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段外一点与这条线段上的端点连线所围成的图形!
四面体是空间 !三维空间"上的最简 单 的 封 闭 图 形#它 可 以 看 作!!!!!!
!!!!!!!的封闭图形!
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!!将椭圆与双曲线相应概念!性质作类比"填写下表#
椭圆"!
#!$%&!!'" $#!&!#% 双曲线"!
#!(%&!!'" $#!#"&!#%
对称性 $"轴!%轴!原点% 对称性""""""
焦点 $)*"#%"*' #槡!(&! 焦点"""""""
离心率+'*
# #" 离心率""""""
长轴!#' !+,
"$+!
$
其中焦准距,'&*!%
实轴"""""""短轴!&' !+,
"$+
槡 !
其中焦准距,'&!
$
*%
虚轴"""""""椭圆上一点-$"#"%#%处的切线方程 为"#"
#! $%#%
&! '"
双曲线上一点-$"#"%#%处的 切线方程为""""""
%!判断下列推理是否正确!
$"%把#$&$*%与&'(#$"$%%类比"则有#
""""""" ""&'(#$"$%%'&'(#"$&'(#%!
$!%把#$&$*%与)*+ $"$%%类比"则有#
"""""" """)*+ $"$%%')*+"$)*+%!
$%%把$#&%.与$#$&%.类比"则有#
""""""" ""$#$&%.'#.$&.!
""
,-"-%"
演绎推理演绎推理$./.012*3/*+4/5/+1/%与归纳推理的过程相反"它是从一 般到特殊的推理!
演绎推理的主要形式就是由大前提!小前 提 推 出 结 论 的 三 段 论 式 推理!
5. 1. 3 演绎推理
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!!类 比 与 归 纳 一 样! 也是 一 种 合 情 推 理!其 结论 正 确 与 否!必 须 经 过严格的证明!
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例!!大前提!马有四条腿"
小前提!白马是马"
结!论!白马有四条腿!
这是三段论式推理常用的一种格式#可以用以下公式来表示!
"$#%"是#&#
$$"%$是" &
$$#%$是#&!
三段论的公式中包含三个判断!
第一个判断称为大前提#它提供了一个一般的事实或道理"
第二个判断称为小前提#它指出了一个特殊情况"
这两个判断联合起来揭示了一般事实或道理和特殊情况的内在联 系#从而产生了第三个判断$$$结论!
演绎推理是一种必然性推理#演绎推理的 前 提 与 结 论 之 间 有 蕴 含 关系!因而#只要大前提'小前提都是真 实 的#推 理 的 形 式 是 正 确 的#那 么结论必是真实的!但错误的前提可能导致错误的结论!
例"!用三段论证明!
直角三角形两锐角之和为!"#!
证明!因为任意三角形三内角之和为$%"## %大前提&
!!!而直角三角形是三角形# %小前提&
!!!所以直角三角形三内角之和为$%"#! %结论&
设直角三角形两锐角为!和"#则上面结论可表示为
!%"%!"#&$%"#!
因为等量减等量差相等# %大前提&
而!%!%"%!"#&'!"#&$%"#'!"#!是等量减等量# %小前提&
所以!!%"&!"#!成立! %结论&
这里用了两次三段论进行推理#在数学中有时要用很多次的三段 论来证明一个命题!数学命题的证明过程就是一连串三段论的有序组 合!只是为了简洁#往往略去大前提或小前提#甚至有的大前提'小 前提全省略!如
完整式!
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!!三段论式推理的根 据!用集合的观点来 讲! 就是"若集 合!的 所 有 元 素 都 具 有 性 质"!#
是!的子集!那 么#中 所 有 元 素 都 具 有 性 质"$!
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!!数学理论都是用演 绎推 理 组 织 起 来 的!每 一个数学理论都是一个 演绎 体 系!最 典 型 的 例 子就 是 欧 几 里 得 几 何!
它是建立在五组公理之 上的演绎体系!
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!!一切直角都相等! "大前提#
!!这两个角是直角! "小前提#
!!所以!这两个角相等! "结论#
省略式$
!!因为这两个角是直角! "小前提#
!!所以这两个角相等! "结论# 或省略式$
!!两个直角相等! "结论#
例!!设""#!#$%&""$#&!"$'!#&#"$'##%#&$'!"#&$!
求证$&"#&!#%#&$%#$!
证明!由假设可知
!!! "#" !#$%&""$#&!"$'!#&#"$'##%#&$'!"#&$!
"大前提#
取!!"%!! "小前提#
即得
!!!!!!#$%&"#&!#%#&$!
练 习
用三段论证明$矩形的两条对角线互相平分!
! 习题 !
把下列各个推理还原成三段论!
!!因为"(&)和"()&是等腰#(&)的两底角!所以"(&)%"()&!
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!!"!#!$三点可以确定一个圆!因为它们不在同一直线上!
"!一圆周角所对的弦是直径!则它是直角!
#!用三段论证明"
同一平面内!如果两条直线都和第三条直线垂直!那么!这两条直线平行!
!!
$ %& %# !
合情推理与演绎推理的关系古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学者###海伦 $'()*+!约
&世纪%!有一天!一位远道而来的将军向他请教一个问题"
从"地出发到河边 饮 完 马 再 到# 地 去!在 河 边 哪 个 地 方 饮 马 可 使路途最短& 如图$ ,!
图$ ,
海伦巧妙地类比光的反射原理给出了下面的解法"
要解决的问题是"如何在%&上选出一个点'!使"'(#'最短! 用合情推理的 方 法 设 想 答 案"从"到 直 线 上 一 点'!再 从'到
#恰似光线的反射!因为光走最短路线!由此猜想!最短路线应该像 光的反射线!
用合情推理构 思 证 明"如 果 把%&看 成 镜 子!把 点#看 作 一 只 眼睛!从镜子里看点"的像点")!点")应该在镜子的背后!并且点
")在#'的延长线上!
5. 1. 4 合情推理与演绎推理的关系
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!!海 伦!古 希 腊 数 学 家"物 理 学 家"天 文 学 家!他 发 现 了 光 学 中 的 反射定律!
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由此先作点!关于"# 的对称点!$!连 接%!$!交"#于&!
点&即为所求'
图! "
用演绎法证明如下"
如图! "所示!在"#上任取一点&$ #异 于 点&$!则!&$(
!$&$!!&(!$&!从而
!&$)&$%(!$&$)&$%!!$%(!$&)&%(!&)&%'
由此可知"!到%经& 点距离最短'
在探索自然规律时!首先要确定一个目标!或者提出一个要解决 的问题%然后通过日常的实践&分析和合情推理!总结出一个预期的 解决方案或猜想%最后还需对此猜想作出严格的证明'证明的过程中 则需要按演绎 推 理 的 规 则 进 行!证 明 完 前 一 步!下 一 步 又 该 如 何 演 绎!仍需依靠合情推理提供思路!直至完成全部证明'
#$波利亚曾指出" '数学的创造过程是与其他知识的创造过程一 样的!在证明一个定理之前!你先得猜想这个定理的内容!在你完全 作出详细的证明之前!你先得猜想证明的思路'你要先把观察到的结 果加以综合!然后加以类比!你得一次又一次地尝试'数学家的创造 性成果是论证推理 #演绎推理$!即证明'但 这 个 证 明 是 通 过 合 情 推 理!通过猜想而发现的'(
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!!
!"# ! 直接证明与间接证明
!!
!"#"$ !
直接证明!
分析法与综合法!走迷宫"游戏要求人们从入口处 走 到 迷 宫 的 出 口 处#人 们 习 惯 于 !顺推"#即从 !入口"开始依次 在 各 个 岔 口 来 回 试 探#碰 壁 后 再 调整路 线#这 样 反 复 试 探#最 终 可 以 找 到 !出 口"!如 果 倒 过 来 走#
即从 !出口"倒推到 !入口"#有时更容易办到!
在数学证明中#就有这 样 的 两 种 方 法$一 种 是 由 已 知 走 向 求 证#
即从数学题的已知条件出发#经过逐步的逻辑推理#最后达到待证结 论或需求的问题#称为综合法 %%&'()*%+%,*()-.&'另一种则是反过 来#由求证走向已知#即从数学题的待证结论或需求问题出发#一步 一步地探索下去#最 后 达 到 题 设 的 已 知 条 件#称 为分 析 法 %/'/0&%+%
,*()-.&!综合法和分析法是直接证明的两种基本方法!
例!!如 图! 1#在 直 三 棱 柱"#$ "$#$$$ 中#"#$"#$$#
"#%$$$#试用综合法和分析法证明$"$$$""#"
图! 1
证法一!综合法
连接"$#" 在直三棱柱"#$ "$#$$$中#&"#%$$$%##$# '四边形"##$"$为正方形" '"#$""$#"
又"#$"#$$#'"#$"平面"$#$$#故"#$""$$$"
又##$""$$$#'"$$$"平面"$"##$#故"$$$""#"
证法二!分析法
５． ２ 直接证明与间接证明
5. 2. 1 直接证明：分析法与综合法
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法法综 合 法 的 由 因 导 果!有 如 从 长 江 源 头 顺 流而 下!一 直 到 达 上 海 的长江口"
分 析 法 的 执 果 索 因!有 如 从 上 海 沿 长 江 逆流而上去寻找长江的 源头!
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连接!!""
!!#!!!""!!#!!平面!!!""!
" !!#!!""!"""!!平面!!"!#!"直棱柱定义
!!#!!!"!"!"!!平面!!"#!
#$
% "
" !"!!"#! !已知"#
!"!!!!""!!!""!是正方形"!"$##!$""!
#$
% "
由此#命题得证%
从上例可以看出#分 析 法 的 特 点 是$从 %未 知&看 %需 知&#执 果索因#逐步靠拢 %已知&%其逐 步 推 理#实 际 上 是 要 寻 找 它 的 充 分 条件%综合法的特点 是$从 %已 知&看 %可 知&#逐 步 推 向 %未 知&# 由因导果#其逐步推理#实际上是寻找它的必要条件%
例!&求证$槡#&槡$'槡%&槡&%
分析&用综合法不太容易想到解决这类问题的途径#所以用分析
法探求证明途径% 证法一&分析法
&&&&&&&&槡#&槡$'槡%&槡&
"!槡#&槡$"#'!槡%&槡&"#
"'(#槡!)''(#槡!*
"槡!)'槡!*
"!)'!*%
最后一个不等式成立#故原不等式成立%
基于上述分析法的证明#我们还可以给出例#的综合法证明% 证法二&综合法
&&&&&&&&!)'!*#
(槡!)'槡!*#
('(#槡!)''(#槡!*#
(!槡#&槡$"#'!槡%&槡&"#%
因为槡#&槡$)+#槡%&槡&)+#所以槡#&槡$'槡%&槡&%
在上例中#我 们 很 难 想 到 从 %!)'!*&入 手#用 综 合 法 比 较 困
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难!因此先用分析法探索证明的途径!然后用综合法的形式写出证明 过程!这是解决数学问题的一种常用方法!
练 习
分别用综合法与分析法证明"
!!两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数!
"!设"!#!$为不全相等的正数!求证"#%$&"
" %$%"&#
# %"%#&$
$ !#!
" 习题 !
分别用综合法与分析法证明"
!!如图$ %!在平行四边形'()*中!(+,+)!'-,-*!
求证"(.,./,/*!
图
$ %"!如果0为实数!那么 0"
!&0'#!
" !
#!设"!#均为正实数!且"$#!求证""#%##!""#%"#"!
分别用综合法与分析法证明"
'!如图$ !(!在平行四边形'()*中!'.%(*于.!)/%(*于/!
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!!有 时 也 将 综 合 法! 分析 法 结 合 起 来"就 好 像有 两 个 人"一 个 人 从 入口 走 向 迷 宫 的 出 口"
一个人从迷宫出口走向 入口"争取在某处相会!
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求证!!"#$是平行四边形%