因數與倍數相關概念研究

壹、因數與倍數相關課程分析

在現行的九年一貫課程中，以「課程綱要」代替「課程標準」，藉以降低課 程實施的規範與限制，提供學校實施課程的自主性。現行課程雖歷經多次修訂，

仍以分科知識為課程架構的依據，以知識的獲得為目標。因此，透過相關課程的 探討，將能更加透徹因數、倍數的相關概念。

一、九年一貫數學課程綱要

八十二年國小數學課程標準，將數概念分為四大類：整數、分數、小數及概 數。因數與倍數在五年級始被提及，重點為認識因數、公因數、倍數、公倍數。

擁有正確的因數、倍數相關概念，將有助於分數的約分、擴分、通分及四則運算 等學習（教育部，1993）。

而九年一貫數學課程綱要自2003 年公布（簡稱 92 課綱）後，進行一連串的 教學與省思，在2008 年進行微調修訂（簡稱 97 課綱），對於因數、倍數的相關 內容較八十二年國民小學數學課程標準（簡稱 82 課程），容納了更多的相關數 概念，並將七年級（國中一年級）課程與小學部分進行連貫的安排，以完整因數

、倍數相關概念的教學，且在小學階段認識因數、倍數相關概念的基本意義，奠 基相關數學概念以厚實數學能力。茲將其差異整理如表2-1。

表2-1

82 課程與 97 課綱之因數與倍數相關概念差異（國小部分）

數學概念 82 課程 97 課綱 數學概念 82 課程 97 課綱

乘法 V V 最大公因數 V

除法 V V 最小公倍數 V

整除 V V 質數 V

因數 V V 合數 V

倍數 V V 互質 V

公因數 V V 短除法 V

公倍數 V V

資料來源：王環源（2009）

在九年一貫數學課程綱要中，將整數教學視為國小數學的核心課程之一，且 整數計算是一切數學學習的基礎。在各階段的課程目標裡，規劃於五、六年級時

，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，建立完整的數字感

（教育部，2008）。也就是因數、倍數相關概念的養成是「數與量」主題中的重 要目標之一。

九年一貫數學課程綱要（2008）將學生所需學習的數學能力以「能力指標」

方式詳列之，其中以五大主題「數與量」N、「幾何」S、「代數」A、「統計與 機率」D、「連結」C；四個學習階段：第一階段為國小一至二年級，第二階段 為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級，

再搭配流水號來表示該細項下的指標序號（例：N-1-06 能理解九九乘法）。

李坤崇、劉文夫、黃順忠（2001）及李坤崇（2001）指出能力指標具有四項 功能如下：（1）編輯教材的依據。（2）確立教學目標與運用教學方法的前提。

（3）教師實施教學評量的準則。（4）基本學力測驗的基準。陳新轉（2004）認 為，能力指標是一種「能力導向」的「課程目標」，並認為能力指標全名是「分 段能力指標」，蘊含能力導向與階段性，係指在某一學習階段完成時，必須精熟 的基本學習內容，以及能力表現方式與水準。因此，將九年一貫數學課程綱要（

97 課綱）中，學生必須精熟的因數與倍數相關能力指標，整理如表 2-2。

表2-2

九年一貫數學課程綱要（2008）之因數與倍數能力指標分佈

階段 能力指標 內容

N-3-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。

N-3-04 能認識質數、合數，並能用短除法做質因數分解。

三

N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用 來將分數化成最簡分數。

N-4-01 能理解質數、質因數分解、最大公因數、最小公倍數、互 質的意義。

四

N-4-02 能熟練求質因數分解、最大公因數、最小公倍數的短除法

，並解決生活中的問題。

所以在國民小學部分，因數與倍數的相關能力指標是屬於第三階段，需達以 下目標：

一、能理解因數、倍數、公因數與公倍數：以幾個一數（1-n-07）、九九乘法（

2-n-08）、除法（3-n-05）的知識能力為基礎，透過相關活動來理解因數、倍 數的概念。並透過列表的方式，尋求兩數的公因數與公倍數，進而形成公因 數、公倍數的概念，並能運用於分數約分、擴分、通分之計算。並從活動中

，引導學童掌握基本的2、3、5、10 因數判別法。

二、能認識質數、合數，並能用短除法做質因數分解：在先前的因數解題活動中

，可以發現有一些整數無法再被分解，他們的因數只有1 與自己而已，這些 數稱之為質數，而其他大於1 且不是質數的整數（或有 3 個以上因數的整數

）稱為合數。在做因數分解的練習裡（應遵循原則：質數<20，質因數<20，

被分解數<100），發現遇到質數就必須停下來。同時紀錄下分解的樣式，發 現不管怎麼分解，在整理過後（國小階段的質因數分解乘積不寫成指數形式

，但可要求學童將最後的分解由小到大排列），形式都一樣，例：60＝15×4

＝（3×5）×（2×2）＝2×2×3×5 或 60＝6×10＝（2×3）×（2×5）＝2×2×3×5

。最後讓學童熟悉 2、3、5、7、11、13、17、19 在 100 以內的倍數。再將 上述經驗整合為常用的短除法算則，以便進行質因數分解。

三、能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數化成最簡 分數：最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉 其意義後，再發展以短除法計算兩數的最大公因數與最小公倍數的計算方式

，並於過程中觀察到互質的意義，當兩數的最大公因數是1 時，稱為互質。

在教學過程中，需指導學生區辨互質與質數的不同。例：14 與 15 雖然都是 合數，但兩者互質。最後，讓學童透過約分，將分數化成分子和分母互質的 最簡分數。

透過上述的能力指標分析，可得知在進行因數與倍數教學時，需先透過乘法

、除法等前置經驗，來理解因數、倍數概念，再透過相關問題來導入其他因數與 倍數的相關數概念。

九年一貫數學課程綱要中將階段能力指標演繹出更細緻的分年細目，並以此 作為教師教學及教科書編輯的主要參考依據（教育部，2008）。而在新的九年一 貫課程綱要（97 課綱）修訂中，將 92 課綱中六年級的「認識最大公因數與最小 公倍數」移到五年級，六年級則引入「短除法」處理因數、倍數問題。因此，將 九年一貫數學課程綱要中與因數、倍數相關的分年細目及對應的能力指標，臚列 如表2-3。

透過表 2-3，可清楚得知因數與倍數的相關能力指標、分年細目與各年段之 間的分佈關係。雖然因數與倍數的相關概念形成，主要分佈在階段三：五、六年 級及階段四：七年級，但教學與學習是連續的過程。是以，各階段的分年細目需 延續相同概念以進行課程發展，故前一階段之分年細目是為後一階段之分年細目 的前置經驗（教育部，2008）。茲將因數、倍數之各分年細目的關係圖，整理如 圖2-1。

表2-3

3-n-05 6-n-02 7-n-02

7-n-03

貳、因數與倍數相關研究報告

因數與倍數的概念與國小階段分數四則運算中的約分、擴分及通分有密切相 關，也直接影響到國中階段的因式、倍式、多項式、因式分解、數列、級數的基 礎（黃國勳、劉祥通，2002）。由此可見在國小階段的因數與倍數學習是國中整 數教學成功與否的重要關鍵。

近幾年的因數、倍數相關研究面向主要分為三大類型：一、課程內容與學生 知識結構；二、教學設計與補救教學；三、解題策略與迷思概念。

一、課程內容與學生知識結構

周筱亭、黃敏晃、謝堅、蔣治邦與吳淑娟（2002）說明「部編本國小數學教 科用書」的數學課程架構編排，將因數與倍數區分為三個部分：因數與倍數的意 義、公因數與公倍數、最大公因數與最小公倍數。

邱慧珍（2002）、林佩如（2002）分別研究五年級數學課本中的倍數、因數 相關知識內容，將倍數內容區分為倍數、公倍數、最小公倍數、因數與倍數關係 四個部分，因數內容分為因數、最大因數與最小因數、質數、公因數、最大公因 數、因數與倍數關係等六個部分，並分別提出學生的因數、倍數知識概念圖。

李淑芳（2008）運用詮釋結構模式和專家諮詢方式，分析並建立國中數學「

因數與倍數」單元的階層結構圖。莊瀅（2011）探討部編版教科書中因數與倍數 內容的概念構圖，發現課本的編排方式，是以舊知識的複習及概念說明來進行相 關數概念之應用。

張維珍（2007）以集群分析法進行學生分群，在因數與倍數概念結構圖上，

發現高能力值組與標準參照知識結構圖較為相似，而中低能力值組較不相似。

吳育楨（2008）與張仁彥（2012）分別對國小六年級學童的因數與倍數概念 階層結構進行探討，不論是在概念ISM 圖或是概念詮釋結構模式，都能得到低、

中、高三組不同能力值的學童概念結構圖有顯著差異。

王環源、林原宏（2009）針對 92 數學課綱，分析因數與倍數相關分年細目

，獲得學生在因數與倍數相關分年細目的知識結構圖，發現在不同能力值的學生 其因數與倍數知識結構圖差異極大。

從上述可知，因數與倍數的課程內容主要是依據因數與倍數相關概念的連結 與發展，新的課程必須植基於舊知識概念的延伸。而在不同能力值的學生知識結 構，都不盡相同，輔以專家知識結構圖的比對，便可發現學生學習的癥結所在。

二、教學設計與補救教學

張梅寶（2006）在探討不同版本的「因數與倍數」教學活動，很明顯的發現

，在教學設計上，都是先教因數，再教倍數。潘鳳琴（2008）則建議從數字關係 進入因數與倍數相關概念的教學，並列舉三種教學活動：（1）藉由找成員活動 理解倍數與因數的特性。（2）藉由古氏積木察覺因數與倍數的關係。（3）透過 數線察覺最小公倍數與公倍數。

黃香喻（2009）提出最大公因數或最小公倍數的教學宜採用循序漸進方式：

首先使用列舉法，再來是質因數分解式法，最後才是用短除法。陳素如（2010）

亦指出教師宜先進行公因數、公倍數的方陣教學，最後再讓學生使用短除法進行 解題。

于國善（2003）提出因數補救教學原則：（1）動手操作實物。（2）運用具

于國善（2003）提出因數補救教學原則：（1）動手操作實物。（2）運用具