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多點部分給分S-P表在因數與倍數概念測驗之分析研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文. 指導教授:許天維. 博士. 多點部分給分 S-P 表 在因數與倍數概念測驗之分析研究. 研究生:林書筠. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 撰. 三. 年. 六. 月.

(2)

(3) 謝辭 時間如白駒過隙般,轉眼已兩年。歷經孩子到來的喜悅與混亂,工作崗位的 變動與繁重及研究所生活的忙碌與挑戰;這所有的一切,都讓我這兩年的生活充 實又豐富。很開心,研究所即將劃上一個休止符,這一路上,有太多需要感謝的 人,謝謝你們這一路來的協助與支持,讓我能順利的完成這段學習歷程。 首先感謝我的指導老師許天維教授,沒有您提點論文的面向及斧正,就沒有 今日論文的產出。您如此嚴謹的治學及溫和的指導,讓學生得以瞭解此論文的深 意,在此萬分感激。口試委員陳進春校長從您回覆的信件中,讓學生感受到您的 態度親切和善,也謝謝當日口試時給予學生如此愷切的建言。胡豐榮總務長更於 百忙之中抽空擔任口試委員,對學生論文初稿給予許多細心的指導,此恩讓學生 銘感五內。也感謝曾建銘教授,您身為老師的那份關愛與指導之情,對學生的論 文有著非常大的助益。 其次,感謝郭伯臣院長給予學生我許多學習的機會,讓我接觸到不同面向的 新思維。也感謝施淑娟所長,您認真且豐富的課程與經驗談,讓我學習到相當充 實的測驗新知。最後,要感謝背後一直默默支持我的家人:我親愛的爸爸、媽媽 及姊姊;另外,也要感謝我的老公環源,每當寂靜的深夜,你總是默默的在一旁 協助我,給予我最大的幫助,就這樣,挑燈夜戰到天明,也不說一聲辛苦;謝謝 你們!當然,還有我最愛的寶貝兒子嘗御,辛苦你了,讓你這一年一直都很晚才 回家。還有少不了你們的,那就是我最棒的小組成員,感謝雅瑄、亭廷、律雯, 和你們每晚在Facebook上熬夜敲著鍵盤,相互砥礪、一同談論作業的點點滴滴; 還有那群患難與共的夜測碩二同學們,大家一起埋首課業學習與討論的日子,及 平時你們給予的加油打氣聲,每一個畫面、每一張面容,都令人永難忘懷。 短短兩年,測研所中的每一段回憶,就像一艘滿載思念的船,靠著你們所給 予我的幫助與加油、歡笑與汗水、感恩與惜福,航向另一段絢麗又多彩的旅程, 謝謝你們所給予我的一切。或許這篇論文還有許多不完美的部分,在從無至有的 過程中,我吸取了許多豐富且寶貴的經驗,期望未來這篇論文可以給後進一些指 點的方向。 林書筠 中華民國一○三年六月.

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(5) 摘要 本研究目的旨在利用Manhattan距離量尺的概念擴展佐藤隆博(Takahiro Sato )的S-P表分析法,將其應用至多點部分給分測驗,以期能滿足各類型試題之不 同權重(多點計分)及反應受試者之答題歷程(部分給分),真實涵蓋大部分的 測驗項目。 採用臺中市某國小六年級一個班級的學生為研究對象。以國小因數與倍數概 念測驗之施測為例,依測驗原理進行試題編製與施測,並使用『多點部分給分 S-P 表分析法』進行探討,並從作答反應資料中輔以「作答反應組型」細部分析。測 驗結果呈現如下: 一、差異係數: 差異係數為 0.448,顯示測驗編製內容具有代表性。 二、學生注意係數: 學習穩定型(A) :12 名(42 %)。 粗心大意型(A’) :5 名(18 %)。 努力不足型(B) :7 名(25 %)。. 欠缺充分型(B’) :2 名(7 %)。. 學力不足型(C) :1 名(4 %)。. 學習異常型(C’) :1 名(4 %)。. 三、試題注意係數: 優良型試題(A) :10 題(35 %)。 異質型試題(A’) :15 題(52 %)。 困難型試題(B) :1 題(3 %)。. 拙劣型試題(B’) :3 題(10 %)。. 此外「多點部分給分 S-P 表分析法」分別比「二元計分 S-P 表分析法」及「 部分給分 S-P 表分析法」多診斷出「4 位學生、13 題試題」及「2 位學生、13 題 試題」是需要注意的,再透過探討發現本分析法更貼近受試者的學習情形及反應 施測的內容,顯示本分析法相當適合於一般的班級測驗。. 關鍵字:S-P 表分析法、多點部分給分、因數、倍數. I.

(6) II.

(7) Abstract The purpose of this research is to study the applications of Manhattan Scoring to expand to Takahiro Sato’s student-problem chart analysis, expecting to satisfy polychotomous credit and the reflect the reacting course of the persons taking the test, the partial credit, which covering most of the testing items. This research takes a class of six graders in Taichung as the research object. This research takes an elementary school test of the notion of factor and multiple utilizing applying polychotomous partial credit S-P chart analysis.. Aside with. response pattern, this research aims to understand students’ learning conditions and learning types. The related results as the following: I. Disparity index The value of disparity index is 0.448, suggesting that the content of the test is representative. II. Caution index for Students, CS (A) type of stable learning: 12 students. ( 42% ) (A’) type of careless: 5 students. ( 18% ) (B) type of lacking hard work: 7 students. ( 25% ) (B’) type of insufficent: 2 students. ( 7% ) (C) type of lack subject ability: 1 student. ( 4% ) (C’) type of abnormal learning: 1 student. ( 4% ) III. Caution index for Problems, CP (A) excellent question type: 10 questions. ( 35% ) (A’) question types with different quality: 15 questions. ( 52% ) (B) difficult question type: 1 question. ( 3% ). III.

(8) (B’) clumsy question type: 3 questions. ( 10% ) The result shows that the polychotomous partial credit S-P chart analysis is better off than dichotomous S-P chart analysis in diagnosing four more students and thirteen more questions need to pay much attention to. On the other hand, the polychotomous partial credit S-P chart analysis is better off than partial credit S-P chart analysis in diagnosing two more students and thirteen more questions need to pay much attention to. This analysis is quiet suitable for the number of the students of average class, excepting getting the statistics of the all test takers, it also offers the statistics of individual test and test taker.. Keywords: Student-Problem Chart, Polychotomous partial credit, factor, multiple. IV.

(9) 目錄 摘要 ................................................................................................................................. I ABSTRACT ................................................................................................................ III 目錄 ................................................................................................................................V 表目錄 .........................................................................................................................VII 圖目錄 ....................................................................................................................... VIII 第一章 緒論 .................................................................................................................1 第一節 研究動機...................................................................................................1 第二節 研究目的...................................................................................................6 第三節 研究範圍與限制 ......................................................................................7 第四節 名詞釋義...................................................................................................8 第二章 文獻探討 .......................................................................................................11 第一節 因數與倍數相關概念研究 ....................................................................11 第二節 BLOOM 教育目標分類 ...........................................................................19 第三節 S-P 表分析法研究..................................................................................27 第三章 研究方法 .......................................................................................................41 第一節 研究架構與流程 ....................................................................................41 第二節 施測對象.................................................................................................42 第三節 研究工具.................................................................................................44 第四節 資料處理與分析 ....................................................................................47 第四章 研究結果與討論 ...........................................................................................51 第一節 測驗結果整體表現 ................................................................................51 第二節 不同計分模式之 S-P 表分析法結果比較.............................................55 第三節 多點部分給分 S-P 表分析結果.............................................................60 第五章 結論與建議 ...................................................................................................85. V.

(10) 參考文獻 .......................................................................................................................89 中文部分................................................................................................................89 英文部分................................................................................................................96 日文部分................................................................................................................98 網站部分................................................................................................................98 附錄一 因數與倍數相關概念測驗卷(正式).......................................................99 附錄二 測驗試題之修訂版 BLOOM 教育目標分類 ...........................................103. VI.

(11) 表目錄 表 2-1 82 課程與 97 課綱之因數與倍數相關概念差異(國小部分) .................12 表 2-2 九年一貫數學課程綱要(2008)之因數與倍數能力指標分佈 ................13 表 2-3 因數與倍數的相關分年細目、能力指標.....................................................15 表 2-4 2001 年修訂版 BLOOM 教育目標分類的知識向度結構 ..........................22 表 2-5 2001 年修訂版布魯姆教育目標分類中的認知歷程向度............................23 表 2-6 修訂版 BLOOM 教育目標分類雙向細目表 ...............................................25 表 2-7 作答反應組型.................................................................................................27 表 2-8 DB(M)查表值 ..................................................................................................35 表 3-1 施測學生相關基本資料.................................................................................43 表 3-2 因數與倍數概念施測題型分布表.................................................................45 表 3-3 修訂版 BLOOM 教育目標分類雙向細目表 ...............................................46 表 3-4 試題 P25 部分給分評分規準表 ....................................................................47 表 3-5 試題 P28 部分給分評分規準表 ....................................................................48 表 4-1 試題答對率統計表.........................................................................................52 表 4-2 學生得分百分比統計表.................................................................................53 表 4-3 試題答對率<60%之試題相關資料.............................................................54 表 4-4 信度分析表.....................................................................................................55 表 4-5 不同計分模式 S-P 表之差異係數.................................................................55 表 4-6 不同計分模式 S-P 表之學生類型改變紀錄.................................................56 表 4-7 編號 S18 學生的 S-P 表之不完美反應組型 ................................................56 表 4-8 不同計分模式 S-P 表之試題屬性改變紀錄.................................................58 表 4-9 編號 P27 試題的 S-P 表之不完美反應組型轉置 ........................................58 表 4-10 學生診斷分析表...........................................................................................62 表 4-11 學生學習類型分配表 ...................................................................................63 表 4-12 試題診斷分析表...........................................................................................65 表 4-13 試題品質屬性分配表...................................................................................65. VII.

(12) 圖目錄 圖 1-1 教學基本模式(THE GENERAL MODEL OF INSTRUCTION)..........4 圖 2-1 因數與倍數相關各分年細目關係表 ............................................................15 圖 2-2 新、舊版 BLOOM 教育目標分類之改變情形 ...........................................24 圖 2-3 S-P 原始資料表..............................................................................................31 圖 2-4 S-P 完整資料表..............................................................................................32 圖 2-5 學生診斷分析圖.............................................................................................33 圖 2-6 試題診斷分析圖.............................................................................................34 圖 3-1 研究架構圖.....................................................................................................41 圖 3-2 研究流程圖.....................................................................................................42 圖 3-3 因數與倍數相關概念專家知識結構圖 ........................................................44 圖 4-1 試題答對率長條圖 ........................................................................................51 圖 4-2 學生得分百分比分佈圖 ................................................................................52 圖 4-3 因數與倍數概念測驗 S-P 表 ........................................................................61 圖 4-4 學生診斷分析表.............................................................................................63 圖 4-5 試題診斷分析表.............................................................................................66. VIII.

(13) 第一章. 緒論. 本研究目的係在應用許天維教授所發展出來,以Manhattan量尺為基礎擴展佐 藤隆博S-P表分析法的『多點部分給分S-P表分析法(Polytomous Partial Credit Student-Problem Chart Analysis)』為分析工具,針對國小六年級學童,進行「因 數與倍數概念」測驗,探討其學生注意係數、試題注意係數、差異係數,以進行 試題分析、診斷學生學習狀況及學習類型,進而提供試題編製、教學省思及補救 教學的參考依據。 本章共分為四節:第一節 研究動機;第二節 研究目的;第三節 研究範圍 與限制;第四節 名詞釋義。. 第一節. 研究動機. 從古至今,「數學」都被視為一個必須的學習,不論中西,數學擁有著久遠 的歷史。其緣起於人類早期的生產活動;史前人類就透過結繩、書契等方式來表 示物質的多少、時間的長短等抽象的數量關係,進而算術(加、減、乘、除)也 自然而然地產生了。 中國古代的六藝之一就有「數」 ,在《周禮·地官司徒·保氏》 : 「保氏掌諫王惡 而養國子以道。乃教之六藝:一曰五禮,二曰六樂,三曰五射,四曰五馭,五曰 六書,六曰九數。」東漢鄭玄《周禮註疏·地官司徒·保氏》中引鄭司農(鄭眾) 所言:「九數:方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程式、贏不足、旁要 ,今有重差、夕桀、勾股也。」 在西方,數學緣起於希臘語 μαθηματικός(mathematikós),意思是「學問的 基礎」 。於 16 世紀、17 世紀的數學家,更是將數學從算術、初等代數以及三角學 引領出微積分的概念。如同,數學家高斯稱數學為「科學之母」,數學一直不斷 地延伸,且與科學有豐富的交互作用,隨著自然科學的發展,更多學者投入數學. 1.

(14) 基礎研究,在集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。 隨著數學逐漸的完備發展,現在所學習的數學,宛如是將數學的歷史發展痕 跡加以濃縮,以教育為目的進行課程編排,在不同階段設計不同的數學內容,其 中基礎數學的知識與運用更是個人與團體生活中不可或缺的一塊。如同英國數學 家 Keith Devlin 所說的:「數學讓不可見變成可見。」 OECD(2002)將數學視為為一種工具、一種公民素養。OECD(2003)進 一步指出數學素養意指學生能意識到數學在生活世界的意義,在情境中做出有效 的數學判斷,以一個建構、關懷、反省的公民態度,致力於解決生活上出現的數 學問題。 教育部(2008)在數學課程綱要中,指出三個將數學納入國民教育基礎課程 的重要理由:一、數學是人類最重要的資產之一;二、數學是一種語言;三、數 學是人類天賦本能的延伸。 在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域(2008),將數學領域內容分 為五大主題: 「數與量」 、 「幾何」 、 「代數」 、 「統計與機率」 、 「連結」 。其中「數與 量」共有 71 個能力指標,位居各主題之冠。在這 71 個能力指標中,有八成(57 個)能力指標落在國小階段,可見國小階段的「數與量」學習是極為重要的數學 基礎。在這些能力指標之中,「因數、倍數」的能力指標更是少數橫亙於國小與 國中兩者(教育部,2003,2008),顯示「因數、倍數」是「數與量」的重中之 重。賴容瑩(2005)指出國小的因數、倍數課程學習是直接影響學生在國中的相 關學習。 在日常生活中,常見的矩陣排列、平均分配…等等,都是因數與倍數的問題 。同時分數運算的基礎,也是因數與倍數概念,同樣的概念架構更可延伸至多項 式的領域中。甚至是以往被視為純理論數學的質數,亦透過麻省理工學院的瑞維 斯特、希米爾、艾德曼所設計「RSA 密碼演算法」 (RSA cipher algorithm) ,將質 數運用至密碼系統,並被銀行、工商業大量地使用。. 2.

(15) 但在小學一至四年級的四則運算學習後,遇到高年級的因數與倍數抽象性思 考,往往感到挫折,甚至放棄學習。在中小學數學教師的問卷調查中,學童在「 因數與倍數」概念的學習是困難的(黃寶彰,2003)。 林哲民(2013)指出在因數與倍數的學習上可區分為三套學習進程,包含整 除概念、因數概念以及倍數概念。劉昱泓(2012)在研究中發現低分組學生在合 數、質數的迷思概念情形非常明顯。林佩如(2002)指出國小學童學習因數時的 迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏與概念錯誤三大類。何東墀、蕭金土( 1995)以及林珮如(2002)、邱慧珍(2002)亦提到學習因數與倍數單元時,部 分學生根本無法理解其概念,在教材學習上,存有許多的學習瓶頸和迷思概念。 黃國勳、劉祥通(2002)的研究分析中也指出,因數教材對國小學生是很困難的 ,學生在學習因數教材時,存在著許多的障礙。 教育部(2008)課程綱要中指出學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演 、對數學概念的理解,然後懂得利用推論去解決數學問題,而教科書的編寫,應 注意整體結構的有效結合,在題材呈現上,反映出各數學概念的內在連結。因此 ,透過分析能力指標,將其中的因數、倍數相關概念抽離後,編製因數與倍數概 念測驗,以作為評量診斷工具,更可以清楚診斷出學生的學習問題所在。 在九年一貫課程綱要中,「因數與倍數」是屬於「數與量」的「整數」部分 ,其教學目標是在五、六年級時,理解基本的因數分解與質數概念,並與分數運 算相互加強,建立完整的數字感(教育部,2008)。可知「因數與倍數」在國小 高年級的整數教學中佔有重要的角色,同時也成為國中階段整數教學的基礎,教 育部(2003)指出國中學生必須具備理解正整數的質因數分解能力,並能以最大 公因數、最小公倍數熟練應用至約分、擴分以及最簡分數的計算。在此同時,也 很自然地引入指數的記號與指數律。可見因數與倍數是掌握國中整數教學成功與 否的重要關鍵。 在考試領導教學的環境下,為了讓學生獲得亮眼的數學學習成就,學校的評. 3.

(16) 量往往都在測驗學生的數學成就,而非測驗學生是否擁有正確的數學概念。但教 師想要知道學生對於相關概念的學習是否明瞭,其關鍵亦在「評量」。也就是說 ,教師應透過何種方式進行評量,分析學生的學習困難,並做適當的診斷、導引 與解決。Kibler(1974)提出了「教學基本模式」 ,把教學歷程分為教學目標、學 前評估、教學活動與教學評量等四部分,並透過評量的回饋作用,將四者相互串 連。透過評量可知教學目標是否達成,教學活動的缺失為何,並診斷學生的學習 困難點,作為補救教學及個別輔導的依據。其過程如圖 1-1。. 教學目標. 學前評估. 教學活動. 教學評量. 回饋作用 圖 1-1 教學基本模式(The General model of instruction) 資料來源:Kibler(1974) 各種評量方式都有其缺點及優點,不是在教學歷程中置入各式各樣的評量, 就能提升教學品質。評量方式的選擇應著重在評量目的與內涵的適配性。教育部 (2014)在十二年國民基本教育課程發展指引裡指出,評量是老師運用適當方法 ,來檢驗學生的學習成果,除了協助學生學習,也用來調整後續教學。 數學的學習,注重循序累進的邏輯結構,目的在培養學生藉由獨立的邏輯思 考能力發展成為解決問題的能力。而因數與倍數的概念於九年一貫課程中,透過 相關階段能力指標演繹之分年細目及詮釋,進行分年段且進階式的教學模式,而 這亦是教師教學及教科書編輯的主要參考依據。教師應以教材內容、教學目標與 相關課程能力指標,訂定評量的標準。其中細目詮釋中所附之評量範例,亦可作 為教師命題難度的參考。 雖然,真實評量或表現評量對於教師的教學或學生的學習會有實質幫助( Webb & Coxford, 1993) ,但是,紙筆測驗依舊是教師們進行評量時最常使用的方 法。因此,命題的好壞將攸關整個評量的品質。. 4.

(17) Airasian(1994)指出 Bloom 所提出的教育目標分類法對於測驗與評量的發 展影響深遠。該分類方法一直被國內外教育人員所採用,更是從事教育工作者必 備之知識。若能透過 Bloom 教育目標分類法,對測驗試題進行雙向細目分析,將 能提升試題的命題層次。 然而,Bloom 教育目標分類法自 1956 年提出以來,在教育領域獲得蓬勃發 展,但仍有不少學者的提出質疑,在歷經多年討論,於 2001 年由 Anderson & Krathwohl 等人共同出版了《學習、教學與評量分類:Bloom 教育目標分類的修 訂》 ,進行大幅度的修改。國內,亦有專家學者撰文介紹(葉連祺、林淑萍,2003 ;李宜玫、王逸慧、林世華,2004;李坤崇,2006,2009)。 根據研究指出,透過「分類表」的應用,可以增加評量與目標、教學的一致 性(Airasian, 2002;葉連祺、林淑萍,2003;李坤崇,2004;涂佩鈴、林世華, 2005),因此,我們將透過「修訂版 Bloom 教育目標分類雙向細目表」的二維向 度架構來檢視、設計因數與倍數的施測題目。 評量之結果除了是獲得學生的學習成果外,在進行資料分析後,更可提供教 師進行「補救教學」與「試題命題回饋」。因此,一個好的評量分析,就顯得相 當重要。余民寧(1995)指出認知診斷評量則可以綜合傳統評量與多元評量的優 點,在「量」的評量中,提供一些「質」的訊息,進而將診斷與教學相互結合。 游森期、余民寧(2006)指出 S-P 表分析法是一個有效獲得學生學習認知診 斷的評量模式,能將施測學生進行分類,提供教師實施學習輔導之參考標準。 S-P表分析理論(Student-Problem Chart Analysis)是日本學者佐藤隆博博士( Takahiro Sato)於 1969 年提出,將學生在試題上的作答反應情形進行「圖形化」 分析,透過二元計分(Dichotomous)的資料,產生試題的答對率及試題注意係 數來分析試題的優劣、受試者的答對率及學生注意係數來判斷受試者的學習類型 及狀況,以及判斷整體測驗異常程度的差異係數,在使用上具有便利與個別化的 特性(余民寧,2011)。. 5.

(18) 在評量時,應使問題能恰當反映學生的學習狀態,且發揮各評量題型的特長 。除了單一選擇題與填充題以外的其他題型,均宜訂定分段給分標準,依其作答 過程的適切性,給予部分分數,並讓學生理解其錯誤的原因(教育部,2008)。 換句話說,試題往往不僅只有對或錯的答案,無法只用二元計分之正確(1)與 錯誤(0)來判定。例如:文字題、應用題等,評分者應依據受試者的答題歷程 ,給予適當的分數(部分給分)。而每個題型在測驗上之權重更是有所差異,無 法統一而論(多點計分) 。所以,透過二元計分 S-P 表分析法進行診斷分析,將 影響多元知識與部分知識訊息的診斷。因此,將 S-P 表分析理論擴展為『多點部 分給分 S-P 表分析法』,以利涵蓋大部分的測驗項目,對於教師平時的教學診斷 及評量,甚為重要,且於實務操作上更具價值。 基於上述,本研究係在應用多點部分給分 S-P 表分析法,輔以編製的「因數 與倍數概念測驗」,探討多點部分給分試題之學生注意係數、試題注意係數與差 異係數的研究,並以此對國小因數與倍數概念試題進行試題分析及受試者的學習 類型分類,相互驗證受試者在因數與倍數的學習情形,最後形成老師在進行數學 教學及補救教學時的參考資料。. 第二節. 研究目的. 本研究目的,在於透過多點部分給分 S-P 表分析法對六年級學童進行「因數 與倍數概念測驗」分析,從中獲得相關係數,以進行試題分析、診斷學習困難及 學習類型,最後形成教師的試題編製、教學省思及補救教學的參考資料。 因此,本研究目的茲列如下: 一、探討九年一貫課程綱要中國小階段之因數與倍數相關概念,並編製「因數與 倍數概念測驗」 。 (一)分析國小階段因數與倍數相關概念,並編製相關測驗。 (二)透過 Bloom 教育目標分類修訂版進行試題編製。. 6.

(19) 二、透過「因數與倍數概念」測驗之數據,分別以二元計分、部分給分及多點部 分給分 S-P 表進行分析,比較三種計分法在差異係數、試題注意係數和學生 注意係數之差異性。 三、應用多點部分給分 S-P 表分析法進行試題診斷與分析學生的學習情形和學習 類型。 (一)透過差異係數,評斷整體測驗效果。 (二)透過試題注意係數,瞭解試題編製情形。 (三)透過學生注意係數,分析學生學習情形及類型。. 第三節. 研究範圍與限制. 壹、研究範圍 本研究之範圍,依「研究地區」、 「研究對象」、 「研究內容」與「研究方法」 等方面加以說明: 一、研究地區 本研究係以臺中市公立小學的一個班級為研究範圍。 二、研究對象 以 101 學年度之六年級學童為研究對象。 三、研究內容 係在應用許天維教授所發展之多點部分給分 S-P 表分析法,輔以編製的「因 數與倍數概念測驗」,探討多點部分給分試題之學生注意係數、試題注意係數與 差異係數的研究。 四、研究方法 以多點部分給分 S-P 表分析為研究方法,分析六年級學童在「因數與倍數概 念」測驗之相關係數。. 7.

(20) 貳、研究限制 基於時間、人力、研究樣本等多項因素考量,本研究的限制如下: 一、本研究僅限於中部一所小學的六年級學童,所得結果不宜做過度推論。 二、本研究以多點部分給分 S-P 表分析法作為研究基礎,但受限於研究環境,無 充足的時間與人力,無法針對所有因數與倍數相關概念進行各題型的施測, 僅限於一般常見之題目,並以此探討 S-P 表分析法之相關係數與研究。. 第四節. 名詞釋義. 為使本研究所討論之範圍與內容明確清晰,茲將本研究中所涉及的重要名詞 界定如下:. 壹、因數與倍數相關名詞 依據教育部於 2008 年公布的九年一貫課程數學課程綱要之標準用詞與解釋 中所提到,有關本研究所用之因數與倍數相關名詞,說明如下: 一、乘(乘法) :4×3=12,4 為被乘數,3 為乘數,12 為積。 二、除(除法) :14÷4=3…2,14 為被除數,4 為除數,3 為商,2 為餘數。當餘 數為 0 時,稱為整除,如 12÷4=3。 三、因數、倍數:一正整數 a 若能整除另一正整數 b,a 稱為 b 的因數,b 稱為 a 的倍數。國小階段祇學習正因數及正倍數。 四、公因數、最大公因數:一正整數 a 同為兩個以上正整數的因數時,則 a 為這 些數的公因數。在所有公因數中最大者稱為最大公因數,最大公因數一定為 正整數。 五、公倍數、最小公倍數:一正整數 a 同為兩個以上正整數的倍數時,則 a 稱為 這些數的公倍數。在所有公倍數中最小者稱為最小公倍數。 六、質數:一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個正因數時,稱為質數。. 8.

(21) 七、合數:又稱合成數,大於 1 的正整數中不是質數者稱之。 八、互質:兩正整數除 1 外無其他公因數者稱為兩數互質。 九、質因數:是質數又是某數的因數,稱為某數的質因數。 十、短除法、質因數分解:判別一數或一數以上的因數時,只寫出 除數和商,並不詳細運算除法過程,如其計算型態如又所示, 即為短除法。若除數皆為質數,其過程即稱為質因數分解。. 貳、S-P 表分析法 S-P表分析理論是日本學者佐藤隆博博士於 1969 年提出,以二元計分的資料 ,產生S-P表相關係數。在使用上具有分析簡易、圖表呈現之便利性,適合於班 級中進行試題編製、學生學習診斷。 一、差異係數:表 S 曲線與 P 曲線分離程度,代表整體測驗之反應組型的異常程 度。 二、注意係數:針對個別的學生和試題進行反應組型異常程度的判斷。可以區分 為學生注意係數與試題注意係數。. 參、部分給分 S-P 表分析法 鑑於知識是經由一連串學習累積而成,並非全有或全無的,佐藤隆博的S-P 表分析法無法辨別出學生擁有的部分知識。因此,許天維、蔡清斌、鄭百成、俞 克斌、永井正武(2013)利用Manhattan距離量尺的概念進行擴展,形成『部分給 分S-P表分析法』 ,適用於解決試題答對部分知識的情形。. 肆、多點部分給分 S-P 表分析 為滿足各類型試題之不同權重(多點計分)及反應受試者答題的歷程(部分 給分) 。許天維教授將 S-P 表分析理論擴張為多點部分給分模式,將其應用至多 點部分給分測驗,涵蓋現今大部分的測驗項目,對於實務上之測驗將更有利用價 值。. 9.

(22) 10.

(23) 第二章. 文獻探討. 依據研究目的與問題,本章將針對主題相關文獻進行分析探討,共分為:( 一)研究因數與倍數概念結構,探討研究報告,分析相關概念;(二)依序介紹 修訂版 Bloom 教育目標分類之內涵、目的及相關應用; (三)探討 S-P 表分析理 論之內容、相關文獻與應用及多點部分給分 S-P 表分析法之介紹。共分三節,內 容闡述如下。. 第一節. 因數與倍數相關概念研究. 壹、因數與倍數相關課程分析 在現行的九年一貫課程中,以「課程綱要」代替「課程標準」,藉以降低課 程實施的規範與限制,提供學校實施課程的自主性。現行課程雖歷經多次修訂, 仍以分科知識為課程架構的依據,以知識的獲得為目標。因此,透過相關課程的 探討,將能更加透徹因數、倍數的相關概念。 一、九年一貫數學課程綱要 八十二年國小數學課程標準,將數概念分為四大類:整數、分數、小數及概 數。因數與倍數在五年級始被提及,重點為認識因數、公因數、倍數、公倍數。 擁有正確的因數、倍數相關概念,將有助於分數的約分、擴分、通分及四則運算 等學習(教育部,1993)。 而九年一貫數學課程綱要自 2003 年公布(簡稱 92 課綱)後,進行一連串的 教學與省思,在 2008 年進行微調修訂(簡稱 97 課綱),對於因數、倍數的相關 內容較八十二年國民小學數學課程標準(簡稱 82 課程),容納了更多的相關數 概念,並將七年級(國中一年級)課程與小學部分進行連貫的安排,以完整因數 、倍數相關概念的教學,且在小學階段認識因數、倍數相關概念的基本意義,奠 基相關數學概念以厚實數學能力。茲將其差異整理如表 2-1。. 11.

(24) 表 2-1 82 課程與 97 課綱之因數與倍數相關概念差異(國小部分) 數學概念 乘法 除法 整除 因數 倍數 公因數 公倍數. 82 課程. 97 課綱. V V V V V V V. V V V V V V V. 數學概念 最大公因數 最小公倍數 質數 合數 互質 短除法. 82 課程. 97 課綱 V V V V V V. 資料來源:王環源(2009). 在九年一貫數學課程綱要中,將整數教學視為國小數學的核心課程之一,且 整數計算是一切數學學習的基礎。在各階段的課程目標裡,規劃於五、六年級時 ,理解基本的因數分解與質數概念,並與分數運算相互加強,建立完整的數字感 (教育部,2008)。也就是因數、倍數相關概念的養成是「數與量」主題中的重 要目標之一。 九年一貫數學課程綱要(2008)將學生所需學習的數學能力以「能力指標」 方式詳列之,其中以五大主題「數與量」N、「幾何」S、「代數」A、「統計與 機率」D、「連結」C;四個學習階段:第一階段為國小一至二年級,第二階段 為國小三至四年級,第三階段為國小五至六年級,第四階段為國中一至三年級, 再搭配流水號來表示該細項下的指標序號(例:N-1-06 能理解九九乘法)。 李坤崇、劉文夫、黃順忠(2001)及李坤崇(2001)指出能力指標具有四項 功能如下:(1)編輯教材的依據。(2)確立教學目標與運用教學方法的前提。 (3)教師實施教學評量的準則。(4)基本學力測驗的基準。陳新轉(2004)認 為,能力指標是一種「能力導向」的「課程目標」,並認為能力指標全名是「分 段能力指標」,蘊含能力導向與階段性,係指在某一學習階段完成時,必須精熟 的基本學習內容,以及能力表現方式與水準。因此,將九年一貫數學課程綱要(. 12.

(25) 97 課綱)中,學生必須精熟的因數與倍數相關能力指標,整理如表 2-2。 表 2-2 九年一貫數學課程綱要(2008)之因數與倍數能力指標分佈 階段. 三. 能力指標 N-3-03 N-3-04 N-3-05 N-4-01. 四 N-4-02. 內容 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 能認識質數、合數,並能用短除法做質因數分解。 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義,並用 來將分數化成最簡分數。 能理解質數、質因數分解、最大公因數、最小公倍數、互 質的意義。 能熟練求質因數分解、最大公因數、最小公倍數的短除法 ,並解決生活中的問題。. 所以在國民小學部分,因數與倍數的相關能力指標是屬於第三階段,需達以 下目標: 一、能理解因數、倍數、公因數與公倍數:以幾個一數(1-n-07)、九九乘法( 2-n-08)、除法(3-n-05)的知識能力為基礎,透過相關活動來理解因數、倍 數的概念。並透過列表的方式,尋求兩數的公因數與公倍數,進而形成公因 數、公倍數的概念,並能運用於分數約分、擴分、通分之計算。並從活動中 ,引導學童掌握基本的 2、3、5、10 因數判別法。 二、能認識質數、合數,並能用短除法做質因數分解:在先前的因數解題活動中 ,可以發現有一些整數無法再被分解,他們的因數只有 1 與自己而已,這些 數稱之為質數,而其他大於 1 且不是質數的整數(或有 3 個以上因數的整數 )稱為合數。在做因數分解的練習裡(應遵循原則:質數<20,質因數<20, 被分解數<100),發現遇到質數就必須停下來。同時紀錄下分解的樣式,發 現不管怎麼分解,在整理過後(國小階段的質因數分解乘積不寫成指數形式 ,但可要求學童將最後的分解由小到大排列),形式都一樣,例:60=15×4 =(3×5)×(2×2)=2×2×3×5 或 60=6×10=(2×3)×(2×5)=2×2×3×5. 13.

(26) 。最後讓學童熟悉 2、3、5、7、11、13、17、19 在 100 以內的倍數。再將 上述經驗整合為常用的短除法算則,以便進行質因數分解。 三、能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義,並用來將分數化成最簡 分數:最大公因數、最小公倍數的初步教學,以列舉觀察為主,待學童熟悉 其意義後,再發展以短除法計算兩數的最大公因數與最小公倍數的計算方式 ,並於過程中觀察到互質的意義,當兩數的最大公因數是 1 時,稱為互質。 在教學過程中,需指導學生區辨互質與質數的不同。例:14 與 15 雖然都是 合數,但兩者互質。最後,讓學童透過約分,將分數化成分子和分母互質的 最簡分數。 透過上述的能力指標分析,可得知在進行因數與倍數教學時,需先透過乘法 、除法等前置經驗,來理解因數、倍數概念,再透過相關問題來導入其他因數與 倍數的相關數概念。 九年一貫數學課程綱要中將階段能力指標演繹出更細緻的分年細目,並以此 作為教師教學及教科書編輯的主要參考依據(教育部,2008)。而在新的九年一 貫課程綱要(97 課綱)修訂中,將 92 課綱中六年級的「認識最大公因數與最小 公倍數」移到五年級,六年級則引入「短除法」處理因數、倍數問題。因此,將 九年一貫數學課程綱要中與因數、倍數相關的分年細目及對應的能力指標,臚列 如表 2-3。 透過表 2-3,可清楚得知因數與倍數的相關能力指標、分年細目與各年段之 間的分佈關係。雖然因數與倍數的相關概念形成,主要分佈在階段三:五、六年 級及階段四:七年級,但教學與學習是連續的過程。是以,各階段的分年細目需 延續相同概念以進行課程發展,故前一階段之分年細目是為後一階段之分年細目 的前置經驗(教育部,2008)。茲將因數、倍數之各分年細目的關係圖,整理如 圖 2-1。. 14.

(27) 表 2-3 因數與倍數的相關分年細目、能力指標 年級. 分年細目. 能力指標 N-1-01 N-1-04 N-1-06. 一年級. 1-n-07 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。. 二年級. 2-n-08 能理解九九乘法。 能理解除法的意義,運用÷、=做橫式紀錄(包括有 3-n-05 N-2-04 餘數的情況),並解決生活中的問題。. 三年級. 5-n-04 能理解因數和倍數。 五年級. 六年級. N-3-03. 5-n-05. 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小 N-3-03 公倍數。. 6-n-01. 能認識質數、合數,並用短除法做質因數的分解( N-3-04 質數<20,質因數<20,被分解數<100)。. 6-n-02 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。. N-3-05. 6-n-03 能認識兩數互質的意義,並將分數約成最簡分數。. N-3-05. 7-n-01 能理解質數的意義,並認識 100 以內的質數。. N-4-01 能理解因數、質因數、倍數、公因數、公倍數及互 N-4-01 7-n-02 N-4-02 質的概念,並熟練質因數分解的計算方法。 N-4-09 能以最大公因數、最小公倍數熟練約分、擴分、最 7-n-03 N-4-02 簡分數及分數加減的計算。. 七年級. 1-n-07. 2-n-08. 5-n-04. 3-n-05. 5-n-05 第一階段 一、二年級. 第二階段 三年級. 6-n-01. 7-n-01. 6-n-02. 7-n-02. 6-n-03. 7-n-03. 第三階段 五、六年級. 圖 2-1 因數與倍數相關各分年細目關係表. 15. 第四階段 七年級.

(28) 貳、因數與倍數相關研究報告 因數與倍數的概念與國小階段分數四則運算中的約分、擴分及通分有密切相 關,也直接影響到國中階段的因式、倍式、多項式、因式分解、數列、級數的基 礎(黃國勳、劉祥通,2002)。由此可見在國小階段的因數與倍數學習是國中整 數教學成功與否的重要關鍵。 近幾年的因數、倍數相關研究面向主要分為三大類型:一、課程內容與學生 知識結構;二、教學設計與補救教學;三、解題策略與迷思概念。 一、課程內容與學生知識結構 周筱亭、黃敏晃、謝堅、蔣治邦與吳淑娟(2002)說明「部編本國小數學教 科用書」的數學課程架構編排,將因數與倍數區分為三個部分:因數與倍數的意 義、公因數與公倍數、最大公因數與最小公倍數。 邱慧珍(2002)、林佩如(2002)分別研究五年級數學課本中的倍數、因數 相關知識內容,將倍數內容區分為倍數、公倍數、最小公倍數、因數與倍數關係 四個部分,因數內容分為因數、最大因數與最小因數、質數、公因數、最大公因 數、因數與倍數關係等六個部分,並分別提出學生的因數、倍數知識概念圖。 李淑芳(2008)運用詮釋結構模式和專家諮詢方式,分析並建立國中數學「 因數與倍數」單元的階層結構圖。莊瀅(2011)探討部編版教科書中因數與倍數 內容的概念構圖,發現課本的編排方式,是以舊知識的複習及概念說明來進行相 關數概念之應用。 張維珍(2007)以集群分析法進行學生分群,在因數與倍數概念結構圖上, 發現高能力值組與標準參照知識結構圖較為相似,而中低能力值組較不相似。 吳育楨(2008)與張仁彥(2012)分別對國小六年級學童的因數與倍數概念 階層結構進行探討,不論是在概念 ISM 圖或是概念詮釋結構模式,都能得到低、 中、高三組不同能力值的學童概念結構圖有顯著差異。. 16.

(29) 王環源、林原宏(2009)針對 92 數學課綱,分析因數與倍數相關分年細目 ,獲得學生在因數與倍數相關分年細目的知識結構圖,發現在不同能力值的學生 其因數與倍數知識結構圖差異極大。 從上述可知,因數與倍數的課程內容主要是依據因數與倍數相關概念的連結 與發展,新的課程必須植基於舊知識概念的延伸。而在不同能力值的學生知識結 構,都不盡相同,輔以專家知識結構圖的比對,便可發現學生學習的癥結所在。 二、教學設計與補救教學 張梅寶(2006)在探討不同版本的「因數與倍數」教學活動,很明顯的發現 ,在教學設計上,都是先教因數,再教倍數。潘鳳琴(2008)則建議從數字關係 進入因數與倍數相關概念的教學,並列舉三種教學活動:(1)藉由找成員活動 理解倍數與因數的特性。(2)藉由古氏積木察覺因數與倍數的關係。(3)透過 數線察覺最小公倍數與公倍數。 黃香喻(2009)提出最大公因數或最小公倍數的教學宜採用循序漸進方式: 首先使用列舉法,再來是質因數分解式法,最後才是用短除法。陳素如(2010) 亦指出教師宜先進行公因數、公倍數的方陣教學,最後再讓學生使用短除法進行 解題。 于國善(2003)提出因數補救教學原則:(1)動手操作實物。(2)運用具 體物,建構學生「整除」概念,並強調「順序性」。(3)結合生活經驗與週遭 情境。李浚淵(2003)透過因數與倍數的診斷評量,診斷學生的學習情形,進行 補救教學。 黃國勳(2003)及王施惠(2003)透過實踐與修訂的模式,開發因數教學模 組以進行補救教學,經過實際教學,充分改善學童對於因數概念的理解。 汪端正(2008)以專家知識結構圖為基礎,融合學生知識結構,得到「質數 與合數」單元補教教學結構圖,隱含教學的順序和概念之間的連結。 陳建仲(2009)指出設計良好的因數與倍數補救教學,可使得整體的學習成. 17.

(30) 效優於傳統因數與倍數的教學。 透過教學設計、學習策略、發展教學模組及實施補救教學,將可使得學生在 學習因數與倍數相關概念能夠更為順暢,並改善相關迷思概念。 三、解題策略與迷思概念 學童在接受過因數與倍數相關概念的學習後,必會產生相關概念的解題策略 及迷思。透過相關研究,約可分為下列四種: (一)概念錯誤、混淆、遺漏 學童在計算因數、倍數、公因數、公倍數時常因基本概念錯誤或是相互混淆 形成答非所問,再者概念遺漏也造成答案有所闕漏(黃耀興、邱易斌,1999;林 珮如,2002;邱慧珍,2002;周文忠,2002;蕭正洋,2003;何欣玫,2004;陳 筱涵,2004;賴容瑩,2005;施美多,2006;陳怡娟,2007;陳智遠,2011;黃 玉雙,2011;劉昱泓,2012)。 (二)策略概念誤用 採用列出比對模式時,常見粗心大意或計算錯誤;閱讀問題能力不足以致誤 解題意;採取關鍵字解題(林珮如,2002;邱慧珍,2002;周文忠,2002;陳標 松,2003;蕭正洋,2003;何欣玫,2004;陳筱涵,2004;賴容瑩,2005;劉伊 祝,2008)。 (三)先備知識不足 因數與倍數的先備知識不足,無法適當使用乘、除法進行解題,造成學童解 題困難(林珮如,2002;邱慧珍,2002;李俊淵,2003;陳標松,2003;何欣玫 ,2004;陳筱涵,2004;劉伊祝,2008)。 (四)缺乏類化能力 因數與倍數相關概念有其上、下位階的知識結構,能力較弱之學生對於相關 概念的類化能力相當缺乏,其知識結構較為鬆散(蕭金土,1994;黃耀興、邱易 斌,1999;王環源、林原宏,2009)。. 18.

(31) 經由上述三個面向的研究探討,可知學童在經過因數與倍數相關概念的學習 後,不同能力值的學生會有不同的知識結構及迷思概念,造成學生在因數與倍數 相關概念的學習困難,所以教師要如何透過評量來進行學習診斷,獲得學生的學 習類型,甚為重要。最後,再針對相關狀況,輔以補救教學,改善學習成就。. 第二節. Bloom 教育目標分類. 壹、Bloom 教育目標分類 Bloom, Englhart, Furst, Hill and Krathwohl(1956)提出教育目標分類(A taxonomy for educational objectives)。在此之後,認知、情意和技能領域的目標 分類系統模式,已成為課程發展、教材教法、教學評量和編製試題的重要依據, 對近代教育,影響至深。在國內亦有多本專書介紹:《認知領域目標分類》黃光 雄等譯(臺北:復文書局,1983);《教學評量》邱淵等譯(臺北:五南圖書公 司,1989);《心理與教育測驗》郭生玉(臺北:精華書局,1990)。 一、Bloom 教育目標分類修訂 隨著認知心理學對認知歷程的研究發展,Bloom 教育目標分類中的「綜合」 、「評鑑」等高層次目標之階層性一直不間斷地被質疑其合理性。近代學習理論 的主要觀點,係於有意義的學習(meaningful learning),也就是主動(active) 、認知(cognitive)和建構歷程(constructive process)的學習,認為知識由學習 者依個人主觀經驗建構而來,非以往傳統模式的只重視學習結果而忽略學習過程 (葉連祺、林淑萍,2003)。 因此,Anderson & Sosniak 首先在 1994 年出版了《Bloom 教育目標分類:四 十年的回顧》(Bloom’s taxonomy: A forty-year retrospective),接著於 2001 年由 Anderson & Krathwohl 等人共同出版了《學習、教學與評量分類:Bloom 教育目 標分類的修訂》(A taxonomy of learning, teaching and assessing: A revision of. 19.

(32) Bloom’s educational objectives)一書,針對 1956 年教育目標分類中的知識分類及 認知層次,進行大幅度修訂。 二、新舊 Bloom 教育目標分類的理論架構比較 (一)Bloom 教育目標分類 Bloom et al. (1956)提出認知領域的教育目標分類表,而認知教學目標就 是指學生學習知識的結果。該系統可分兩大部分,一是「知識」(Knowledge) ,一是「知識的能力與技巧」(intellectual abilities and skills)。 「知識」是指學生在單元教學之後,對於基本學習內容的回憶或識別。「知 識的能力與技巧」,是指學生能夠把握學習內容(教材知識)的意義,進而將之 內在化(internalize)、系統化(systematic)成為本身獨立具足並能加以運用的 能力和技巧。並將其區分為 5 個類別(category),即「理解」、「應用」、「 分析」、「綜合」和「評鑑」。 所以原始的 Bloom 教育目標分類,可以合計為 6 個類別,並以名詞型態來說 明目標:知識(Knowledge)、理解(Comprehension)、應用(Application)、 分析(Analysis)、綜合(Synthesis)和評鑑(Evaluation)。 該理論認為學生學習知識,是從最低的「知識」層面逐漸往上發展到最高的 「評鑑」層次,呈現出層次與連續性的螺旋狀架構特徵。也就是說,「知識」是 此組織結構的基礎;「理解」則是透過知識領域產生;再者,無法理解,就無法 應用,況且理解後也未必能應用自如,因此「應用」涵蓋了理解的能力。透過對 知識內涵結構進行分析,可免於應用時的不知其所以然,顯然「分析」的能力較 應用的能力複雜。但分析後的各種要素,往往是零散分解的,唯有透過綜合的能 力,才能加以整合,因此「綜合」的能力更高於分析層次,而層次最高、能力也 最複雜的「評鑑」,是指依據某種指標對事理進行價值判斷的能力,其中更是涵 蓋了其他類別能力。 這樣的分類模式,是從最簡單到最複雜,由具體到抽象,前項是後項的先決. 20.

(33) 條件所形成的關連性理論體系(黃光雄,1983)。 (二)修訂版 Bloom 教育目標分類 Anderson & Krathwohl(2001)將其修改為修訂版 Bloom 教育目標分類,著 重於學習者的學習內容(知識)及如何思考(認知歷程)的探討。 所以,新版的教育目標分類分成「知識向度」(knowledge dimension)和「 認知歷程向度」(cognitive process dimension)兩部分。「知識向度」是將知識進 行分類,以協助教師能夠區分「教什麼」(what to teach);「認知歷程向度」則 在引導學生保留(retention)和轉移(transfer)所學得的知識(李宜玫、王逸慧 、林世華,2004;李坤崇,2006)。 1. 知識向度(Knowledge Dimension) 修訂版 Bloom 認知領域教育目標分類法將舊版中的「知識層次」獨立出來, 形成「知識向度」,並以名詞型態書寫,其目的以學習內容為主,將知識進行分 類,以協助教師能夠區分「教什麼」 (what to teach) ,進而將學習的知識區分為「事 實」 、 「概念」 、 「程序」和「後設認知」四大類,各類別之間又具有內在的關聯性 和層次性。如概念知識涵蓋事實知識,程序知識涵蓋事實及概念知識;各類別知 識又再細分成幾項次類別知識。如表 2-4 所示。 2.認知歷程向度(Cognitive Process Dimension) 修訂版 Bloom 教育目標分類將認知歷程向度由原來單一向度的分類表轉化 為六個主類別,除了另立知識向度外,原舊有的類別名稱的名詞型態也轉換成動 詞型態,來傳達如何透過建構主義學習(constructivist learning)模式,使得學生 進行有意義的學習(meaningful learning) ,引導學生保留和轉移所學得的知識(葉 連祺、林淑萍,2003)。 這六個主類別又各細分成若干次類別,均以動詞語態說明其認知歷程。其中 「記憶」與「學習保留」有關,其餘五大類和「學習轉移」有關。 茲將修訂版 Bloom 的認知歷程向度內容表列如表 2-5。. 21.

(34) 表 2-4 2001 年修訂版 Bloom 教育目標分類的知識向度結構 主類別/次類別 A.事實知識. 定義. 範例說明. 指學生應了解的術語,或是解決問題時必須知道的基本元素. AA. 專業術語或名詞的 知識. 包括語文類和非語文類的特定術語 知識. 專門用語、數字、符號、圖 表. AB. 特定細節或元素的 知識. 有關事件、位置、日期、人物、資 料、訊息來源等的特定細節和元素 之知識. 一次事件確切的數據或現 象確切的的大小. B.概念知識. 從較複雜的元素間,抽取共同屬性,予以分類形成的知識. BA. 分類和類別的知識. 包含對不同事物的類別、等級、區 區分不同文章類別的知識 分和排列的知識 、區分不同地質時期的知識. BB. 原理和原則的知識. 透過觀察現象所摘述的摘要,可用 於描述、預測、解釋或決定行動與 採取的方向. 畢氏定理、供需法則. BC. 理論、模式和結構 的知識. 對某種複雜現象、問題或學科提出 一種清晰、堅實和系統觀點之知識. 進化論、國會結構. C.程序知識. 知道如何做某事的步驟與流程,以及何時運用不同程序的規準. CA. 特定學科的技巧及 演算知識. 由一序列具順序性步驟組成之方法 程序,且通常其答案或結果是固定 的. 知道用水彩繪畫的技能知 識、知道加法運算過程. CB. 特定學科的技術和 方法知識. 與 CA 比較,此種程序並非導向既 定答案或固定結果之程序. 社會科學研究方法的知識. CC. 決定何時使用適當 程序的規準知識. 知悉某些規準,用以決定何時和何 種情境下使用各種不同的特定學科 程序知識. 確定哪一個方法用來解答 代數學的方程式的規準知 識. D.後設認知知識. 對自我知識的認知和覺察:認知知識、監控、控制、調整認知. DA. 策略的知識. 用於學習、思考和問題解決的策略 知識,可跨領域應用. 解答二次方程式、應用歐姆 定律. DB. 認知任務的知識, 包括掌握適當背景 脈絡與情境的知識. 指學生了解可以運用後設認知的知 識,意即「何時」與「為何」能適 當運用策略的知識. 鄉土、一般社會、傳統和文 化規範之 how、when、why 的運用不同策略知識. DC. 自我的知識. Flavell(1979)指出自我知識包括 對自己認知與學習能力優缺點的知 識. 一般而言學生知道他們做 選擇題會比做問答題較好 之測試技巧自我知識. 資料來源:Anderson & Krathwohl(2001). 22.

(35) 表 2-5 2001 年修訂版布魯姆教育目標分類中的認知歷程向度 主類別/次類別 1.記憶 1.1 再認 1.2 回憶 2.了解 2.1 詮釋 2.2 舉例 2.3 分類 2.4 總結 2.5 推論 2.6 比較 2.7 解釋 3.應用 3.1 執行 3.2 履行 4.分析 4.1 辨別 4.2 組織 4.3 歸因 5.評鑑 5.1 檢查. 5.2 評論 6.創造 6.1 醞釀 6.2 規劃 6.3 製作. 定義 說明範例 是從長期記憶中提取相關知識 確認長期記憶中和現有事實一致的知識 認出哪一個數字是偶數 自長期記憶中,取回相關知識 說出哪一個數是偶數 從教學訊息中創造意義;建立所學新知識與舊經驗的連結 由一種呈現資訊方式,轉換成另一種方式 說明「偶數」的意義 找出特定的例子或對概念或原則的說明 舉出與偶數有關係的詞語 決定將某些事物歸屬為同一類 將「100」歸類於偶數 將一般性主題或要點,加以摘要 寫出「偶數」的簡易判斷方法 根據現有資訊,提出一個具邏輯性的結論 依資料推斷「10」也是偶數 檢視二觀點、事物或其他相似物中的一致性 比較偶數與奇數的異同 解釋正整數剛好可以分為偶數 建立一個系統的因果模式 和奇數兩類的原因 牽涉使用程序(步驟)來執行作業或解決問題。與程序知識緊密結合 應用熟練的四則運算原理,來 應用一個程序於已熟悉的工作 計算多步驟問題 運用加法的想法去解決減法的 應用一個程序於陌生的工作 數學題目 牽涉分解材料成局部,指出局部之間與對整體結構的關聯 自現有材料中區分出相關和不相關或重要和 區分出數學問題中有用及沒有 不重要的部分 用的數字 整理四則運算的題目,說明四 確定要素在結構中的適合性和功能 則運算的使用方法 確定現有材料中所隱含的觀點、偏見、價值 說明使用四則運算,對數學學 觀或意圖 習的幫助 根據規準和標準作判斷 檢視某程序或產品中的不一致性或錯誤,確 檢查各類圓形物體的圓周長和 定某程序或產品的內部一致性,察覺正實行 直徑之比值與圓周率的一致 程序的效能 性。 檢視產品和外部規準的不一致性,確認產品 評論牛頓與萊布尼茲使用微積 是否有外部一致性,察覺解決問題的方式適 分的作法 切性 涉及將各個元素組裝在一起,形成一個完整且具功能的整體 提出雙生質數有無數多對的假 根據許多規準,建立假設 設 設計一種計算方法可以快速計 建立一個操作程序以完成某些工作 算等差級數 建立新的數學理論,如非歐幾 發明新產品 里得幾何. 資料來源:Anderson & Krathwohl(2001). 23.

(36) (三)新、舊版 Bloom 教育目標之差異變化 綜合上述探討,將舊版與修訂版的內容及結構變化,繪製成圖 2-2。. 舊版(Bloom, 1956). 修訂版(Anderson et al., 2001) 名詞型態 事實知識(Factual Knowledge). 程序知識(Procedural Knowledge). 知識向度. 概念知識(Conceptual Knowledge). 後設認知(Metacognitive Knowledge). 記憶(Remember). 理解(Comprehension). 了解(Understand). 應用(Application). 應用(Apply). 分析(Analysis). 分析(Analyze). 綜合(Synthesis). 評鑑(Evaluate). 評鑑(Evaluation). 創造(Create). 名詞型態. 動詞型態. 認知歷程向度. 知識(Knowledge). 圖 2-2 新、舊版 Bloom 教育目標分類之改變情形 資料來源:Anderson & Krathwohl(2001) 透過圖 2-2,我們可以更加瞭解修訂版做了哪些改變: 1. 將舊版的「知識」類別獨立,並擴充為四個類別而成的「知識向度」 ,舊. 24.

(37) 版的原六大類別轉換形成「認知歷程向度」 ,並交互形成二維型態。其中原有的 「知識」、 「理解」、 「綜合」改為動詞型態的「記憶」、 「了解」、 「創作」。 2. 將舊版的類別從名詞變為動詞型態的「認知歷程向度」 ,並與「知識向度」 的名詞類別,形成「動詞-名詞」關係(verb-noun relationship)的教育目標,動 詞說明著認知過程,名詞描述著學習者要掌握的知識。進而對課程教材、教學活 動、評量測驗之分類或相互聯結的工作更為準確。 3. 將舊版中「綜合」的位階提升至「評鑑」之後,並同時改稱為「創造」。 4. 修訂版中「認知歷程向度」的各類別排列成漸增複雜性階層(increasing complexity hierarchy) ,而非舊版的累積性階層(cumulative hierarchy) 。這說明修 訂版中「認知歷程向度」的類別是可相互重疊,顯示認知歷程是漸增性累積,而 非跳躍性增長。 5. 修訂版更強調「次類別」的應用。 6. 修訂版的二個向度可以形成雙向分類表,異於舊版的一個向度描述。運用 「知識向度」和「認知歷程向度」設計而成的雙向細目表,如表 2-6 所示,可以 置入教育目標、教學活動和評量測驗,方便教師重新解構教學的意義、並連結教 材、教法和評量以落實認知領域教學目標。再者,此雙向細目表亦可成為教學者、 評量者、課程制定者之間相互共同的思考依據。然而,若要有效運用修訂版的雙 向細目表,必須先能掌握知識向度和認知歷程向度的目標分類意涵。 表 2-6 修訂版 Bloom 教育目標分類雙向細目表 認知歷程向度 低階思維技巧 → 高階思維技巧 知識向度 記憶 了解 應用 分析 評鑑 創造 事實知識 具體知識 概念知識 ↓ 程序知識 抽象知識 後設認知知識 資料來源:Anderson & Krathwohl(2001). 25.

(38) 貳、修訂版 Bloom 教育目標分類相關研究報告 自從 Anderson & Krathwohl 等人於 2001 年出版了《學習、教學與評量分類: Bloom 教育目標分類的修訂》,國內學者相繼提出研究與應用,將其運用至課程 發展、教材教法、教學評量和編製試題。 林世華(2000)指出教學基本模式的第一步是「教學目標」 ,並透過「評量」 確認「教學目標」是否達成。而「評量」之方式及目的則依據「教學目標」來決 定,也就是說, 「教學目標」引導且決定「評量」 。 Airasian(2002);葉連祺、林淑萍(2003);李坤崇(2004) ;涂佩鈴、林世 華(2005) ,分別提出「分類表」的使用,一致認為善用「分類表」 ,將可達成評 量與教學目標、教學活動的一致性。 葉連祺、林淑萍(2003)首先將「修訂版 Bloom 教育目標」運用於教學活動 設計:將教學目標置於二維向度「修訂版 Bloom 教育目標分類雙向細目表」中, 透過雙向細目表的設定,安排適當的教學活動,並依此設計評量的項目,以形成 一個完整的教學活動。 李坤崇(2004)則是利用「修訂版 Bloom 教育目標分類」中主類別和次類別 的意涵,提出了許多命題實例,可供相關教育工作者參考觀摩,並藉此提升教師 專業素養及命題技巧。陳美慧(2006)運用修訂版 Bloom 教育目標分類法進行國 語文定期評量編製。透過此法可協助教師清楚掌握能力指標的評量重點,以更開 闊、更深入的角度評量學童的認知發展層次。 涂佩鈴、林世華(2005)透過「修訂版 Bloom 教育目標分類雙向細目表」 , 對九年一貫國語文領域的能力指標進行解讀與轉化。提供教師在進行教學和評量 時更有效的工具。此外,鄭蕙如、林世華(2005)探討數學領域分段能力指標, 吳青蓉、傅瓊儀、林世華(2005)探討英語文學習領域能力指標,兩方面都得到 相同的結果:在「知識向度」方面,著重於事實知識的闡述,再依次遞減至程序. 26.

(39) 知識,對於後設認知的使用幾乎沒有;在「認知歷程向度」 ,亦有著相同的情形, 大部分是屬於記憶、瞭解、應用,較高層次的認知能力相對很少。 陳豐祥(2009)對大學學測及指考的歷史試題進行分析討論,發現歷年試題 僅能落實部分新修訂 Bloom 認知教學目標,分析結果顯示,對於「程序」 、 「後設 認知」知識向度,以及「評鑑」、 「創造」認知歷程向度,有很大的改善空間。 因此,善用「修訂版 Bloom 教育目標分類雙向細目表」將可提升試題的內容 效度,透過二維向度的對照,更能完善評量與目標、教學的一致性。同時,也能 確保測驗內容不只是評量學生的片段知識,更可用來評量較高層次的認知能力。. S-P 表分析法研究. 第三節 壹、作答反應組型. 作答反應組型(Response Pattern)代表的就是將學生在某份測驗上,針對每 道試題作答結果的原始資料(不論對錯),依序排列組合成一個向量(Vector)。 因此,「作答反應組型」就是學生的作答結果,也等同學生的思考模式。因 此,不同的作答反應組型也就代表著不同的知識結構(余民寧,2011) 。下表 2-7 ,代表四位學生在十道試題的測驗結果(答對為 1,答錯為 0) 。四位學生總分相 同,但作答組型不同,代表的意義也有所不同。 表 2-7 作答反應組型 題號 學生甲 學生乙 學生丙 學生丁. 1 1 0 1 0. 2. 3. 4. 5. 1. 1. 1. 1. 0 0 1. 0 1 0. 0 0 1. 0 1 0. 6 0 1 0 1. 資料來源:修改自余民寧(2011). 27. 7 0 1 1 0. 8 0 1 0 1. 9 0 1 1 0. 10 0 1 0 1. 總分 5 5 5 5.

(40) 一、若前五題為加法運算,後五題為減法運算。 學生甲的作答反應模組顯示「只會加法運算」;學生乙的作答反應模組顯示 「只會減法運算」。因此,甲、乙兩位學生,雖然分數相同,但作答反應模組卻 顯示出甲、乙兩位學生的不同知識意義。 二、若奇數題為一位數,偶數題為二位數的加法與減法運算。 學生丙的作答反應模組顯示「只會一位數加法與減法運算」;學生丁的作答 反應模組顯示「只會二位數加法與減法運算」。同理可知,雖然得分相同,但丙 、丁兩位學生的能力是不同的。 三、若以難度分類,前五題較簡單,後五題較困難。 學生甲的作答反應模組顯示「只會簡單的題目,困難的試題都不會」;學生 乙的作答反應模組顯示「只會困難的題目,簡單的試題都不會」。因此,相同分 數卻代表著不同的意義 四、異常反應組型(Aberrant Response Pattern)。 而上述三項假設中,卻隱藏著兩個違背常理的反應結果。學生丁的作答反應 組型顯示該生只會「二位數加法與減法運算」,卻不會「一位數加法與減法運算 」!一般而言,一位數加法與減法都不會計算的學生,如何有能力可以做二位數 的運算呢?其中,必定藏著成績表面所看不到的因素。同樣的,學生乙的作答反 應模組顯示「只會困難的題目,簡單的試題都不會」!哪有學生只會困難的,卻 連一題簡單的都未答對?而這兩位學生的回答現象,就需要教師進一步分析,才 能找到可用的訊息。 由上可知,當教師只以測驗得分來判斷學生學習成就的高低時,就失去了診 斷學生學習困難,瞭解學生學習差異的重要依據。唯有在獲得測驗成績的同時, 對其作答反應組型背後的意義加以研究,才能得到評量的實質功用,對學生提供 學習過程缺失、思考模式及學習類型等回饋;對教師提供命題優劣、測驗好壞及 教學盲點等有效訊息(余民寧,2011) 。. 28.

(41) 貳、多點計分 在教室中的測驗大多以教師自編測驗(teacher-madetest)為主要教學評量工 具,其內容題型呈現多元化的現象,鮮少是只有同一類型的題目。葉連祺(2000 )指出試題施測就是要求受試者根據題幹(即刺激)選(寫)出答案(即反應) 。依此說法,可將常見的紙筆測驗試題分為兩大類型:選擇反應型(selecting response type)和提供反應型(supplying response type)二類。 前者是命題時提供選項,讓受試者選出較適當答案,如選擇、是非和配合題 。後者則是不提供選項,讓受試者根據題幹說明,自行提出適當答案,如填充和 論述題(essay)。 各類型試題適合評量的認知目標層次並不相同(Anderson & Krathwohl, 2001 ),是非、選擇和配合等題型較適合評量記憶、了解、應用和分析等層次,論述 題則適合評量分析、評鑑和創造等能力。因此每個試題的計分,將因施測之概念 及類型之不同而出現權重之情形。通常以「提供反應型」之高層次評量所佔權重 比較大,也形成試題計分上呈現『多點計分』的狀況。 劉湘川(2007)提出多點計分之異質試題分析,透過多點計分規格化之轉換 ,以解決不同難易程度之試題分析比較,更利於教學診斷評量。但其計算方式較 為複雜,若無電腦輔助運算將難以進行。. 參、部分給分 在測量高層次認知能力(如分析、評鑑、創造等)的論述題,也與是非、選 擇和配合等題型的給分標準不盡相同。余民寧(2011)提到「選擇反應型」試題 的作答反應,只有「答對」與「答錯」兩種,是具有絕對正確的標準答案,不會 有「半對半錯」的模糊空間。而「提供反應型」試題,通常沒有絕對的標準答案 ,只有參考答案。學生的作答反應顯示出其答題歷程,可在其中判斷出部分知識 的概念,其位置介於「完全正確」與「完全錯誤」之間,若將此結果以二元計分. 29.

(42) 之模式進行判斷,便不能忠實反應學生的部分知識之存在。所以在評量時,宜訂 定分段給分標準,依其作答過程的適切性,給予部分分數(教育部,2008) 。 有多位研究者將部分給分模式應用至多種測驗理論進行施測分析,顯示其結 果更能準確反應受試者的知識結構(陳政漳,2003;陳美吟,2003;李佳修,2002 ;李源煌、楊玉女,2000;秦靜儀,1999). 肆、S-P 表分析法 S-P表分析法能夠歸納出學生的學習類型,施測的試題優劣,協助教師解讀 學生的學習行為與狀況,同時改善試題的好壞(余民寧,2011)。但佐藤隆博的 S-P表分析法理論是基於二元資料,無法滿足目前教育現場之試題樣態,無法正 確地獲得部分知識的診斷。因此許天維等人(2013)提出部分給分S-P表分析法 理論,補足部分給分試題之診斷模式。但其試卷之各試題得分皆設定為[0,1],對 於不同難易程度之試題分析比較,尚未完成。本研究考慮學生對於試題的部分給 分及多點計分反應,利用Manhattan距離量尺的概念提出『多點部分給分S-P表分 析法』模式來擴展佐藤隆博的『S-P表分析法』,將其應用至多點部分給分測驗, 期盼能夠更正確地判斷出學生類型、試題優劣。以下將針對S-P表分析法、部分 給分S-P表分析法、多點部分給分S-P表分析法進行說明。 一、S-P 表分析法 日本學者佐藤隆博於 1969 年提出S-P表分析理論,以「圖形化」之方法分析學生 在試題上的作答反應情形。所謂的S-P表(Student-Problem Chart) ,是指在施測後 ,對學生(Student)及問題(Problem)所得之反應資料進行一系列有系統的排 序,所得的矩陣資料。透過注意係數分析每位學生及每道試題的作答反應組型, 並根據差異係數來衡量整份測驗試卷的品質,以此提供教師進行有效的學習參考 (何英奇,1989;游森期、余民寧,2006)。因其分析測驗資料之目的在於找出 是否為不尋常或異常的反應組型,使得S-P表分析法特別適用於以班級為單位的. 30.

(43) 少數人資料之分析(Takeya, 1980;Tatsuoka, 1984)。並在多個研究中獲得驗證, 認為透過S-P表分析法進行診斷學習,能有效提升教學成效(Sato & Kurata, 1997 ;何英奇,1989;游森期、余民寧,2006)。 (一)S-P 表編製 經由施測後,教師可得到一筆 N 名學生在 n 個試題上的反應資料,經過評分 (正確為 1,錯誤為 0)之後,將會得到一個未經任何處理的 N × n 的原始得分矩 陣資料,稱之為「S-P 原始資料表」 (余民寧,2011)。如:圖 2-3 所示。. 圖 2-3 S-P 原始資料表 資料來源:余民寧(2011) 再依照每位學生總分高低,將學生的反應組型與總分由上(總分高)往下( 總分低)依序排列,若有總分相同時,可照座號之小大順序排列。接著,按照每 道試題答對人數多寡,將整個反應組型與其答對人數由左(答對人數多)到右( 答對人數少)依序排列,遇到答對人數相同之試題,可依題號之小大順序排列。 最後,依據每位學生所得總分,從左往右數出與總分相同之試題個數,並在. 31.

(44) 其右邊畫上一條分界線,最後再將各位學生的分界線連接起來,則會形成一階梯 狀之曲線,稱為「S 曲線」 。同理,依據每道試題的答對人數,從上往下數出與答 對人數相同之學生個數,並在其下邊畫上一條分界線,最後再將每道試題之分界 線連接起來,則可得另一階梯狀曲線,稱為「P 曲線」 (余民寧,2011) 。如圖 2-4 所示。. 圖 2-4 S-P 完整資料表 資料來源:余民寧(2011); (紅粗線為 S 曲線、藍細線為 P 曲線) (二)S-P 表分析法之量化指標 我們可透過下列三項係數的計算,來分析整個測驗的相關訊息。說明如下: 施測後,得到一個 N × n 的 S-P 原表 X = ( xij ) N ×n ,其中 xij 意指第 i位學生在第 j 題之 得分(正確為 1,錯誤為 0)且 i = 1, 2," , N ; j = 1, 2," , n 。同時令第 i位學生的總 分為 xi•. n. =. ∑x. ij. ,第 j 題全體學生的積分為 x• j. ∑x. ij. ,再依 S-P 表分析理論,將 S-P. i =1. j =1. 原表依照 x1•. N. =. ≥ x 2• ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ x N • 且 x•1 ≥ x•2 ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ x•n 重新排序,則可得新的. 32. S-P 分析表。.

參考文獻

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