試題分析理論 - 國小六年級因數與倍數試題分析研究

壹、試題關連結構分析法的由來及功能

一、試題關連結構分析法的由來

在班級實施數學教學活動後，學童之概念能力的表現，是每位教學者應當重視的議題，長久以來，現場教學者一直對於使用何種考驗的方法傷透腦筋。然而，美國學者 Airasian & Bart 於 1973 年揭示關鍵性的「順序理論」

（Ordering theory，簡稱 OT）在教育工學的功用（Airasian & Bart, 1973），用來分析皮亞傑 (J. Piaget) 等學童運思能力的次序性 (Bart & Mertens, 1979;Bart

& Read, 1984) ，由於學童的數學知識具有次序性的階層結構，因此，次序理論便被應用於數學試題階層結構之分析，並以次序理論之分析結果，繪製出學童次序階層結構圖。1977 年日本學者竹谷誠參加美國威斯康辛大學的研討會，因 F.B. Baker 的介紹，在返回日本後，便致力於改良「順序理論」的缺點，於 1979 年發明「試題關聯結構分析法」，於 1980 年提出以測驗試題的結果，按照題目彼此間反應所得的次序關係，製成具有指向性的圖形結構，

來分析試題的特性，此種方法稱之為試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis），簡稱 IRS 分析法（引自許天維，1995），並在教育現瑒實驗使用，前後有七、八年之久，由此可證明是一個有效的分析工具。這個重大的發現給予教學者新的思考方向。

二、試題關連結構分析法的功能

有了「試題關聯結構分析法」，才使班級學習情況分析獲得解決。經過研究的結果，試題關聯結構分析法具有下列五種功能（引自許天維，1995）：

(一) 教學設計

教師在進行單元教學活動之前，先將課程內容之先備經驗概念，詳細作知識結構分析，之後再依知識結構所對應的概念分別出題，並加以施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以考驗出學生先備經驗概念不足之處或學習困難所在，以作為進行教學活動設計的參考。

(二)了解學生概念形成過程

對橫斷研究(cross section study)而言，可知班上學童的概念形成過程的分布。對縱貫研究(longitudinal study)而言，兒童概念的形成過程有層次之分，例如：山田完提出教師在進行評定兒童的概念形成，設有四層次，即操作經驗層次、知學內化層次、言語抽象層次、困果論理層次等，用來評定各年級班上學生概念的形成過程，並建立各年級的結構圖，即可知學生的概念形成過程的發展。

(三)形成性評量

單元教學活動後，教師可以透過了解學生知識結構，編製形成性評量 (formative evaluation)，並將施測結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，就可以知道班級學生的學習結果，以便針對兒童不清楚之處，進行補救教學。

(四) 認知學習構造

可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數，進而偵測出異質性的兒童的形成性評量之反應結果，將此類兒童所畫出結構圖與班上的結構圖互相比較，即可知道此類兒童異質的原因，從而加強輔導教學。

(五) 課程教材構造

由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過「試題關聯結構分析法」進行構圖，可得一般兒童的學習結構，對編纂教科書的作者而言，是相當珍貴的資料及對於分析優秀教師的教學特質，都有很大的作用。

值得注意的是，「詮釋結構圖」與「試題關聯結構圖」，不但可解決日本教育學者坂元昂的授業改造技法一書中，所注重的教材構造分析與學習結構圖的編製(坂元昂，1980)，亦可解決美國著名的教育學者 J.M. Scandura 所倡導的結構式學習理論（Structural learning theory, 簡稱 SLT）的不足之處（湯維玲，1994）。因為結構式學習理論，必須尋找理想化教師（idealized teacher），

藉著其專業能力，對教材內容的結構，進行有系統的分析。理想化教師依據教材的問題型式著手，並將知識化約成一套由領域（domain）、範圍（range）

和運作（operation）三部份所組成的「規則」（rule），再以此「規則」為基礎，細分成許多原子要素，然後確認學習者已知或未精熟（nonmastery）之處，

理想教師便從學習者失敗的路徑（path）要素，開始執行教學設計與活動。此時，在教學過程中可用「詮釋結構分析法」形成「規則」的結構路徑，而確認學習者已知困難。再者根據 Scandura 的研究，以結構分析的方式，處理計算技巧、幾何作圖問題、代數證明、小學數學課程以及 Piaget 保留概念問題等，

都有極豐碩的實證性研究成果（Scandura, 1980）。

「詮釋結構圖」沒有透過成就測驗或是形成性評量，而是使用經過設計的兩兩關係概念問卷來找出受試者概念間指向，或是藉由受試者自行建構的兩兩

關係概念指向，再運用圖形理論來統合所有被製造出來的指向，並加以畫出構圖，這是一種屬於知識結構分析的特殊方法(佐藤隆博，1987)。本節「試題關聯結構圖」與「詮釋結構圖」（Interpretative structural modeling,簡稱 ISM）是不能混為一談的。由於國小學童對知識架構不夠成熟，使用此法通常無法獲得真正可靠的結果，所以此種方法僅適宜分析專家（expert）或是知識較為成熟的受試者的知識結構。

依據研究結果，試題關聯結構分析法有助於教師進行教學設計、了解學童的認知學習構造及概念形成過程、對形成性評量的結果進行補救教學並提供教科書編者對課程教材構造之瞭解（許天維，1995）。郭伯臣和田聖才（1995）

研究指出，藉由 IRSP1 的分析結果，可以了解能力由低到高的學生，試題間結構變化的情形，進一步了解其學習的發展過程。盧銘法（1996）的研究也發現，利用試題關聯結構分析法可以把原來 Van Hiele 的幾何發展水準再細分出結構層次。黃盈君（2001）的研究也指出，利用試題關聯結構分析法，獲得學生三角形圖形的概念結構，也發現不同性別學生概念結構大致相同。陳敏華（1998）亦研究指出，利用試題關聯結構分析法，可以獲得全體受測學生的學習結構圖，利用知識結構來分析而形成試題，也能從試題關聯結構結構圖獲得相關的訊息，對先前提出的概念模型作部份修正。以上這些研究說明了試題關聯結構分析法實際應用的功能。

本研究之試題於學童學習活動前進行施測，因此運用到診斷性評量之功能，可藉此了解學童學習前的知識結構，診斷出學童已具有的概念且對教科書課程的內容以提供作為參考的依據。

假設有 A、B 二組學生各八位，均參加試題八題的同一測驗，若答對者得一分，答錯者得零分，其得分情況如下：

表 2-5 A 組學生得分情形

表 2-6 B 組學生得分情形

A 組 ^{試題 1} ^{試題 2} ^{試題 3} ^{試題 4} ^{試題 5} ^{試題 6} ^{試題 7} ^{試題 8}

學生 1 1 1 1 1 1 1 1 1

學生 2 1 1 0 1 1 1 1 1

學生 3 0 1 0 1 0 0 1 0

學生 4 0 1 0 1 0 0 1 0

學生 5 0 1 0 1 0 1 1 1

學生 6 0 0 0 1 0 1 1 1

學生 7 0 0 0 1 1 1 1 1

學生 8 0 0 0 0 1 1 1 1

答對者 2 5 1 7 4 6 8 6

B 組 ^{試題 1} ^{試題 2} ^{試題 3} ^{試題 4} ^{試題 5} ^{試題 6} ^{試題 7} ^{試題 8}

學生 1 1 1 0 1 1 1 1 1

學生 2 1 1 1 1 1 1 1 1

學生 3 0 0 0 1 0 0 1 0

學生 4 0 0 0 0 0 0 1 0

學生 5 0 1 0 1 1 1 1 1

學生 6 0 1 0 1 0 1 1 1

學生 7 0 1 0 1 1 1 1 1

學生 8 0 0 0 1 0 1 1 1

答對者 2 5 1 7 4 6 8 6

由上述二表可知兩組測驗後，各組各試題之答對人數相同，為方便起見，可以改為下表：

表 2-7 A 組學生得分簡表

表 2-8 B 組學生得分簡表

試題 A 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 3 0 1 0 1 0 0 1 0 4 0 1 0 1 0 0 1 0 5 0 1 0 1 0 1 1 1 6 0 0 0 1 0 1 1 1 7 0 0 0 1 1 1 1 1 8 0 0 0 0 1 1 1 1 學

生

答對者 2 5 1 7 4 6 8 6

試題 B 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 0 1 0 5 0 1 0 1 1 1 1 1 6 0 1 0 1 0 1 1 1 7 0 1 0 1 1 1 1 1 8 0 0 0 1 0 1 1 1 學

生

答對者 2 5 1 7 4 6 8 6

其次，由學生試題所得總分由上而下可得下表：

表 2-9 A 組學生總分排序簡表

表 2-10 B 組學生總分排序簡表

試題 A 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 5 0 1 0 1 0 1 1 1 7 0 0 0 1 1 1 1 1 6 0 0 0 1 0 1 1 1 8 0 0 0 0 1 1 1 1 3 0 1 0 1 0 0 1 0 4 0 1 0 1 0 0 1 0 學

生

答對者 2 5 1 7 4 6 8 6

試題 B 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 0 1 0 1 1 1 1 1 7 0 1 0 1 1 1 1 1 6 0 1 0 1 0 1 1 1 8 0 0 0 1 0 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 0 1 0 學

生

答對者 2 5 1 7 4 6 8 6

高分

分高分低

分低

接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P 表(佐藤隆博，1982)

表 2-11 A 組試題答對人數總分排序簡表

表 2-12 B 組試題答對人數總分排序簡表

試題 A 7 4 6 8 2 5 1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 1 0 0 0 7 1 1 1 1 0 1 0 0 6 1 1 1 1 0 0 0 0 8 1 0 1 1 0 1 0 0 3 1 1 0 0 1 0 0 0 4 1 1 0 0 1 0 0 0 學

生

答對者 8 7 6 6 5 4 2 1

試題 B 7 4 6 8 2 5 1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 1 1 1 0 0 6 1 1 1 1 1 0 0 0 8 1 1 1 1 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 學

生

答對者 8 7 6 6 5 4 2 1 多 ←---→ 少

多 ←---→ 少

由上表可知，兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同，亦

貳、試題關聯結構分析法

試題關聯結構分析法簡述如下（引自許天維，1995）：

一、試題關聯結構順序性係數

試題之間的順序程度，用順序性係數來表示，順序性序數的求法，說明如下：假設 A.B.C.D 分別表示如下的意義：

A：試題 i 與試題 j 均答對的人數 B：試題 i 答對而試題 j 答錯的人數 C：試題 i 答錯而試題 j 答對的人數 D：試題 i 與試題 j 均答錯的人數

又設 N＝A＋B＋C＋D，假設試題 i 與試題 j 答對與答錯的情形如表 2-13：

表 2-13 試題 i 與試題 j 答對與答錯的人數統計表 試題 j

試題 i

答對(1）答錯

（0）

總計

答對（1） A B A＋B

答錯（0） C D C＋D

總計 A＋C B＋D N（A＋B＋C＋D）

則試題關聯結構順序性係數r_ij^* 表示如下：（許天維，1996）

rij＝1- CN/ (A+ C)( C+ D )

順序性係數r_ij^*表示試題 i 指向試題 j 的順序性程度，亦即「相對而言，

試題 i 為下位概念（lower concept），試題 j 為上位概念（upper concept）」。順序性係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反之則否。

根據竹谷誠（1991）的研究，此閥值為 0.5，亦即r_ij^*＜0.5，則試題 i 及試題

j 沒有順序關係r ≥^*_jk 0.5，則有試題 i 指向試題 j 之順序關係

試題k

對 1 錯 0 合計

對 1 P

(

x_j =¹^,x_k =¹

)

(

x_j =¹^,x_k =⁰

)

(

x_j =¹

)

錯 0 P

(

x_j =⁰^,x_k =¹

)

(

x_j =⁰^,x_k =⁰

)

(

x_j =⁰

)

試題 j

合計 P

(

x_k =1

)

(

x_k =0

)

依前節所舉的順序性的意義，可以知道若從試題 j 到試題 k 會產生完全的順序性時，不但表示試題 j 比試題 k 容易而且當

jx x

x ≥ s=1,2,K,N

發生時，意味著(0,1)不會發生。如在實際的資料中，欲產生從試題 j 到試題 k 的順序性，則希望(0,1)的形式發生少一點，亦即

( )

^ε

ε^*_jk =P x_j =0,x_k =1 <

且ε 為定數

(

⁰^.⁰²^≤ε ^≤⁰^.⁰⁴

)

時，則有順序性的存在(Airasian & Bart, 1973;

Bart & Krus, 1973)。此一順序性係數有一缺點，便是不能完全反映兩兩試題間的相關係數(Tatsuoka & Tatsuoka, 1981;竹谷誠, 1991;許天維,民 84)。以下是設定在ε =0.04 時所產生不合宜的三個實例：

例 1:

試題k

對錯合計對 0.44 0.05 0.50 錯 0.06 0.45 0.50 試

題 j

合計 0.50 0.50 1.00

此例中，P

(

xj ⁼⁰^,xk ⁼¹

)

、P

(

xj ⁼¹^,xk ⁼⁰

)

皆>0.04，所以兩個方向均無次序性，

但仔細計算其相關係數，其結果高達 0.76，這樣高的相關係數沒有次序性頗

令人起疑。在此情況，如用竹谷誠改良式的順序性公式，則有從試題 j 到試題 k 與從試題 k 到試題 j 的順序性。

例 2:

試題k

對錯合計對 0.39 0.11 0.50 錯 0.06 0.44 0.50 試

題 j

合計 0.45 0.55 1.00

此例中，P

(

x_j =⁰^,x_k =¹

)

、P

(

x_j =¹^,x_k =⁰

)

皆>0.04，所以兩個方向均無次序性，

但仔細計算其相關係數，其結果高達 0.84，這樣高的相關係數沒有次序性頗令人起疑。在此情況，如用竹谷誠改良式的順序性公式，則有從試題 j 到試題 k 與從試題 k 到試題 j 的順序性。

例 3:

試題k

對錯合計對 0.02 0.48 0.50 錯 0.02 0.48 0.50 試

題 j

合計 0.04 0.96 1.00

此例中，有試題 j 到試題 k 的次序性。但計算其相關係數，其結果為 0，

在文檔中國小六年級因數與倍數試題分析研究 (頁 38-54)