數學學習個人變項影響數學能力之階層線性模式分析

由於隨機效果單因子變異數分析模式，分析結果顯示參加 PISA 2003 的各國

平均數學能力差異達顯著水準，而其中由國家所造成的變異佔10.32%，解釋量並 不是很高，可見還有其他相關變項足以解釋不同國家之間學生數學能力的差異，

因此，本節要探討的是以隨機效果單因子共變數分析模式和隨機係數迴歸分析模 式，分析有關數學學習個人變項對數學能力的影響。

一、隨機效果單因子共變數分析模式

根據本模式分析 PISA 2003 資料庫，以瞭解數學課外學習時數、數學課自我 效能、數學課上課情形等數學學習個人變項，是否能夠解釋各國學生數學能力之 差異情形，其階層線性模式如下：

階層一

Y

ij =βoj +β₁j

X

ij +

r

ij,

^r

ij

^{~ N} ( ^{0 ,}

^σ2

)

(4-3)

j

j ₀₀

u

₀

0 =γ +

β (4-4)

階層二

10

1 γ

β _j = (4-5)

其中，

Y

ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國中第

i

位學生的 數學學習個人變項，分別為數學課外學習時數、數學課自我效能和數學課上課情 形；β 是第_0j

j

國的平均數學能力，β_1j是第

j

國學生的數學學習個人變項對數學能 力的影響，

^r

^ij是階層一的隨機誤差，γ 是各國平均數學能力的平均數，₀₀ γ 是各₁₀ 國學生數學學習個人變項對數學能力影響的平均數，

u

_0j是第

j

個國家之數學能力 與整體平均數學能力之間的差異，其變異數為τ 。 ₀₀

(一)數學課外學習時數對於學生數學能力的影響

在表 4-3-1 中，γ 未達顯著，顯示學生數學課外學習時數並不是有效解釋數₁₀ 學能力差異的變項。

表 4-3-1 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表(數學課外學習時數) 固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值

γ00 13.907 .413 33.661 .000 γ 10 -.003 .035 -.074 .941 隨機效果 變異數 自由度 χ ² p 值

u

₀j 6.111 37 7053.287 .000

r

ij 79.889

(二)數學課自我效能對於學生數學能力的影響

在表 4-3-2 中，γ 達₁₀ .05顯著水準，顯示學生數學課自我效能是有效解釋數學 能力差異的變項，而數學課自我效能是反向計分，意即分數越低，自我效能越正 面，且γ₁₀ <0，代表數學課自我效能越傾向正面，其數學能力越好。在隨機效果 中，τ₀₀ =8.161,

df

=40, χ² =33355.595，達.001顯著水準，顯示數學課自我效能對 數學能力的影響固定的情況下，參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異。

表 4-3-2 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表(數學課自我效能) 固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值

γ00 13.864 .706 19.634 .000 γ 10 -.041 .019 -2.155 .031 隨機效果 變異數 自由度 χ ² p 值

u

₀j 8.161 40 33355.595 .000

r

ij 70.449

(三)數學課上課情形對於學生數學能力的影響

在表 4-3-3 中，γ 達₁₀ .001顯著水準，顯示學生數學課上課情形是有效解釋數 學能力差異的變項，而數學課上課情形是反向計分，意即分數越低，上課情形越 正面，且γ₁₀ <0，代表數學課上課情形越傾向正面，其數學能力越好。在隨機效 果中，τ₀₀ =8.068,

df

=39,χ² =31185.914，達.001顯著水準，顯示數學課上課情形

對數學能力的影響固定的情況下，參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異。

表 4-3-3 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表(數學課上課情形) 固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值

γ00 15.748 .678 23.229 .000 γ 10 -.120 .016 -7.624 .000 隨機效果 變異數 自由度 χ ² p 值

u

₀j 8.068 39 31185.914 .000

r

ij 70.223

(四)數學學習對於學生數學能力的影響

根據隨機效果單因子共變數分析模式分析 PISA 2003 資料庫，以全部的數學 學習個人變項，包括數學課外學習時數、數學課自我效能、數學課上課情形等三 個變項，觀察其是否能夠解釋各國學生數學能力之差異情形，本模式之階層線性 模式如下：

階層一

Y

ij =βoj +β₁j

X

₁ij+β₂j

X

₂ij +β₃j

X

₃ij +

r

ij,

^r

ij

^{~ N} ( ^{0 ,}

^σ2

)

(4-6)

j

j ₀₀

u

₀

0 =γ +

β (4-7)

10

1 γ

β _j = (4-8)

20

2 γ

β _j = (4-9)

階層二

30

3 γ

β _j = (4-10)

其中，

Y

ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學能力，

X

_1ij代表第

j

國中第

i

位學生的 數學課外學習時數，

X

_2ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學課自我效能，

X

_3ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學課上課情形，β 是第_0j

j

國的平均數學能力，β_1j是第

j

國學 生的數學課外學習時數對數學能力的影響，β 是第_2j

j

國學生的數學課自我效能對

數學能力的影響，β 是第_3j

j

國學生的數學課上課情形對數學能力的影響，

^r

^ij是階 層一的隨機誤差，γ 是各國平均數學能力的平均數，₀₀ γ 是各國學生數學課外學₁₀ 習時數對數學能力影響的平均數，γ 是各國學生數學課自我效能對數學能力影響₂₀ 的平均數，γ 是各國學生數學課上課情形對數學能力影響的平均數，₃₀

u

_0j是第

j

個 國家之數學能力與整體平均數學能力之間的差異，其變異數為τ 。 ₀₀

在表 4-3-4 中，γ 、₁₀ γ 、₂₀ γ 都達到顯著水準，顯示學生數學學習的三個變₃₀ 項皆是有效解釋數學能力差異的變項，而γ 、₁₀ γ 、₂₀ γ 都₃₀ <0，代表數學課外學習 時數越少，數學課自我效能和數學課上課情形越傾向正面，其數學能力越好。在 階層二的隨機效果中，τ₀₀ =5.773,

df

=36,χ² =6190.880，達.001顯著水準，顯示當 全部的數學學習個人變項加入分析，數學課外時數、數學課自我效能以及數學課 上課情形等三個變項對數學能力的影響固定的情況下，各國學生數學能力平均數 仍有所差異。

表 4-3-4 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表(數學學習) 固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值

γ00 18.517 .791 23.422 .000 γ 10 -.065 .032 -2.055 .040 γ 20 -.041 .019 -2.126 .033 γ 30 -.139 .013 -10.444 .000 隨機效果 變異數 自由度 χ ² p 值

u

₀j 5.773 36 6190.880 .000

r

ij 79.391

二、隨機係數迴歸分析模式

根據本模式分析 PISA 2003 資料庫，以瞭解數學課外學習時數、數學課自我

效能、數學課上課情形等數學學習個人變項，是否能夠解釋各國學生數學能力之 差異情形，以及各國家之間數學學習個人變項，對數學能力的影響是否有差異，

其階層線性模式如下：

階層一

Y

ij =βoj +β₁j

X

ij +

r

ij,

^r

ij

^{~ N} ( ^{0 ,}

^σ2

)

(4-11)

j

j ₀₀

u

₀

0 =γ +

β (4-12)

階層二

j

j ₁₀

u

₁

1 =γ +

β (4-13)

其中，

Y

ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國中第

i

位學生的 數學學習個人變項，分別為數學課外學習時數、數學課自我效能、數學課上課情 形；β 是第_0j

j

國的平均數學能力，β_1j是第

j

國學生的數學學習個人變項對數學能 力的影響，

^r

^ij是階層一的隨機誤差，γ 是各國平均數學能力的平均數，₀₀ γ 是各₁₀ 國學生數學學習個人變項對數學能力影響的平均數，

u

_0j是第

j

個國家之數學能力 與整體平均數學能力之間的差異，其變異數為τ ；₀₀

u

_1j是第

j

個國家之學生的數學 學習個人變項對數學能力的影響，與所有國家學生的數學學習個人變項對數學能 力影響的平均數之間的差異，其變異數為τ 。 ₁₁

(一)數學課外學習時數與對於學生數學能力的影響

在表 4-3-5 中，γ 未達顯著，顯示學生數學課外學習時數並不是有效解釋數₁₀ 學能力差異的變項。

表 4-3-5 隨機係數迴歸分析模式之結果摘要表(數學課外學習時數) 固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值

γ00 14.010 .402 34.884 .000 γ 10 -.067 .035 -1.903 .064 隨機效果 變異數 自由度 χ ² p 值

u

₀j 6.216 37 3688.588 .000

u

₁j .045 37 929.029 .000

r

ij 79.469

(二)數學課自我效能對於學生數學能力的影響

在表 4-3-6 中，γ 達₁₀ .05顯著水準，顯示學生數學課自我效能是有效解釋 數學能力差異的變項，且γ₁₀ <0，代表數學課自我效能越傾向正面，其數學能力 越好。在隨機效果中，τ₀₀ =22.548,

df

=40,χ² =30.76.472，達.001顯著水準，顯示 各國在數學能力上有顯著的差異，而且τ₁₁=.015,

df

=40 ,χ² =1075.625，達.001顯著 水準，表示各國在數學課自我效能對數學能力的影響上有顯著的不同。

表 4-3-6 隨機係數迴歸分析模式之結果摘要表(數學課自我效能) 固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值

γ00 13.941 .740 18.828 .000 γ 10 -.042 .020 -2.111 .041 隨機效果 變異數 自由度 χ ² p 值

u

₀j 22.548 40 3076.472 .000

u

₁j .015 40 1075.625 .000

r

ij 70.164

(三)數學課上課情形對於學生數學能力的影響

在表 4-3-7 中，γ 達₁₀ .001顯著水準，顯示學生數學課上課情形是有效解釋數 學能力差異的變項，且γ₁₀ <0，代表數學課上課情形越傾向正面，其數學能力越

好。在隨機效果中，τ₀₀ =16.785,

df

=39 ,χ² =3105.552，達.001顯著水準，顯示各國 在數學能力上有顯著的差異，而且τ₁₁ =.007,

df

=39 ,χ² =714.142，達.001顯著水 準，表示各國在數學課上課情形對數學能力的影響上有顯著的不同。

表 4-3-7 隨機係數迴歸分析模式之結果摘要表(數學課上課情形) 固定效果 係數 估計標準誤 t 值 p 值

γ00 15.867 .646 24.547 .000 γ 10 -.127 .014 -9.170 .000 隨機效果 變異數 自由度 χ ² p 值

u

₀j 16.785 39 3105.552 .000

u

₁j .007 39 714.142 .000

r

ij 70.030

(四)數學學習對於學生數學能力的影響

根據隨機係數迴歸分析模式分析 PISA 2003 資料庫，以全部的數學學習個人 變項，包括數學課外學習時數、數學課自我效能、數學課上課情形等三個變項，

觀察其是否能夠解釋各國學生數學能力之差異情形，以及各國家之間全部的數學 學習個人變項，對數學能力的影響是否有差異，本模式之階層線性模式如下：

階層一

Y

ij =βoj +β₁j

X

₁ij+β₂j

X

₂ij +β₃j

X

₃ij +

r

ij,

^r

ij

^{~ N} ( ^{0 ,}

^σ2

)

(4-14)

j

j ₀₀

u

₀

0 =γ +

β (4-15)

j

j ₁₀

u

₁

1 =γ +

β (4-16)

j

j ₂₀

u

₂

2 =γ +

β (4-17)

階層二

j

j ₃₀

u

₃

3 =γ +

β (4-18)

其中，

_Y

_ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學能力，

X

_1ij代表第

j

國中第

i

位學生的 數學課外學習時數，

X

_2ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學課自我效能，

X

_3ij代表第

j

國中第

i

位學生的數學課上課情形，β 是第_0j

j

國的平均數學能力，β_1j是第

j

國學 生的數學課外學習時數對數學能力的影響，β 是第_2j

j

國學生的數學課自我效能對 數學能力的影響，β 是第_3j

j

國學生的數學課上課情形對數學能力的影響，

^r

^ij是階 層一的隨機誤差，γ 是各國平均數學能力的平均數，₀₀ γ 是各國學生數學課外學₁₀ 習時數對數學能力影響的平均數，γ 是各國學生數學課自我效能對數學能力影響₂₀ 的平均數，γ 是各國學生數學課上課情形對數學能力影響的平均數，₃₀

u

_0j是第

j

個 國家之數學能力與整體平均數學能力之間的差異，其變異數為τ ；₀₀

u

_1j是第

j

個國 家之學生數學課外學習時數對數學能力的影響，與所有國家之學生數學課外學習 時數對數學能力影響的平均數之間的差異，其變異數為τ ；₁₁

u

_2j是第

j

個國家之學 生數學課自我效能對數學能力的影響，與所有國家之學生數學課自我效能對數學 能力影響的平均數之間的差異，其變異數為τ ；₂₁

u

_3j是第

j

個國家之學生數學課上 課情形對數學能力的影響，與所有國家之學生數學課上課情形對數學能力影響的 平均數之間的差異，其變異數為τ 。 ₃₁

在表 4-3-8 中，γ 未達顯著，顯示學生數學課自我效能並不是有效解釋數學₂₀ 能力差異的變項，γ 、₂₀ γ 達₃₀ .001顯著水準，顯示學生數學課外學習時數、數學課 上課情形等兩個變項能有效解釋數學能力之差異，且γ 、₁₀ γ 都₃₀ <0，代表數學課 外學習時數越少，數學課上課情形傾向正面，其數學能力越好。在隨機效果中，

在表 4-3-8 中，γ 未達顯著，顯示學生數學課自我效能並不是有效解釋數學₂₀ 能力差異的變項，γ 、₂₀ γ 達₃₀ .001顯著水準，顯示學生數學課外學習時數、數學課 上課情形等兩個變項能有效解釋數學能力之差異，且γ 、₁₀ γ 都₃₀ <0，代表數學課 外學習時數越少，數學課上課情形傾向正面，其數學能力越好。在隨機效果中，

在文檔中 以HLM探討PISA 2003學生數學學習與國家指標對其數學能力之影響 (頁 59-68)