第二章 文獻探討
第三節 HLM 之理論基礎
由於 PISA 2003 資料庫包含的國家和學生兩階層結構，為了比較不同階層的 變項關係，清楚描述不同階層中的數值並展現其特性，並且把 PISA 2003 參與國 家都納入分析，在本研究中利用二階層的 HLM 來針對 PISA 2003 資料庫進行分 析，以期瞭解各個變項對數學能力的影響，並提供教育上的建議參考。
第三節 HLM 之理論基礎
一、階層線性模式的發展
一般研究蒐集所得的資料，常具有階層性的結構，如：依變項為屬於學生階 層(student-level)的學生個人成績，而自變項卻包含學校階層(school-level)的各校所 在地、學生人數等變項，這種巢狀結構(nested structure)的資料，是下層的單位隸 屬於上一層的單位(Raudenbush & Bryk, 2002)，此時，若用傳統的迴歸分析，將導 致兩難的局面。
首先，如果以個人做為分析的單位(disaggregation)，將使估計標準誤(estimated standard errors)變得過小，而使型Ⅰ錯誤(type Ⅰ error)過於膨脹，同時也無法符 合迴歸殘差之同質性假設；其次，如果以組織作為分析的單位(aggregation)，並將 各組織中個人變項的平均數做為依變項，將導致其他以個人為單位的自變項難以 納入，組織內在(within-group)的訊息均被捨棄，且易因組織的特性造成分析結果 解釋上的偏誤。(劉子鍵、林原宏，1997；劉子鍵、陳正昌，2003；Raudenbush &
Bryk, 2002)。
近年來由於統計分析技術的進步及電腦發展的快速，許多研究者提出階層線 性模式(Hierarchical Linear Model, HLM)來解決上述兩難問題，並且據此發展出許 多富有彈性的次模式。階層線性模式能夠化解前述傳統迴歸分析所會遭遇到的困 境，進而能避免產生標準誤的誤估、忽略迴歸的異質性、以及加總誤差等問題(Bryk
& Raudenbush, 2002)。
二、階層線性模式的理論基礎
具有階層結構之資料，就理論而言，最多可以有無限多階層。但受限於HLM 目前的分析技術、模式的實用性及分析結果的可解釋性，一般分析仍以二至三階 層的資料為主要的分析對象。本研究採用二階層的HLM進行資料分析，以下為完 整模式(full model)，又稱為以階層一的截距和斜率作為階層二方程式的結果變項 模式(Intercepts- and Slopes-as-Outcomes)，其數學方程式：
階層一
Y
ij =β
oj +β
1jX
ij +r
ij,r
ij~ N ( 0 ,
σ2)
(2-1)j j
j 00 01
W u
00 =
γ
+γ
+β
(2-2)階層二
j j
j 10 11
W u
11 =
γ
+γ
+β
(2-3)其中
Y
ij為階層一的依變項，X
ij為階層一的自變項，β
oj和β
1j分別是階層一的with Random Effects)
此模型又稱零模型(null model)，主要是因為在 HLM 階層一和階層二方程式
都沒有出現任何解釋變項或預測變項。
(二 )隨 機 效 果 單 因 子 共 變 數 分 析 模 式 (One-Way ANCOVA with Random Effects)
共變數分析的主要目的在於比較各組間平均數的差異，而隨機效果的單因子 共變數分析，必須假設各組間的迴歸直線斜率相同，則此隨機效果就是模式中的 截距項。
(三)隨機係數迴歸模式(Random-Coefficients Regression Model)
此模式分析考慮到組別間的差異，包含了不同的截距項和斜率。
(四)以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項 的迴歸模式(Means-as-Outcomes Regression)
此模式中，階層一沒有任何的解釋變項，而以階層二的解釋變項來解釋階層 一截距項的差異。
(五)帶有非隨機變化之斜率的模式(A Model with Non-randomly Varying Slopes )
此模式是將階層二有關階層一斜率的方程式最後的隨機誤差去除，使其能被 階層二解釋變項完全解釋。。
上述模式整理如表 2-3-1 所列(邱皓政，2006；溫福星，2006；Raudenbush &
Bryk, 2002)。
表 2-3-1 二階層之 HLM 常見次模式
& Köller, 2003)，然而在針對小學三到六年級學生，接受家教、補習班或是安親班