研究目的

第一節 研究動機

從古至今，「數學」都被視為一個必須的學習，不論中西，數學擁有著久遠 的歷史。其緣起於人類早期的生產活動；史前人類就透過結繩、書契等方式來表 示物質的多少、時間的長短等抽象的數量關係，進而算術（加、減、乘、除）也 自然而然地產生了。

中國古代的六藝之一就有「數」，在《周禮·地官司徒·保氏》：「保氏掌諫王惡 而養國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰 六書，六曰九數。」東漢鄭玄《周禮註疏·地官司徒·保氏》中引鄭司農（鄭眾）

所言：「九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程式、贏不足、旁要

，今有重差、夕桀、勾股也。」

在西方，數學緣起於希臘語 μαθηματικός（mathematikós），意思是「學問的 基礎」。於16 世紀、17 世紀的數學家，更是將數學從算術、初等代數以及三角學 引領出微積分的概念。如同，數學家高斯稱數學為「科學之母」，數學一直不斷 地延伸，且與科學有豐富的交互作用，隨著自然科學的發展，更多學者投入數學

基礎研究，在集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。

隨著數學逐漸的完備發展，現在所學習的數學，宛如是將數學的歷史發展痕 跡加以濃縮，以教育為目的進行課程編排，在不同階段設計不同的數學內容，其 中基礎數學的知識與運用更是個人與團體生活中不可或缺的一塊。如同英國數學 家Keith Devlin 所說的：「數學讓不可見變成可見。」

OECD（2002）將數學視為為一種工具、一種公民素養。OECD（2003）進 一步指出數學素養意指學生能意識到數學在生活世界的意義，在情境中做出有效 的數學判斷，以一個建構、關懷、反省的公民態度，致力於解決生活上出現的數 學問題。

教育部（2008）在數學課程綱要中，指出三個將數學納入國民教育基礎課程 的重要理由：一、數學是人類最重要的資產之一；二、數學是一種語言；三、數 學是人類天賦本能的延伸。

在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域（2008），將數學領域內容分 為五大主題：「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」。其中「數與 量」共有71 個能力指標，位居各主題之冠。在這 71 個能力指標中，有八成（57 個）能力指標落在國小階段，可見國小階段的「數與量」學習是極為重要的數學 基礎。在這些能力指標之中，「因數、倍數」的能力指標更是少數橫亙於國小與 國中兩者（教育部，2003，2008），顯示「因數、倍數」是「數與量」的重中之 重。賴容瑩（2005）指出國小的因數、倍數課程學習是直接影響學生在國中的相 關學習。

在日常生活中，常見的矩陣排列、平均分配…等等，都是因數與倍數的問題

。同時分數運算的基礎，也是因數與倍數概念，同樣的概念架構更可延伸至多項 式的領域中。甚至是以往被視為純理論數學的質數，亦透過麻省理工學院的瑞維 斯特、希米爾、艾德曼所設計「RSA 密碼演算法」（RSA cipher algorithm），將質 數運用至密碼系統，並被銀行、工商業大量地使用。

但在小學一至四年級的四則運算學習後，遇到高年級的因數與倍數抽象性思 考，往往感到挫折，甚至放棄學習。在中小學數學教師的問卷調查中，學童在「

因數與倍數」概念的學習是困難的（黃寶彰，2003）。

林哲民（2013）指出在因數與倍數的學習上可區分為三套學習進程，包含整 除概念、因數概念以及倍數概念。劉昱泓（2012）在研究中發現低分組學生在合 數、質數的迷思概念情形非常明顯。林佩如（2002）指出國小學童學習因數時的 迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏與概念錯誤三大類。何東墀、蕭金土（

1995）以及林珮如（2002）、邱慧珍（2002）亦提到學習因數與倍數單元時，部 分學生根本無法理解其概念，在教材學習上，存有許多的學習瓶頸和迷思概念。

黃國勳、劉祥通（2002）的研究分析中也指出，因數教材對國小學生是很困難的

，學生在學習因數教材時，存在著許多的障礙。

教育部（2008）課程綱要中指出學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演

、對數學概念的理解，然後懂得利用推論去解決數學問題，而教科書的編寫，應 注意整體結構的有效結合，在題材呈現上，反映出各數學概念的內在連結。因此

，透過分析能力指標，將其中的因數、倍數相關概念抽離後，編製因數與倍數概 念測驗，以作為評量診斷工具，更可以清楚診斷出學生的學習問題所在。

在九年一貫課程綱要中，「因數與倍數」是屬於「數與量」的「整數」部分

，其教學目標是在五、六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運 算相互加強，建立完整的數字感（教育部，2008）。可知「因數與倍數」在國小 高年級的整數教學中佔有重要的角色，同時也成為國中階段整數教學的基礎，教 育部（2003）指出國中學生必須具備理解正整數的質因數分解能力，並能以最大 公因數、最小公倍數熟練應用至約分、擴分以及最簡分數的計算。在此同時，也 很自然地引入指數的記號與指數律。可見因數與倍數是掌握國中整數教學成功與 否的重要關鍵。

在考試領導教學的環境下，為了讓學生獲得亮眼的數學學習成就，學校的評

量往往都在測驗學生的數學成就，而非測驗學生是否擁有正確的數學概念。但教 師想要知道學生對於相關概念的學習是否明瞭，其關鍵亦在「評量」。也就是說

，教師應透過何種方式進行評量，分析學生的學習困難，並做適當的診斷、導引 與解決。Kibler（1974）提出了「教學基本模式」，把教學歷程分為教學目標、學 前評估、教學活動與教學評量等四部分，並透過評量的回饋作用，將四者相互串 連。透過評量可知教學目標是否達成，教學活動的缺失為何，並診斷學生的學習 困難點，作為補救教學及個別輔導的依據。其過程如圖1-1。

教學目標 學前評估 教學活動 教學評量

回饋作用

圖1-1 教學基本模式（The General model of instruction）

資料來源：Kibler（1974）

各種評量方式都有其缺點及優點，不是在教學歷程中置入各式各樣的評量，

就能提升教學品質。評量方式的選擇應著重在評量目的與內涵的適配性。教育部

（2014）在十二年國民基本教育課程發展指引裡指出，評量是老師運用適當方法

，來檢驗學生的學習成果，除了協助學生學習，也用來調整後續教學。

數學的學習，注重循序累進的邏輯結構，目的在培養學生藉由獨立的邏輯思 考能力發展成為解決問題的能力。而因數與倍數的概念於九年一貫課程中，透過 相關階段能力指標演繹之分年細目及詮釋，進行分年段且進階式的教學模式，而 這亦是教師教學及教科書編輯的主要參考依據。教師應以教材內容、教學目標與 相關課程能力指標，訂定評量的標準。其中細目詮釋中所附之評量範例，亦可作 為教師命題難度的參考。

雖然，真實評量或表現評量對於教師的教學或學生的學習會有實質幫助（

Webb & Coxford, 1993），但是，紙筆測驗依舊是教師們進行評量時最常使用的方 法。因此，命題的好壞將攸關整個評量的品質。

Airasian（1994）指出 Bloom 所提出的教育目標分類法對於測驗與評量的發 展影響深遠。該分類方法一直被國內外教育人員所採用，更是從事教育工作者必 備之知識。若能透過Bloom 教育目標分類法，對測驗試題進行雙向細目分析，將 能提升試題的命題層次。

然而，Bloom 教育目標分類法自 1956 年提出以來，在教育領域獲得蓬勃發 展，但仍有不少學者的提出質疑，在歷經多年討論，於 2001 年由 Anderson &

Krathwohl 等人共同出版了《學習、教學與評量分類：Bloom 教育目標分類的修 訂》，進行大幅度的修改。國內，亦有專家學者撰文介紹（葉連祺、林淑萍，2003

；李宜玫、王逸慧、林世華，2004；李坤崇，2006，2009）。

根據研究指出，透過「分類表」的應用，可以增加評量與目標、教學的一致 性（Airasian, 2002；葉連祺、林淑萍，2003；李坤崇，2004；涂佩鈴、林世華，

2005），因此，我們將透過「修訂版 Bloom 教育目標分類雙向細目表」的二維向 度架構來檢視、設計因數與倍數的施測題目。

評量之結果除了是獲得學生的學習成果外，在進行資料分析後，更可提供教 師進行「補救教學」與「試題命題回饋」。因此，一個好的評量分析，就顯得相 當重要。余民寧（1995）指出認知診斷評量則可以綜合傳統評量與多元評量的優 點，在「量」的評量中，提供一些「質」的訊息，進而將診斷與教學相互結合。

游森期、余民寧（2006）指出 S-P 表分析法是一個有效獲得學生學習認知診 斷的評量模式，能將施測學生進行分類，提供教師實施學習輔導之參考標準。

S-P表分析理論（Student-Problem Chart Analysis）是日本學者佐藤隆博博士（

Takahiro Sato）於 1969 年提出，將學生在試題上的作答反應情形進行「圖形化」

分析，透過二元計分（Dichotomous）的資料，產生試題的答對率及試題注意係 數來分析試題的優劣、受試者的答對率及學生注意係數來判斷受試者的學習類型 及狀況，以及判斷整體測驗異常程度的差異係數，在使用上具有便利與個別化的 特性（余民寧，2011）。

在評量時，應使問題能恰當反映學生的學習狀態，且發揮各評量題型的特長

。除了單一選擇題與填充題以外的其他題型，均宜訂定分段給分標準，依其作答 過程的適切性，給予部分分數，並讓學生理解其錯誤的原因（教育部，2008）。

換句話說，試題往往不僅只有對或錯的答案，無法只用二元計分之正確（1）與 錯誤（0）來判定。例如：文字題、應用題等，評分者應依據受試者的答題歷程

換句話說，試題往往不僅只有對或錯的答案，無法只用二元計分之正確（1）與 錯誤（0）來判定。例如：文字題、應用題等，評分者應依據受試者的答題歷程