湖南教育出版社 贝壳网
59书 书 书
!"!分别用综合法!分析法和反证法证明"
若"##为互不相等的正数#且"$#%!#则!
" $!
# !#!
!!!圆内两条非直径的弦相交#试证它们不能互相平分!
!$!设$&$'%(%%"(&($%(!&()!'$%($&()$'$$ & $%()!( &'()!$%(('(#用 三 段 论 证明"
$!%%(")%!($%($)%&($&$$)!%(%((%"'
$$%%("$!'&%($%!(&$!'&%()!$%$(&$$!'&%()$$&$%((&(%!!
!&!用三段论证明"
若"是不等于!的实数#则函数'%&)"
"&)!的图象关于直线'%&对称!
!#!已知数列"
!
!($# !
$(&# !
&(##& # ! ($($!%#&
*(为其前(项和#计算*!#*$#*&#由此推测计算*(的公式#并给出证明!
!)!将直角三角形与直四面体进行类比#把勾股定理推广到三维空间的形式!
!*!已知正三角形内任一点+到 三 条 边 的 距 离 之 和 等 于 三 角 形 的 高!我 们 可 以 猜 测正四面体内任意一点+到四个面的距离之和等于多少( 并给出证明!
!+!证明"任何 面 积 等 于!的 凸 四 边 形 的 周 长 及 两 条 对 角 线 的 长 度 之 和 不 小 于
#,$ $!槡
!-!已知&,""$,%!#$#&#(%#且&!$&$$&$&(%!!求证"
!# &槡!$槡&$$&$槡&(#槡(!
$提示"由$槡&!&$#&!$&$%!类比证明%
!.!$角谷猜想#也称&&$!问题!%
任取一个大于$的自然数#反复进行下述两种运算"
$!%若是奇数#就将该数乘以&再加上!'
$$%若是偶数#则将该数除以$!
例如#对&反复进行这样的运算#有
&$!"$)$!*$-$#$$$!!
60
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
对!!"!#反复 进 行 上 述 运 算!其 最 终 结 果 也 都 是$!再 对%进 行 这 样 的 运 算!有
%!&&!$$!'!!$%!"&!&#!$'!!(!&(!$(!"!$#!)!!!&!$!
运用归纳推 理 建 立 猜 想 "通 常 称 为 #角 谷 猜 想$%&从 任 意 一 个 大 于&的 自 然 数出发!反复进行 "$%'"&%两种运算!最后必定得 到$!这 个 猜 想 后 来 被 人 们多次检验!发现对%(((亿以下的数都是正确的!究竟是否对大 于&的 一 切 自然数都正确!至今还不得而知!
湖南教育出版社 贝壳网
61书 书 书
!!!阅读与思考
用计算机证明几何定理
用机器证明数学定理!是历史上一些杰出的数学家与哲学家梦 寐以求的事!
数学问题大体上有两类"一类是求解!一类是求证!我们熟悉 的求解问题很多"解方程#解应用题#几何作图#求最大公约数与 最小公倍数!我们熟悉的求证问题!大多是初等几何证明题!还有 证明恒等式#证明不等式!
中国古代数学研究的中心问题是求解!把问题分为若干类!分 别给出解题的方法!这方法 是 一 系 列 确 定 的 步 骤!谁 都 可 以 学 会! 会一个方法!便能解一类问题!$九章算术%就是这么做的!
用一个固定的程序解决一类问题!这就是数学机械化的基本思 想!追求数学的机械化方法!是中国古代数学的优秀传统之一!
在西方!以希腊几何学研究为代表的古代数学!所研究的中心 问题不是求解而是求证!是从公理出发用演绎推理方式证明一个一 个的定理!而证明定理的方法!则是一题一证!各具巧思!无一确 定的法则可循!证明的成功有赖于技巧与灵感!
能不能找到一种方法!像解方程那样!按固定法则证明一批一 批的几何定理呢&
!"世纪法国的 唯 理 论 哲 学 家#发 明 了 解 析 几 何 的 数 学 家 笛 卡 儿!曾有过一个大胆的设想"
'一切问题化为数 学 问 题!一 切 数 学 问 题 化 为 代 数 问 题!一 切 代数问题化为代数方程求解问题!(
笛卡儿想得太简单了"如果实现了他的计划!一切科学问题都 可以机械地解决了!因为代数方程求解是有机械法则的!
用计算机证明几何定理
62
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
但是笛卡儿总算用坐标方法!!!解析几何的方法"把初等几何 问题化成了代数问题!
比笛卡儿稍晚一些的德国唯理论哲学家#与牛顿同时创立微积 分的数学家莱布尼茨"曾有过 $推理机器%的设想"希望用一台机 器代替人的推理活动!当人们争论得面红耳赤相持不下的时候"不 妨心平气和地坐下来"让机器演算一遍"以确定是非曲直!莱布尼 茨还真的设计过计算机"他的努力促进了数理逻辑的研究!
!"世纪的 数 学 大 师 希 尔 伯 特"在 他 的 名 著 &几 何 基 础'一 书
中"也曾提出过一小类几何命题的机械判定方法!
第二次世界大战以后"电子计算机的出现大大促进了定理机器 证明的研究!经过许多出色数学家的辛勤耕耘"这个领域有了蓬勃 发展!各国数学家先后提出过几种用机器证明初等几何定理的方法
!!!这是数学家们长期以来就想实行机械化的领域"但是都不能在 计算机上真的用来证明非平凡的几何定理!一直到杰出的中国数学 家吴文俊教授 在#$%%年 发 表 他 的 初 等 几 何 机 器 证 明 新 方 法 之 后"
在电子计算机上证明初等几何定理才成为现实!一个古老的梦想开 始实现了!用吴方法已在计算机上证明了&""多条不平凡的几何定
理"其中包括一些新发现的定理!
吴方法的基本思想是(先把几何问题化为代数问题"再把代数 问题化为代数恒等式的检验问题!代数恒等式的检验是机械的"问 题的转化过程也是机械的"整个问题也就机械化了!
图' #'
下面是吴方法 )代数法*的一个简单例子! 求证(平行四边形的两条对角线互相平分! 分析!第一步(几何问题代数化!
画图 )如 图' #'*"并 建 立 直 角 坐标系"设")"""*"#)$""*"%)&"'*"
())"**"+),"-*"用 代 数 等 式 表 示 出 题设条件有以下四式(
)#*(%""#"*.'/"+
)!*"("#%"').)&.$**/"+
湖南教育出版社 贝壳网
63书 书 书
!!"点!在"#上#$%&'()"$
!#"点!在*+ 上#!,&-"(&!%&-".)"/
表示出命题结论有以下两式%
!$""!)!##%%&')"或%(&$)"$
!&"*!)!+#,0-&%%)"或%(&.)"/
第二步%整序/
原来表示假设条件的方程组化为较简单的升列/
!'".&$)"$
!%"$,&!'&-".)"$
!!"%-(&-$)"$
!#"$%&'()"/
第三步%伪除法求余/
若要证明"!)!##即%%&')"成 立#把 第 二 步 中 变 元 &降 次'后代入验证即得证/
吴方法的成功吸引人们向更高的目标攀登#怎样用计算机产生 人能看得懂并能检验的证明(
我国科学家 提 出 了 用 面 积 消 点 的 方 法#对 这 类 问 题 做 了 更 简 明)更易于理解的机械化处理#即可读式证明/
下面只陈述最简的大意%
几何图形一般是由点)线)角)圆等基本元素构成#而两点决 定一线#两线决定一角#三点决定一圆#*#所以这些基本的元素 最后都可以还原为点的表达/
一个几何命题的已知条件#是通过一步一步画图的次序描写出 来的#第一步给出的是 若 干 个 自 由 的 点 !包 括 线)角)圆 等"#接 着在这些自由点的基础上#给出与自由点有依存关系的新点#每出 现一个新点#都算一个新的步骤#已知条件就是一个个新点的诞生 过程的步骤/
同样一个几何命题的 结 论 条 件#也 由 一 系 列 点 的 关 系 所 表 述# 这些关系式经过整理以后#可以把所有有关点的信息放在表达式的 左端#而右端只剩一个常数项/
64
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
消点证明的思路就是把结论条件中出现的许多点!先选一个在 已知条件中最后出现的点消去!在消 去 的 同 时 显 示 所 根 据 的 理 由! 这样!结论条件中就不再出现这个点!已知条件中也可以把最后一 个步骤删去!继续如此做下去!最后结论条件的左端也只剩下纯粹 的常量值!不证自明了!
难点在于!怎么消去一个点!并提供一个消点的充足理由!这 需要建立一个 定 理 的 信 息 库!并 且 还 需 要 建 立 一 个 有 力 度 的 搜 索 法!以便搜索到当前待消除点的相关的已知定理!用此定理既可以 消去点!又同时提供了推理的理由!这跟我们平时做题具有相同的 演绎过程!
但是定理的信息库规模太大了!就好像你平时把定理都已经背 下来!无须证明就能判断命题是否成立!失去了推理的意义"如果 定理的信息库规模太小了!一切都要从公理开始推导!既烦琐又重 复!也不符合逻辑的推导意义!
为什么叫面积消点法# 就是要找出一条深贯平面几何内涵的线 索!使得这条线索离源头的 公 理 较 近!离 众 多 其 他 命 题 又 不 太 远!
这样就可以最大限度地压缩定理的 信 息 库!而 包 容 了 消 点 的 威 力! 面积定理就是这样一条能够贯穿整个知识内容的主线索!找到了这 条线索!也就由此诞生了可读性的机器证明!
湖南教育出版社 贝壳网
65书 书 书
!!!数学文化
公理化思想对人类文化的影响
公理化思想产生阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得
!几何原本"的问世!
公元前!世纪#哲学家和逻辑学家亚里士多德从理论上全面阐 述了公理与演绎思想#总结了前人所发现和创立的逻辑知识#以完 全三段论为出发点#用演绎的方 法 推 导 出 其 余"#个 不 同 格 式 的 所 有三段论#从而创立了人类历史上第一个公理化方法!
"!欧几里得的 !几何原本"!
数学家欧几里得将逻辑公理演绎方法应用于几何学#于公元前 约!$$年完成了数学史上的划时代著作 !几何原本"!!几何原本"
是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学#而且成 为以后%$$$多年严格证明的典范!书中开篇便给出五条公理$
%"&等于同一个量的量彼此相等'
%%&等量加等量其和相等'
%!&等量减等量其差相等'
%&&互相重合的量彼此相等'
%'&全体大于部分!
同时给出关于几何的五条公设$
%"&从每个点到每个别的点可以引直线'
%%&有限的直线可以沿直线连续地延长'
%!&以任一点为中心可以用任意半径画圆'
%&&所有直角都相等'
%'&如果一条直线与另外两条直线相交#在一侧构成两个同侧
内角之和小于两直角#那么这两条直线无限延长时#就在同侧内角
公理化思想对人类文化的影响
66
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
和小于两直角的那一侧相交!
在 !几何原本"中 欧 几 里 得 还 给 出 了!!"个 定 义#书 中 共 有
#$%个命题皆由定义$公理与公设出发#用正确的逻辑推理逐一证 明出来 %前面已证得的结论后面可以当 已 知 来 用&!他 的 这 种 数 学 系统开创了公理系统的先河#这种公理化的数学有不少优点#论证 有根有源#使思维经济有效#便于本学科知识的系统化和逻辑上的 严格化#便于该学科的传播等等!
公理化方法就是选择尽可能少的原始概念和一组公理作为出发 点#采用逻辑 推 理 的 法 则#将 一 门 科 学 建 立 成 演 绎 系 统 的 一 种 方 法!现代公理系统不仅要求有上述原始概念和原始命题#而且要求 这些原始命题具有独立性$相容性$完备性!
&!牛顿力学体系的公理化展开方式!
牛顿力学体系是一个公理化的演绎系统#这在牛顿的 !自然哲 学的数学原理"%以下简称 !原理"&一书中有清晰的表述!!原理"
是一部划时 代 的 科 学 巨 著#是 按 照 公 理 化 方 法 写 成 的 一 本 力 学 著作!
!原理"在一开始的 '说 明(与 '附 说(中#阐 明 了 关 于 '物 质($'运动($'外力($'向心力($'绝对空间($'绝对时间(的概 念与定义#直接提出了力学三定律 %牛顿三定律&作为公理#在三 定律之后#推出了$条 运 动 基 本 定 理#在$条 运 动 基 本 定 理 之 后# 分卷讨论 '物体运动(及 '宇宙系统(!!原理"的公理化展开模式 简述如下)
基本概念)
在第一卷之前先给出了'个定义#它们是)物质的量#运动的 量#物体固有的力#外力#向心力#向心力的绝对度量#向心力的 加速度#向心力的运动度量!
公理 !!条")
%!&牛顿第一定律)每个物体都保持其静止或匀速直线运动的
状态#除非有外力作用于它迫使其改变那个状态!
%&&牛顿第二定律)运动的变化正比于外力#变化的方向沿外