第一章 第一章
第一章 緒論 緒論 緒論 緒論
本研究旨在應用試題關聯結構分析法（Item relational structure, 簡稱 IRS），探討國小六年級學童因數與倍數概念結構，並以此編製因數與倍數概 念測驗，用來檢測國小六年級學童在因數與倍數概念的能力表現，其結果可 做為教學者實施補救教學之參考。本章分為四節，依序為研究動機、研究目 的、名詞定義、研究限制等四節。
第一節 第一節
第一節 第一節 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機
近年來，國民小學之課程傾向生活化，以學生為學習主體，尊重適性發 展，以終身學習為教育的目標。我們知道「數學」是一切科學之母，各種學 科課程舉凡物理學、化學、天文學、地球科學、資訊電腦及太空科學的基礎 均以數學的理論為根基。發明家培根(Roger Bacon,1214-1294)也曾說過：
「Mathematics is the gate and key to the sciences. 『數學是進入科學的門和鑰 匙。』」日常生活中包括圖形、測量、統計、買賣、記帳、旅行費用規劃等，
或多或少都要用到數學的概念或技能，顯示數學無所不在；可見數學不只是 學校眾多領域中的一個學科領域，更與我們的日常生活息息相關，與其說數 學是日常生活中的一種技能，不如說是擁有正確的數學概念，才能在生活中 運用自如。
八十二年版的國民小學數學課程(教育部，2003)即明確指出：要落實學生 為本位的觀點，認為只有在學童主動參與教學活動下，學習才會發生；並且 將數學視為解題的活動，強調學習者主動的從自己的經驗中，建構與理解數 學概念，了解、評鑑及尊重別人解題的方式與觀點，培養以數學溝通、討論、
講道理和批判事物。因此，八十二年版數學課程標準在教育目標方面凸顯「兒 童本位」及「民主素養」，在學科目標方面著重「解題為本」、「活動取向」。
九年一貫課程是八十二年版的延續和擴充；課程理念由「學科中心」轉
向「學生中心」，教材組織由「學科組織邏輯」轉向「學科發生邏輯」，教學 方法由「講述式教學」轉向「討論式教學」（鍾靜，1999、2000）。再則九年 一貫中強調數學能力是國民素質的一個重要指標，臺灣學生屢屢在國際比賽 中嶄露頭角，讓世界看見臺灣學生優異的表現，因此，要把每一位學生都帶 上來，是九年一貫及國家教育政策的理念，讓每位學生充分認識重要的數學 概念及提升厚實數學能力。教育工作者應提供學生做有意義及有效率學習的 機會，使學生能學好重要的核心數學題材，並能依循九年一貫課程目標，循 序漸進學好國小的核心數學題材，因為這些重要的數學概念，是九年一貫所 強調可以「帶著走」的能力。課程目標的達成，可以培養學生的演算能力、
抽象能力、推論能力及溝通能力和學習應用問題的解題方法，奠定國高中階 段的數學基礎，並希望能培養學生欣賞數學的態度及能力。
每位教師在教學活動結束後，需要研究的課題是學童是否真正理解數學 概念及如何提升其計算能力、抽象能力及推理能力，因此，在國小階段的數 學課程中，數與量概念的學習非常重要，特別是在五、六年級課程學習中。
其中「因數與倍數」概念一直是學生學習數學倍感困難的單元之一，進入國 中階段，因數與倍數的學習加深加廣，往往造成學生學習上的挫敗和障礙，
甚至感到討厭或排斥(陳清義，1995；黃國勳，2004 )。為了讓教師瞭解學童在 因數與倍數概念學習的發展情形，研究者參考相關書籍編製一套完善的因數 與倍數概念試題，來偵測學童的概念發展，以利教師了解學童概念迷失之情 形，並進行補救教學。研究者擔任國小五、六年級數學教學時發現，學生在 五年級學習因數、公因數、倍數及公倍數單元時，部分學生對於上述相關概 念並不清楚，尤甚是公因數及公倍數應用問題類型常有遺忘或迷思概念的現 象，這些問題常在評量時一一出現，其他任教五、六年級老師也反應有相同 情形。九年一貫國小「數與量」主題中有關因數與倍數的能力指標明確指出：
在五、六年級時，能理解因數、倍數、公因數與公倍數、能認識質數、合數，
並能用短除法做質因數分解及能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的 意義，並用來將分數化成最簡分數。然而因為五年級學生學習因數及倍數，
只有初步的概念，不如六年級學生深入，故本研究決定以國小六年級學生為 研究對象，以因數和倍數教材為研究重點，透過因數與倍數概念測驗，了解 學生在解題時的能力表現，探討學生在處理因數和倍數概念問題困難所在，
讓教師能更精確掌握學生之學習狀況，以期能提供教師未來補救教學之參考。
根據民國 98 年公佈的國小數學新課程標準，分為「數與量」、「幾何」、「代 數」、「統計與機率」和「連結」等五大主題。「數與量」的概念可以分為整數、
分數及小數三類，在數學課程中可說占了極為重要的部分，而因數、倍數之 相關學習，更對於未來數學的學習，有極大的影響。特別是五年級的重點在 整數部分是認識因數、倍數、公因數及公倍數；而在 97 年版課程綱要中，國 小九年一貫數學領域五年級課程目標是能理解因數和倍數；能認識兩數的公 因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。六年級課程目標是能認識質數、
合數，並用短除法做質因數的分解（質數＜20，質因數＜20，被分解數＜100）； 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數；能認識兩數互質的意義，並 將分數約成最簡分數。國中九年一貫數學領域能理解質數的意義，並認識 100 以內的質數；能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數，並熟 練質因數分解的計算方法；能理解因數、質因數、倍數、公因數、公倍數及 互質的概念，並熟練質因數分解的計算方法。以各版本因數教材地位來看，
因數概念對於往後數學的學習是重要的，因數除了是等值分數的先備知識，
也是比例概念的基石（ 劉祥通、周立勳，1999）， 更是往後學習因式、倍式、
多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎，這些再再證明國小因數與倍數 的學習是將來數學的基礎。
根據許多研究指出，學習「因數」概念學生易犯的錯誤或迷思概念如下：
轉譯文字題的題意有困難、粗心而出現遺漏或多選的情形、名詞混淆不清或
對陌生名詞的不瞭解（黃寶彰，2003）; 混淆不清、概念遺漏與概念錯誤（林 珮如，2002）; 先備知識不足、概念錯誤、粗心、概念混淆不清、利用關鍵字 解題、直觀法則、語文知識不足、問題轉譯能力不足、策略知識不足、不當 的遷移（周文忠，2002）；乘除運算概念錯誤、語言概念存在錯誤、策略概念 錯誤（陳標松，2003）；只思考一個數的特性（如：質數）比思考二個數的關 係（如：互質），對學童而言是較困難,許多學童在「1是否為質數？」產生迷 思、由除法算式引入因數概念會比由乘法算式引入更容易使學童接受、近30
％的學童沒有具備周延的過程概念，未具備隱藏性知識的概念，無法彈性思 考解題過程中隱藏性知識的意義、近20％的學童在思考「因數」時，常會把 因數的基本成員「1」給遺忘。（施美多，2007）。
然而其他研究也顯示學生學習「倍數」概念易犯的錯誤或迷思概念如下：
國小學童在解倍數相關知識時，會因為先備知識不足、概念理解不清楚、解 題執行不正確或不解題意等原因，而造成倍數相關概念混淆、概念遺漏或概 念錯誤的迷思概念類型（邱慧珍2002）；部分學童對因數與倍數的觀念模糊 及專有名詞混淆、學生缺乏因數倍數互逆的概念、部分學童常會以為任意兩 數的公倍數即為兩數互乘、學生對於0這個數字容易產生誤解、由乘法算式引 入倍數概念會比由除法算式引入更容易使學童接受、此班有25%的學生仍舊有 理解各基本概念的困難（施秀麗，2007）。
有鑑於上述所提及原因，加上因數與倍數概念是學生學習數學備感困難 的單元之一，因為它們的概念相當抽象，在學生的生活經驗中也缺乏與因數 及倍數概念結合的活動，也是老師教學頗感困難的題材(王詩惠，2003) 。此 外，學習因數與倍數概念時，容易因為學童的乘除能力計算不足，導致解題 時發計算錯誤。Piaget認知發展理論中，7-11歲屬於具體運思期
(Concrete-operation Stage)，國小五年級學童初學因數與倍數概念尚無法作抽象 思考，而六年級學童進入形式運思期(Formal-operational Stage)，已經能作抽象 思維。因此配合學生的認知發展順序，在不同認知發展階段，有不同的教學
方式，例如：具體運思期要注意實物教學、形式運思期提供學生運用符號抽 象思考的機會。根據許多研究發現，國小學童的因數、公因數、倍數及公倍 數的解題能力表現並不理想(游麗卿，1998；黃耀興、邱易斌，1999；謝堅，
1997；蕭金土，1995)。近年來也有許多研究發現學童在學習因數、公因數、
倍數及公倍數時所存在著各種不同迷思及可能的原因(吳彥廷，2005；周文忠
，2002；林珮如，2002；邱慧珍，2002；施美多，2006；陳清義，1995；陳 標松，2003；黃寶彰，2003；黃國勳、劉祥通，2003；Mayer, 1992; NCTM,2000;
Nevin, 2002; Vergnaud, 1983)。許多國小中低程度學生往往因為無法有系統學 習因數與倍數概念而遭遇瓶頸，導致往後的數學學習產生先備知識不足的問 題，更加深他們上了國中之後，對於數學學習的挫敗以及排斥感(陳清義，1995
；黃國勳，2004)。且由於數學課程內容隨年級增長越來越抽象，學生無法應 付時，他們學習數學的興趣逐漸低落。因此，有研究者提出教學方法，利用 學習策略、教學補救等方式，以改善學童學習困難與迷思概念(于國善，2004
；黃國勳，2004)。且由於數學課程內容隨年級增長越來越抽象，學生無法應 付時，他們學習數學的興趣逐漸低落。因此，有研究者提出教學方法，利用 學習策略、教學補救等方式，以改善學童學習困難與迷思概念(于國善，2004