第四章 分析與討論
第四節 國家變項影響數學能力之階層線性模式分析
由於隨機效果單因子變異數分析模式，分析結果顯示參加 PISA 2003 的各國 平均數學能力差異達顯著水準，而其中由國家所造成的變異佔10.32%，解釋量並 不是很高，可見還有其他相關變項足以解釋不同國家之間學生數學能力的差異，
因此，本節要探討的是使用以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結 果變項的迴歸模式分析 PISA 2003 資料庫，分析 GDP、GCI、NRI、EI 和班級規 模等國家變項，是否能夠解釋各國學生數學能力之差異情形，其階層線性模式如 下：
階層一
Y
ij =βoj +r
ij,r
ij~ N ( 0 ,
σ2)
(4-19)階層二 β0j =γ00 +γ01
W
j +u
0j (4-20)其中，
Y
ij代表第j
國中第i
位學生的數學能力，β 是第0jj
國的平均數學能力，r
ij是階層一的隨機誤差，W
j是第j
個國家的國家變項，分別為 GDP、GCI、NRI、EI 和班級規模；γ 是各國平均數學能力的平均數，00 γ 是國家指標對各國平均數01 學能力的影響，
u
0j是第j
個國家之數學能力與整體平均數學能力之間的差異，其 變異數為τ 。 00一、GDP 對於學生數學能力的影響
在表 4-4-1 中，GDP 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於γ01 >0，代表 GDP 越高，該國的平均數學能力越高，與表 4-2-1 比較，所能解釋的百分比為
( 8 . 081 − 5 . 562 ) / 8 . 081 = 31 . 17 %
，即使 GDP 已能解釋31.17%的變異，但當除去 GDP 所能解釋的變異量之後，τ00 =5.562 ,df
=39 ,χ2 =21666.302，達.001顯著水準，代 表除了 GDP 之外，各國平均數學能力的差異，尚待其他變項來解釋。然而，此 模式已能進一步解決具有隨機效果的單因子變異數分析模式之隨機效果(u
0j)的 顯 著 情 形 ， 其 條 件 化 內 在 組別 相 關 係 數 (conditional intraclass correlation)( 5 . 562 70 . 225 ) 7 . 34 %
/ 562 .
5 + =
ρ
=
，與表 4-2-1 比較，顯示階層二的預測變項，已使內在組別相關係數
ρ
由原來的10.32%降至7.34%。表 4-4-1 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模 式之結果摘要表(GDP)
固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值 γ00 10.693 .728 14.684 .000
γ
01 .087 .023 3.731 .001隨機效果 變異數 自由度
χ
2 p 值u
0j 5.562 39 21666.302 .000r
ij 70.225二、GCI 對於學生數學能力的影響
由於 GCI 官方資料有 3 筆資料缺失，所以僅以 38 個國家進行分析，其具有 隨機效果的單因子變異數分析模式結果，如表 4-4-2 所示，其內在組別相關係數
( 8 . 149 70 . 381 ) 10 . 38 %
/ 149 .
8 + =
ρ
=
。表 4-4-2 具有隨機效果的單因子變異數分析模式之結果摘要表(38 個國家)
固定效果 係數 估計標準誤 p 值
γ00 12.464 .457 .000
隨機效果 變異數 自由度
χ
2 p 值u
0j 8.149 37 34991.293 .000r
ij 70.381在表 4-4-3 中，GCI 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於
γ
01 >0，代表 GDP 越高，該國的平均數學能力越高，與表 4-4-2 比較，所能解釋的百分比為( 8 . 149 − 4 . 832 ) / 8 . 149 = 40 . 70 %
，即使 GCI 已能解釋40.70%的變異，但當除去 GCI 所能解釋的變異量之後，τ
00 =4.832 ,df
=36 ,χ
2 =16883.716，達.001顯著水準，代 表除了 GCI 之外，各國平均數學能力的差異，尚待其他變項來解釋。然而，此模 式已能進一步解決具有隨機效果的單因子變異數分析模式之隨機效果(u
0j)的顯 著情形，與表 4-4-2 比較，顯示階層二的預測變項，已使內在組別相關係數ρ
由原來的10.38%降至6.42%。
表 4-4-3 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模 式之結果摘要表(GCI)
固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值 γ00 -2.177 3.252 -.670 .507
γ
01 3.047 .631 4.827 .000隨機效果 變異數 自由度
χ
2 p 值u
0j 4.832 36 16883.716 .000r
ij 70.381三、NRI 對於學生數學能力的影響
由於 NRI 官方資料有 3 筆資料缺失，所以僅以 38 個國家進行分析。在表 4-4-4 中，NRI 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於
γ
01>0，代表 NRI 越高，該國 的 平 均 數 學 能 力 越 高 ， 與 表 4-4-2 比 較 ， 所 能 解 釋 的 百 分 比 為( 8 . 149 − 4 . 519 ) / 8 . 149 = 44 . 55 %
，即使 NRI 已能解釋44.55%的變異，但當除去 NRI 所能解釋的變異量之後，τ
00 =4.519 ,df
=36,χ
2 =15817.780，達.001顯著水準，代 表除了 NRI 之外，各國平均數學能力的差異，尚待其他變項來解釋。然而，此模 式已能進一步解決具有隨機效果的單因子變異數分析模式之隨機效果(u
0j)的顯 著情形，與表 4-4-2 比較，顯示階層二的預測變項，已使內在組別相關係數ρ
由 原來的10.37%降至6.03%。表 4-4-4 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模 式之結果摘要表(NRI)
固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值 γ00 .222 2.657 .083 .934
γ
01 2.887 .582 4.962 .000隨機效果 變異數 自由度
χ
2 p 值u
0j 4.519 36 15817.780 .000r
ij 70.381四、EI 對於學生數學能力的影響
由於 EI 官方資料有 3 筆資料缺失，所以僅以 38 個國家進行分析。在表 4-4-5 中，EI 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於
γ
01 >0，代表 EI 越高，該國的平 均 數 學 能 力 越 高 ， 與 表 4-4-2 比 較 ， 所 能 解 釋 的 百 分 比 為( 8 . 149 − 3 . 976 ) / 8 . 149 = 51 . 21 %
，即使 EI 已能解釋51.21%的變異，但當除去 EI 所能 解釋的變異量之後，τ
00 =3.976 ,df
=36,χ
2 =11675.936，達.001顯著水準，代表除了 EI 之外，各國平均數學能力的差異，尚待其他變項來解釋。然而，此模式已能進 一步解決具有隨機效果的單因子變異數分析模式之隨機效果(u
0j)的顯著情形，與 表 4-4-2 比較，顯示階層二的預測變項，已使內在組別相關係數ρ
由原來的10.37% 降至5.35%。表 4-4-5 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模 式之結果摘要表(EI)
固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值 γ00 -20.491 5.118 -4.004 .000
γ
01 35.145 5.233 6.716 .000隨機效果 變異數 自由度
χ
2 p 值u
0j 3.976 36 11675.936 .000r
ij 70.381五、班級規模對於學生數學能力的影響
由於班級規模官方資料有 14 筆資料缺失，所以僅以 27 個國家進行分析，其 具有隨機效果的單因子變異數分析模式結果，如表 4-4-6 所示，其內在組別相關 係數ρ
= 7 . 574 / ( 7 . 574 + 69 . 905 ) = 9 . 78 %
。表 4-4-6 具有隨機效果的單因子變異數分析模式之結果摘要表(27 個國家)
固定效果 係數 估計標準誤 p 值
γ00 12.427 .520 .000
隨機效果 變異數 自由度
χ
2 p 值u
0j 7.574 26 22601.837 .000r
ij 69.905在表 4-4-7 中，班級規模對國家平均數學能力有顯著的影響，由於
γ
01<0，代 表班級規模越小，該國的平均數學能力越高，與表 4-4-6 比較，所能解釋的百分 比為( 7 . 574 − 6 . 103 ) / 7 . 574 = 19 . 42 %
，即使班級規模已能解釋19.42%的變異，但當除 去班級規模所能解釋的變異量之後，τ
00 =6.103,df
=25,χ
2 =15993.925，達.001顯著 水準，代表除了班級規模之外，各國平均數學能力的差異，尚待其他變項來解釋。然而，此模式已能進一步解決具有隨機效果的單因子變異數分析模式之隨機效果 (
u
0j)的顯著情形，與表 4-4-6 比較，顯示階層二的預測變項，已使內在組別相關 係數ρ
由原來的9.78%降至8.03%。表 4-4-7 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模 式之結果摘要表(班級規模)
固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值 γ00 18.232 2.334 7.813 .000
γ
01 -.230 .105 -2.187 .038隨機效果 變異數 自由度