10％、11％、9％，小計 42％。
.15 .22 .26 .33 .37 .41 .44 .48 .52 .56 .59 .63 .67 .70 .71 .74 .78 .81 .85 .89 .93 .96 1.00
答對率答對率 答對率答對率
0 5 10 15 20 25 30
人人 人人 數數 數數
圖 4-2-1 公因數公倍數之數學成就測驗次數分配表
在公因數公倍數八概念中，「認識質因數和作質因數分解」通過率最高，
平均數 0.88，標準差 0.329；「認識最大公因數和互質」平均數 0.81，標準 差 0.390，「認識質數和合數」平均數 0.79，標準差 0.405，此二概念之通
過率亦接近 0.80，算是通過率頗佳之概念。「用質因數分解或短除法找出最 大公因數」平均數 0.73，標準差 0.446，「認識最小公倍數」平均數 0.72，
標準差 0.447，「最小公倍數的應用」平均數 0.71，標準差 0.455，此三概 念之通過率均接近 0.70，表現普通。「用質因數分解或短除法找出最小公倍 數」平均數 0.61，標準差 0.489，得分欠佳，學童在尋找兩個數的公倍數時，
有七成以上是沒問題的，但其中的第 11 題是要找出三個數字的最小公倍數 時，通過率還不到 30％，多數學生在解題時均直接使用短除法，然而當三 個數字出現，兩兩有公因數，但並沒有三數共同的公因數時，即停止短除法 的分解，與尋找三個數字的最大公因數之方法混淆，因此出現錯誤的答案。
通過率最低之概念為「最大公因數的應用」，平均數 0.57，標準差則為 0.495。其中 18、23、24 題只要利用題目中所給的兩個數字直接計算最大公 因數，即可算出正確答案，因此通過率還不錯，不但超過 75％以上，甚至 有兩題超過 90％；然而 19、21、26 為兩步驟應用題，學童在算出最大公因 數之後，往往無法理解求出的公因數代表的是什麼意義，接著在題目中沒有 數字可以直接乘或加的情況下，學童僅能碰運氣套出答案，因此通過率頗不 理想，均低於 40％。第 17、20、22、25、27 題為最小公倍數應用問題，其 中 17、20、22 題為兩步驟應用問題，只要算出最大公倍數再乘或加即可求 得答案，相較於最大公因數應用問題，學童在此部份的表現頗佳，通過率在 70％~85％之間。因數是以總量為起點，探討可能組成的單位量，而倍數的 概念是以指定的整數為單位量，探討可以生成的總量（王環原，2008）。同 為兩步驟的應用問題，學童在解公因數應用問題時，對於組成的單位量和單 位數常處於不明所以的狀態，因此通過率偏低。
表 4-2-2 公因數公倍數八項概念之平均數與標準差
貳、小六學童公因數與公倍數答題錯誤迷思概念
S22：2×2×3＝12 2×3×3＝18
T：可是你算出來的是 84 喔！
S27：1、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
T：你知道質數的定義是什麼嗎？
T：相乘懂嗎？
S05：3×2×3×2＝36。
T：那你知道這個短除法中這些數字是什麼意思嗎？