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第二節 第二節

第二節 研究目的 研究目的 研究目的 研究目的

基於以上敘述,本研究就因數與倍數相關概念,擬以國小六年級學童為 研究對象,透過數學測驗的編製技術,建置具有良好試題特性的因數與倍數 概念測驗工具,再經由學童的測驗結果,以日本學者竹谷誠所發展的試題關 聯結構分析法(Item relational structure, 簡稱IRS),畫出學童因數與倍數概念 的結構圖,並藉由此概念結構圖所呈現之訊息,來探討學童的群體在因數與 倍數的學習經驗與能力上的表現,進而了解國小學童在因數與倍數概念之理 解程度,以提供課程設計者及教育工作者在進行因數與倍數相關教學活動時 的參考。玆將具體的目的分述如下:

一、編製一符合良好信度與效度的國小學童因數與倍數概念整合性測驗工具。

二、運用試題關聯結構分析法來分析受試者的試題關聯結構圖。

三、根據分析結果,歸納出常犯的錯誤,提供國小六年級學童因數與倍數學 習補救教學之方向。

第三節 第三節 第三節

第三節 名詞 名詞 名詞 名詞釋 釋 釋 釋義 義

本研究中因數與倍數係指根據教育部公佈的「九年一貫課程數學課程綱 要」92 年課綱修訂標準有關因數與倍數之界定:

一、因數與倍數:即一正整數 a 若能整除另一正整數 b,a 稱為 b 的因數,b 稱為 a 的倍數。

二、公因數、最大公因數:即一正整數 a 同為兩個以上正整數的因數時,則 a 為這些數的公因數。在所有公因數中最大者稱為最大公因數。

三、公倍數、最小公倍數:即一正整數 a 同為兩個以上正整數的倍數時,則 a 稱為這些數的公倍數。在所有公倍數中最小者稱為最小公倍數。

四、質數:所謂質數係指一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個因數時,稱為 質數。

五、合數:又稱合成數,大於 1 的正整數中不是質數者稱之。

六、互質:兩正整數若除了 1 以外無其他公因數,則稱此兩數互質。

七、質因數:某數的因數如果也是質數,稱為該數的質因數。

八、短除法:判別一數或一數以上的因數時只寫出除數和商,並不詳細運算 除法過程,如:

九、其計算型態為短除法。若除數皆為質數,其過程即稱為質因數分解。

第 第 第

第四 四 四 四節 節 節 節 研究限制 研究限制 研究限制 研究限制

基於人力、物力、時間等因素,本研究有若干限制之處,茲分述如下:

一、研究法的限制

本研究本研究是採用量的研究方法論,採紙筆測驗方式,以單選的選擇 題方式來呈現,因此計分方式對於未作答或不同於正確選答的反應均以零分 計算,對於學童因數與倍數概念想法上無法完全了解,如果時間、資源允許,

應該透過個別訪談的方式了解學生解題思考的想法,會對學生因數與倍數概 念有更清楚的認識。

二、研究工具的限制

本研究中的研究工具自編測驗「因數與倍數概念之測驗」,依因數與倍 數概念出題,內容多取材於九年一貫課程綱要國小六年級教科書中。因此本 研究僅限於在上述內容情境下。再者學童會隨著不同的題目內容,意境便可 能有所差異,而影響學童數學表現,文字內容即為其中之一。因此,為求研 究的嚴謹,僅能限制在此方面來討論。

三、研究範圍與對象限制

本研究在探討國小六年級因數與倍數試題分析研究,受限於人力、時間 和經費,以臺中市某國小六年級二個班級的學生為研究對象,故對於臺中市 以外之國小六年級學童因數與倍數概念,不宜過度推論。

第二章 第二章 第二章

第二章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

第一節 第一節

第一節 第一節 兒童 兒童 兒童 兒童因數與倍數概念研究 因數與倍數概念研究 因數與倍數概念研究 因數與倍數概念研究

在八十二年國民小學數學科課程標準教材綱要中的「數與計算」部份,

所介紹的因數與倍數內容僅僅只有因數、公因數的認識、倍數、公倍數的認 識,和六十四年版相較之下,它少了最大公因數、最小公倍數、質數與合數、

因數分解與質因數分解、短除法以及 2、3、5、11 等質因數的判斷法等內容

(吳育楨,2008)。九十七年國民小學數學科課程標準教材綱要將能理解質 數、質因數分解、最大公因數、最小公倍數、互質的意義及能熟練求質因數 分解、最大公因數、最小公倍數的短除法,並將以上相關概念運用於解決生 活中的問題。以下針對九十七年國民小學數學科課程標準教材綱要數與計算 部份,與因數倍數有關教材予以介紹,以明瞭因數與倍數相關教材及活動的 設計與處理方式。(謝堅,1995)

一、因數問題

求某一數的因數就解題和運算來看,並不像加、減、乘、除或四則運算 那麼簡單,只是求得一個合理的答案,謝堅(1995)提出因數需要逐一判斷或運 算,以「窮盡」一個數可以被整除的所有情況,若有遺漏答案就殘缺不完整。

八十二年課程中幫助學童逐步形成因數的概念乃透過下列三種問題情境(謝 堅,1995):(一)在方陣排列問題中,探討給定總量的方陣之可能排法,讓學 童經驗給定總量的方陣不同的排法;(二)在包含除及等分除的情境問題中,給 定總量,要求學童回答可能的等分組方式,幫助學童掌握總量可以由哪單位

量組成的意義;(三)在倍的問題情境中,給定總數,要求學童解決可能組成單 位量的數值問題,幫助學童掌握哪些單位量可以組成總量的意義。除此之外,

亦透過限制使用除法算式來記錄解決前述問題解題過程的方式,希望學生在 各種情境問題中,都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義,並形成以總 量為起點,使用「除法算式」記錄解題過程的共識。在課程中不希望學生以 部分的觀點,透過合成的方式來看問題,而是希望學生用全體的觀點,透過 分解的方式來看問題。

在因數課程安排上,由情境問題進入,探討因數的意義,待學生累積足 夠的經驗後,再正式引入因數的意義(于國善,2004;謝堅,1995)。倘若直接 由數的情境進入因數的意義,學生會出現很大的不適應,因為數的本身相當 抽象,而學生的測量運思尚未發展完全,無法將等分除與包含除視為相同的 問題(黃國勳、劉祥通,2003;謝堅,1995)。在教導因數時,先由乘法的觀點 切入,藉由乘法規則讓學童知道「被乘數×乘數=積」和「因數」關係,接著 再讓學童利用除法的技巧來找出並檢驗某數是否為另一數的因數,並讓學童 從解決包含除及等分除的問題中,解決剛好分完的情況來建立因數的概念(教 育部,2003)。

九十七年國民小學數學科課程標準教材綱要中提及學生在解題、理解數 學概念時,經常需要先有適當的範例、應用來提示與引導,這些情境我們都 稱之為具體情境(對應於「認識」與「理解」)。在小學的中低年級,課程中具 體情境有相當多部分與生活相結合,也會使用較多之具體物當做教具,因此 並學生學習問題較少。但隨著學生年齡增長,熟習表徵(例如:乘法的排列模 型)或較抽象的思考(例如:數字感)隨之增加,學生學習數學時,所依賴的具 體情境,就不見得是生活情境。例如:學生在五、六年級學因數、倍數或質

數課題時,最恰當的具體情境,就是學生對整數性質的熟悉,而不是日常生 活的問題。

二、倍數問題

在數學上,如果 a 是 b 的倍數(b 是 a 的因數),則 a,b 要滿足下列三個條 件:(一)a,b 都是整數;(二)b≠0;(三)存在一個整數 q,滿足 a=b×q(教育部,

1993)。在倍數方面,高年級學生已有足夠的倍數解題經驗,也習慣倍數的數 學語言,因此可以直接引入倍數的意義,在課程中透過乘數未知的乘法算式 填充題「2×( )=10」,先要求學童解題,再經由語言的轉換,2 的 5 倍是 10,

所以 10 是 2 的 5 倍,引入倍數的意義。在國小因數與倍數課程中經常被提及 之問題「2 是否為 0.2 的倍數?」、「0 是否為 2 的倍數?」、「0.2 是否為偶數?」

等問題在上述定義中能獲得澄清。當然這和日常生活所談論的倍數關係是不 同的。

三、因數和倍數的關係

在數學上因數與倍數的關係是以除法原理(若有a、b 兩個正整數,則必可 找到q、r兩個非負整數,滿足a=b×q+r的關係,且b>r≧0)為基礎,透過判斷 a是否能整除b(餘數是否為0)的方式,也就是我們將因數與倍數定義為:「設a、

b是兩個正整數,若a=b×q+r,其中q 是正整數且r=0,則稱b 是a的因數,

或稱a是b的倍數」(教育部,1993)。

對測量運思尚未發展完全的學童而言,若直接透過因數的意義來引入倍 數(若b是a的因數,就等同於a是b的倍數),並不易掌握因數與倍數的相對關係 (黃國勳、劉祥通,2003;黃耀興、邱易斌,1999),然而由於成人已發展出測 量運思,因此可以彈性地互換單位量與單位數的角色,並已瞭解乘法、除法

互為逆運算的關係,掌握因數與倍數的相對關係,明白a是b的因數時,b 就是 a的倍數的意義。因此在課程安排上,建議不採用此方式來介紹倍數,而利用 不同的角度引入因數與倍數的意義。謝堅(1995)建議透過下列活動,有助於培 養學童測量運思的發展:(一)透過判斷一個整數是否為其因數的整數倍的方 式,讓學童察覺此整數為其所有因數的倍數;(二)透過先求出某數所有的因 數,再判斷該數是否為其所有因數的倍數的方式,幫助學童察覺一數是其所 有因數的公倍數;(三)透過解決兩數相乘問題,幫助學童察覺兩數相乘的積數 為兩數的公倍數,並希望學童能不經過計算的過程,就直接能判斷兩數相乘 的積數為兩數的公倍數。上述方法除了可幫助學童察覺因數與倍數間的相對 關係,並且提供學童數概念乘法性結構經驗。

四、公因數和公倍數的問題

謝堅(1995)認為倍數與因數問題一樣,在課程安排上也透過下列三種問題 情境,幫助學童逐步形成公因數的概念:(一)在方陣排列問題中,探討兩個方 陣的可能連接方式;(二)透過包含除及等分除的情境問題,先要求學童分別找 出兩相異量各自的可能等分組的方式,再透過比較各自的等分組方式,解決 等分組的可能數值問題;(三)在倍的問題情境下,給定兩總量,透過比較各自

謝堅(1995)認為倍數與因數問題一樣,在課程安排上也透過下列三種問題 情境,幫助學童逐步形成公因數的概念:(一)在方陣排列問題中,探討兩個方 陣的可能連接方式;(二)透過包含除及等分除的情境問題,先要求學童分別找 出兩相異量各自的可能等分組的方式,再透過比較各自的等分組方式,解決 等分組的可能數值問題;(三)在倍的問題情境下,給定兩總量,透過比較各自

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