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求证!!"#$是平行四边形%
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!!"归谬#由 $反设%出发&通过正确的推理&导出矛盾'''与已
知条件&已知的公理(定义(定理(反设及明显的事实矛盾或自相矛盾)
!""结论#因 为 推 理 正 确&产 生 矛 盾 的 原 因 在 于 $反 设%的 谬 误&既然结论的反面不成立&从而肯定了结论成立!
运用反证法的关键在于导出矛盾! 例!!求证#槡!是无理数!
用反证法证明如下#
反设!假 设 槡!是 有 理 数&不 妨 设 槡!" #$ !$&#为 互 质 的 正 整数"!
归谬!由反设有槡!$"#"#!"!$!&故!必 是#的 因 数&于 是 可 设#"!%!%为正整数""!$!"#%!&所以$!"!%!&故!又是$的因 数!因此$&#有公因数!&这与$&#为互质的正整数相矛盾!
结论!假设槡!是有理数不成立&故槡!是无理数!
在应 用 反 证 法 证 题 时&必 须 按 $反 设'归 谬'结 论%的 思 路 进
行&这就是应用反证法的三步曲&但叙述上可以简略每一步的名称!
例"!若&#$&'#$&&"('""!&求证#&('$!!
证明!假设&('#!&则
!!!!!&"('""!&('"!&!)&'('!"
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*&"('""!&+!#!%!!!)"&'"!+&'#&!
又&"('"%! &
槡
"'"&+&'$&&这与&'#&矛盾&故假设不成立!+&('$!!
伽利略妙用反证法
&'()年!意大利!'岁的科学家伽利略!为了推翻古希腊哲学家
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!!这相当于增加了一 个已 知 条 件!无 异 于 雪 中送炭"
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BCDEFG!
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亚里士多德的 !不同重量的物体从高空下落的速度与其重 量 成 正 比"
的错误论断#他除了拿两个重量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众 做实验来说明外#还运用了反证法加以证明$
假设 亚 里 士 多 德 的 论 断 是 正 确 的!设 有 物 体"###且"重!
#重#则"应比#先落地!现把"与#捆在一起成为物体"$##则
%"$#&重!"重#故"$#比"先落地'又 因"比# 落 得 快#"##
在一起时##应 减 慢" 的 下 落 速 度#所 以"$#又 应 比" 后 落 地! 这样便得到了自相矛盾的结果!这个矛盾之所以产生#是由亚里士多 德的论断所致#因此这个论断是错误的!
练 习
已知直线%!&和平面!!若%"!!&#!!且%$&!求证"%$!!
% 习题 !
!!已知'#($)("$%($&!求证"&'#!$&!&'#"$&!&'##$&中至少有一个不小于!
"!
"!已知%!&!*!+为 实 数!%$&)!!*$+)!!且%*$&+!!!求 证"%!&!*!
+中至少有一个是负数!
#!已知$'%'"!$'&'"!$'*'"!求 证"%#"%&$!&#"%*$!*#"%%$不 可 能 都大于!!
&!若,!-是奇数!则方程("$,($-)$不可能有整数根!
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!!!
!!
一 ! 指导思想
!推理与证明"是数学的 基 本 思 维 过 程#也 是 人 们 生 活 和 学 习 中经常使用的思维方式!推理一般包括合情推理和演绎推理!
证明通常包括逻辑证明和实验$实践证明!数学结论的正确性 必须通过逻辑证明来保证#即在前提正确的基础上#通过正确使用 推理规则得出结论!
在本章中#通过对已学知识的回顾#进一步体会合情推理$演 绎推理以及二者之间的联系与差异%体会数学证明的特点#了解数 学证明的基本方法#包括直接证明和间接证明的方法%感受逻辑证 明在数学以 及 日 常 生 活 中 的 作 用#养 成 言 之 有 理$论 证 有 据 的 习 惯!通过本章的学习#开发灵性#掌握方法#深入到数学的精髓!
!!
二 ! 内容提要
!!合情推理与演绎推理!
合情推理是根据已有的事实和正确的结论 &包括实验和实践的 结果'#以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程#归纳$ 类比是合情推理常用的思维方法!在解决问题的过程中#合情推理 具有猜测和发现结论$探索和提供思路的作用#有利于创新意识的 培养!演绎 推 理 是 根 据 已 有 的 事 实 和 正 确 的 结 论 &包 括 定 义$公 理$定理等'#按照严格的 逻 辑 法 则 得 到 新 结 论 的 推 理 过 程!培 养 和提高演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标!合 情推理和演绎推理之间联系紧密#相辅相成!
&!'归纳!
归纳是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式!
小结与复习
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归纳有以下几个特点!
!归纳是依据特殊现象推断一般现象"因而"由归纳所得的结 论超越了前提所包容的范围#
"归纳是依据若干已知的$没有穷尽的现象推断尚属未知的现
象"因而结论具有猜测的性质#
#归纳的前提是特殊的情况"所以归纳是立足于观察$经验或 实验的基础上的!
%!&类比!
类比是在两类不同的事物之间进行对比"找出若干相同或相似 点之后"推测在 其 他 方 面 也 可 能 存 在 相 同 或 相 似 之 处 的 一 种 推 理 模式!
类比有以下几个特点!
!类比是从人们已经掌握了的事物的属性"推测正在研究中的 事物的属性"它以旧有认识作基础"类比出新的结果#
"类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性#
#类比的 结 果 是 猜 测 性 的"不 一 定 可 靠"但 它 却 具 有 发 现 的 功能!
在运用类比推理时"其一 般 步 骤 为!首 先"找 出 两 类 对 象 之 间 可 以确切表述的相似性%或一致性&#然后"用一类对象的性质去推测另 一类对象的性质"从而得出一个猜想#最后"检验这个猜想!
%"&演绎推理!
演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式! 演绎推理的主要形式"就是由大前提$小前提推出结论的三段 论式 推 理!三 段 论 式 推 理 常 用 的 一 种 格 式"可 以 用 以 下 公 式 来 表示!
"'#%"是#&"
$'"%$是" &
$'#%$是#&!
三段论推理的 根 据"用 集 合 论 的 观 点 来 讲"就 是!若 集 合"
的所有元素都具有 性 质#"$是" 的 子 集"那 么$中 所 有 元 素 都
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具有性质!"
三段论的公式中包含三个判断!第一个判断称为大前提"它提 供了一个一般的事实或道理#第二个判断叫小前提"它指出了一个 特殊情况#这两个判断联合起来"揭示了一般事实或道理和特殊情 况的内在联系"从而产生了第三个判断$$$结论"
!"直接证明与间接证明"
%"&直接证明!分析法与综合法"
分析法是一种从结果追溯到产 生 这 一 结 果 的 原 因 的 思 维 方 法"
而综合法则是从原因推导到由原因产生的结果的思维方法"具体地
说"分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发"一步一步地探
索下去"最后达到题设的已知条件#综合法是从数学题的已知条件
出发"经过逐步的逻辑推理"最后达到待证结论或需求问题"
%!&间接证明!反证法"
对于反证法"法 国 数 学 家!"阿 达 玛 %#$%$&'(')'*(&这 样 说过!'反证法在于表明!若肯定定理的假设而否定其结论"就会 导致矛盾"(这是对反证法极好的概括"
反证法证题的一般步骤!
!反设!假设所要证明的结论不成立"而设结论的反面成立#
"归谬!由 '反设(出发"通过正确的推理"导出矛盾$$$与
已知条件"已知的公理)定义)定理)反设及明显的事实矛盾或自
相矛盾#
#结论!因为 推 理 正 确"产 生 矛 盾 的 原 因 在 于 '反 设(的 谬 误"既然结论的反面不成立"从而肯定了结论成立"
!!
三 ! 学习要求和需要注意的问题
""学习要求"
%"&结合已学过的数学实例和生活中的实例"了解合情推理的
含义"能利用归纳和类比等进行简单的推理"体会并认识合情推理
在数学发现中的作用"
%!&结合已学过的数学实例和生活中的实例"体会演绎推理的
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重要性!掌握 演 绎 推 理 的 基 本 模 式!并 能 运 用 它 们 进 行 一 些 简 单 推理!
"!#通过具体实例!了解合情推理和演绎推理之间的联系点和
差异!
""#结合已经学过的数学实例!了解直接证明的两种基本方法
$$$分析法和综合法%了解分析法和综合法的思考过程及特点!
"##结合已经学过的数学实例!了解间接证明的一种基本方法
$$$反证法%了解反证法的思考过程&特点!
$!需要注意的问题!
"%#应通过实例!运用合 情 推 理 去 探 索&猜 测 一 些 数 学 结 论! 并用演绎推理 确 认 所 得 结 论 的 正 确 性!或 者 用 反 例 推 翻 错 误 的 猜 想!重点在于通过学习具体实例理解合情推理与演绎推理!而不追 求对概念的抽象表述!
"$#要认识 到 观 察&归 纳&类 比&猜 想&证 明 是 相 互 联 系 的!
在数学学习中综合运用它们!在探讨某些问题时!可以先从观察入 手!发现问题的特点!形成解决问题的初步思路%然后用归纳&类 比方法进行试探!提出猜想%最后用逻辑推理方法 "例如数学归纳 法#进行推证!以检验所提出的猜想!
"!#本章中设置的 证 明 内 容 是 对 已 学 过 的 基 本 证 明 方 法 的 总 结!应通过学习实例!认识各种证明方法的特点!体会证明的必要 性!对证明的技巧性不作过高的要求!
!!
四 ! 参考例题
例!!在平面上有"条直线!任何两条都不平行!并且任何三 条都不交于同一点!问这些直线把平面分成多少部分'
解!设"条直线分平面为#"部分!先观察特例!有如下结果(
" % $ ! " # & )
#" $ " ' %% %& $$ )
"与#"之间的关系不太明显!但#"$#"$%有如下关系(
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! ! " # $ % & !
"! " $ ' !! !& "" !
"!#"!#! " # $ % & !
!!观察上表发现如下规律""!#"!#!$! #!$"$#$!%%
这是因为在!#!条直线后添加第!条直线被原!#!条直线截 得的!段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二$相应地增加
!部分$所 以"!$"!#!&!$即"!#"!#!$!%从 而""#"!$"$
"##""$#$"$#"#$$$!$"!#"!#!$!%将上面各式相加有
"!#"!$"(#(!(!%
所以!"!$"!&"(#(!(!$"("(#(!(!
$!(#!("(!(!%$!(!"!#!&!%%
注!"!也可由如下观察 发 现$由 上 表 知""!$!(!$""$!(
!("$"#$!(!("(#$"$$!(!("(#($$依 此 类 推$便 可 猜 想到
"!$!(!("(#(!(!$!(!"!#!&!%%
例!!费马大定理%
我国早在 商 周 时 代 #约 公 元 前!!))年%就 已 经 知 道 了 不 定 方程
'"&("$)"
至少有一组正整数解"'$#$($$$)$%%
法国数学家费马 #*+,-./$!&)!&!&&%%在阅读古希腊数学家 丢番图的 '算术(一书的第!卷第0命题 )将一个平方数分为两个 平方数的和*时$他想到了更一般的问题$费马在页边空白处写下 了如下的一段话"
!将一个立方 数 分 为 两 个 立 方 数 的 和"一 个 四 次 方 数 分为两个四次方数的和"或者一般地将一个!次方数分为 两个同次方数 的 和"这 是 不 可 能 的%关 于 此"我 确 信 已 找