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顶点数 边_!数 区域数

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!+"观察上表^$推断一个平面图的顶点数^#边数^#区域数之间有什么关系_!

!%"现已知某个平面图有_,,,个顶 点$且 围 成 了_,,,个 区 域$试 根 据 以 上 关 系 确定这个图有多少条边_!

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传说木工用的锯子是鲁班发明的_!有一天鲁班到山上去^!手指突 然被一根丝毛草划了一下!划破了一道口子_!他想!一根小草怎么会 这样厉害呢^" 鲁 班 仔 细 一 看^!发 现 草 叶 子 的 边 缘 生 着 许 多 锋 利 的 小 齿_!鲁班立即想到^!如果照着丝毛草叶子的模样^!用铁片打制一把带 利齿的工具!用它在树上来回拉!不就可以很快地将树割断吗" 回去 后他马上打了一把这样的工具^!这就是锯子_!

聪明的鲁班在这里所使用的推理方法称为类比 ^#%&%'()*$!类比 是根据两个不同的对象在某方面的相似之处_!推测出这两个对象在其 他方面也可能 有 相 似 之 处_!如 根 据 带 齿 的 草 叶 与 带 齿 的 铁 片 结 构 相 似!由前者能划破手指!推出后者能割断树木_!例如!代数中根据分 式与分数都具有分子^%分母这个相同的形式^!从而推出分式具有分数 相似的性质^!分式可以如分数一样进行化简和运算^!这就是类比_!

例_!!长方形和长方体!如图_{! +}所示_!

图_{! +}

长方形的每一边恰与对边平行!而与其余的边垂直_! 长方体的每一面恰与对面平行^!而与其余的面垂直_! 这两种几何图形间可以建立类比关系^!如下表所示_!

长_!方_!形 长_!方_!体 每相邻两边互相垂直 每相邻两棱互相垂直

每相邻两面互相垂直

对边互相平行 对棱互相平行

对边长度相等 对棱长度相等

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!!这种仿照生物机制 的类比^!到了近代^!便 发 展 成 了 一 门 新 兴 的 学 科!即 近 代 仿 生 学!例 如^!潜 水 艇 的 设 计 思 想 来自鱼类在水中浮沉之 生物机制的类比_!

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!!类 比 是 一 种 相 似!

即类比的对象在某些部 分或 关 系 上 的 相 似_!在 文学艺术与科学研究中 都充 满 了 类 比_!类 比 用 得好^!在 文 学 作 品 中 可 使文 章 大 为 生 色^!在 科 学 研 究 中 可 引 出 新 的 发现_!

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!问君能有几多 愁"

恰似一 江 春 水 向 东 流#

$李煜^%用的就是类比_!

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!!我们在学习立体几 何时常常可以类比平面 几何^!将 在 平 面 几 何 中 成立 的 结 论 进 行 推 广^! 得到许多类似的结论_!

5. 1. 2 合情推理（二）—— —类比

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!!续表

长_!方_!形 长_!方_!体

对角线相等 对角线相等

对角线互相平分 对角线互相平分

对角线的平方等于长与宽的平方和 对角线的平方等于长!宽!高的平方和 面积等于长与宽的乘积

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体积等于长^!宽^!高的乘积

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!!例_!!著名的欧 姆 定 律 是 德 国 物 理 学 家 欧 姆 在_!"#$年 把 电 传 导 系统与热传导系 统 作 类 比 而 导 出 的_'电 流₍与 热 量₎ 相 当"电 压_* 同温差_!+相当^"电阻_,与比热容_&的倒数相当_'

电传导系统 热传导系统

( #电流^$ _{) #}热量^$

* #电压^$ _{!+ #}温差^$

, #电阻$ !

& #比热容的倒数$

!!在热传导系统中有关系式^%

)"-&!+ #-是质量^$_'

于是^"就可猜想在电传导系统中有关系式^%

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这就是欧姆定律_'

例_"!医药试验不宜直接在人体上进行_'老鼠^!猴子与人在身体

结构上具有类似之处^"于是^"有理由相信^"在这些动物身上的试验结 果类似于在人体上试验的结果_'

练 习

!'线段!三角形与四面体"如图_{% %}所示_'

线段是直线 ^#一维空间^$上的最简单的封闭图形^"它由两点围成_'

三角形是平面 ^#二维空间^$上的最简 单 的 封 闭 图 形^"它 可 以 看 作 平 面 上 一 条 线

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段外一点与这条线段上的端点连线所围成的图形_!

四面体是空间 !三维空间"上的最简 单 的 封 闭 图 形#它 可 以 看 作_!!!!!!

!!!!!!!的封闭图形_!