以創新教學提升國小二年級學生數學學習興趣與學習成就之行動研究－以乘法單元為例

I

國立台中教育大學課程與教學研究所碩士論文

指導教授：陳慧芬 博士

以創新教學提升國小二年級學生數學學習興趣

與學習成就之行動研究－以乘法單元為例

研究生：鄭怡慧 撰

中 華 民 國 九 十 八 年 一 月

II

以創新教學提升國小二年級學生數學學習興趣與學習成就之行動研究

－以乘法單元為例

摘要

本研究旨在探討實施創新的數學乘法單元教學，對國小二年級學生數學學習興 趣和學業成就的提升效果，以及研究者在教學歷程中的省思與成長，以供其他國小 教師實施數學乘法教學的參考。本研究以森林國小（化名）二年甲班的學生為研究 對象，進行兩循環階段，各為一個月的乘法單元教學活動，採用行動研究法，透過 量表施測、觀察、訪談、文件分析、撰寫教學省思札記等方式蒐集資料，再加以整 理、分析與歸納。本研究的主要結論如下： 壹、創新的數學乘法單元教學可提升學生的數學學習興趣 一、創新的乘法教學吸引學生注意，獲得學生的喜愛 二、學生更喜歡學習數學，並專注投入課程中 貳、創新的數學乘法單元教學可提升學生的數學學習成就 一、藉由圖示法與實際操作澄清迷思概念，使學生具備乘法基礎概念 二、經由解題步驟教學，讓學生擁有正確解題的能力 參、實施創新的數學乘法單元教學有助於研究者教學專業能力的成長 一、研究者藉由閱讀文獻與專家教師的建議，提升教學專業能力 二、研究者與學生互動密切，有助於改進研究者教學方式 三、家長肯定研究者教學，提升研究者教學信心 四、研究者經由行動研究歷程，有助於改善教學現況 肆、創新的數學乘法單元教學有趣可行 一、乘法單元教學活動設計有趣，符合創新教學之理念 二、乘法單元教學流程適切，可提供其他國小教師實施之參考 最後，根據上述研究結論，提出相關建議，作為國小教師實施創新教學與乘法 教學，以及未來從事相關研究者之參考。 關鍵字：創新教學 國小數學 乘法教學 行動研究

III

The Action Research of Enhancing Math Learning Interest and

Achievement for Second-grade Students by Innovative Techniques

－Multiplication Module for Example

Abstract

The main purpose of this study is to explore that the implementation of innovative teaching techniques in math multiplication module motivates as well as interests the primary students in learning mathematics. Further, the researcher also expects the reflections and growth along with this action research would provide reference to other instructors. In this study, there are two-cycle stages, lasting for one month each. Second-grade students from Forest Elementary school(an assumed name) are the research objects. Data and information were collected through the scale investigation, observation, interviews, document analysis and writing notes. And then, the researcher analyses and summarizes information gathered. The main conclusions of this study are as follows: I. Innovative teaching in math multiplication module enhances students’ interests in

learning mathematics.

1. Innovative teaching in multiplication attracts students’ attention, access to students’ favorite.

2. Students showed more interest in learning mathematics than before, and focus on the curriculum.

II . Innovative teaching in math multiplication module can improve students’ learning performance in mathematics.

1. By demonstrating figures and operation by oneself, the researcher clarifies misconceptions and equip students with the basis of the multiplication concept.

2. Teaching by showing procedures enables students to have the ability of problem-solving.

III. The implementation of innovative teaching in math multiplication module promotes teachers’ professional development.

1. By surveying literatures and adopting the expert teachers’ recommendations, the researcher enhances the capacity of the teaching profession.

IV

2. The close interaction between the researcher and students improves the researcher’s teaching skills.

3. Parents assured the researcher’s teaching, enhances the researcher’s confidence in teaching.

4. Through action research courses help the researcher to improve the status of teaching. IV. Innovative teaching in math multiplication module can be interesting and feasible for

teachers.

1. Interesting math multiplication teaching activity designs meets the ideal of innovative teaching.

2. The teaching process of multiplication module is practical. This study can also be provided abundant references for other teachers in elementary schools.

Finally, according to the conclusions of the study, relevant recommendations were made to the practice of innovative teaching and multiplication teaching for teachers in elementary schools and for future research.

Keyword：innovative teaching , elementary education , multiplication teaching , action research

V

目 次

第一章 緒論

第一節 研究動機---1

第二節 研究目的與問題---3

第三節 名詞解釋---4

第四節 研究範圍與研究限制---5

第二章 文獻探討

第一節 創新教學的意涵與應用---7

第二節 國小數學乘法課程演進、問題類型與解題—---18

第三節 創新教學與數學乘法教學之相關研究---40

第三章 研究設計與實施

第一節 研究方法---57

第二節 研究對象與研究者角色---58

第三節 研究步驟與過程---60

第四節 數學乘法單元教學設計---64

第五節 資料的蒐集策略---75

第六節 資料的處理與分析---79

第七節 研究倫理---82

第四章 研究結果與討論

第一節 第一循環乘法教學之分析與檢討---85

第二節 第二循環乘法教學之分析與檢討---139

第三節 研究者的省思與成長---203

第四節 綜合討論---219

VI

第五章 結論與建議

第一節 結論---223

第二節 建議---227

參考文獻

壹、 中文部份---231

貳、 西文部份---237

附錄

附錄一：數學乘法單元教學活動設計---239

附錄二：數學日記---259

附錄三：乘法學習單---263

附錄四：乘法評量卷---264

附錄五：數學興趣問卷---276

附錄六：學生意見問卷---277

附錄七：家長回饋單---281

附錄八：家長同意書---283

附錄九：研究工具設計者同意書---284

附錄十：引用資料編號代碼說明---285

附錄十一：專家教師觀察紀錄單---287

VII

表 次

表2-2-1 Greer的乘法問題情境分類---29

表2-2-2學生乘法解題策略分類與發展順序之分析---32

表2-2-3 Mayer的數學解題歷程模式---38

表2-3-1創新教學之論文摘要---41

表2-3-2乘法教學之研究摘要---47

表3-2-1一年級下學期學生數學學期成績---59

表3-4-1第一循環乘法評量卷雙向細目---71

表3-4-2第二循環乘法評量卷（前測）雙向細目---72

表3-4-3第二循環乘法評量卷（後測）雙向細目---72

表3-4-4第ㄧ循環乘法評量卷同儕教師意見與修改內容---73

表3-4-5第二循環乘法評量卷同儕教師意見與修改內容---74

表4-1-1第一循環數學興趣量表前後測總分之比較---94

表4-1-2第一循環數學興趣量表前後測總分比較分析---95

表4-1-3第一循環學生意見問卷第一題填寫情形---99

表4-1-4第一循環學生意見問卷第二題填寫情形---100

表4-1-5第一循環學生意見問卷第四題填寫情形---101

表4-1-6第一循環乘法評量卷前後測總分之比較---109

VIII

表4-1-7第一循環乘法評量卷得分前後測分數比較分析---109

表4-1-8第一循環學生被乘數與乘數的位置相反之習寫情形----115

表4-1-9第一循環學生習寫計算錯誤之習寫情形---116

表4-1-10第一循環學生不了解題意隨意填答之習寫情形---117

表4-1-11第一循環學生單位量錯誤之習寫情形---119

表4-1-12第一循環學生意見問卷第三題填寫情形---120

表4-2-1第二循環數學興趣量表前後測總分之比較---149

表4-2-2第二循環數學興趣量表前後測總分比較分析---149

表4-2-3第二循環學生意見問卷第一題填寫情形---157

表4-2-4第二循環學生意見問卷第二題填寫情形---158

表4-2-5第二循環學生意見問卷第四題填寫情形---160

表4-2-6第二循環乘法評量卷前後測總分之比較---169

表4-2-7第二循環乘法評量卷得分前後測分數比較分析---169

表4-2-8第二循環學生學生忘記寫答案單位之習寫情形---177

表4-2-9第二循環學生依題目數字順序列出算式之習寫情形----178

表4-2-10第二循環學生不了解題意而使用錯誤數學符號之習寫情形

---180

表4-2-11第二循環學生意見問卷第三題填寫情形---182

IX

圖 次

圖 3-1 研究流程---63

圖 4-1 乘法交換率投影片---91

圖 4-2 尋寶地圖的投影片---142

圖 4-3 橫式和直式乘法國的投影片---142

1

第一章 緒 論

九年一貫課程的改革特色為課程統整與學校本位課程的發展，而課程改革成功 與否，教師為關鍵人物之ㄧ。透過教師對課程的研究與教學的創新，提升學生學習 興趣與教學效能，以培育具有創意及競爭力的學生。本章將依序就研究動機、研究 目的與問題、名詞解釋及研究範圍與限制等四節分別說明如下。

第一節 研究動機

九年一貫課程的實施，賦予學校和教師許多自主空間，藉由創新課程與教學活 動，激發和引導學生的學習興趣與學習成效，而教師研發創新教學內容，與校內同 儕分享創新教學成效，可進一步提升教師之專業素養，並發展學校特色，因此，九 年一貫課程改革中特別重視教師專業和創新教學的能力。前教育部長曾志朗（2001） 亦提出，課程改革除了更新教育課程內容，重要的是教學上的創新，還有教師觀念 上的突破，因此教改的成功之鑰掌握在教師手上，九年一貫課程改革的主要精神是 教師的「創新教學」。所以教師應從創新教學中培養學生的基本能力，進而啟發學 生的創造力，只要教師適時發揮教學中的創意，才能將改革成果延伸到學生身上， 由此可知創新教學乃是教師需深入了解的重要課題。 數學是科學之母，數學是解決日常生活問題所需具備的基本工具，隨著人類社 會的發展，科學研究的深入，數學已經廣泛的被應用到物理、化學、資訊、經濟、 政治、軍事…等等自然科學和社會科學領域中。因此世界各國對於數學教育的實 施，都十分重視。在大多數國家的中小學課程中，數學科目是僅次於本國語文，授 課時數最多的科目（吳清基，1997）。可見，國小數學領域是學生科學教育的基礎， 也是國民教育的核心課程之ㄧ，其重要性無庸置疑。 教育部在民國八十二年九月頒佈的國民小學數學科課程標準，特別受到建構主 義精神的影響，強調兒童主動建構數學知識，作為課程設計的主要依據；在教材與

2 教法上，參考認知心理學對數學知識形成的研究結果；並落實在日常生活中學習與 運用數學知識的理想，強調問題解決的教學、重視兒童自行建構解題（教育部， 1993 )。而九年一貫課程，延續了八十二年版的課程精神，視數學為解題、溝通、 注重概念性的了解，更重要的是將目標從知識層次提升到能力層次，強調數學能力 的培養，發展學生帶著走的能力。研究者在先前任教三、四年級時，即發現學生對 於數學的學習興趣普遍不高，主要是因為數學強調的是概念理解和解題，即使學生 在課堂中能理解數學的概念，卻不能在解題或生活上靈活運用，使得學生的數學學 習成就不高，連帶造成學生學習數學的興趣低落。後來擔任一、二年級的教師時， 亦發現低年級的數學教材內容雖然簡單，惟部分學生卻仍對數學存在著莫名的恐懼 心理。有鑑於此，教師如何讓數學學習從學生的生活經驗出發，讓數學教學活動化、 多元化、活潑化、實用化，將創新教學運用於數學領域中，提供學生更佳的學習環 境與學習機會，以降低學習數學的恐懼，讓學生喜歡數學，樂於學習數學，增進學 習興趣，應是國小數學教育的重要課題，此乃本研究動機之ㄧ。 國小數學課程中，加、減、乘、除是基本的四則運算，也是數學的基礎，學會 並懂得運用，數學能力才會有所進步。根據全美數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics， NCTM）提出的數學課程標準，基本乘法的了解 有助於發展更高層次的數學能力和成就，而概念性的發展應該優先於運算的流暢 性，這樣學生的學習才有意義（NCTM, 2000）。數學領域教學是在培養學生邏輯思 考，運用概念來解決生活中的問題，基本乘法事實是從加法延續而來，不僅是「數 與量」中重要的計算基礎，乘法在「圖形與空間」、「機率與統計」、「代數」中 更是重要題材。乘法單元的教學開始於國小二年級階段，教學核心在於引導學生學 習乘法，培養學生具有解決乘法問題的能力。但傳統的教學要求學生死背九九乘 法，以增加運算速度，卻不知其中意涵為何，徒浪費學生大量的時間和精力，學習 成效卻不彰。因此本研究以國小二年級的學生為對象，根據乘法教學相關理論、 Mayer（1987）的解題歷程模式和認知的教學原則，透過研究者所設計之創新的數

3 學乘法單元教學，先讓學生理解乘法的概念，再教導九九乘法，有效提昇學生數學 學習成就，此為本研究動機之二。 九年一貫課程係以學生的學習為中心，並充分尊重教師專業自主，給予教師極 大的創新教學空間，因此位於教學第一線的教師須扮演比以往更積極的角色。教師 不但是課程的設計者，更要成為課程的研究者，此外，陳伯璋（2001）進一步提出 教師不僅是個「研究者」，也應該是個「行動者」。因此，教師的教學理念、教學 方法和教學策略，均要跟上知識經濟、創新改革時代的腳步，實踐「教師即研究者」 和「研究者即行動者」的精神，透過行動研究，藉由教師本身的教學歷程省思，讓 教學活動實施更臻完善。因此本研究記錄研究者實際的教學歷程，從課程設計到課 程實施，不斷擬定計畫、執行、觀察、反省後，再次修正教學，確實行動、觀察記 錄和省思，了解研究者實施創新教學時所面臨的困難，以及可行的因應策略，此外， 並探究教師的教學歷程，期能促進自我的專業成長，藉由此研究，供實施數學乘法 教學的教師們作為參考，此為本研究動機之三。

第二節 研究目的與待答問題

根據上述之研究動機，本研究旨在探究實施創新的數學乘法單元教學，對國小 二年級學生數學學習興趣和學業成就之影響，以改進研究者的教學，落實九年一貫 課程的目標。故此，本研究目的有四： 一、探討創新的數學乘法單元教學，對二年級學生的數學學習興趣之影響。 二、探討創新的數學乘法單元教學，對二年級學生的數學學習成就之影響。 三、探討創新的數學乘法單元教學實施歷程，對研究者教學省思與成長之影響。 四、經由創新的數學乘法單元教學課程設計與實施歷程，提出研究結果與建議，並 供

4 其他國小教師實施數學乘法教學的參考。 為達成以上之研究目的，本研究擬探討的問題如下： 一、創新的數學乘法單元教學，對提升二年級學生之數學學習興趣的效果為何？ 二、創新的數學乘法單元教學，對二年級學生之數學學習成就的提升成效如何？ 三、實施創新的數學乘法單元教學過程中，研究者的教學省思與成長為何？

第三節 名詞解釋

壹、創新教學

創新教學是指教師在教學中，以創新開放的教學理念，蒐集教學相關資料，因 學習領域、學生年級、與學習目標的不同，對現有的教學內容做整體與彈性的調整 改良，在教學原則、教學方法、教學策略上求新求變，並採用適當的教具或教學媒 體，引起學生興趣，以期達到教學目標與增進學生學習成效、自我思考和問題解決 能力。

貳、創新的數學乘法單元教學

本研究之創新的數學乘法單元教學，係指研究者參考數學乘法教學相關文獻， 依據部編本數學第三冊的內容，配合二年級學生的舊經驗，依循創新教學的理念和 原則，而改善、超越、創新設計的數學乘法單元教學，教學計畫詳見附錄一。

叁、數學學習興趣

數學學習興趣是學生對於與數學有關的事物，所具有的一種情意偏好傾向，它 是激發學生學習數學的一種內在動力。 本研究的數學學習興趣，是指經由研究者對研究對象進行上下學期各一個月創 新的數學乘法單元教學活動之前後，研究對象在李建亭（1998）所編製「數學領域 興趣量表」之得分表現。經前後測比較，若前測與後測間的差異達到顯著水準，且 後測平均數高於前測，則表示本教學活動提升學生的學習興趣。此外，本研究參考

5 研究對象習寫的「數學日記」和「學生意見問卷」、家長填寫的「家長回饋單」、研 究者對研究對象所做的上課觀察與非正式訪談等質性資料，以檢視學生在本行動研 究中的數學學習興趣及其提升情況，以質性資料為主，量化資料為輔。

肆、數學學習成就

數學學習成就是學生經過教師的教學，對於數學教材所獲得的知識與技能，可 以經由測驗或老師觀察評定來得知學生的學習成果。 本研究的數學學習成就，是指經由研究者對研究對象進行上下學期各一個月創 新的數學乘法單元教學活動之前後，研究對象在研究者自編的「乘法評量卷」之得 分表現。經前後測比較，若前測與後測間的差異達到顯著水準，且後測平均數高於 前測，則表示本教學活動提升學生的學習成就。此外，本研究參考研究對象習寫的 「數學日記」和「數學課本練習題」、家長填寫的「家長回饋單」、研究者對研究對 象所做的上課觀察與非正式訪談等質性資料，以檢視學童在本行動研究中的數學學 習成就及其提升情況，以質性資料為主，量化資料為輔。

第四節 研究範圍與研究限制

壹、研究範圍

本研究範圍依研究對象和研究內容分述如下。 一、研究對象範圍 本研究以研究者擔任導師的班級－森林國小（化名）二年甲班全班學生為研究 對象，第一循環乘法教學進行時（上學期末）班上共有35人，含男生18人和女生17 人；第二循環乘法教學進行時（下學期末），轉出一位男生，轉入一位女生和男生， 班上有36人，含男生18人和女生18人。 二、研究內容範圍 本研究內容主要在探討創新的數學乘法單元教學，對國小二年級學生學習興趣

6 和學習成就之提升效果，以及研究者在教學歷程中的省思與成長。

貳、研究限制

本研究可能存在以下限制： 一、研究者角色的限制 本研究採行動研究法，研究者即為教學者，因此，研究者個人主觀的興趣、情 緒和價值觀，無可避免的影響研究的歷程，研究過程中可能因本身的背景或是對研 究對象既有的印象或觀感，進而產生偏見或是不客觀的詮釋。 為求研究的客觀性，研究過程中，研究者對同一對象或教學現場，使用不同的 方法，蒐集不同來源和型態的資料，包括「數學興趣量表」與「乘法評量表」的前 後測得分之比較與分析、研究者的觀察記錄與省思札記、專家教師觀察記錄、學生 意見問卷、家長回饋單及研究進行中的各項文件分析，檢核所蒐集的資料及對資料 的解釋，期望透過多種資料的相互印證，降低研究者主觀的偏見。此外，研究者在 教學活動過程中全程錄影，藉由校內同儕教師的觀察記錄，於教學活動後一起針對 教學內容進行專業對話，作為下一次教學改進的參考，並於省思札記反省教學，時 常提醒自己立場的中立性，以獲得較客觀的看法。 二、研究推論的限制 本研究採行動研究法，主要課題在於解決教學現場實際的問題，因此，本研究 目的在於提升學生對數學的「學習興趣」與「學習成就」表現，由於本研究的教學 活動是研究者蒐集相關文獻，配合學校的部編版數學課程內容，自行設計的活動。 因此，研究結果只適合說明研究對象在創新的數學乘法單元教學的學習情況，僅能 提供其他教師進行相同或類似的乘法教學單元之參考，但讀者應留意此結果不宜直 接推論於其他縣市、學校和年級。

7

第二章 文獻探討

本章旨在探討創新教學與數學乘法教學的意涵與應用，並分析國內外的相關研 究，以作為創新數學乘法教學單元設計的依據。本章共分為三節，第一節為創新教學 的意涵與應用；第二節為國小數學乘法課程演進、問題類型與解題；第三節為創新教 學與數學乘法教學之相關研究。

第一節 創新教學的意涵與應用

本節旨在探討創新教學的意涵與應用，首先分析創新教學的意義與內涵，接著瞭 解創新教學的原則，最後探討創新教學的策略。

壹、創新教學的意義與內涵

ㄧ、創新教學的意義 為了教導新一代的學生，教師們必須發展出更有創意的教學方式，時時更新自己 的教材和教法，確保與時俱進的教學能力，才能發揮其教學效果，因為老套的教學方 式已不敷使用，若教師們以過時的教材和教法來教導學生，勢必難以激起學生學習的 興趣。（吳清山，2002）。由此可知，創新教學乃是教師需要積極培養的能力，更是 未來教育的重要趨勢之ㄧ。 教育部在2002年公布之《創造力教育白皮書》 指出，「創造力」（creat ivity ） 與「創新」（innovation ) 為一體之兩面，相輔相成。創意的產生，有賴於創造力智 能的發揮；創意的績效，取決於創新成果的展現。此外，白皮書中進一步指出：廣義 之創新能力包含創造力、創新機制與創業精神，具體成果就是社會大眾在各領域之創 意表現。創新能力是知識經濟社會發展的重要指標，創造力則是學習成效之教育指標。 狹義區分，創造力是創新的知識基礎，創新是創造力的具體實踐。因此，雖然創新並

8 不完全等同創意，但其概念基本上是相通的。為了對創新教學有概括性的了解，本節 將與創新教學精神接近的文獻均予以收錄，只要目的是在引起學生的學習動機、提升 教學效能的教學概念，不論是「創新教學」、「教學創新」、「創意教學」等一併探 討。茲先列舉各學者對「創新教學」、「教學創新」、「創意教學」的定義或看法， 再加以整理歸納。 「創新教學」就字義而言，係指新穎的、前所未有的、不同於傳統的教學方法或 策略。但「創新」不必然是完全「新創」的，即使是舊有的方法或策略，只要是教學 者能因時、因地、因人加以調整、轉化，充分發揮其效用，達成教學目標或教育目的， 也是一種創新教學的表現（游家政，2003）。許文光（2002）認為，創新並不在於捨 去舊有的方法，也不必然全都要無中生有，在舊有的教學基礎上，將教學內容轉化得 宜、情境適中、評量中肯，都是創新教學展現的空間。吳靖國（2003）也指出，創新 教學不是指固定的某種教學方法或模式，而是一種過程，只要是對原有教學進行改變， 不管是融合、調整或取代，就產生了教學上的創新。 張玉成（2003）提出創新教學有兩種層面的意義，包含「創意性的教學」和「思 考啟發的教學」。前者指的是教師在教學中，運用新穎的方法、策略與過程，使教學 能夠生動活潑而富有變化，以引起學生的學習興趣，後者強調學習者經過教師的協助， 在心智上有所產出或發展。 張世忠（2002）認為，創新教學是不持傳統或原來的教學方式，不斷更新或變化 教學方式，教師應因時制宜，變化其教學方式，其目的在於提高學生之學習興趣，啟 發學生之創意思考和適應學生之個別差異。另史美奐（2004）說明創新教學是教師運 用知識或關鍵資訊對於現有的教學方法做一些改變，目的在於得到更好的教學效果， 使學生學習成效提高、學習興趣提升，或在維持教學品質的情形下，讓學習過程更輕 鬆有趣，進而使教師有較高的教學滿足感或工作成就感。 至於教學創新，是指教師在教學前的準備、教學過程中及教學評量時具有創意，

9 能省思、設計並運用新的、多元化的教學方法或活動，瞭解學生個別差異，激發學生 學習動機與興趣，提升學生學習效果（王秋錳，2003）。趙佳芬（2005）說明教學創 新需要在課程設計、教材內容、呈現方式有創新的行為，讓學生於學習過程中充滿學 習的樂趣。 吳清山（2002）認為，「創意教學」係指教師於教學過程中，能夠採用多元活潑 的教學方式或多樣豐富的教學內容，激發學生內在的學習興趣，以培養學生樂於學習 的態度和提升學生學習能力。林偉文（2002）則進一步引申創意教學是教師構想、設 計教學活動時，運用新奇的教學取向、方法、教具或視訊媒體，以適應學生的心智發 展、引起學生的學習動機、協助學生產生有意義的學習，以便更有效地達成教學或教 育目標。 歸納上述專家學者之觀點，游家政（2003）、許文光（2002）和吳靖國（2003） 均認為創新教學不必是完全新創的，而是在舊有的教學基礎上，因時、因地、因人調 整革新，讓新的教學更加有效達成教學目標。張世忠（2002）、吳清山（2002）、史 美奐（2004）王秋錳（2003）、趙佳芬（2005）均肯定創新教學要採用多元的教學方 式，以激發學生學習興趣，提高學習成就，得到更好的教學效果。張玉成（2003）和 林偉文（2002）則說明創新教學是在教學中運用新奇的方法、策略、教具和多媒體， 引發學生主動學習，達成有意義的學習。 綜而言之，「創新教學」是指教師在教學中，以新的教學理念，蒐集相關教學資 料，對現有的課程做一改良，在教學原則、教學方法、教學策略上做調整和求新求變， 並採用適當的教具或教學媒體，適應學生的個別需求，引起學生興趣，以期達成教學 目標與增進學生學習成效、思考和問題解決能力。 二、創新教學的內涵 了解創新教學的內涵，才能充分發揮其教學效能，學者們對創新教學的內涵有許 多不同的看法，以下由不同面向或層級加以論述。

10 吳靖國（2003）將創新教學的內涵大致分為三個不同的面向，ㄧ是思維上的創新， 指教學哲學、教學理念的改變；二是規制上的創新，指課程規劃、師生互動的改變； 三是材料上的創新，指教材教具、硬體設備的改變。 王涵儀（2001）指出，教師的創新教學行為，表現在教學的各方面，包括：1.教 學目標；2.教學歷程；3.課程設計；4.學習評量；5.教室環境佈置；6.班級氣氣；7. 人際互動。另高強華（2002）進一步提出，教師可針對以下五大面向來思考教學創新 的問題：1.教學目標的選擇與決定；2.教材內容的增刪與詮釋；3.教學方法的多元與 適性；4.學習策咯的運用；5.評量的多元規準。 史美奐（2004）將創新教學分成三種層級：ㄧ是改善，指教師依照教科書，擬定 自己的教學內容及方式，透過上課與學生進行實際的互動，在課後，對內容及方式予 以局部的修正，以期提高授課的成效；二是超越，指從原本所使用的教學方法與內容 中，尋找其他可能的教學方法或做內容的大量調整，以期學生能夠提高思考層級的方 式，擁有更好的技能，並變化其學習的態度；三是創新，指將課程內容或教學方法做 根本性的調整，教學內容不局限於教科書所談的內容，更視學生的情況運用更多種教 學方法或從一個全新的角度來教學，以期提升學生的學習興趣，刺激更多的學生去思 考。 整理歸納上述學者之觀點，可發現從教師本身出發，吳靖國（2003）強調教師的 思維、教學理念要改變創新；在課程方面，吳靖國（2003）、王涵儀（2001）、高強 華（2002）和史美奐（2004）均肯定課程設計、規劃和內容要調整、改善，進而超越、 創新，提供學生豐富的課程；在教學方法和情境方面，上述四位學者尚提出適性的教 學方法、和諧的師生互動、教材教具的改變，更能刺激學生思考學習；在學生學習方 面，王涵儀（2001）、高強華（2002）均認為多元化的學習評量，能促使學生有效的 學習。基於此，創新教學的內涵包括教師的教學理念與思維先改變創新，進一步課程 設計和內容才會改善、超越、創新，有助於學生知識的取得與了解；更重要的是教師

11 的教學方法、情境與設備也要適時創新，不僅要創新，還要有效能；除此之外，多元 的學生學習評量，才能激發學生思考，培養其多樣化的能力。

貳、創新教學的原則

創新教學是將現有的教學方式加以改良，讓教師能實際解決教學上所面臨的問 題，提升教學的效能，教師若先把握住創新教學的基本原則，即能踏穩創新教學的第 一步，有關創新教學的原則，學者們有許多不同的看法，茲羅列如下。 單文經（2002）從聯合國教科文組織發行的教育實務文獻中，歸納出十二項教學 原則，作為教師創新教學的參考：1.良好的班級氣氛；2.豐富的學習機會；3.妥善安 排的課程；4.明確的學習重點；5.紥實的學習內容；6.智慧的教學對話；7.充分的練 習應用；8.高度的鷹架支持；9.學習策略的教導；10.協同合作的學習；11.目標為本 的評量；12.教師的適度期望。 吳清山（2002）認為創新教學的原則為：1.教學方法及內容活潑、多元化；2.教 師與學生主動參與；3.運用資訊科技相關資源；4.班級互動氣氛民主、開放；5.瞭解 學生學習動機及需求；6.使學生有問題解決的技巧和能力。張世忠（2002）指出教學 創新之原則為：1.變化固定的教學方式；2.營造開放的教學情境；3.調整權威的教學 角色；4.運用多元的教學方法；5.鼓勵學生的自由發表；6.加強學生的做中學習；7. 實施多元的教學評量。 J.Fredhusen和D.Tyeffinge在1980年提出創意教學，是由教師引起學生動機與探 討的方式，其教學原則為：1.支持並鼓勵學生不同的想法和回答；2.接受學生的錯誤 和失敗；3.適應學生的個別差異；4.讓學生有時間思考；5.營造師生良好的互動氣氛； 6.觀察創造力的多元化與不同層面；7.鼓勵課程以外的學習活動；8.鼓勵學生主動參 與；9.教材教法要多變化，不獨佔整個教學活動；10.激發學生想像力，並讓他們充份 發表與分享（引自呂淑屏，2002）。

12 上述學者對創新教學的原則雖見解不同，卻有其共同之處，分項歸納如下。 一、班級氣氛與師生互動上 教師營造開放良好的班級氣氛與師生互動有助於創新教學（吳清山，2002；呂淑 屏，2002；單文經，2002），吳清山進一步提出教師須調整權威的角色，讓學生更樂 於學習。 二、課程設計與教學內容上 教師依照教學目標，配合學生生活經驗，妥善規劃課程，教學內容要豐富且明確， 符合學生的個別差異，多提供課外的學習活動（吳清山，2002；呂淑屏，2002；單文 經，2002）。 三、教學方法與教學資源上 教師要了解學生學習動機與需求，變化教學方式，運用適當的教學媒體，激發學 生學習興趣，使學習更有效能（吳清山，2002；呂淑屏，2002；張世忠，2002）。 四、學生學習與評量上 教師需多鼓勵學生參與和發表，給予學生鷹架支持與充分的練習，提供學生同儕 合作的機會，實施多元的教學評量，使學生具有解決問題的能力（吳清山，2002；呂 淑屏，2002；單文經，2002；張世忠，2002）。 綜合學者觀點，創新教學的原則是：1.營造良好的師生互動；2.民主開放的班級 氣氛；3.設計多元適宜的教學內容；4.尊重學生的個別差異； 5.活用教學策略，讓學 生做中學；6.善用教具、教學媒體等資源；7.評量方式多樣化，激發學生思考和培養 問題解決能力。 教師在進行創新教學時，必須先掌握教學的基本原則，但是教師在運用這些原則 時，應該注意三項事項（單文經，2002）。 其一，學習領域的不同，教學的作法也各有差異，所以，最佳的做法是要熟悉各

13 種不同的教學原則，也要熟稔各種不同的學習活動，才可能在適當的時機，採用合宜 的教學方法，協助學生有效的學習。 其二，教師在運用各種教學原則時，要保持相當大的彈性，必須依據其所在的學 年、教學的單元，甚至是個別的學習活動，做妥善的安排與適度的調整。 其三，教師實際應用時，應將這些教學原則做整體的考量，在進行教學設計時， 全方位思考教學的計畫與期望、班級學習環境與教室管理、課程的內容與教學的材料、 學習的方法和評量的措施…等問題，並加以仔細且彈性的調整和安排，使教學活動能 協助學生精熟學習。 由上述可知，教師在進行創新教學時，除要先把握住教學原則外，也要因學習領 域、學生年級與學習目標的不同，而對教學做整體與彈性的調整，以符合學生的獨特 性，使創新教學更有成效，達到教學目標。

叁、創新教學的策略

在教育改革的趨勢下，九年ㄧ貫課程的核心精神之ㄧ是創新教學，而教師在進行 創新教學，除了具備創新的教育理念、熟練教學原則之外，更要掌握住多樣化的教學 策略。 有關創新教學策略，多位學者各從不同面向出發，如高博銓（2003）從面對知識 經濟時代，教師應採取的因應措施；吳清山（2002）從教師的教學能力方面；儲慧平 （2003）從提升學生學習動機角度；呂淑屏（2002）從教師創新教學指標切入；王全 世（2000）、何榮桂（2001）、林煌凱（2001）從資訊科技融入教學方面；陳今珍（2004） 從學生作業與評量角度。研究者整理歸納學者專家之論述，大致將創新教學的策略分 為教學準備、教學實施、教學綜合三大階段，並在每一階段的論述中，綜合學者專家 的意見，參考《精緻教育-臺北市優質學校經營手冊》（臺北市政府教育局，2004）， 加上研究者自身之教學經驗，歸納出三大階段所著重的創新教學策略，以下針對每一

14 階段的策略呈現內容與加以說明。 ㄧ、教學準備階段 教師實施教學創新時，必須具備創新教學的知識及能力、豐富的教學理念、熟練 的教學原則及方法，且要先瞭解學生學習的需求並營造班級良好的學習氣氛，才能達 到教學創新（吳清山，2002）；儲慧平（2003）亦指出教學前要訂立合乎學生能力的 學習目標並營造安全、溫暖、友善、合作及民主的學習情境。由此可知，在教學準備 階段著重的是教學理念的創新和班級經營的創新，分別說明如下。 （一）教學理念創新 思想會引導行為，教師的教學理念影響教師教學時的各種作為，教師要先進行教 學理念上的革新轉化，具備創新的知識與能力，才能設計創新的課程與教學內容，帶 給學生多樣化的學習。 （二）班級經營創新 良好的班級氣氛，端賴教師多元的班級經營方式，例如：透過每月舉辦班級主題 活動，凝聚班級的向心力，並利用晨光教學推動品德教學，讓學生養成自主負責的學 習態度；在教學情境方面，依教學需求，變換教室佈置；在師生互動方面，藉由親密 的師生互動，營造愉快、和諧的教學氣氛。 二、教學實施階段 教師在教學實施時，可善用現代資訊科技的技術，活用多樣化的教學方法，使用 引發學生創意的發問技巧，讓學生勇於嘗試與分組討論學習（吳清山，2002）。高博 銓（2003）亦強調在教學中運用資訊科技，尊重學生的多元歧異特性，增加學生合作 學習的機會，提供學生各種不同的學習經驗。 呂淑屏（2002）提出教師在教學設計時要以學生為主，運用主題統整的教學模式； 且先配合教學單元做情境佈置，教學中善用各種教學媒體資源，使用會引起學生興趣

15 的教學技巧，課堂中適時用不同的掌聲和歡呼來提振教學氣氣，並引導學生創意的回 答，重視學生小組的合作學習。除此之外，儲慧平（2003）認為教材也要有創意、難 度適中，循序漸進；教學中善用增強鼓勵技巧，適時提供學生正面回饋，運用電腦多 媒體，設計多元有趣的活動與作業；同時依據學生先備知識，指導學生有效的學習方 法，協助其架構學習鷹架。 王全世（2000）認為資訊科技融入教學使傳統的教學型態轉變，提昇教學品質， 使教學達到最佳化，也可使學習活動豐富，刺激學生的創造力，培養學生批判思考的 能力，提昇學生的學習成效；何榮桂（2001）亦認為運用資訊科技融入教學，可以提 高學生的學習成效；林煌凱（2001）更進一步指出資訊科技融入教學是指教師透過電 腦、媒體與網路等資訊科技來進行教材的製作、教學的輔助、課後補救、統整分析及 班級管理，在教學上引導學生透過資訊科技來協助學生學習、主動探索與問題解決， 並於過程中學得資訊科技的相關知識。由此可知，教師可運用資訊科技當成教學輔助 工具之ㄧ，進行教材製作和融入教學，豐富教學活動，提高學生的學習興趣與成效。 綜合上述學者觀點，學者均肯定在創新教學實施階段，資訊科技融入教學的效果， 而統整、豐富的教學內容是不可或缺的，並且要透過多樣化的教學方法，帶給學生新 穎的學習體驗。據此，在教學實施階段中著重的是教學內容、教學方法以及教學資源 的創新，分別說明如下。 （一）教學內容創新 學校的課程與教學內容，是學生學習、吸收知識最主要的途徑，所以創新教學首 先需在課程與教學內容創新。教師規劃適性的課程計畫，融入新興的教育課題，在教 學設計上，以學生為主體，尊重學生個別差異；依照領域的不同，設計創意的教學活 動，增加學生實際體驗的學習機會；在教材內容上，需配合學生生活經驗，學習統整 的知識，讓學生具備帶得走與解決問題的能力。

16 （二）教學方法創新 創新教學是要在原有的教學基礎上轉化革新，因此需要熟悉多種教學方法。教師 應依照學生的學習狀況，靈活運用各種教學策略，例如：小組合作學習、問題教學法、 腦力激盪法…等；了解學生個別差異，適時指導學生學習策略，開發學生學習潛能； 師生互動良好，關注每位學生的學習狀況，提供學生許多表現活動或機會；常和學校 同儕分享討論教學新點子，適當的運用在教學活動中，提高學生的學習興趣和學習成 效，讓學生快樂有效率的學習。 （三）教學資源創新 豐富的教學資源可以讓創新教學活動更吸引學生，而教學資源包括教學情境、教 學媒體、校園環境、家長和社區資源。教師可配合教學活動，佈置教學情境，運用資 訊科技融入教學，充足且適當的教學媒體，如：影片、電腦網際網路、實物投影機等 的使用，有助於教學品質的提升，引發學生的學習動機。教師更可以結合校園環境， 利用家長與社區資源（消防局、科博館）來輔助教學，開展學生的學習觀點，使教學 更加貼近學生的生活經驗。 三、教學綜合階段 一個完整的教學，還需將教學內容做一綜合與評量，在教學綜合階段採用多元評 量，適切評量學生認知、情意和技能的學習成果（吳清山，2002；呂淑屏，2002；儲 慧平，2003），而教師在設計評量問題時需重視學生能力的培養，且設計作業和學習 單時應重視多樣性和創意（呂淑屏，2002）。 傳統教學評量的紙筆測驗是強調教材內容效果，而創新教學評量更重視的是考題 是否能測驗出學生不同的認知層次。單一的紙筆測驗的限制在於未能完全測出認知、 情意或技能方面的學習成果，因此必須以其他的評量方式配合之，多元評量將可評鑑 出學生在探求知識過程中的學習成效，其評量方式如：合作學習模式、表達能力評量 活動、資料蒐集評量活動、實境操作評量…等（陳今珍，2004）。由上述可知在教學

17 綜合階段著重的是學生作業與評量方式的創新，分別說明如下。 （一）學生作業創新 在學生作業創新方面，教師可在設計技巧、作業內容與作業呈現方式三方面加以 發揮創意。 1.設計技巧：教師在設計學生作業時發揮創意，除了兼顧知識、技能、情意的學 習，並包含主學習、副學習及輔學習，因應學生個別能力之差異，設計多樣化且適切 的作業。 2.作業內容：教師依教學領域或主題設計學生作業，內容涵蓋創作、思考、觀察、 歸納等各項基本能力，鼓勵學生勇於嘗試，強調團隊合作學習，在討論互動與問題解 決的過程中，腦力激盪創意作業，並培養良好的人際關係。 3.作業呈現方式：教師提供學生展現學習成果的機會，以多元方式呈現作業，運用 書面、圖像、聲音、動作，例如：小組報告、角色扮演等，讓學生的創意知識和創造 能力得到充分的發揮，並適時予以鼓勵及讚揚。 （二）評量方式創新 在評量方式創新方面，教師可在評量設計內容、評量活動、評量工具、評量技巧 四大項，加以發揮創意。 1.評量設計內容：以學生為主體來設計與實施教學評量，配合學習領域特性，設計 適切評量方式，培養其創新能力。 2.評量活動：教師訂定有彈性的評量活動，可讓學生自行選擇和決定，例如：學生 自訂與教學主題相關的作業，並適時提供學生自評與互評的機會，進行相互學習，建 構其最佳發展區。 3.評量工具：教師設計多元與有變化性的評量工具進行評量，並對評量工具內容與 運用方法，具備一定程度的了解，讓評量工具發揮其效果。 4.評量技巧：教師會以簡單易行、質量並重的方式，描述學生學習結果，在不同的

18 教學活動進行中，善用不同功能的教學評量，以增進教學效能。 總括而言，創新教學策略是指教師對於教學前的設計思考、課程規劃、教材內容 等理念創新，以及教學時所運用的教學方法、教學資源、評量方式與班級經營等策略 創新，所以創新教學策略可說是教師發揮個人智慧、創造力與專業能力的成果表現。

第二節 國小數學乘法課程演進、問題類型與解題

本節探討國小數學乘法課程演進、問題類型與解題，首先了解國小數學乘法課程 演進與教學方式，接著探討乘法問題的類型，最後針對學生的乘法解題策略做分析。

壹、國小數學乘法課程演進與教學方式

我國國民小學的課程發展研革，在民國六十四年頒佈「國民小學課程標準」；隨 著教育革新的腳步、配合社會的需求、落實以學生為本位的觀點，接著在八十二年修 訂並頒佈「國民小學課程標準」；近來因應社會的變遷，強調課程統整和學生具備帶 著走的能力，教育部於九十年公佈「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」。可見，國 小的課程歷經三階段的變革，以下先說明數學乘法課程在課程改革的演進詳加說明， 再進一步論述數學乘法教學的方式。 一、國小數學乘法課程的演進 我國自清末民初的小學設有算術課程，當時各年級都有算術科，但都注重「筆算」。 從民國十八年的「小學課程暫行標準」到民國六十四年正式頒佈「國民小學課程標準」， 最後到民國八十二年的「國民小學課程標準」，總共公佈十次的國民小學課程標準， 其中經歷了九次的修訂（陶惠昭，1997；教育部，1993）。現行的九年一貫課程更打 破了以往國民中小學教材設計皆為中央集權制度，僅頒布了課程綱要，將教材設計權 下放到各學校和基層教師。

19 從民國六十四年開始，數學課程修訂要點中，有了很大的不同，就是加入了「心 理學」的元素，因此教學不再只有傳授而已，而需要了解學生的學習歷程，再加上依 照學生的發展去做教材的組織和教法的呈現。到了八十二年，數學教學由發現轉為建 構，數學知識是由學生互動中主動建構而來，此課程的主要精神是將數學視為解題、 溝通、推理，及數學的聯結（教育部，1993 )。在課程內容上，是根據知識發展歷程 以及學生認知結構發展層次來進行分析，這種作法和九十學年度起實施的九年一貫課 程，強調數學能力的培養，而非灌輸學生數學知識的精神一致（周筱亭、黃敏晃，2000）。 而九年一貫課程更注重數學概念性的了解，並將目標從知識層次升到能力層次，發展 學生帶著走的能力。由此可知，六十四年和八十二年的課程差異甚大，因六十四年版 的課程仍存在著一些問題，依據其課程缺失，國小數學課程在八十二年仔細分析教材 內容並修訂之，有著大幅度的革新，九年一貫則是延續了八十二年課程的精神，在課 程內容方面承接八十二年版的教材，僅增加相關能力指標的對應與分年細目表供教師 參考而已。 據此，以下先呈現六十四版數學乘法課程教材重點，接下來是說明八十二年版數 學乘法課程的教材重點，再列出九年一貫課程數學乘法的分年細目，因九年一貫和八 十二年版數學課程相似，最後只比較分析六十四年和八十二年的數學乘法課程教材的 不同。 （一）六十四年版數學乘法課程教材重點 六十四年版數學課程對乘法教材的處理，使用同數累加引入乘法概念，教材規劃 於二年級下學期，並以學生具備乘法運算的能力為最終目標，說明如下（甯自強，1994； 楊瑞智，1997）。 1.乘法是「同數累加」的概念 六十四年版的乘法教學，乘法概念的獲得，是讓學生注意數個同數值的具體物或

20 半具體物的相加，來求其合併的數值，也就是將乘法看成是「同數累加」的改寫，舉 例來說，「5 × 3」則是「5＋5＋5」的改寫。利用同數的累加，來引入乘法的教學方式， 會讓學生產生乘法便是累加的錯覺，當乘數擴展至分數或小數的範圍時，學生將產生 學習障礙。 2.乘法教材集中於同一學年 六十四年版將乘法教材規劃成六個單元，五個單元被連續的編輯在二年級下學期 第四冊課本中，而另一個單元則編輯在三年級上學期第五冊課本中的第一個單元，教 學的重點在於累加活動和乘法算式的熟練與正確性，由於教材過度集中，往往學生只 忙於記憶九九乘法表，而非由乘法教學活動中理解乘法的意義。 （二）八十二年版數學乘法課程教材重點 八十二年版數學課程對乘法教材的處理，依據課程標準，低年級的目標是要瞭解乘法 的意義，並應用乘法表解決問題；從教材綱要來看，乘法的引導始於二年級，在數的 方面有倍的意義，在計算方面有二到九的基本乘法、查乘法表算出題目結果及兩步驟 的加減乘問題。綜合學者之觀點（甯自強，1994；楊瑞智，1997），針對八十二年版課 程對於乘法教材的重點，說明如下： 1.視基本乘法事實是兒童建構的活動 八十二年版課程不強調基本乘法事實的背誦，視乘法為情境的解題活動，認為基 本乘法事實一開始就進入記憶練習，反而會阻礙學生建構乘法意義及一些數學原理的 應用，希望學童能在累積經驗情況下，自然地發展出這些基本乘法事實的記憶。 2.乘法問題是「單位量的轉換問題」，也是「倍的問題」 八十二年版課程將乘法看成單位量的轉換，而不是同類累加活動。例如：「3 塊 餅乾放一盤，五盤共有幾塊餅乾？」問題中的餅乾計數時，是以「盤」為單位，每個 單位內有 3 塊餅乾，共有 5 個單位。題目中問的是幾塊餅乾，把以「盤」為單位的量，

21 轉換成以「塊」為單位的量，是將高階的單位量轉換成低階的單位量，也就是問「5 個 3 是幾個？」，所以問題的答案為「5 個 3」或「3 的 5 倍」，以單位量和倍的觀點教 導乘法問題，學生才能將乘法理解擴充至分數或小數的範圍。 3.螺旋式（spiral）的課程組織 八十二年版課程以教學活動為單位，在教學內容方面，逐步的加深加廣，在並打 破了每個單元內容的一致性，所以在乘法單元的內容裡有加法的解題活動，在數學加 減單元的內容中有乘法的活動；在教材的組織方面，利用螺旋式課程的理念，將乘法 的教材，在同一學年內，依其問題的難度予以螺旋式的排列。教材的編輯上區分成三 個難度－解決單位量的轉換問題、紀錄解決單位量轉換問題的解題過程以及用×符號記 錄單位量轉換問題的解題活動。 4.教材組織配合學童認知結構的發展及近側發展區的考量 所謂的近側發展區是指以學習者目前所有的活動類型為基礎下，經由教師輔助或 與有能力的同儕合作解決問題所建構之程度與潛在發展程度之間距離。八十二年版課 程的教材設計原則是以學生已擁有的運思能力及近側發展區，即下一個運思期的具體 解題活動或活動類型，以作為基準。 （三）九年一貫數學乘法課程 九年一貫的數學領域課程，根據學生學習方式與思考型態兩種特徵，將九年國民 教育分為四階段，另將領域內容分為「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」、 「代數」、「連結」等五大主題，除了「連結」之外，均分階段以能力指標表示學習 的內容與期望學生獲得的能力，並提供分年細目，詳細的將教學內容做一分析與闡釋， 供教師教學參考，對於二年級的乘法教學列表分年細目，以下羅列之（教育部，2003）。

22 1.能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題。（2-n-06） 在二年級裡，應先以連加、幾個一數為乘法的前置經驗。在認識「倍」的概念後， 例如：7 個 2 是 2 的 7 倍，可以記成 2×7＝14，讓學童認識乘式的記法中「被乘數」、 「乘數」及「積」的位置，再做數值小的乘法題目練習，慢慢養成心算的習慣，然後 開始練習九九乘法。二年級也應能計算二位數乘以一位數的乘法，如 23×3，雖然在計 算上為連加，但必須用乘法橫式來記錄。 2.能理解九九乘法。（2-n-08） 從學習乘法開始，就要練習九九乘法。在二年級結束前，學童應理解九九乘法。 另外，學童也應熟悉被乘數與乘數為 10 的基本乘法。在日常生活的自然問題中，引入 兩步驟問題，學童在解兩步驟問題時，應能將各步驟分開記錄，二年級時不處理併式 的問題。 （四）六十四年版和八十二年版的數學乘法課程比較分析 以下依數學、心理學和教材的組織三方面，比較分析六十四年版和八十二年版的 數學乘法課程（甯自強，1994）。 1.數學觀點 六十四年版視乘法為同數累加的概念延伸，讓學生產生乘法就是累加的觀念，若 在處理正整數的乘法相關問題上，是合理的，然而如此解釋會伴隨著一些限制，例如： 6 × 1/2 ＝ 3 的乘法算式中，就沒有存在累加的意義，導致學生隱藏地認為「乘會變 大，除會變小」的迷思概念。於是，八十二年版將乘法看成是單位量的轉換，讓學生 乘法概念能擴展連貫。 2.心理學觀點 六十四年版的乘法解題方面，首先以同數累加的概念，再被教導以乘法算式呈現， 這樣造成學生認為乘法是比加法「高級」的運算錯誤，在學習之後的整數四則運算中，

23 會覺得先乘除後加減的算則是必然現象。因此，八十二年版中乘法是單位量轉換的解 題活動，乘法算式則是解題活動紀錄的變更，以免造成學生的誤解。 3.教材的組織 六十四年版將乘法二到九的學習內容，編輯在二年級下學期的教材，教材過度集 中，使學生急於熟記九九乘法表，學習的精熟僅建立在記憶乘法事實上。八十二年版 為了改進此一缺點，利用螺旋式（spiral）課程的理念，在二年級上下學期中，依乘 法教材難度予以螺旋式的排列。

二、國小數學乘法教學方式

一個完整的數學乘法教學，包括要先引起學生的學習興趣，藉由條理化的乘法教 學方式，進而提升學生的學習成就，以下分就三方面說明之。 （一）提升學習興趣的教學方式 在教學中，如何有效引發並維持學生的學習興趣，一直是教育現場關切的問題之 ㄧ。教師除了應了解學生的學習需求，考量學生的能力以及為學生布置適合的學習環 境外，更應該尊重學生，給予學生充分的自主權，幫助學生建立成功的經驗，如此才 能維持學生高昂的學習興趣。 E.Slavin 強調學習興趣對於學生的學習成效有很大的影響，因此如果善用引發學 習興趣的具體教學方式，將有助於提昇學習（引自張景媛，1998 ）。Brophy 在 1987 年和 1994 年發表的文章中，蒐集許多有關激勵學生學習興趣的教學方式，以提供教師 使用（張景媛，1998；Brophy, 1987;Brophy, 1994)，共分為四大類，分別加以說明 如下：

24 1.成功激發學生學習興趣的先決條件 教師要安排支持性的學習環境，使學生安心學習；在教學內容方面，給予適當的 挑戰性或難度；教導值得學習的束西，訂立有意義的學習目標；教學方法要適度並具 有變化性。 2.提供學生外部激勵的教學方式 教師要為學生良好表現提供獎勵，給予正增強物，來刺激學生繼續學習；教學時 提示學生學習內容的應用價值，使學生可以應用於生活中。 3.激發學生內在動機的教學方式 教師在教學內容要配合學生的興趣，提供具有新奇與多樣化的教材；教師能給予 學生學習機會選擇或自主的作出決定；教師在學生學習時，予以立即且適當的回饋； 將遊戲融入於教學活動中，並提供學生與同學互動的機會。 4.提升學生學習興趣的教學方式 在教學過程中，教師能夠引起學生的好奇心，吸引學生對學習內容感到興趣；把 教學內容具體化，結合學生生活；進行學習活動時，儘量減少學生表現時的焦慮，可 示範解決問題的方法，增加學生成功的機會；對學生的學習表現傳遞適當的期待。 由上述學者觀點歸納，在進行教學前，教師要佈置班級學習環境，讓學生安心且 樂意學習；教學內容方面，要配合學生的學習興趣，結合學生的生活情境，並給予適 度的難度與挑戰，同時，製造學生成功的機會，激勵他們學習的意願；在教學過程中， 提供獎勵制度，鼓勵學生良好的表現，並將遊戲融入於教學活動中，讓學生具有學習 的樂趣，以提升學生的學習興趣。

25 （二）乘法教學方式 乘法是數學教學的核心之一，且需要在概念理解和計算熟練中取得平衡的結合， 才能順利的發展（NCTM , 2000）。各國所認同的乘法概念教學也不盡相同，英國認為 應該用連加法來教導學生理解乘法；日本認為連加法是計算乘法的方法，不是乘法的 意義（Watanabe, 2003)；日本數學教師學會的報告也支持乘法教學應該不是建立在連 加法上，在教學期間應當作運算的程序，而不是乘法概念的構成基礎（黃隆華，2004）。 Park 和 Nunes (2001）的研究調查結果顯示，用「對應」的乘法教學（類似單位量轉 換），學習成效比較好，並支持連加法只是解決乘法問題的程序，不是乘法的概念基 礎。由此可知，國外的研究支持乘法為單位量的轉換，而連加法是乘法運算的程序， 這也和八十二年版數學乘法課程觀點雷同。以下分就乘法教學方式 乘法運算教學應該關連到廣泛的不同情境，並重視學生自行建購的解答方法，而 且應該逐步且有意義地的引入乘法概念（Greer, 1987）。而乘法運算的理解是乘法領 域的基礎，並會影響到學生日後學習的成功與否（Vergnaud, 1994）。Kouba（1989） 則認為在小孩背誦九九乘法和認識乘法的符號之前，讓他們使用不同層級的方法來建 立乘法的觀念，可讓他們的思考具批判性，而有清楚、明辨與獨立的思考能力。Wickett （2000）亦建議提供一些故事情節，讓孩童們在當中去發覺乘法的存在，可以增進他 們對乘法的瞭解。所以，教師應該在乘法教學時，提供多種乘法問題情境，使學生理 解乘法意義後，再要求學生熟記和應用，使他們有批判的思考能力，而非死記硬背的 記憶。以下整理歸納學者對乘法教學階段的看法（劉秋木，1996；Riedesel, Schwartz ＆ Clements, 1996）。 1.理解題意：兒童能聽懂或讀懂問題的文字。 2.建構乘法的初步概念：以各種表徵代表問題情境，並操作各種表徵以解決問題， 帶入倍的概念。

26 3.數學術語與符號的學習：以社會通用的術語和符號表徵解題過程，即學生能寫出 正確的數學語句和乘法算式。 4.熟練乘法的基本事實：學生能利用乘法計算乘法的問題，並且可以熟練正確的運 算，且能分析問題的乘法運算結構。 5.用直式計算乘法的問題：多位數的乘法計算使用直式效率較佳。 由上述學者觀點可知，乘法教學著重於先理解乘法的概念與意義，並帶入「倍」 的觀念，而連加法可用以輔助理解乘法的概念，再練習用乘法符號列出算式，最後才 是熟練乘法的計算。 （三）提升學習成就的教學方式 學習要產生效果，除了學生個體本身的能力與努力外，家庭、學校、社區環境的 配合也相當重要，而其中最重要的便是教師的教學方式，會直接影響學生的學習成就。 教師了解提升學生學習成就的教學方式，將有助於解決學生的學習困難，增進學習效 果。以下就提升學生學習成就的教學方式說明之（曹雅玲，2007）。 1.採用適合學生程度的教材 教師使用的教材如果超出學生的程度太多，將使學生感覺挫敗，學習意願低落， 因此，教材適合學生程度，將使學生樂於學習。 2.教導明確的解題策略 教師在教學時，教導明確的解題策略，讓學生容易理解，解題時能夠有所依循， 獲得解題成功的成就感。 3.提供活潑有趣及有變化的教學內容 許多人認為數學的教學是嚴肅的、重思考、重講解和重公式應用的，因此，常使 數學學習成為單向講解的教學活動，也降低學生對數學學習的興趣與學習成就。若在

27 教學活動中，融入有趣的遊戲，讓學生實際操作，並應用多感官教具、圖示與媒體， 可維持學生學習動機，有助於提升學習成就。 4.讓學生感受數學與日常生活息息相關 教師將學生的學習內容與日常生活相結合，使學生能將所學應用於實際生活中， 不但能強化學習效果，也可促進學生學習數學的動機與成就感。因此，教師在設計教 學內容與佈題情境時，應融入學生的生活情境。 5.隨時給予補救教學 數學概念通常是前後連貫的，前面的單元概念若遭遇困難，無法了解運用，會影 響後續單元的學習。因此，教師應了解學生的學習情況，立即採取補救教學措施，讓 學生能夠連貫且完整的學習。 由上述歸納可知，要提升學生學習成就的教學方式，為教學前選擇適合學生程度 的教材；教學中提供活潑有趣以及有變化的教學內容，教導明確的解題策略，學習內 容結合學生生活情境；教學後給予學生立即的補救教學，以上方式將有助於提升學生 學習成就。 综合前述數學乘法教學方式，因此本研究在進行教學前佈置教室學習環境，選擇 合適學生程度的教材；教學過程中，乘法學習要先理解乘法的概念與意義，再練習用 乘法符號列出算式，最後熟練乘法的計算，且教學內容結合學生生活情境，教導明確 的解題步驟，提供學生成功的機會；教學結束後給予學生補救教學，期使本研究可提 升學生學習興趣與學習成就。

貳、數學乘法問題的類型

28 從數學觀點來看，正整數的乘法是很簡單的問題，然而在這簡單背後透露出心理 上的複雜性，尤其是不從計算觀點，而是考慮情境模式時，這複雜性更為明顯。乘法 的意義會依問題的情境而異，學童的解題策略也會受到問題情境的不同而影響 （Greer ,1992）。因此，乘法的教學重點應強調問題情境與運算結構的分析，才能使 學生真正了解乘法的意義（劉秋木，1996 )。 歷年來已有多位學者針對乘法的結構做分析，分類依據和方式有所不同，如 1983

年 G.Vergnaudy 從向量空間（vector spaces）和向度（dimension）兩方面來進行乘 法結構分析，1988 年 J.T.Schwartz 從問題中的內涵量（intensive measures ）和外 延量（extensive measures）的觀點考慮乘法結構分析，1988 年 P.Nesher 依據問題 組成結構將乘法問題分類，1989 年 A.Bell、1987 年 B.Greer 將乘法問題概括地分成 對稱和不對稱兩種類型（引自 Greer,1992）；Greer（1992）則依問題的情境模式來 分類正整數乘除法問題；Schmidt 和 Weiser（1995）採用語意結構來分類。而基於本 研究的對象是國小二年級學童，因年齡、舊經驗和理解能力的限制，無法理解太難的 題目，以乘法問題的「情境」來考量較為適當，故本研究採用 Greer 的乘法情境分類 模式，做為設計乘法問題的架構。以下論述 Greer 的乘法問題情境模式（丁佩芬，2004； 洪千惠，2004；倪玫娟，2003；Greer,1992）。 Greer（1992）探討相關的理論和多位學者的研究結果，把乘法的問題情境分為十 大類（見表 2-2-1) ：等組群（equal groups）、等量（equal measures）、比率（rate）、 單位互換（measure conversion）、乘法比較（multiplicative comparison）、部分 ／整體（part / whole）、乘法改變（multiplicative change）、直積（Cartesian product）、矩形面積（rectangular area)與量的積（product of measures)。

29 表 2-2-1 Greer 的乘法問題情境分類 類別 乘法問題情境 等組群 （equal groups） 每個人有 4 個橘子，3 個人共有幾個橘子？ 等量 （equal measures） 每個人有 4.2 公升的橘子汁，3 個人共有多少公升的 橘子汁？ 比率 （rate） 一條船每秒移動 4.2 公尺，3.3 秒移動幾公尺？ 單位互換 （measure conversion） 1 吋大約 2.54 公分，3.1 吋大約幾公分？ 乘法比較 （multiplicative comparison） 鐵的重量是銅的 0.88 倍，和 4 .2 公斤的銅一樣大 的鐵有多重？ 部分／整體 （part / whole） 某校有 3/5 的學生考試及格，80 人參加考試，有幾 人及格？ 乘法改變 （multiplicative change） 一彈簧可延展為原長度的 3.3 倍，長 4.2 公尺的彈 簧可延展為幾公尺？ 直積 （Cartesian product） A 到 B 有三條路，B 到 C 有四條路，由 A 經 B 到 C 有 幾條不同的路徑？ 矩形面積 （rectangular area) 一矩形的寬是 3.3 公尺，長是 4.2 公尺，求它的面 積。 量的積 （product of measures) 一電熱器每小時耗電 3.3 千瓦，4.2 小時將耗電多少 千瓦-小時？ 資料來源：出自 Greer(1992: 280)。 在這些問題情境中，Greer (1992）認為整數乘法問題情境以等組群、乘法比較、 直積與矩形面積最為重要。因此，參考 Greer 的觀點，依問題的情境將正整數乘法文 字題分成以下四類，並舉例說明： 一、等組群 等組群是由一些內含有相同個數之物體的集合所構成的情境，等組群情境以不同 的方式出現，例如：自然重複的情形（如 n 個人有 5n 根手指頭）；重做一連串的動作

30 （如一次走 3 步，要走 4 次）和人們的習慣，就如同將相同數目的東西給予一些人（如 老師發糖果給 4 個小朋友，每人發 5 顆糖果）。 等組群情境的另一種變化方式是比率的乘法（如每個人有 4 塊餅乾，3 個人共有 幾塊餅乾？) ，3 個人是一個人的 3 倍，所以餅乾數也會增為 3 倍。等組群問題通常 用每組的數目乘以組數來得到總數，例如：「一隻手有 5 根手指頭，6 隻手有幾根手 指頭？」，可以用 5 根／隻 × 6 隻＝30 根來得到答案。 二、直積 直積是描述一種有序對（ordered pair）關係，每一個有序對都是由一個集合的 每一個元素與另一個集合的所有元素有順序的結合而成。如「4 個男生和 3 個女生跳 舞，有幾種配對方式？」，在這個問題中，「配對方式」是由「男生」與「女生」二 個集合所合成的。還包括陣列問題（問題中的物件是呈方陣排列的一種乘法問題）。 例如，「牆上的磁磚橫看有 5 列，直看有 6 排，請問牆上共有幾塊磁磚？」，這個問 題可以利用直排的數目乘以橫列的數目來求出圖中的總數。 三、矩形面積 矩形面積可將矩形任一邊和相鄰一邊的長度相乘，也可以把矩形分割成邊長為 1 公分的正方形，於是矩形面積就可以用正方形的個數來計數。例如，「長 4 公尺，寬 5 公尺的矩形，其面積為多少平方公尺？」，可以將長度乘以寬度來求得矩形的面積， 也可以用把長分成 4 個 1 公尺與將寬分成 5 個 1 公尺所構成的棋盤圖，來求出矩形面 積為 20 平方公尺。 四、乘法比較 乘法比較型是一種常以「n 倍是多少？」來敘述的情境，例如：「小華的蘋果是 小明的 3 倍，如果小明有 4 個蘋果，小華有幾個蘋果？」，乘法因子（multip1icative factor，也就是 3 倍）被視為乘數。除此之外，比較型乘法問題也可以被視為多與一

31 的對應（many-one correspondence），亦即小華的 3 個蘋果單位量相當於小明的 1 個蘋果單位量。 在等組群乘法和比較型乘法中，乘數、被乘數都代表不同的意義，所以是無法被 交換使用的。在直積問題和矩形面積問題的運算中，題目中的二個數字（長和寬）都 被視為等價，也就是說，這二個數字都可以是被乘數，而不影響其運算結果，適合乘 法的交換律。Greer(1992)認為對教學而言，區分情境類別很重要，而且對教學研究可 提供有用的分析架構。 探討國內外的文獻，可以發現乘法問題類型不只會影響學童選用不同的解題策 略，還會影響學童的解題表現（邱裕淵，1999；林碧珍，1991；許美華，1999；陳淑 琳，2001；Clark & Kamii, 1996; Mulligan & Mitchelmore, 1997)。陳淑琳將乘法 問題分成等組型、陣列型、比較型、組合型等四種類型，探討國小二年級學童乘法問 題的解題歷程，發現解題表現最容易的是等組型問題，最難的是組合型問題，組合型 問題則是 Greer(1992)提出的直積問題類型。而日常生活中的乘法問題以等組群類型 居多，且最淺顯易懂，比較符合國小二年級學生的生活經驗（洪千惠，2004)。Mul1igan 和 Mitchelmore (1997）發現，對國小二、三年級學生的乘法直觀來說，問題的難度 與語意結構有關，乘法比較型問題較難，直積問題更難。綜合上述學者觀點，乘法問 題的難易度，從易到難為等組群、乘法比較、直積型。因此，本研究將教學活動的佈 題與乘法測驗卷題目中的乘法問題類型分成三大類，以等組群乘法為主，其次為乘法 比較問題，再來是直積問題，但僅以陣列型問題呈現。

參、乘法解題策略

乘法解題策略，可分為乘法運算問題解題策略和乘法文字題解題歷程，以下分別 說明之。

32 一、乘法運算問題解題策略 近年來，有許多研究探討學童整數乘法運算問題之解題策略的分類，綜合學者之 研究結果（李俊仁，1991；林慧麗，1990；許美華，1999；陳淑琳，2001；倪玫娟， 2003 ； Anghilleri,1989；Kouba,1989；Mulligan,1992），雖然名稱不太一樣，但 均是相似概念，結果頗為一致，依年代先後整理歸納如表 2-2-2。 表 2-2-2 學生乘法解題策略分類與發展順序之分析 研究者 研究 對象 乘法解題策略 直接表徵 節奏式計 數與跳數 加法運算 乘法運算 過渡型解法 Anghileri (1989) 4 ～ 12 歲 學童 單一計數 1.節奏式計 數 2.數字模式 x 使用乘法事_實 x Kouba (1989) 國 小 一 ～ 三 年 級 學 童 直接表徵 過渡型數數 （使用倍數 序列） 加法（使用累 加方式） 回憶數字事 實 x 林慧麗 (1990) 幼 雅 園 大 班 、 國 小 一 、 二 年 學童 直接表徵 點數法 跳數法 加法（使用累 加方式） 回憶已知乘 法事實 x 李俊仁 (1991) 國 小 二 ～ 五 年 級 學 童及成人 x 點數（幾個_{一數、數物）} 連加法 1.直接提取 2.序列提取 1.直接提取-點數 2.序列提取-點數 Mulligan (1992) 國 小 二 年 級學童 1.全數 2.兩數同數 1.兩數同數 2.跳數 1.連加法 2.重複相加 3.折半相加 4.已知的加法事 實 已知的乘法 事實 推論出的乘法事實