书 书 书
!!根据图" !#中的已知数据!求中心矩形的面积!并用框图将其过程表示出来!
数系的扩充与复数
7
秋分
夏至
春分
冬至 太阳
书 书 书
平方得负岂荒唐 ! 左转两番朝后方 ! 加减乘除依旧算 "
方程有解没商量 !
人类认识数的范围是一步一步扩充的
引进了虚数单位 作为方程 的根 数
的范围就从实数扩充到复数
虚数 不虚 它不但是数学理论中不可缺少 的一部分 而 且 在 人 类 的 生 活 生 产 和 科 学 研 究 中有着重要的应用
书 书 书
平方得负岂荒唐 左转两番朝后方 加减乘除依旧算 方程有解没商量
!! 人类认识数的范围是一步一步扩充的 !
引进了虚数单位 ! 作为方程 "
"#$# 的根 " 数 的范围就从实数扩充到复数 !
# 虚数 $ 不虚 " 它不但是数学理论中不可缺少 的一部分 " 而 且 在 人 类 的 生 活 % 生 产 和 科 学 研 究 中有着重要的应用 !
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
数数
! "# 数 解方程与数系的扩充
人类所认识的数的范围是一步一步扩充的!
这种扩充!一方面是由于描述和解决实际问题的需要!另一方面 也是由于解决数学自身的矛盾的需要!
比如!最开始人们为了表示物体个数而认识了正整数!并且引入 了加"减"乘"除四则运算!正整数做加法与乘法可以通行无阻!但 减法与除法就不行了!什么叫减法# 就是已知两数的和"与其中一个 加数#求另一个加数的运算!求"$#就是求一个%使%&#'"!这 就是解方程!同样!除法也是解方程$求"(#就是解方程#%'"!
$的引入!一方面固然是来自实际的需要!比如为了表示 %没有 物体&!表示计量的起点 '比如计量温度"计量距离(!等等!但是它 也使减法"$"可以进行!方程%&"'"有解!
分数的引入当然有 实 际 的 需 要!比 如 用 一 把 尺 去 度 量 某 一 个 长 度!不能正好量 尽 时!需 要 将 尺 平 均 分 割 成 更 小 的 长 度 单 位 再 去 度 量!但这就使除 数#不 为$时!除 法"(#不 但 对 整 数"!#总 能 进 行!而且对 分 数"!#也 总 能 进 行!也 就 是 说$方 程#%'" '#"$(
在非负的有理数范围内总是有解!
为了表示具有相反意义的量!引入了负数!这就将数的范围扩大 到了全体有理数!这使得减法"$#可以畅通无阻!方 程%&#'"总 是有解!
在有理数范围内四则运算通行无阻'除数为$例外(!但解方程还不 行!比如%%'%就没有有理数解!但是 它 的 解 却 是 客 观 存 在 的$正 方 形 的对角线长与边长之比就是这个方程的解!但这个比不 能 用 有 理 数 表 示!这促使数的范围扩大到全体实数!任意两条线段的长度比都可以用 实数表示!任意一个非负实数都有任意)次的方根!也 就 是 说$当)为 正整数时!方程%)'"当"#$时总有解!但是!当"$$时%%'"没有 解!即使%%'$#这样简单的方程都没有解!$#没有平方根!
７． １ 解方程与数系的扩充
湖南教育出版社 贝壳网
95书 书 书
这启发我们对数系做再一次的扩充数具体做法是!引进一个新的 数"用符号!来代表"它满足条件!""##数并且规定这个新的数!可 以按照我们熟悉的运算法则以及一个新的法则!""##与实数进行运
算"产生一批新的数"与原来的全体实数一起组成一个新的数系数
!!
$%" ! 复数的概念
规定符号!代表一个 数"满 足 条 件!""## 数称 这 个!为虚 数 单 位数并且允许它与任意一个实数$相乘得到数$!"还可以再与任意一 个实数%相加得到数%&$!数
形如%&$! #其 中%"$是 实 数$的 数 称 为复 数 #&'()*+,-.(/
0+1$"其中%称为复数%&$!的实部 #1+2*)213$"$称为%&$!的虚部
#!(24!-215)213$数
通常将复数'的实部记作6+'"将它的虚部记作7('数
两个复数%&$!"(&)! #%"$"(")是实数$相等的充分必要条 件为!它们的实部相等"且虚部相等"即%"(且$")数
例!!求以下复数的实部和虚部8
##$#9!%! #"$:;"槡"%! #:$9!8
解!##$#9!<#;#9#$!"实部为#"虚部为9#8
#"$:;"槡"<#:;"槡"$;=!"实部为:;"槡""虚部为=8
#:$9!<=;#9#$!"实数为="虚部为9#8
容易看出"当虚部$<=时复数%;=!就是实数%数反过来"实数
%也就是虚部为=的复数%;=!8
例"!设*"+"#"若复数#"*#>+ & :*&$ # "!"?;@$ !"求*"+%
解!根据复数相等的定义"得
"*#>+"?"
:*&
#$
% "<@ #
$
%
!&!
*">:"
+"#$
#"数
７． ２ 复数的概念
96
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
我们习惯上用数表示全体实数组成的集合!"表示全体复数组成 的集合#于是"!""#$!!"!$"数#%而数是"的子集合!由"中虚 部为"的全体复数组成%
当虚部$#"时!复数"#$!不是实数!称它们为虚数 $!#$%!&$'(
&)#*+'%%特 别 地!实 数 为"!虚 部 不 为"的 复 数$!称 为纯 虚 数
$,)'+!#$%!&$'(&)#*+'%%
练 习
-%在以下哪些范围内进行加&减&乘&除 运 算 $做 除 法 时 要 求 除 数 不 为 零%可 以 通行无阻'
$-%全体整数(
$.%全体有理数(
$/%全体实数%
.%求以下复数的实部和虚部)
$-%!0-($$$ $.%-1!
槡.($$$ $/%.0槡.!($$$ $2%0! . 3 /3求满足下列条件的实数&!'的值)
$-%$/&('%#$&#.%!!&('!(
$.%&'($&#'%!40.215!3
$ 习题 !
-3下列命题正确的是 $$$%
$6%实数集与复数集的交集是空集$$$7%任何两个复数都不能比较大小
$8%任何复数的平方均非负 $9%虚数集与实数集的并集为复数集
湖南教育出版社 贝壳网
97书 书 书
数"以数#$ %槡的虚部为实部!以槡%#&数#数的实部为虚部的新复数为 "!!#
"'#数$数# "(#数&# ")#$ %& %# !!!!"*#槡 槡 槡%& %#槡
+"复数!"## "!!#"!#为纯虚数是!$,的 "!!#
"'#充分非必要条件 "(#必要非充分条件
")#充要条件 "*#既非充分又非必要条件
-%求满足下列条件的实数!!#的值$
".#"!&+##""数!"+###$%&#%
"数#"!数&#数#"数!##$/#&0%
%%求当'为何实数时!复 数($'数&'&/
'"+ &"'数&数'&.%##是$ ".#实 数% "数#
纯虚数%"+#虚数%
!!
12+! 复数的四则运算
先尝试利用我们所熟悉的运算律以及等式#数3$.进行两个复数 的加&减&乘运算"
例"!已知复数(.$.&数#与(数$-$+#%试 求 它 们 的 和(."(数!
差(.&(数!积(.(数%
解!(."(数$".&数##""-$+##$".&-#""数$+##$%$#%
(.&(数$".&数##&"-$+##
$".$-#"'数$"&+#(#$&+&%#%
(.(数$".&数##"-$+##
$.4-&数#)-&.4"&+##"数#)"&+##
$-&0#&+#&/#数
$-&0#&+#&/4"&.#
$.,&%#%
７． ３ 复数的四则运算
98
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
容易看出数
两个复数!"#!!$"%! "!!#!$!%!!#的 加$减$乘 运 算! 可以先看作以!为 字 母 的 实 系 数 多 项 式 的 运 算 来 进 行&再 将!"'(#
代入!将实部和虚部分别合并!就得到最后的结果&
一般地"对任意两个复数!"#!"$"%! #!"#"$"%!!$"有 加法%#!"#!$"#$"%!$'#!"$$"##"%$!&
减法数#!"#!$(#$"%!$'#!($$"##(%$!&
乘法数#!"#!$#$"%!$'#!$(#%$"#!%"#$$!&
我们 已 经 会 做 复 数 的 加%减%乘 法&那 么"对 任 意 两 个 复 数
)#'!"#!和)"'$"%!"当)""$时能否做除法求它们 的 商)#
)"&为 此"
只要将商
!"#!
$"%!
的分子分母同乘适当的非零复数"将分母化为实数即可&
注意到
#######$"%!$#$(%!$'$"(%"!"
'$""%"&
当$"%!"$时"实数$"%不同时为$"$""%"$$&因此"将商
!"#!
$"%!的分子分母同乘$(%!就可将分母化为正实数$""%""从而将商 化为复数的标准形式&
####!"#!
$"%!'
#!"#!$#$(%!$
#$"%!$#$(%!$
'#!$"#%$"#(!%"#$$!
$""%"
'!$"#%$""%""(!%"#$$""%" !&
例"#已知复数)#'#%"!")"'&'(!&求)"(#及)#
)"&
解#)"(#' #
&'(!' &%(!
#&'(!$#&%(!$
'&%(!&""("'&")"(
")!&
书 书 书
!!利 用!"! "#将 表
达 式 化 成!的 一 次 多 项 式后!常数项就是实 部!
一次项就是虚部#
书 书 书
!!这 些 公 式 不 需 记 忆!只 要 自 己 按 照 多 项 式展开的法则以及等式
!"! "#进 行 运 算 就
行了#!
书 书 书
!!将 虚 数 分 母!"#!
乘以!$#!化 为 正 实 数
!""#"的过程!类似于
在初中化简根式时将含 根号的分母!"#槡%乘 以!$#槡%化为有理 式
!"$#"%的 过 程&只 不
过我们现在不是 "分 母 有理 化#!而 是 "分 母 实数化#&
书 书 书
!!实际计算时不需记 忆这 个 公 式!只 要 会 将 分子分母乘以适当的复 数将分母化为正实数就 行 了!前 面 一 个 公 式
""#$!#""%$!#&""#
$"反而 更 有 用!更 值 得
熟记!
湖南教育出版社 贝壳网
99书 书 书
数数!!!""!#"$%&'$"
!!#"$"!%#'$"
!%&'$"!%#'$"
"%#'$#($$)%"#'" "$""*#!!
"*$%
解决了复数的加#减#乘#除四则运算问题$我们再来尝试讨论 在复数范围内开 平 方 的 问 题$也 就 是 求 解 一 元 二 次 方 程&""'的 问 题%一元二次方程&""$!在实数范围内没有解$我们引入一个新的 数$作为它的一个解$将数的范围扩大到了复数%这个方程在复数范 围内有解$$同时由 !$$"""$""$!知道方程&""$!在复数范围内 有两个解%$与$$%也就是说$在复 数 范 围 内$!有 两 个 平 方 根%很 自然要问%除了$!以 外$别 的 负 实 数 在 复 数 范 围 内 是 否 有 平 方 根&
进一步可以问$任意复 数'#($在 复 数 范 围 内 是 否 有 平 方 根& 比 如$ 在复数范围内是否有平方根$方程&""$在复数范围内是否有解&
例!数在复数范围内解下列方程%
!!"&""$'' !""&""$%
解数 !!"容 易 验 证!)槡'$"""!槡'""$""'+!$!"" $'$因 此
)槡'$是方程&""$'的两个根$也就是$'的两个平方根%
!""设&"'#($!'$(""(是 方 程&""$的 复 数 根$其 中'$(
是待定系数%则
!'#($"""$# !'"$(""#"'($,$# '"$(""-$
"'("!
$%
& %
问题归结为在实数范围内求解方程组
'"$(""-$
"'("!
$%
& %
!
"
由!式得(")'$代入"得
)"'""!%
仅当("'时$"'""!$即'""!
"$有实数解'")槡"
"%
故关于'$(的上述方程组有两组实数解("'")槡"
"%于是方程
书 书 书
!!利 用 这 个 方 法!可 求出任意负实数!的 平 方 根 为" 槡#!!$注 意 其中 的#!是 正 实 数! 因而槡#!是 正 实 数 的 算术平方根$
书 书 书
!!我们在实数集合之 外为!!强 行 规 定 了 一 个平方根"!是否需要 在 复数集合之外再规定一 个什么符号使它的平方 等于""
书 书 书
!!容 易 看 出!对 任 意 的复数!"#!"!!#"!#!
用同 样 的 方 法"待 定 系 数法#可 求 出 方 程$"%
!"#!的复数 根&你 不 妨 一试&
待定系数法也可用 来 求 两 个 复 数 的 商
只要由等 式 列 出 方 程 组 来 求 待 定 实 数 就 行 了 你 愿 意 试试吗
100
湖南教育出版社 贝壳网
书 书 书
数!""有两个复数根#
!
槡!!$槡!
!" #
"
它们也就是"的两个平方根% 例!!在复数范围内解一元二次方程数!$数$#$%%解!判别式!"#!&&'#'#$()"%#方 程 无 实 数 根%但 在 复 数范围内&)有两个平方根* )"#槡 由求根公式可得方程的复数解
!!!!!&#* )"槡
! "&#!#槡)
!"%
由于在复数范围内开平方已经通行无阻#因此#利用求根公式可 以求出任何一个一元二次方程的根%利用判别式判别实系数一元二次 方程是否有根的定理应当修改为$
设'数!$(数$)"% !'#%"是实系数一元二次方程#!"(!&&') 是它的判别式#则
当!$%时#方程有两个不同的实根&(#槡!
!' %
当!"%时#方程有两个相同的实根&(
!'%
当!"%时#方程有两个不同的虚根&(
!'#槡&!
!' "%
代数基本定理
在实数范 围 内!负 数 没 有 平 方 根!因 此 当 实 系 数 一 元 二 次 方 程
'数!$(数$)"%的判别式!"(!&&')"%时方程无实数解%但在复数 范围内!当!"%时 它 也 有 两 个 平 方 根* &槡 !"!因 此 可 以 由 求 根 公 式求出该方程的两个虚根&(
!'#槡&!
!' "%
这说明了!在 复 数 范 围 内!所 有 的 实 系 数 一 元 二 次 方 程'数!$
(数$)"%都有根!并且可以用求根公式求出它的所有根%
湖南教育出版社 贝壳网
101书 书 书
更进一步数假定一元二次方程!"!#$"#%&"的系数!数$数%都 是复数数则判别式!&$!'#!%是复数(但不论!取什么值数在 复 数 范围内总是有平方 根 "且 当!!"时 它 总 有 两 个 不 同 的 平 方 根#数因 此仍然能够用求根公式求出一元二次方程的全部根 "当!!"时有两 个不同 的 根#(这 说 明 了数在 复 数 范 围 内 解 一 元 二 次 方 程 可 以 通 行 无阻(
对于 更 高 次 数 的 复 系 数 一 元)次 方 程!"")#!$")'$# $ #
!)'$"#!)&""!"!"#数一般来说不存在求根公式(但可以证明%不论 它的系数取什么复数值数这个一元)次方程在复 数 范 围 内 总 是 有 根( 这个结 论 在 代 数 学 发 展 史 上 具 有 重 要 的 意 义数称 为代 数 基 本 定 理
"%&'()*+',)-./+01+*2'3-4+51)#6这个 定 理 是 由 高 斯 首 先 提 出 并 证明的数现在已经有很多种证明(这些 证 明 都 用 到 大 学 数 学 的 知 识数 就不能向中学生介绍了(
练 习
$(化简下列各式(
!$"!'!7#2"'!'!82"#!98:2"#"""" !!"!$72"##
!9"!982"!972"# " !#"$82
$72(
!(已知*#!$且!*#*2";&';#2$求*的值(
9(在复数范围内解下列方程%
!$""!#!"#9<"# " !!""!'#"#=<"(
" 习题 !
$(设+&>0?!"9 72?2'!"
9$求+!$+9及+!#+#$的值(
书 书 书
!!准 确 地 说!当!"
!时!不 存 在 由 方 程 的 系 数 经 过 加"减"乘"
除和开方运算来表示的 求根公式"
102