Cronbach’s α 係數的內部一致性(internal consistency)來分析信度。由施測結果 可得因數與倍數概念的前置經驗測驗α係數為0.884，因數與倍數概念測驗α 係
歷程，其每一大題的子題的難易度均由簡單至困難，顯示低階能力為高階能 力的基礎，符合測驗設計原則。由表中可知選擇題的難易度在 0.32~0.95，。
因此，本測驗之難易度應為適當。
二 二 二
二、、、、鑑別度分析鑑別度分析鑑別度分析鑑別度分析
鑑別度分析的主要目的在於了解該試題是否具有區別學生能力高低的功 能。本研究以 Pearson 相關係數來分析試題之鑑別度，其方法是計算出受試 者在某題目的得分與其測驗總分的相關係數，以此係數表示該題之鑑別度，
由表 4-1 可知，所有試題其相關係數均達顯著相關，且達顯著水準(p<.05)。
因此，顯示此份試卷擁有相當良好的鑑別度。
表 4-1 正式施測試題之難易度與鑑別度
整體答對 低分組 高分組 難易度 鑑別度 Person 積差 刪除此題後信度 題號 百分比 P 通過率 PL 通過率 PH (PH+PL)/2 (PH-PL) 相關係數 Cronbach α 值
a1 0.76 0.47 1.00 0.74 0.53 0.536** 0.89 a2 0.71 0.42 1.00 0.71 0.58 0.630** 0.88 a3 0.95 0.84 1.00 0.92 0.16 0.563** 0.89 a4 0.80 0.47 1.00 0.74 0.53 0.577** 0.89 a5 0.58 0.26 0.94 0.60 0.68 0.446** 0.89 a6 0.80 0.58 0.94 0.76 0.36 0.517** 0.89 a7 0.68 0.53 0.88 0.70 0.35 0.266* 0.89 a8 0.68 0.47 0.81 0.64 0.34 0.382** 0.89 a9 0.66 0.47 0.88 0.67 0.40 0.303* 0.89 a10 0.78 0.47 1.00 0.74 0.53 0.693** 0.88 a11 0.80 0.47 1.00 0.74 0.53 0.667** 0.88 a12 0.85 0.58 1.00 0.79 0.42 0.528** 0.89 a13 0.85 0.58 1.00 0.79 0.42 0.696** 0.88 a14 0.78 0.47 0.94 0.71 0.46 0.635** 0.88 a15 0.71 0.47 0.94 0.71 0.46 0.537** 0.89 a16 0.63 0.11 0.94 0.52 0.83 0.619** 0.89 a17 0.68 0.26 1.00 0.63 0.74 0.621** 0.89 a18 0.32 0.05 0.69 0.37 0.64 0.529** 0.89 a19 0.75 0.47 1.00 0.74 0.53 0.547** 0.89 a20 0.64 0.42 0.81 0.62 0.39 0.396** 0.89 a21 0.76 0.47 1.00 0.74 0.53 0.493** 0.89 a22 0.83 0.63 0.94 0.79 0.31 0.485** 0.89 a23 0.81 0.58 1.00 0.79 0.42 0.485** 0.89 a24 0.71 0.42 1.00 0.71 0.58 0.623** 0.89 a25 0.81 0.53 1.00 0.76 0.47 0.617** 0.89
** 在顯著水準為0.01時 (雙尾)，相關顯著。
* 在顯著水準為0.05時 (雙尾)，相關顯著。
第
J.Loevinger(1974)假設 Hp 為等質性係數(Homogeneity index)，即試題關聯 順序性係數 rij，假設順序性係數的閥值為μ*，依竹谷 誠的研究，全部試題
試題Ik
試題關聯順序性的存在，則以 0 來表示無試題Ij
到試題Ik
順序性指 向所在。因此在這個原則之下，將附錄八的試題關聯順序性係數一覽表中大 於 0.5 的係數轉換為 1，而小於 0.5 的係數轉換為 0，轉換成附錄九較簡便的 順序性係數之 0-1 矩陣表，有助於畫出指向結構圖。附錄九的試題關聯結構順 序性係數 0-1 矩陣表，經 IRSP 軟體的處理後，在電腦螢幕上顯示出試題關聯 結構圖，其處理方式是以縱座標表示通過率，座標下方表示通過率高，而座 標上方表示通過率低，將試題題號依通過率高低標於座標上適當之位置，再 依順序性係數 0-1 矩陣表中，是否有 1 來畫出矩陣表的縱座標試題至橫座標試 題之指向箭頭。
第
念，以倍數概念和公倍數概念的試題居多，一共有六題，也占全體試題的25%
左右，可知學童在倍數概念和公倍數概念的試題上比較容易得分。
二、就縱貫層面來看
本測驗共有25 題，以閥值0.5 為標準，所形成的群體受試者之試題關聯 結構圖經簡化後，繪出如圖4-1 所示：
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
○
18
○
5
○
16○
20○
9○
17○
8○
15○
24○
7
○
2○
1○
19○
14○
10○
21
○
4○
6○
11○
23○
25○
12○
13○
22○
31
圖 4-1 群體受試者之試題關聯結構圖
由圖4-1 可以發現整個群體受試者之結構圖是由試題3、12為最下位的概 念再向上發展而延伸出數個系列結構，其頂端分別是試題5、7、18、20，其 中又以試題18的位置最高，為最上位的概念。由圖4-5 可發現試題11、14為 一等價群，表示學童答對試題11的亦同時答對試題14，反之亦然。
貳、系列概念試題關聯結構圖方面
一、內容部分
(一)「因數知識」子概念試題關聯結構圖之分析
「因數知識」子概念中包含試題 1、2、16、18、24，其試題概念分析如 表 3-1，所呈現出之試題關聯結構圖如圖 4-2 所示：
0.20
0.40
0.60
0.80
○
18
○
16
○
2○
1○
24
圖 4-2「因數知識」子概念試題關聯結構圖
分析：
由結構圖4-2 得知，受測學童在「因數知識」子概念上，答對試題1的學 童亦答對試題18，而答對試題1的學生亦可答對試題18，竹谷 誠教授稱此種 現象為一系列化，以試題1、2、24→試題18系列表示。圖4-2 中有試題1→試 題18系列；試題2→試題18系列；試題24→試題16→試題18，詳細分析分述如 下：
1、試題1→試題18系列
試題1的答對率是.76，觀察試題內容，試題1是針對簡單因數概念的題 目，試題18的答對率為.32，試題內容為因數概念應用的題目，學童對於題意 的理解尚有待加強。由圖4-2中關聯結構線所產生的順序性，可發現學童因數 基本概念具備，但在解決文字應用題方面，因為缺乏判斷力，答對率不高，宜 多加練習。
2、試題2→試題18系列
試題2的答對率為.71，分析試題內容，學童出現錯誤的地方可能在於誤 認「數字越大，因數個數就越多」；試題18的答對率為.32，試題內容為列舉 所有的因數概念的應用題。此點可建議教學者在教因數概念時，建立學童檢 驗因數之能力。由圖4-2中關聯結構線所產生的順序性，可發現試題2是試題 18之下位概念，試題18是試題2之上位概念。
3、 試題24→試題16→試題18
試題24的答對率是.71，觀察試題內容，試題24是針對因數概念之了解的 題目，試題16的答對率為.63，試題內容為比較因數個數多寡題目，學童對於 多個數字分析因數個數能力開始顯得薄弱，試題18的答對率為.32，由圖4-2 中關聯結構線所產生的順序性，透露學童從了解、分析到應用的能力逐漸感 到困難。其中，試題16的高分組通過率是94%，而低分組通過率是11%，兩者 差異很大，可見低分組學童面對「因數」時，對「最大的因數」和「最小的 因數」概念很模糊。
(二)「公因數知識」子概念試題關聯結構圖之分析
「公因數知識」子概念中包含試題 6、9、17、20、23，五題無順序性關 聯，表示五者概念是相互獨立的，其試題概念分析如表 3-1，所呈現出之試題 關聯結構圖如圖 4-3 所示：
0.60
0.70
0.80
0.90
○
20○
9○
17
○
6○
23
圖 4-3「公因數知識」子概念試題關聯結構圖 分析：
由結構圖4-3得知，受測學童在「公因數知識」子概念上，答對試題6、9、
17、20、23彼此獨立，沒有上下位概念。試題6答對率是.80、試題9答對率 是.66、試題17答對率是.68、試題20答對率是.64、而試題23答對率是.81。
由圖4-3中關聯結構線所產生的順序性，可發現學童以答對率高低依序為試題 23、試題6、試題17、試題9、試題20，試題23和試題6是求於兩數最大公因數，
試題17和試題9則是求兩數公因數，學童利用短除法求出兩數最大公因數的能 力優於求出兩數公因數能力，但彼此無指向關係，即看不出哪一概念屬上位，
哪一概念屬下位。而試題20答對率僅有.64，觀察原因是由於學童對此類題型 不熟悉，產生因為不了解題意而誤答。
(三)「質數合數知識」子概念試題關聯結構圖之分析
「質數合數知識」子概念中包含試題 5、7、10、11，其試題概念分析如 表 3-1，所呈現出之試題關聯結構圖如圖 4-4 所示：
0.60
0.70
0.80
0.90
○
5
○
7
○
11○
10
圖 4-4「質數合數知識」子概念試題關聯結構圖 分析：
由結構圖4-4得知，受測學童在「質數合數知識」子概念上，答對試題5、
7、10、11彼此獨立，沒有上下位概念。部分學童同時也答對試題5、7、10、
11，試題5答對率是.58、試題7答對率是.68、試題10答對率是.78、而試題11 答對率是.80。由圖4-3中關聯結構線所產生的順序性，可發現學童以答對率 高低依序為試題11、試題10、試題7、試題5，仔細觀察發現學童在辨識哪一 個數字為質數時較拿手，答對率也比較高，但是隨著進入互質之概念及辨別 所有質因數之概念，學童答對率也隨之降低，顯見學童在「互質」及「所有 質因數」的學習上出現迷思，答題表現受到影響。
(四)「倍數知識」子概念試題關聯結構圖之分析
「倍數知識」子概念中包含試題 3、4、8、13、14、15，其試題概 念分析如表 3-1，所呈現出之試題關聯結構圖如圖 4-5 所示：
0.70
0.80
0.90
○
8○
15
○
4○
14
○
13
○
3圖 4-5「倍數知識」子概念試題關聯結構圖
由結構圖4-5 得知，受測學童在「倍數知識」子概念上，答對試題3的學 童同時也答對試題4、8、13、14、15，以試題3→試題4、8、13、14、15表示。
圖4-5中有試題3→試題4系列；試題3→試題13→試題14系列；試題3→試題 14；試題3→試題8；試題3→試題15，詳細分析分述如下：
分析：
1、試題3→試題4系列
試題3的答對率是.95，觀察試題內容，試題3是有關倍數了解概念的題 目，試題4的答對率為.80，試題內容為是倍數記憶概念的題目，但兩者皆屬於 求出某數的倍數，試題3是試題4之下位概念，學童對於在給定之範圍內找出倍 數能力優於未給定範圍之能力。由圖4-5中關聯結構線所產生的順序性，可發 現學童在倍數概念發展，是由給定之範圍內找出倍數到未給定範圍找出倍數的 運算。
2、試題3→試題13→試題14系列
試題3的答對率是.95，觀察試題內容，試題3是有關倍數了解概念的題
目，試題13的答對率為.85，是倍數記憶概念的題目，試題14的答對率為.78，
是倍數應用概念的題目，由圖4-5中關聯結構線觀察到試題3、試題13、試題14 產生順序性，試題13是利用餘數找倍數，是試題3的上位概念，但另一方面是 試題14的下位概念。
3、試題3→試題14系列
試題3的答對率是.95，試題14答對率是.78，學童在試題3的表現優於試 題14，由圖4-5中關聯結構線所產生的順序性，試題3是試題14之下位概念，
試題14是試題3之上位概念。可發現在倍數概念發展，題目需要比較複雜的計 算能力時，因部分學童加減乘除概念不清楚，因此答對率不理想。
4、試題3→試題8系列
試題3的答對率是.95，試題8答對率是.68，觀察試題內容，試題3是找出 7的倍數，試題8是找出11的倍數，由圖4-5中關聯結構線所產生的順序性，試 題3是試題8之下位概念，試題8是試題3之上位概念。
5、試題3→試題15系列
試題 3 的答對率是.95，試題 15 答對率是.71，試題 3 是給定範圍找倍數，
而試題 15 屬於乘法的遞移，即以三個未知數表達倍數之間的關係，由圖 4-5 中關聯結構線所產生的順序性，試題 3 是試題 15 之下位概念，試題 15 是試 題 3 之上位概念。部分學生缺乏學生缺乏因數、倍數互逆的概念及對文字的 理解能力，以至無法正確解釋因數倍數之關係。
(五)「公倍數知識」子概念試題關聯結構圖之分析
「公倍數知識」子概念中包含試題 12、19、21、22、25，其試題概念分 析如表 3-1，所呈現出之試題關聯結構圖如圖 4-6 所示：
0.75
0.80
0.85
○
19○
21
○
25
○
12○
22圖 4-6「公倍數知識」子概念試題關聯結構圖 分析：
由結構圖4-6得知，受測學童在「公倍數知識」子概念上，答對試題12的 學童同時也答對試題21，答對試題25的學童同時也答對試題21，以試題12→
試題21系列和試題25→試題21系列表示，詳細分析分述如下：
1、試題12→試題21系列
試題12的答對率是.85，觀察試題內容，試題21是有關公倍數了解概念的 題目，試題8的答對率為.76，試題內容為一樣是公倍數分析題目，學童答對率 差異不大。由圖4-6中關聯結構線所產生的順序性，可發現多數學童在公倍數
試題12的答對率是.85，觀察試題內容，試題21是有關公倍數了解概念的 題目，試題8的答對率為.76，試題內容為一樣是公倍數分析題目，學童答對率 差異不大。由圖4-6中關聯結構線所產生的順序性，可發現多數學童在公倍數