國小數學乘法課程演進、問題類型與解題—

本節探討國小數學乘法課程演進、問題類型與解題，首先了解國小數學乘法課程 演進與教學方式，接著探討乘法問題的類型，最後針對學生的乘法解題策略做分析。

壹、國小數學乘法課程演進與教學方式

我國國民小學的課程發展研革，在民國六十四年頒佈「國民小學課程標準」；隨 著教育革新的腳步、配合社會的需求、落實以學生為本位的觀點，接著在八十二年修 訂並頒佈「國民小學課程標準」；近來因應社會的變遷，強調課程統整和學生具備帶 著走的能力，教育部於九十年公佈「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」。可見，國 小的課程歷經三階段的變革，以下先說明數學乘法課程在課程改革的演進詳加說明，

再進一步論述數學乘法教學的方式。

一、國小數學乘法課程的演進

我國自清末民初的小學設有算術課程，當時各年級都有算術科，但都注重「筆算」。 從民國十八年的「小學課程暫行標準」到民國六十四年正式頒佈「國民小學課程標準」， 最後到民國八十二年的「國民小學課程標準」，總共公佈十次的國民小學課程標準，

其中經歷了九次的修訂（陶惠昭，1997；教育部，1993）。現行的九年一貫課程更打 破了以往國民中小學教材設計皆為中央集權制度，僅頒布了課程綱要，將教材設計權 下放到各學校和基層教師。

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從民國六十四年開始，數學課程修訂要點中，有了很大的不同，就是加入了「心 理學」的元素，因此教學不再只有傳授而已，而需要了解學生的學習歷程，再加上依 照學生的發展去做教材的組織和教法的呈現。到了八十二年，數學教學由發現轉為建 構，數學知識是由學生互動中主動建構而來，此課程的主要精神是將數學視為解題、

溝通、推理，及數學的聯結（教育部，1993 )。在課程內容上，是根據知識發展歷程 以及學生認知結構發展層次來進行分析，這種作法和九十學年度起實施的九年一貫課 程，強調數學能力的培養，而非灌輸學生數學知識的精神一致（周筱亭、黃敏晃，2000）。 而九年一貫課程更注重數學概念性的了解，並將目標從知識層次升到能力層次，發展 學生帶著走的能力。由此可知，六十四年和八十二年的課程差異甚大，因六十四年版 的課程仍存在著一些問題，依據其課程缺失，國小數學課程在八十二年仔細分析教材 內容並修訂之，有著大幅度的革新，九年一貫則是延續了八十二年課程的精神，在課 程內容方面承接八十二年版的教材，僅增加相關能力指標的對應與分年細目表供教師 參考而已。

據此，以下先呈現六十四版數學乘法課程教材重點，接下來是說明八十二年版數 學乘法課程的教材重點，再列出九年一貫課程數學乘法的分年細目，因九年一貫和八 十二年版數學課程相似，最後只比較分析六十四年和八十二年的數學乘法課程教材的 不同。

（一）六十四年版數學乘法課程教材重點

六十四年版數學課程對乘法教材的處理，使用同數累加引入乘法概念，教材規劃 於二年級下學期，並以學生具備乘法運算的能力為最終目標，說明如下（甯自強，1994；

楊瑞智，1997）。

1.乘法是「同數累加」的概念

六十四年版的乘法教學，乘法概念的獲得，是讓學生注意數個同數值的具體物或

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半具體物的相加，來求其合併的數值，也就是將乘法看成是「同數累加」的改寫，舉 例來說，「5 × 3」則是「5＋5＋5」的改寫。利用同數的累加，來引入乘法的教學方式，

會讓學生產生乘法便是累加的錯覺，當乘數擴展至分數或小數的範圍時，學生將產生 學習障礙。

2.乘法教材集中於同一學年

六十四年版將乘法教材規劃成六個單元，五個單元被連續的編輯在二年級下學期 第四冊課本中，而另一個單元則編輯在三年級上學期第五冊課本中的第一個單元，教 學的重點在於累加活動和乘法算式的熟練與正確性，由於教材過度集中，往往學生只 忙於記憶九九乘法表，而非由乘法教學活動中理解乘法的意義。

（二）八十二年版數學乘法課程教材重點

八十二年版數學課程對乘法教材的處理，依據課程標準，低年級的目標是要瞭解乘法 的意義，並應用乘法表解決問題；從教材綱要來看，乘法的引導始於二年級，在數的 方面有倍的意義，在計算方面有二到九的基本乘法、查乘法表算出題目結果及兩步驟 的加減乘問題。綜合學者之觀點（甯自強，1994；楊瑞智，1997），針對八十二年版課 程對於乘法教材的重點，說明如下：

1.視基本乘法事實是兒童建構的活動

八十二年版課程不強調基本乘法事實的背誦，視乘法為情境的解題活動，認為基 本乘法事實一開始就進入記憶練習，反而會阻礙學生建構乘法意義及一些數學原理的 應用，希望學童能在累積經驗情況下，自然地發展出這些基本乘法事實的記憶。

2.乘法問題是「單位量的轉換問題」，也是「倍的問題」

八十二年版課程將乘法看成單位量的轉換，而不是同類累加活動。例如：「3 塊 餅乾放一盤，五盤共有幾塊餅乾？」問題中的餅乾計數時，是以「盤」為單位，每個 單位內有 3 塊餅乾，共有 5 個單位。題目中問的是幾塊餅乾，把以「盤」為單位的量，

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轉換成以「塊」為單位的量，是將高階的單位量轉換成低階的單位量，也就是問「5 個 3 是幾個？」，所以問題的答案為「5 個 3」或「3 的 5 倍」，以單位量和倍的觀點教 導乘法問題，學生才能將乘法理解擴充至分數或小數的範圍。

3.螺旋式（spiral）的課程組織

八十二年版課程以教學活動為單位，在教學內容方面，逐步的加深加廣，在並打 破了每個單元內容的一致性，所以在乘法單元的內容裡有加法的解題活動，在數學加 減單元的內容中有乘法的活動；在教材的組織方面，利用螺旋式課程的理念，將乘法 的教材，在同一學年內，依其問題的難度予以螺旋式的排列。教材的編輯上區分成三 個難度－解決單位量的轉換問題、紀錄解決單位量轉換問題的解題過程以及用×符號記 錄單位量轉換問題的解題活動。

4.教材組織配合學童認知結構的發展及近側發展區的考量

所謂的近側發展區是指以學習者目前所有的活動類型為基礎下，經由教師輔助或 與有能力的同儕合作解決問題所建構之程度與潛在發展程度之間距離。八十二年版課 程的教材設計原則是以學生已擁有的運思能力及近側發展區，即下一個運思期的具體 解題活動或活動類型，以作為基準。

（三）九年一貫數學乘法課程

九年一貫的數學領域課程，根據學生學習方式與思考型態兩種特徵，將九年國民 教育分為四階段，另將領域內容分為「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」、

「代數」、「連結」等五大主題，除了「連結」之外，均分階段以能力指標表示學習 的內容與期望學生獲得的能力，並提供分年細目，詳細的將教學內容做一分析與闡釋，

供教師教學參考，對於二年級的乘法教學列表分年細目，以下羅列之（教育部，2003）。

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1.能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題。（2-n-06）

在二年級裡，應先以連加、幾個一數為乘法的前置經驗。在認識「倍」的概念後，

例如：7 個 2 是 2 的 7 倍，可以記成 2×7＝14，讓學童認識乘式的記法中「被乘數」、

「乘數」及「積」的位置，再做數值小的乘法題目練習，慢慢養成心算的習慣，然後 開始練習九九乘法。二年級也應能計算二位數乘以一位數的乘法，如 23×3，雖然在計 算上為連加，但必須用乘法橫式來記錄。

2.能理解九九乘法。（2-n-08）

從學習乘法開始，就要練習九九乘法。在二年級結束前，學童應理解九九乘法。

另外，學童也應熟悉被乘數與乘數為 10 的基本乘法。在日常生活的自然問題中，引入 兩步驟問題，學童在解兩步驟問題時，應能將各步驟分開記錄，二年級時不處理併式 的問題。

（四）六十四年版和八十二年版的數學乘法課程比較分析

以下依數學、心理學和教材的組織三方面，比較分析六十四年版和八十二年版的 數學乘法課程（甯自強，1994）。

1.數學觀點

六十四年版視乘法為同數累加的概念延伸，讓學生產生乘法就是累加的觀念，若 在處理正整數的乘法相關問題上，是合理的，然而如此解釋會伴隨著一些限制，例如：

6 × 1/2 ＝ 3 的乘法算式中，就沒有存在累加的意義，導致學生隱藏地認為「乘會變 大，除會變小」的迷思概念。於是，八十二年版將乘法看成是單位量的轉換，讓學生 乘法概念能擴展連貫。

2.心理學觀點

六十四年版的乘法解題方面，首先以同數累加的概念，再被教導以乘法算式呈現，

這樣造成學生認為乘法是比加法「高級」的運算錯誤，在學習之後的整數四則運算中，

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會覺得先乘除後加減的算則是必然現象。因此，八十二年版中乘法是單位量轉換的解 題活動，乘法算式則是解題活動紀錄的變更，以免造成學生的誤解。

3.教材的組織

六十四年版將乘法二到九的學習內容，編輯在二年級下學期的教材，教材過度集 中，使學生急於熟記九九乘法表，學習的精熟僅建立在記憶乘法事實上。八十二年版 為了改進此一缺點，利用螺旋式（spiral）課程的理念，在二年級上下學期中，依乘 法教材難度予以螺旋式的排列。

二、國小數學乘法教學方式

一個完整的數學乘法教學，包括要先引起學生的學習興趣，藉由條理化的乘法教

一個完整的數學乘法教學，包括要先引起學生的學習興趣，藉由條理化的乘法教